概率論與數(shù)理統(tǒng)計15(課時四)

1、一、條件概率一、條件概率三、全概率公式與貝葉斯公式三、全概率公式與貝葉斯公式二、乘法公式二、乘法公式一、條件概率一、條件概率1. 引入引入B稱稱“已已知知事事件件 發(fā)發(fā)生生”的的條條件件下下，A A發(fā)發(fā)生生的的概概率率為為在在B B發(fā)發(fā)生生的的條條件件下下，A A發(fā)發(fā)生生的的條條件件概概率率。P()A B記作例例1.5.1 全年級全年級100名學(xué)生中，有男生名學(xué)生中，有男生60名，女生名，女生40名；來名；來自山東的自山東的20人，其中男生人，其中男生8人，女生人，女生12人人.現(xiàn)在從名冊中任現(xiàn)在從名冊中任意抽取一位同學(xué)，試計算：意抽取一位同學(xué)，試計算：（1）抽到的同學(xué)來自山東的概率；）抽到的

2、同學(xué)來自山東的概率；（2）抽到的同學(xué)是女生的概率；）抽到的同學(xué)是女生的概率；（3）抽到的同學(xué)是來自山東的女生的概率；）抽到的同學(xué)是來自山東的女生的概率；（4）若發(fā)現(xiàn)抽到的是女生，她來自山東的概率）若發(fā)現(xiàn)抽到的是女生，她來自山東的概率.201004010012100124040( )100P B ()PA BA “抽抽到到的的同同學(xué)學(xué)來來自自山山東東”B “抽抽到到的的同同學(xué)學(xué)是是女女生生”12()100P AB ABAB1210040100()( )P ABP B1240,( )0,()(|)( ).A BP AP ABP B AP AAB 設(shè)設(shè)是是任任意意兩兩個個隨隨機機事事件件 且且稱稱

3、為為在在事事件件發(fā)發(fā)生生的的條條件件下下事事件件發(fā)發(fā)生生的的條條件件概概率率2. 定義定義1.3:(1) ( )(|) ,()(|)P BP B AP ABP B A注注()( ),(|)( )( )P ABP BBAP B AP AP A若若則則AB1212125( ) ()()()();P BB AP B AP B AP B B A (4) ()1().P B AP B A 123( ) :, , , ,BB可可列列可可加加性性 設(shè)設(shè)是是兩兩兩兩不不相相容容的的事事件件 則則有有11().iiiiPB AP B A 3. 性質(zhì)性質(zhì)(條件概率具有概率的一切性質(zhì)條件概率具有概率的一切性質(zhì))(2

4、) :()0;P B A非非負(fù)負(fù)性性(1)()1,(|)0PAPA規(guī)規(guī)范范性性()()0.3()0.4(|),(),(|).ABP AP BP ABP A BP ABP A B 設(shè)設(shè) 、 是是兩兩個個隨隨機機事事例例件件，且且，求求()0(|)(|)1(|)(|)=1.P BP A BP A BP A BP A B 若若，則則；但但是是注注未未必必成成立立：4 4、條件概率的計算方法、條件概率的計算方法( (1)1)公式公式(2)(2)直接計算（縮減樣本空間法）直接計算（縮減樣本空間法）例例1.5.2 設(shè)某家庭有三個孩子，在已知至少有一個女孩的設(shè)某家庭有三個孩子，在已知至少有一個女孩的條件下，

5、求該家庭中至少有一個男孩的概率（假設(shè)一個條件下，求該家庭中至少有一個男孩的概率（假設(shè)一個小孩為男或女是等可能的）小孩為男或女是等可能的）.()()( )P ABP B AP A 由由條條件件概概率率定定義義，立立即即可可得得到到：()( ) ()( ( )0)P ABP A P B AP A對對稱稱地地, ,- - - - - -乘乘法法公公式式0()( ) ()( ( )P ABP B P A BP B(1) ()(:) ( )P ABP A P B 注注(2)(2)乘法公式給出了一種計算乘法公式給出了一種計算“積事件積事件”概概率的方法率的方法則則有有且且為為事事件件設(shè)設(shè), 0)(, AB

6、PCBA()( ) () ()P ABCP A P B A P C AB則則有有且且, 0)(121 nAAAP, 2,21 nnAAAn個個事事件件為為設(shè)設(shè)推推廣廣)()()()()(12121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP例例1.5.4 10個考簽中有個考簽中有4個難簽，個難簽，3人參加抽簽（不放回），人參加抽簽（不放回），按甲先、乙次、丙后的次序，求：按甲先、乙次、丙后的次序，求：（1）甲抽到難簽的概率；）甲抽到難簽的概率；（2）甲、乙均抽到難簽的概率；）甲、乙均抽到難簽的概率；（3）甲抽到難簽而乙沒有抽到難簽的概率；）甲抽到難簽而乙沒有抽到難簽的概率；（4）甲、

7、乙、丙均抽到難簽的概率）甲、乙、丙均抽到難簽的概率.iAii ：“第第 個個人人抽抽到到難難簽簽”， = =解解1 1, ,2 2, ,3 3142(1)()105P A 121124124()()-()-109015PA APAPA A （ 3 3 ）123121312(3)()()(|)(|)4321109830P A A AP AP AAP AA A 12121432(2) ()() (|)10915P A AP A P AA 例例1.5.51.5.5 一盒中裝有大小、形狀相同的一盒中裝有大小、形狀相同的a a個紅球，個紅球，b個黑個黑球，每次摸出一個球，看過它的顏色后仍放回盒中，并球，

8、每次摸出一個球，看過它的顏色后仍放回盒中，并且加進(jìn)與這個球顏色相同的球且加進(jìn)與這個球顏色相同的球c個個.求連續(xù)三次都摸到紅求連續(xù)三次都摸到紅球的概率球的概率.iiA 令“第 次摸到紅解：球”，則1(),aP Aab21(|),acP AAabc3122(|),2acP AA Aabc123121312()() (|)(|)P A A AP A P AAP AA A2.2aacacab abc abc 設(shè)設(shè) 、 是是兩兩個個隨隨機機事事件件，且且0 0求求證證：例例1 1. .5 5. .6 6( )1,(|)(|).()( ) ( ).ABP AP B AP B AP ABP A P B 例例

9、1.5.7 1.5.7 同宿舍三位同學(xué)每人制做一件禮物參加元旦舍同宿舍三位同學(xué)每人制做一件禮物參加元旦舍友互慶會，他們首先將三件禮物編號，每人抽取一個號友互慶會，他們首先將三件禮物編號，每人抽取一個號碼，按號碼領(lǐng)取禮物，求三人都得到別人贈送的禮物的碼，按號碼領(lǐng)取禮物，求三人都得到別人贈送的禮物的概率。概率。練習(xí)練習(xí) 某批產(chǎn)品中某批產(chǎn)品中,甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品占甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品占60%,已已知甲廠的產(chǎn)品的次品率為知甲廠的產(chǎn)品的次品率為10%,從這批產(chǎn)品中從這批產(chǎn)品中隨意的抽取一件隨意的抽取一件,求該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的次品求該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的次品的概率的概率.BA解解：記記 表表示示事事件件“甲甲廠廠生生產(chǎn)

10、產(chǎn)的的”，表表示示事事件件“產(chǎn)產(chǎn)品品是是次次品品”，()( ) ()60% 10%6%.P ABP A P B A 根根據(jù)據(jù)乘乘法法公公式式，有有則則 P(A)=60%, P(B A)=10%. P(A)=60%, P(B A)=10%.練習(xí)：練習(xí)：P43 3( |)0P A B ( )()P AP ABAB( )(|)( )(|)P BP A BP BP A B0.3 0.20.706%ABABAB與不相容利用乘法公式()()P ABP AB 解：設(shè) A=生產(chǎn)的產(chǎn)品要報廢 B=生產(chǎn)的產(chǎn)品要調(diào)試 已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2，,( )()( ) ()0.3 0.26%AB AAB

11、P AP ABP B P A B另解：全概率公式三、全概率公式與貝葉斯公式三、全概率公式與貝葉斯公式樣本空間的劃分樣本空間的劃分1A2A3AnA.iiiAA 是是一一列列有有限限或或可可數(shù)數(shù)個個兩兩兩兩互互不不相相容容的的非非零零概概率率事事件件，且且B1A2A3AnA11( )()() (|)iiiiiP BP ABP A P B A -全概率公式全概率公式1.1 (,)B, iiiAA i ii ii i設(shè)設(shè)是是一一列列有有限限或或可可數(shù)數(shù)無無窮窮個個兩兩兩兩互互不不相相容容的的非非零零概概率率事事件件，且且則則對對任任意意事事件件有有 P P( (B B) )= =P P( (A A )

12、 )P P( (B B A A定定概概率率公公式式) )理理全全:()()()iiP BP BP BA 證證明明B1A2A3AnA ()()iiiiPBAP BA iiiii iP(A )P(B A )P(A )P(B A )說明說明 （1 1）全概率公式的主要用途在于它可以將）全概率公式的主要用途在于它可以將一個復(fù)雜事件的概率計算問題一個復(fù)雜事件的概率計算問題, ,分解為若干個簡分解為若干個簡單事件的概率計算問題單事件的概率計算問題, ,最后應(yīng)用概率的可加性最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果求出最終結(jié)果. .B1A2A3AnA（2 2）使用全概率公式的關(guān)鍵是找出與所求）使用全概率公式的關(guān)鍵是找

13、出與所求事件事件B B的發(fā)生相聯(lián)系的完備事件組的發(fā)生相聯(lián)系的完備事件組12,nA AA例例1.5.4 10個考簽中有個考簽中有4個難簽，個難簽，3人參加抽簽（不放回），人參加抽簽（不放回），按甲先、乙次、丙后的次序，求：乙抽到難簽的概率按甲先、乙次、丙后的次序，求：乙抽到難簽的概率.例例1.5.91.5.9 某地為某地為a a號病多發(fā)區(qū)，該地共分為南、北、號病多發(fā)區(qū)，該地共分為南、北、中三個行政小區(qū)，其人口比為中三個行政小區(qū)，其人口比為8：5：7，根據(jù)統(tǒng)計資，根據(jù)統(tǒng)計資料顯示，料顯示，a號病在該地三個小區(qū)內(nèi)的發(fā)病率依次為號病在該地三個小區(qū)內(nèi)的發(fā)病率依次為0.0003，0.0004，0.0002

14、，求該地區(qū)，求該地區(qū)a號病的發(fā)病率號病的發(fā)病率.123“”,BaA A A 令令受受檢檢者者患患有有 病病 ，分分別別表表示示受受檢檢者者地地屬屬南南、北北、中中行行解解：政政小小區(qū)區(qū)。123()0.4, ()0.25, ()0.35,P AP AP A123(|)0.0003,(|)0.0004,(|)0.0002.P B AP B AP B A31( )()(|)0.4 0.00030.25 0.00040.35 0.00020.00029.iiiP BP AP B A例例1.5.10 每箱產(chǎn)品有每箱產(chǎn)品有10件，其次品數(shù)從件，其次品數(shù)從0到到2是等可能的，開箱是等可能的，開箱檢驗時，從中

15、任取檢驗時，從中任取1件，若檢驗出是次品，則認(rèn)為該箱產(chǎn)品不件，若檢驗出是次品，則認(rèn)為該箱產(chǎn)品不合格而拒收合格而拒收.假設(shè)由于檢驗有誤，一件正品被誤檢為次品的概假設(shè)由于檢驗有誤，一件正品被誤檢為次品的概率是率是0.02，一件次品被漏查誤判為正品的概率是，一件次品被漏查誤判為正品的概率是0.05，求該箱，求該箱產(chǎn)品通過驗收的概率產(chǎn)品通過驗收的概率. i101211“”,BABAAABB 令該箱產(chǎn)品通過驗收 ，“箱內(nèi)有i件次品”“抽取的一件產(chǎn)品是正品”則 ，解：，構(gòu)成一個完備事件組。與也構(gòu)成一個完備事件組。1(),0,1,23iP Ai10111294(|)1, (|), (|).105P BAP

16、BAP BA2110194()()(|)(1)0.9.3105iiiP BP AP BA又又由由于于11(|)0.98,(|)0.05,P B BP B B 應(yīng)應(yīng)用用全全概概率率公公式式得得：1111( )() (|)() (|)0.887.P BP B P B BP B P B B 練習(xí)練習(xí)：P43 8() ()()()( )() ()iiiijjjP A P B AP ABP A BP BP A P B A :(1,2,)(|)(1,2,)iiBiP ABi 考考慮慮完完全全相相反反的的問問題題 看看到到一一個個事事件件 “結(jié)結(jié)果果”) )發(fā)發(fā)生生了了，考考察察導(dǎo)導(dǎo)致致B B發(fā)發(fā)生生的的原

17、原因因、情情況況或或途途徑徑A A發(fā)發(fā)生生的的概概率率大大小小。即即求求-貝葉斯公式貝葉斯公式注：先驗概率與后驗概率注：先驗概率與后驗概率Bayes中概率中概率 是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的, 叫叫做做驗前概率驗前概率.)(iAP貝葉斯公式又稱為貝葉斯公式又稱為后驗概率公式和逆概率公式后驗概率公式和逆概率公式用它進(jìn)行判斷或推斷的方法，稱為用它進(jìn)行判斷或推斷的方法，稱為貝葉斯決策貝葉斯決策，例如鑒別廢品來源；某種疾病的診斷等等。例如鑒別廢品來源；某種疾病的診斷等等。條件概率條件概率,.2 , 1),|( iBAPi叫做叫做驗后概率驗后概率.例例 設(shè)某批產(chǎn)品中設(shè)某批產(chǎn)品中,甲、

18、乙、丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占別占45%、35%、20%，各廠產(chǎn)品的次品率分別，各廠產(chǎn)品的次品率分別為為2%、4%、5%，現(xiàn)從中任取一件。，現(xiàn)從中任取一件。(1) 求取到的是次品的概率求取到的是次品的概率;(2) 經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)取到的產(chǎn)品為次品經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)取到的產(chǎn)品為次品,求該產(chǎn)品是甲求該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的概率廠生產(chǎn)的概率.20%35%45%5%4%2%甲甲乙乙丙丙1,2,3. iB i i: :A A 分分 別別 表表 示示 產(chǎn)產(chǎn) 品品 為為 甲甲 、 乙乙 、 丙丙 廠廠 生生 產(chǎn)產(chǎn) 的的 ，表表 示示 這這 一一 產(chǎn)產(chǎn)解解品品 為為 次次 品品 。3iii=1(1)P(B)

19、 =P(A )P(B A )= 45%2% + 35%4% + 20%5%= 3.3% 由由全全概概率率公公式式得得：123123()45%,()35%,()20%,()2%,()4%,()5%.P AP AP AP B AP B AP B A則 1111(2):P(A )P(B A )P(A B)45% 2%P(A B) =27.3%P(B)P(B)3.3% 由由貝貝葉葉斯斯公公式式得得思考：思考：經(jīng)檢驗取到的是廢品，問此廢品最有可能經(jīng)檢驗取到的是廢品，問此廢品最有可能 來源于哪一個廠？來源于哪一個廠？222()()()42.4%()PA BP BPABPA 333()()()30.3%()

20、P A BP BP ABP A （乙廠）（乙廠）例例1.5.13 10個乒乓球中有個乒乓球中有6個新球，個新球，4個舊球，個舊球，第一次隨機地取出兩個球，用畢放回，第二次第一次隨機地取出兩個球，用畢放回，第二次又任意取出兩個新球的概率有多大？若發(fā)現(xiàn)第又任意取出兩個新球的概率有多大？若發(fā)現(xiàn)第二次取到的是兩個新球，計算第一次沒有取到二次取到的是兩個新球，計算第一次沒有取到新球的概率新球的概率.).(,005. 0)(,005. 0,.95. 0)(,95. 0)(,:,ACPCPCAPCAPCA試試求求即即的的概概率率為為設(shè)設(shè)被被試試驗驗的的人人患患有有癌癌癥癥進(jìn)進(jìn)行行普普查查現(xiàn)現(xiàn)在在對對自自然然人人群群有有則則被被診診斷斷者者患患有有癌癌癥癥表表示示事事件件以以為為陽陽性性試試驗驗反反應(yīng)應(yīng)表表示示事事件件若若以以驗驗具具有有如如下下的的效效果果某某種種診診斷斷癌癌癥癥的的試試根根據(jù)據(jù)以以往往的的臨臨床床記記錄錄 補例補例CCACACA( )PC( )PC()P A C()P AC由由貝葉斯公式得所求概率為貝葉斯公式得所