一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

1、 音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫(huà)使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切。 克萊因.屯字中學(xué)：張金平屯字中學(xué)：張金平時(shí)間：時(shí)間：2009年年9月月21日日一元二次方程的一般形式是什么？它的求根公式又是什么？一元二次方程的一般形式是什么？它的求根公式又是什么？一般形式一般形式：求根公式：求根公式：) 04(2422acbaacbbxax+bx+c=0(a0) 從因式分解法可知，方程（從因式分解法可知，方程（x-x1)(x-x2)=0的兩根為的兩根為x1和和x2，將方程，將方程化為化為x2+px+q=0的形式，你能看出的形式，你能看出x1，x2與與p，

2、q之間的關(guān)系嗎？之間的關(guān)系嗎？化為一般形式為化為一般形式為:X2-(x1+x2)x+x1x2=0二次項(xiàng)系數(shù)是二次項(xiàng)系數(shù)是:一次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù):p=常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng):q=-（x1+x2)1x1x2上述方程的兩根的和、積分別與系數(shù)有如下關(guān)系：X1+x2=X1x2=-pq驗(yàn)證：（驗(yàn)證：（1）x2-3x+2=0; (2) x2+x=0.探究下表的奧秘，并完成填空：探究下表的奧秘，并完成填空：一元二次方程 兩個(gè)根 兩根的和 兩根的積3x2+x-2=0X1= ;x2=X1+x2=X1x2=2x2+5x+2=0X1= ;x2=X1+x2=X1x2=4x2+13x+3=0 X1= ;x2=X1+x2=X1x2=

3、32-1313221-225141-3413431.猜想結(jié)論：若一元二次方程猜想結(jié)論：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0）的兩根分別）的兩根分別為為x1,x2,則則x1+x2= ; x1x2= abac2.如何證明你的猜想？如何證明你的猜想？觀察實(shí)驗(yàn)是針對(duì)觀察實(shí)驗(yàn)是針對(duì)特例的，推導(dǎo)證特例的，推導(dǎo)證明才是針對(duì)一般明才是針對(duì)一般對(duì)象的！對(duì)象的！證證明明： 對(duì)于一元二次方程對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0）,根據(jù)求根公式可知，方程的兩根為根據(jù)求根公式可知，方程的兩根為aacbbx2421aacbbx2422,2224242221ababaacbbaacbbxxacaacbbaacbb

4、aacbbxx22222214)4()(2424因此，方程的兩根因此，方程的兩根x1,x2和系數(shù)和系數(shù)a,b,c有如下關(guān)系：有如下關(guān)系：,21abxx.21acxx 這表明任何一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：這表明任何一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：兩根兩根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩根的積的和等于一次項(xiàng)系數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比。等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比。這個(gè)結(jié)論也叫著這個(gè)結(jié)論也叫著“韋達(dá)定理韋達(dá)定理”。例例4.根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程兩根求下列方程兩根x1,x2的和與積的和與積 x2-6x-15=0; 3x2+7x-9=0; 5x-1=4x2.解：解： x1+x2= -(-6)=6, x1x2= -15.,3721xx. 33921xx方程化為4x2-5x+1=0,454521xx4121xx1.不解方程，求下列方程兩根的和與積：不解方程，求下列方程兩根的和與積：(1) x2-3x=15;(2) 5x2-1=4x2+x;解：（1）x2-3x-15=0；x1+x2=3;x1x2= -15（2）x2-x-1=0 ;x1+x2=1;x1x2= -12.口答教科書(shū)口答教科書(shū)P42習(xí)題習(xí)題22.2第第3、4題，