極限運算法則

1、主要內(nèi)容主要內(nèi)容 極限運算法則的理論依據(jù)極限運算法則的理論依據(jù)lim( )f xA ( )( )f xAx ( ( )0)x 依據(jù)無窮小量的運算法則依據(jù)無窮小量的運算法則定理定理法則法則定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設設推論推論2 2).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為為常常數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果常數(shù)因子可以提到極限記號外面常數(shù)因子可以提到極限記號外面. .)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是是正正整整數(shù)數(shù)而而

2、存存在在如如果果推論推論1 1例例1 11lim(21).xx 求求解解1lim(21)xx 11lim2lim1xxx12lim1xx2 11 1. 例例2 2.531lim232 xxxx求求解解3221lim35xxxx 322123 25 7.3 32222(lim)1(lim)3lim5xxxxxx 3222lim(1)lim(35)xxxxx 3222222limlim1limlim3lim5xxxxxxxx ()CC型型小結(jié)小結(jié): :則則有有設設,)(. 1110nnnaxaxaxf 000101(lim)(lim)lim( )nxxxxxxnnafaxxxa nnnaxaxa

3、10100).(0 xf 則則有有且且設設, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf000lim( )lim( )lim( )xxxxxxfxxP xQ )()(00 xQxP ).(0 xf 0()0,.Q x 若若則則商商的的法法則則不不能能應應用用以上兩種情形的極限值都等于在該點的函以上兩種情形的極限值都等于在該點的函數(shù)值，即可以用數(shù)值，即可以用代入法代入法求極限求極限. .練練 習習12225lim.1xxxx 求求解解221lim(1)( 1)120,xx Q Q42.222125lim1xxxx 22( 1)2 ( 1)5( 1)1 解解21lim(23)xxx Q Q2(

4、 1)2 ( 1)30, 商的法則不能用商的法則不能用1432lim21 xxxx. 030 由無窮小與無窮大的關系由無窮小與無窮大的關系,得得例例3 3.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx1lim(41)4130,xx 而而()0C型型練練 習習22468lim.54xxxxx求求解解24lim(54)xxx Q Q245 440, 22468lim54xxxxx 00.16 由無窮小與無窮大的關系由無窮小與無窮大的關系,得得22468lim.54xxxxx 224lim(68)46 48160,xxx 而而()0C型型解解例例4 42211lim.23xxxx

5、求求1,.x 時時 分分子子 分分母母的的極極限限都都是是零零.1后后再再求求極極限限因因子子先先約約去去不不為為零零的的無無窮窮小小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)練練 習習322042lim.32xxxxxx 求求0()0型型解：解：322042lim32xxxxxx 20(421)lim(32)xxxxxx 4 02 013 02 20421lim32xxxx .21 例例5 5.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時

6、時 x)(型型 3,.x分分子子分分母母同同時時除除以以最最高高次次項項再再求求極極限限332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 ( (無窮小因子分出法無窮小因子分出法) )小結(jié)小結(jié): :為為非非負負整整數(shù)數(shù)時時有有和和當當nmba, 0, 000 當當當當當當00101101/,lim0,mmmnnxnabnma xa xanmb xb xbnm 無窮小分出法無窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪以分母中自變量的最高次冪除分子除分子,分母分母,以分出無窮小以分出無窮小,然后再求極限然后再求極限.練練 習習2211.lim.21xxxx 求求232321

7、2.lim.25xxxxx求求422423.lim.32xxxxxx 求求3lim(21)xxx 4 4. .求求答答 案案2211.lim.21xxxx 求求() 型型解：解： 分分子子分分母母均均為為二二次次多多項項式式，極極限限均均為為 ，于于是是極極限限值值為為最最高高次次二二次次項項系系數(shù)數(shù)之之比比。221lim21xxxx .21 2323212.lim.25xxxxx求求解解,x 時時 分分子子 分分母母的的極極限限都都是是無無窮窮大大。)(型型 3 32 20 0. .分分母母的的最最高高次次項項為為 次次，分分子子的的最最高高次次項項為為 次次, ,于于是是極極限限值值為為2

8、32321lim25xxxxx0. 422423.lim.32xxxxxx 求求() 型型解：解：4 42 2. 分分子子分分母母均均為為二二次次多多項項式式極極限限均均為為 ，分分母母的的最最高高次次數(shù)數(shù)為為 次次，分分子子的的最最高高次次數(shù)數(shù)為為 次次，于于是是極極限限值值為為42242lim32xxxxxx . 3lim(21)xxx 4 4. .求求3021limxxxx 原原式式 解解() 型型例例6 6.sinlimxxx 求求-60-40-20204060-1-0.75-0.5-0.250.250.50.751點擊此處可播放動畫點擊此處可播放動畫()C 型型練練 習習201lim

9、sin.xxx求求極極限限解：解：由由有有界界變變量量乘乘以以無無窮窮小小仍仍無無窮窮小小然然是是的的性性質(zhì)質(zhì)：無無窮窮小小。201limsin0.xxx20lim0 xx Q Q，1sin.x而而是是有有界界函函數(shù)數(shù)20,xx為為當當時時的的無無窮窮小小( 0)C 型型).21(lim222nnnnn 求求解解是無限多個無窮小之和是無限多個無窮小之和時時, n22212lim()nnnnnL L2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.例例7 7212limnnn L L0000( )lim( )( )lim( )( ) ( )lim ( )l

10、im( )( ).xxuaxxuauxxxaxayf uuaf uf afxxxfxf uf a 定定理理（）設設函函數(shù)數(shù)當當時時的的極極限限存存在在且且等等于于，即即，而而函函數(shù)數(shù)在在點點處處有有定定義義且且，則則復復合合函函數(shù)數(shù)當當時時的的極極限限也也存存在在，復復合合函函數(shù)數(shù)的的極極且且限限運運算算法法則則0 ( )limxxfx 0lim( )xxfx )(xu 令令)(lim0 xaxx 意義：意義：例例8 8233lim.9xxx 求求解解233lim9xxx 原式原式33lim(3)(3)xxxx 166631lim3xx 0()0型型練練 習習311lim.1xxx 求求解解3

11、23331(1)(1)lim1xxxxx 原式原式3231lim(1)xxx 3. 0()0型型解解例例9 9. .lim1(2)xxxx 求求() lim1(2)xxxx 1 (2)(2)lim2xxxxxxxx 21lim2xxxx 2lim1111111xxx 有理化有理化總總 結(jié)結(jié)0()0型型() 型型不確定型：不確定型：()CCCC 型型()C 型型確定型：確定型：0()0C 型型()0C 型型()0C 型型()C 型型例例1010已已知知, 51lim21 xcbxxx解解, b c試試確確定定的的值值。21lim51xxbxcx 存存在在，21lim()10 xxbxcbc 211lim1xxbxbx