第4章平面任意力系

1、 第第4 4章章 平面任意力系平面任意力系 作用在剛體上的力可向剛體上任意點(diǎn)平移，平移作用在剛體上的力可向剛體上任意點(diǎn)平移，平移后附加一力偶，附加力偶的力偶矩矢等于原力對(duì)平移后附加一力偶，附加力偶的力偶矩矢等于原力對(duì)平移點(diǎn)之力矩矢。點(diǎn)之力矩矢。第四章第四章 平面任意力系平面任意力系4-1 4-1 力的平移力的平移 力線平移定理力線平移定理一、平面任意力系向作用平面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化一、平面任意力系向作用平面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化4-2 4-2 平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化平面匯交力系平面匯交力系 平面力偶系平面力偶系 1122nnFFFFFF ， ，1O12O2On()()()nMMFMMFMMF

2、 ，RFFF RxxFF RyyFF 2222RRR()()()()xyxyFFFFF RRcos()xFFiF ，RRcos()yFFjF ，1.1.平面匯交力系的合成平面匯交力系的合成 合力大小合力大小合力方向合力方向( (力系主矢力系主矢) )OO()MMMF2.2.平面力偶系的合成平面力偶系的合成 平面力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化后，得到一力和一平面力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化后，得到一力和一力偶，分別為原力系的力偶，分別為原力系的主矢主矢和和主矩主矩。主矢的作用線通過(guò)。主矢的作用線通過(guò)簡(jiǎn)化中心，其大小與方向決定于原力系各力的矢量和；簡(jiǎn)化中心，其大小與方向決定于原力系各力的矢量和；主矩作用于原

3、平面，大小等于原力系各力對(duì)簡(jiǎn)化中心之主矩作用于原平面，大小等于原力系各力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩的代數(shù)和。矩的代數(shù)和。( (力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩) )3.3.平面任意力系向作用平面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化應(yīng)用平面任意力系向作用平面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化應(yīng)用 主動(dòng)力系為平面力系，約束力為平面任意力系，主動(dòng)力系為平面力系，約束力為平面任意力系，向固定端向固定端 A 簡(jiǎn)化為一力簡(jiǎn)化為一力FA（FAx 和和 FAy 表示）和一表示）和一力偶力偶 MA 。 固定端約束固定端約束二、平面任意力系簡(jiǎn)化的最后結(jié)果二、平面任意力系簡(jiǎn)化的最后結(jié)果1.1.力系簡(jiǎn)化為合力偶力系簡(jiǎn)化為合力偶 在力系主矢的情況下，力系的主矩與簡(jiǎn)化中心的

4、位在力系主矢的情況下，力系的主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)，等于力系合力偶的力偶矩。置無(wú)關(guān)，等于力系合力偶的力偶矩。 RO00FM OAMM 2.2.力系簡(jiǎn)化為合力力系簡(jiǎn)化為合力 3.3.力系平衡力系平衡 RO00FM RO00FM RRFF ORMdF 或或RO00FM 例：重力壩受水的壓力如圖。設(shè)水深為例：重力壩受水的壓力如圖。設(shè)水深為h ，水的密度為，水的密度為 ，試求水壓力簡(jiǎn)化的結(jié)果。試求水壓力簡(jiǎn)化的結(jié)果。 解解: : 坐標(biāo)系如圖所示，以坐標(biāo)系如圖所示，以O(shè) 點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心將平面平行力點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心將平面平行力系簡(jiǎn)化系簡(jiǎn)化 ddFgy y 2R01d2hxFgy ygh R0yF 力系的主矢力系

5、的主矢 力系對(duì)力系對(duì)O 點(diǎn)的主矩點(diǎn)的主矩 3O01d3hMygy ygh 力系進(jìn)一步簡(jiǎn)化為一合力力系進(jìn)一步簡(jiǎn)化為一合力 合力作用線距點(diǎn)的距離為合力作用線距點(diǎn)的距離為 2RRR12xFFFgh OR23MOOhF 2R12xFgh 力系的主矢力系的主矢 一、平面任意力系平衡方程的基本形式一、平面任意力系平衡方程的基本形式 平面力系平衡的充分與必要條件：力系的主矢平面力系平衡的充分與必要條件：力系的主矢和力系對(duì)任一點(diǎn)的主矩分別等于零。和力系對(duì)任一點(diǎn)的主矩分別等于零。 2222RRR()()()()0 xyxyFFFFF OO()0MMF 0 xF 0yF O()0MF 平面力系平衡的充分與必要條件

6、：各力在直角平面力系平衡的充分與必要條件：各力在直角坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)分別等于零，各力坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)分別等于零，各力對(duì)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和等于零。對(duì)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和等于零。 4-3 4-3 平面任意力系的平衡條件平面任意力系的平衡條件二、平面任意力系平衡方程的其他形式二、平面任意力系平衡方程的其他形式 1.1.一力二矩式平衡方程一力二矩式平衡方程0 xF (0)yF A()0MF B()0MF 2.2.三矩式平衡方程三矩式平衡方程A()0MF B()0MF C()0MF A、B 的連線不能與軸的連線不能與軸 x（或（或 y 軸）垂直軸）垂直A、B、C 三點(diǎn)不能共線三點(diǎn)不

7、能共線 0yF O()0MF A()0MF B()0MF 三、平面平行力系的平衡條件三、平面平行力系的平衡條件1.1.一力一矩式平衡方程：一力一矩式平衡方程：y 軸與力平行軸與力平行2.2.二矩式平衡方程：二矩式平衡方程：A、B 連線不能與各力平行連線不能與各力平行 例：懸臂式簡(jiǎn)易起重機(jī)簡(jiǎn)化為圖示結(jié)構(gòu)。例：懸臂式簡(jiǎn)易起重機(jī)簡(jiǎn)化為圖示結(jié)構(gòu)。AB 是吊車梁，是吊車梁，BC 是鋼索，是鋼索，A 端支承可簡(jiǎn)化為鉸鏈支座。設(shè)已知電動(dòng)葫蘆和重物共端支承可簡(jiǎn)化為鉸鏈支座。設(shè)已知電動(dòng)葫蘆和重物共重重P = 10 kN ，梁自重，梁自重W = 5 kN ，= 30o。試求鋼索。試求鋼索BC 和鉸鏈和鉸鏈A 的約

8、束力，及鋼索受力的最大值。的約束力，及鋼索受力的最大值。A()0:MF Bsin02lWP xFl B()0:MF A()02ylPlxWFl B2PFxWl A3()2xPWFxl A()2ylxWFPl Bmax225kNFPW 0:xF ABcos0 xFF 解：以吊車梁解：以吊車梁AB 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。電動(dòng)葫蘆距示。電動(dòng)葫蘆距 A 處距離為處距離為x ，建立平衡方程，建立平衡方程 解得：解得： 例：圖示剛架，已知例：圖示剛架，已知q=3kN/m，F(xiàn)= kN，M=10 kNm，不計(jì)剛架的自重。求固定端不計(jì)剛架的自重。求固定端A處的約束力

9、。處的約束力。 解：取剛架作研究對(duì)象，解：取剛架作研究對(duì)象，受力如圖，建立圖示坐受力如圖，建立圖示坐標(biāo)系，列出平衡方程：標(biāo)系，列出平衡方程：0,4cos45020,sin4504()0,cos454sin4534023xAxyAyAAqFFFFFFqMMMFF F代入數(shù)據(jù)，解上述方程，得：代入數(shù)據(jù)，解上述方程，得：0,6kN, 12kN mAxAyAFFM26 例：試求圖示懸臂固定端例：試求圖示懸臂固定端 A 處的約束力。其中處的約束力。其中q 為均布載荷為均布載荷集度，單位為集度，單位為kN/m ，設(shè)集中力，設(shè)集中力F = ql ，集中力偶矩，集中力偶矩M = ql 2。 解：以梁解：以梁A

10、B 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程平衡方程 0:xF 0AxF 0:yF 20AyFqlFA()0:MF A220Mql lMFl A0 xF AyFql 2AMql 解得：解得： 例：邊長(zhǎng)為例：邊長(zhǎng)為a 的等邊三角形平板的等邊三角形平板 ABC 在鉛垂平面內(nèi)，用三在鉛垂平面內(nèi)，用三根沿邊長(zhǎng)方向的直桿鉸接如圖所示。根沿邊長(zhǎng)方向的直桿鉸接如圖所示。BC 邊水平，三角形平板上邊水平，三角形平板上作用一已知力偶，其力偶矩為作用一已知力偶，其力偶矩為M 。三角形平板重為。三角形平板重為P ， 桿不計(jì)桿不計(jì)自重。試求三桿對(duì)三角形平板的約束力。自重

11、。試求三桿對(duì)三角形平板的約束力。 解：以三角形平板解：以三角形平板ABC 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程圖所示。建立平衡方程 A()0:MF C302FaMB()0:MF A3022aFaPM C()0:MF B3022aFaPMA2 3333MPFaB2 3333MPFa C2 33MFa 解得：解得： 例：塔式起重機(jī)簡(jiǎn)圖如圖所示。已知機(jī)架重量例：塔式起重機(jī)簡(jiǎn)圖如圖所示。已知機(jī)架重量W ，作用線距，作用線距右軌右軌 B 的距離的距離 e ，載重，載重W1 離右軌離右軌 B 的最遠(yuǎn)距離的最遠(yuǎn)距離 l ，平衡物重為，平衡物重為W2 ，離左軌，離左軌

12、A 的距離的距離 a ，軌距，軌距 b 。要使起重機(jī)在空載和滿載且。要使起重機(jī)在空載和滿載且載重載重W1 在最遠(yuǎn)處時(shí)均不致翻倒，試確定平衡物重在最遠(yuǎn)處時(shí)均不致翻倒，試確定平衡物重W2 。 解：空載時(shí)起重機(jī)繞解：空載時(shí)起重機(jī)繞 A 點(diǎn)向點(diǎn)向左翻倒，此時(shí)左翻倒，此時(shí)FB = 0 。 所以空載時(shí)起重機(jī)不翻倒所以空載時(shí)起重機(jī)不翻倒的條件是的條件是FB 0。 A()0:MF B2()0FbWebWa 滿載時(shí)起重機(jī)繞滿載時(shí)起重機(jī)繞 B 點(diǎn)向右翻倒，此時(shí)點(diǎn)向右翻倒，此時(shí)FA = 0 。 所以滿載時(shí)起重機(jī)不翻倒的條所以滿載時(shí)起重機(jī)不翻倒的條件是件是FA 0。 2B()W ebW aFb 2()W ebWa 解

13、得：解得：B()0:MF A21()0FbWabW eWl 21A()W abWeW lFb 12WeW lWab 解得：解得： 剛體系平衡時(shí)，其中每一個(gè)剛體處于平衡剛體系平衡時(shí)，其中每一個(gè)剛體處于平衡 ，可選擇，可選擇每個(gè)剛體為研究對(duì)象列出平衡方程或選擇剛體系或某部每個(gè)剛體為研究對(duì)象列出平衡方程或選擇剛體系或某部分為研究對(duì)象將其剛化為一個(gè)剛體，列出平衡方程。分為研究對(duì)象將其剛化為一個(gè)剛體，列出平衡方程。4-4 4-4 剛體系的平衡剛體系的平衡 分析：分析： 以剛體系或某部分為研究對(duì)象列出的平衡方程，可以剛體系或某部分為研究對(duì)象列出的平衡方程，可通過(guò)剛體系中單個(gè)剛體的平衡方程線性變換得到，與所

14、通過(guò)剛體系中單個(gè)剛體的平衡方程線性變換得到，與所有單個(gè)剛體平衡方程不互相獨(dú)立。只要建立的方程中有有單個(gè)剛體平衡方程不互相獨(dú)立。只要建立的方程中有新的力出現(xiàn)，則與已建立的方程必獨(dú)立。新的力出現(xiàn)，則與已建立的方程必獨(dú)立。例：例：圖示結(jié)構(gòu)，輪重為圖示結(jié)構(gòu)，輪重為P，半徑為半徑為r，BDE為一直角折桿，為一直角折桿，A為為固定鉸鏈，固定鉸鏈，B、E為中間鉸鏈，為中間鉸鏈，D處為可動(dòng)鉸鏈，處為可動(dòng)鉸鏈，BC=CA=l/2，不計(jì)桿重和摩擦不計(jì)桿重和摩擦. .求求A、B、D處的約束力及輪作用在處的約束力及輪作用在ACB桿上桿上的壓力。的壓力。 解：解：先取整體為研究對(duì)象，受力如圖先取整體為研究對(duì)象，受力如圖

15、a所示，所受力系為一平面任所示，所受力系為一平面任意力系。意力系。 0)(FAM02rFlPDrPlFD20 xF0AxDFFrPlFAx20yF0 PFAyPFAy0,xF 0,DBxFFrPlFBx2C()0,MF0,2ByDlFFr PFByB()0,MF()0,2NCDlFPFrPFNC2再研究再研究BDE桿及輪，受力如圖桿及輪，受力如圖b所示，所受力系也為一平面任意力系所示，所受力系也為一平面任意力系 圖圖a所示結(jié)構(gòu)，已知：所示結(jié)構(gòu)，已知：DEAB ，；在桿在桿DE上作用一順轉(zhuǎn)的矩為上作用一順轉(zhuǎn)的矩為M的力偶，的力偶，D端鉸于桿端鉸于桿AC上，上，E端擱在光滑的端擱在光滑的BC桿上，

16、桿重不計(jì)。試求鉸鏈桿上，桿重不計(jì)。試求鉸鏈A、B處的約束力。處的約束力。90 ,ACB3 ,ACllBC4例：例：先研究先研究DE，其上的主動(dòng)力僅有一個(gè)力偶，則其上的主動(dòng)力僅有一個(gè)力偶，則D、E處的約束力必構(gòu)處的約束力必構(gòu)成力偶，以滿足平面力偶系的平衡方程。由于成力偶，以滿足平面力偶系的平衡方程。由于E端為光滑面類約束，端為光滑面類約束，F(xiàn)NE的方位應(yīng)垂直于的方位應(yīng)垂直于BC桿，從而桿，從而D處的約束力處的約束力FD的方位平行于的方位平行于AC。桿桿DE受力如圖受力如圖b所示所示 再研究桿再研究桿AC，受力如受力如圖圖c所示。所示。 0)(FCM30,AxFl0AxF所以所以A處約束力沿處約束

17、力沿AC方位方位 最后研究整個(gè)結(jié)構(gòu)，受力如圖最后研究整個(gè)結(jié)構(gòu)，受力如圖a示，由平面力偶系的平衡示，由平面力偶系的平衡條件可知，條件可知，A、B處的約束力構(gòu)成力偶。處的約束力構(gòu)成力偶。 0,M 04MlFAylMFFByAy4 例：圖所示三角形平板例：圖所示三角形平板 A 點(diǎn)為鉸鏈支座，銷釘點(diǎn)為鉸鏈支座，銷釘 C 固定在固定在桿桿DE 上，并與滑道光滑接觸。不計(jì)各構(gòu)件重量，試求鉸鏈上，并與滑道光滑接觸。不計(jì)各構(gòu)件重量，試求鉸鏈支座支座 A 和和 D 約束力。約束力。 解：以三角形平板解：以三角形平板 ABC 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程如圖所示。建立

18、平衡方程 A()0:MF C0.2100 0.140F 0:xF AC100sin0 xFF 0:yF ACcos0yFF 由幾何關(guān)系可得由幾何關(guān)系可得 解得：解得： sin0.6 cos0.8 A58NxF A56NyF C70NF A58NxF A56NyF C70NF 以桿以桿 DE 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程平衡方程 解得：解得： E()0:MF DC0.2sin0.080 xFF 0:yF DCcos0yFF D16.8NxF D56NyF 例：承重框架如圖所示，例：承重框架如圖所示，A、D、E 均為鉸鏈，各桿件和均為鉸鏈

19、，各桿件和滑輪的重量不計(jì)。試求滑輪的重量不計(jì)。試求A、D、E 點(diǎn)的約束力。點(diǎn)的約束力。 解：以整個(gè)剛體系統(tǒng)為研究對(duì)象，受解：以整個(gè)剛體系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程 A()0:MF E200 0.250.20 xF 0:xF AE0 xxFF 0:yF AE2000yyFF A250NxF E250NxF 解得：解得： 以桿以桿DE 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程如圖所示。建立平衡方程 D()0:MF 0:xF 0:yF A250NxF E250NxF 解得：解得： EE0.20.30.150

20、xyFFF DE0 xxFFF DE0yyFFE266.7NyF D450NxF D266.7NyF A66.7NyF 例：結(jié)構(gòu)如圖所示。已知例：結(jié)構(gòu)如圖所示。已知AB = BC = 1m ，DK = KE ，F(xiàn) = 1732kN ，Q = 1000kN ，各桿重量不計(jì)，試求結(jié)構(gòu)的外約束力。，各桿重量不計(jì)，試求結(jié)構(gòu)的外約束力。 以桿以桿DE 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程如圖所示。建立平衡方程 E()0:MF oDcos300FEDF EK 0:xF oEsin300 xFF 0:yF oEDcos300yFFFD1000kNF E866kNxF E

21、500kNyF 解得：解得： D1000kNF E866kNxF E500kNyF CD1000kNFF 以桿以桿AC 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程如圖所示。建立平衡方程 解得：解得： A()0:MF 0:xF 0:yF AC0MW ABFAC A0 xF AC0yFWFA0 xF A2000kNyF A3000kN mM 例：圖所示構(gòu)架由桿例：圖所示構(gòu)架由桿AC 、CE 及及 BH 鉸接而成。桿鉸接而成。桿CE和和 E 端用滾子擱置在光滑面上，桿端用滾子擱置在光滑面上，桿BH 水平，在水平，在H 點(diǎn)作用一點(diǎn)作用一鉛垂力鉛垂力F1 = 1kN 。銷

22、釘。銷釘C 上作用一水平力上作用一水平力F2 = 600N 和一鉛垂和一鉛垂力力F3 = 600N ，不計(jì)各桿重量。試求，不計(jì)各桿重量。試求A、B、D處的約束力。處的約束力。 解：以整個(gè)剛體系統(tǒng)為研究對(duì)象，受解：以整個(gè)剛體系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程 A()0:MF 0:xF 0:yF 解得：解得： oE123sin4522.25210FFFF oA2Ecos450 xFFF oA3E1sin450yFFFF E2864NF A1425NxF A42NyF 以桿以桿BH 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程為研究對(duì)象，受力圖

23、和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程 B()0:MF 0:xF D()0:MF D111.750yFF B110.750yFF BD0 xxFF B750NyF D1750NyF 解得：解得： A1425NxF A42NyF 以桿以桿AC 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程 BB750NyyFF C()0:MF AABB2110.50 xyxyFFFF 解得：解得： B2900NxF BB2900NxxFF DB2900NxxFF 1.1.靜定問(wèn)題靜定問(wèn)題 剛體系中有剛體系中有n1 個(gè)受平面任意力系作用的剛體，個(gè)受平面任意力系作用的剛體，n2 個(gè)受個(gè)受平面匯交力系或平面平行力系作用的剛體，平面匯交力系或平面平行力系作用的剛體，n3 個(gè)受平面力個(gè)受平面力偶系或二力作用的剛體