第五章(第6,7,8節(jié))多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

1、多自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)多自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分振型分析析 目前，只介紹了離散系統(tǒng)的自由振動(dòng)，并在第目前，只介紹了離散系統(tǒng)的自由振動(dòng)，并在第5.4節(jié)中討論了如何用振型分析方法來(lái)確定一個(gè)節(jié)中討論了如何用振型分析方法來(lái)確定一個(gè)n自由度無(wú)自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)。阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)。 振型分析振型分析能夠用來(lái)導(dǎo)出無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的能夠用來(lái)導(dǎo)出無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)，在某些情況下，也可以導(dǎo)出有阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)。響應(yīng)，在某些情況下，也可以導(dǎo)出有阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)。 不計(jì)阻尼時(shí)，不計(jì)阻尼時(shí)，n自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程為自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)微分方

2、程為 tttMqKqF(5.6-1)式中式中M和和K為為nn階的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，階的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，n維向量維向量q(t)和和F(t) 分別表示廣義坐標(biāo)和廣義力。分別表示廣義坐標(biāo)和廣義力。 方程方程(5.6-1)構(gòu)成了構(gòu)成了n個(gè)聯(lián)立的個(gè)聯(lián)立的常系數(shù)的常微分方常系數(shù)的常微分方程組。程組。雖然這些方程是線性的，但求解也并非是件容易雖然這些方程是線性的，但求解也并非是件容易的事。的事。 用用振型分析振型分析來(lái)求解就要方便得多，振型分析的基來(lái)求解就要方便得多，振型分析的基本思想就是將聯(lián)立的方程組變換成為互不相關(guān)的方程組，本思想就是將聯(lián)立的方程組變換成為互不相關(guān)的方程組，其其變換矩陣就是振型矩陣

3、變換矩陣就是振型矩陣。 為了用振型分析去求解方程為了用振型分析去求解方程(5.6-1)，首先必須求解首先必須求解特征值問(wèn)題特征值問(wèn)題，即，即2KuMu(5.6-2)式中式中u為振型矩陣，為振型矩陣， 2是固有頻率平方的對(duì)角矩陣。振是固有頻率平方的對(duì)角矩陣。振型矩陣可以正則化，使其滿足型矩陣可以正則化，使其滿足TT, I2u Muu Ku (5.6-3)多自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)多自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分振型分析析 引入正則坐標(biāo)，作如下的線性變換引入正則坐標(biāo)，作如下的線性變換式中式中 (t)為系統(tǒng)的為系統(tǒng)的正則坐標(biāo)正則坐標(biāo)。 因?yàn)橐驗(yàn)閡是一個(gè)常數(shù)矩陣是一個(gè)常

4、數(shù)矩陣,所以所以 和和 之間存在著之間存在著同樣的變換。把式同樣的變換。把式(5.6-4)代入方程代入方程(5.6-1)，得，得( ) tq ( ) t ttqu(5.6-4) tttMuKuF(5.6-5)方程方程(5.6-5)左乘以左乘以u(píng)T，有，有 TTTtttu Muu Kuu F(5.6-6)考慮到方程考慮到方程(5.6-3)，得到得到 ttt2 N(5.6-7)式中式中N(t)=uTF(t)是與廣義坐標(biāo)向量是與廣義坐標(biāo)向量 (t)相應(yīng)的相應(yīng)的n維廣義力維廣義力向量，即向量，即正則激勵(lì)正則激勵(lì)。 多自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)多自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型

5、分振型分析析 因?yàn)橐驗(yàn)?2是對(duì)角矩陣，故方程是對(duì)角矩陣，故方程(5.6-7)表示一組互不相表示一組互不相關(guān)的方程，即關(guān)的方程，即 tNttrrrr2 ), 2 , 1(nr(5.6-8)方程方程(5.6-8)具有與單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程相同的具有與單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程相同的結(jié)構(gòu)，可作為結(jié)構(gòu)，可作為n個(gè)獨(dú)立的單自由度系統(tǒng)來(lái)處理。個(gè)獨(dú)立的單自由度系統(tǒng)來(lái)處理。 設(shè)廣義坐標(biāo)設(shè)廣義坐標(biāo)q(t)的初始條件為的初始條件為 000,0qqqq(5.6-9)由式由式(5.6-4)的變換的變換 (t)=u-1q(t)，有有 1100000,0u qu q(5.6-10)多自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激振的響應(yīng)

6、求解推導(dǎo)多自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分振型分析析也可以在坐標(biāo)變換式也可以在坐標(biāo)變換式(5.6-4)兩邊同時(shí)左乘兩邊同時(shí)左乘uTM，得，得TT0000,u Mqu Mq(5.6-11) 由初始條件引起方程由初始條件引起方程(5.6-8)的的齊次解齊次解為為 tttrrrrrrsincos00), 2 , 1(nr (5.6-12)式中式中 和和 為第為第r階模態(tài)在正則坐標(biāo)中的初始條件。階模態(tài)在正則坐標(biāo)中的初始條件。 0r0r 任意激勵(lì)任意激勵(lì)Nr(t)的特解可以由卷積積分給出，即的特解可以由卷積積分給出，即 trrrrtNt 0 dsin1), 2 , 1(nr(5.6-13)

7、多自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)多自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分振型分析析自由振動(dòng)初始條件的響應(yīng)自由振動(dòng)初始條件的響應(yīng)所以第所以第r階模態(tài)的全解是由激勵(lì)階模態(tài)的全解是由激勵(lì)Nr(t)引起的響應(yīng)和初始引起的響應(yīng)和初始條件引起的響應(yīng)之和條件引起的響應(yīng)之和廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)q(t)的響應(yīng)是廣義坐標(biāo)的響應(yīng)是廣義坐標(biāo) (t)的響應(yīng)的疊加，則有的響應(yīng)的疊加，則有因此，將正則坐標(biāo)的全解因此，將正則坐標(biāo)的全解(5.6-14)代入方程代入方程(5.6-15)就可就可以得到無(wú)阻尼以得到無(wú)阻尼n自由度系統(tǒng)的全部響應(yīng)。自由度系統(tǒng)的全部響應(yīng)。 1nrrrtttquu(5.6-15)(5.6-14

8、) trrrrrrrrrtNttt 0 00dsin1sincos多自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)多自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分振型分析析例題：?jiǎn)挝浑A躍激勵(lì)初始條件的響應(yīng)例題：?jiǎn)挝浑A躍激勵(lì)初始條件的響應(yīng)（例（例5.6-1） 例例5.6-1 考慮圖考慮圖5.6-1所示系統(tǒng)，在系統(tǒng)上作用有激所示系統(tǒng)，在系統(tǒng)上作用有激勵(lì)向量勵(lì)向量F(t)=0 F0u(t)T，u(t)為單位階躍函數(shù)。求在零初為單位階躍函數(shù)。求在零初始條件下系統(tǒng)的響應(yīng)。始條件下系統(tǒng)的響應(yīng)。 解：解：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為了用振型分析方法求解，為了用振型分析方法求解，首先首先要解特征值問(wèn)題要解

9、特征值問(wèn)題，得，得 11220102102120qqmkqqF u t 111 0000000.796226,1 366025.k.mu圖圖 5.9-1 221 0000001 538188,0 366025.k.mu對(duì)振型向量進(jìn)行正則化對(duì)振型向量進(jìn)行正則化，而后把振型向量排列成振型矩，而后把振型向量排列成振型矩陣陣0.4597010.88807410.6279630.325057mu利用振型矩陣作線性變換利用振型矩陣作線性變換 T00.6279630.325057Fu tmN tu F t例題：?jiǎn)挝浑A躍激勵(lì)初始條件的響應(yīng)例題：?jiǎn)挝浑A躍激勵(lì)初始條件的響應(yīng)（例（例5.6-1） tmFtumFtt

10、1210 0 1101cos10.627963dsin1627963. 0 tmFtumFtt2220 0 2202cos10.325057dsin1325057. 0將上式代入方程將上式代入方程(5.6-14)，得，得例題：?jiǎn)挝浑A躍激勵(lì)初始條件的響應(yīng)例題：?jiǎn)挝浑A躍激勵(lì)初始條件的響應(yīng)（例（例5.6-1）那么廣義坐標(biāo)那么廣義坐標(biāo)q(t)的響應(yīng)為的響應(yīng)為 tmk.tmk.kFttmFtq5381881cos112200907962260cos14552950 cos11325057. 0888074. 0cos11627963. 0459701. 0022212101 tmk.tmk.kFttmF

11、tq5381881cos104465807962260cos16219450 cos11325057. 0cos11627963. 002222121202例題：?jiǎn)挝浑A躍激勵(lì)初始條件的響應(yīng)例題：?jiǎn)挝浑A躍激勵(lì)初始條件的響應(yīng)（例（例5.6-1） 例例5.6-2 若圖若圖5.6-1所示系統(tǒng)的作用力向量為所示系統(tǒng)的作用力向量為F(t)=0 F0sin tT，求系統(tǒng)的響應(yīng)。，求系統(tǒng)的響應(yīng)。 解：解：根據(jù)前題，利用振型矩陣根據(jù)前題，利用振型矩陣u進(jìn)行變換的正則激進(jìn)行變換的正則激勵(lì)向量為勵(lì)向量為 T00.627963sin0.325057FtmN tu F t將上式代入將上式代入(5.6-14)，得，得 d

12、sinsin1627963. 0 0 1101ttmFt2121121011sinsin0.627963ttmF例題：受簡(jiǎn)諧激勵(lì)系統(tǒng)的響應(yīng)例題：受簡(jiǎn)諧激勵(lì)系統(tǒng)的響應(yīng)（例（例5.6-2）最后，得最后，得 dsinsin1325057. 0 0 1202ttmFt2222222011sinsin325057. 0ttmF 21211210111sinsin1455295. 0ttmFtq222222211sinsin1122009. 0tt例題：受簡(jiǎn)諧激勵(lì)系統(tǒng)的響應(yīng)例題：受簡(jiǎn)諧激勵(lì)系統(tǒng)的響應(yīng)（例（例5.6-2）可見(jiàn)，由方程可見(jiàn)，由方程(5.6-14)得到的解，包含由外加激得到的解，包含由外加激勵(lì)作

13、用于系統(tǒng)引起的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)。勵(lì)作用于系統(tǒng)引起的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)。當(dāng)存當(dāng)存在阻尼時(shí)，瞬態(tài)響應(yīng)將很快衰減。若只考慮強(qiáng)迫在阻尼時(shí)，瞬態(tài)響應(yīng)將很快衰減。若只考慮強(qiáng)迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，則只取則只取sint項(xiàng)。項(xiàng)。 21211210211sinsin1621945. 0ttmFtq222222211sinsin1044658. 0tt例題：受簡(jiǎn)諧激勵(lì)系統(tǒng)的響應(yīng)例題：受簡(jiǎn)諧激勵(lì)系統(tǒng)的響應(yīng)（例（例5.6-2）多自由度系統(tǒng)的阻尼多自由度系統(tǒng)的阻尼阻尼概述阻尼概述 在工程實(shí)際中，在工程實(shí)際中，阻尼總是存在的阻尼總是存在的( (如摩擦、如摩擦、速度平方阻尼、材料阻尼、結(jié)構(gòu)阻尼、粘性阻尼速度平方

14、阻尼、材料阻尼、結(jié)構(gòu)阻尼、粘性阻尼等等) )，并對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)產(chǎn)生影響。，并對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)產(chǎn)生影響。 由于各種阻尼的機(jī)理比較復(fù)雜，在線性系由于各種阻尼的機(jī)理比較復(fù)雜，在線性系統(tǒng)振動(dòng)分析計(jì)算中，需統(tǒng)振動(dòng)分析計(jì)算中，需將各種阻尼簡(jiǎn)化為粘性阻將各種阻尼簡(jiǎn)化為粘性阻尼，其阻尼力的大小與速度的一次方成正比尼，其阻尼力的大小與速度的一次方成正比。 阻尼系數(shù)須阻尼系數(shù)須由工程上各種理論與經(jīng)驗(yàn)公式由工程上各種理論與經(jīng)驗(yàn)公式給出，或直接根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定。給出，或直接根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定。多自由度系統(tǒng)的阻尼多自由度系統(tǒng)的阻尼阻尼矩陣的特點(diǎn)及幾種常用的阻尼阻尼矩陣的特點(diǎn)及幾種常用的阻尼 對(duì)于一般粘性阻尼的多自由度系統(tǒng)，在外

15、激勵(lì)的作對(duì)于一般粘性阻尼的多自由度系統(tǒng)，在外激勵(lì)的作用下，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為用下，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為 ttttMqCqKqF(5.7-1) 式中質(zhì)量矩陣式中質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣、剛度矩陣K和外激勵(lì)向量和外激勵(lì)向量F(t)的意義與的意義與前面相同，而阻尼矩陣前面相同，而阻尼矩陣C的形式為的形式為ijCcnji, 2 , 1,(5.7-2) 阻尼矩陣阻尼矩陣C一般為正定或半正定的對(duì)稱矩陣。一般為正定或半正定的對(duì)稱矩陣。 1. .比例阻尼：比例阻尼：若阻尼矩陣若阻尼矩陣C恰好與質(zhì)量矩陣恰好與質(zhì)量矩陣M或剛或剛度矩陣度矩陣K成正比，或者成正比，或者C是是M與與K的某種線性組合，即的某種線性組合，即

16、abCMK (5.7-3)式中式中a和和b為正的常數(shù)，稱這種阻尼為比例阻尼。為正的常數(shù)，稱這種阻尼為比例阻尼。 多自由度系統(tǒng)的阻尼多自由度系統(tǒng)的阻尼 對(duì)這種比例阻尼來(lái)說(shuō)，當(dāng)廣義坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成正則坐標(biāo)對(duì)這種比例阻尼來(lái)說(shuō)，當(dāng)廣義坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成正則坐標(biāo)時(shí)，時(shí)，在正則坐標(biāo)中的阻尼矩陣將是一個(gè)對(duì)角矩陣在正則坐標(biāo)中的阻尼矩陣將是一個(gè)對(duì)角矩陣，即使，即使用無(wú)阻尼系統(tǒng)的正則振型矩陣用無(wú)阻尼系統(tǒng)的正則振型矩陣u可以使可以使C對(duì)角化，即有對(duì)角化，即有TTTT21222nuababababababCuuMK uu Muu KuI(5.7-4)幾種常用的阻尼幾種常用的阻尼1 比例阻尼比例阻尼多自由度系統(tǒng)的阻尼多自由度系統(tǒng)的阻

17、尼稱稱 r為為振型比例阻尼振型比例阻尼。可以看出，令?？梢钥闯觯頰=0，而，而b0有有 這意味著在各個(gè)振型振動(dòng)中，這意味著在各個(gè)振型振動(dòng)中，阻尼正比于該振型所對(duì)阻尼正比于該振型所對(duì)應(yīng)的固有頻率應(yīng)的固有頻率。令令22rrrab (5.7-5)或?qū)懗苫驅(qū)懗?2rrrab(5.7-6)2rrb(5.7-7)幾種常用的阻尼幾種常用的阻尼2 振型比例阻尼振型比例阻尼多自由度系統(tǒng)的阻尼多自由度系統(tǒng)的阻尼 適當(dāng)?shù)剡x取適當(dāng)?shù)剡x取a和和b的值，就有可近似地反映實(shí)際振的值，就有可近似地反映實(shí)際振動(dòng)中出現(xiàn)的傾向性。動(dòng)中出現(xiàn)的傾向性。幾種常用的阻尼幾種常用的阻尼2振型比例阻尼振型比例阻尼2rra(5.7-8)這意味

18、著在各個(gè)振型振動(dòng)中，這意味著在各個(gè)振型振動(dòng)中，阻尼反比于該振型所對(duì)應(yīng)阻尼反比于該振型所對(duì)應(yīng)的固有頻率。的固有頻率。 若若b=0，而，而a0，有，有多自由度系統(tǒng)的阻尼多自由度系統(tǒng)的阻尼 再討論方程再討論方程（5.7-1）的解耦問(wèn)題?？梢钥吹剑欠竦慕怦顔?wèn)題。可以看到，是否能利用正則坐標(biāo)變換進(jìn)行解耦，關(guān)鍵在于阻尼矩陣是否能利用正則坐標(biāo)變換進(jìn)行解耦，關(guān)鍵在于阻尼矩陣是否能對(duì)角化。能對(duì)角化。 有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)解耦問(wèn)題有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)解耦問(wèn)題 uTCu一般不是對(duì)角陣。一般不是對(duì)角陣。在工程實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)中，在工程實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)中，經(jīng)常遇到的是阻尼比較小的情況，經(jīng)常遇到的是阻尼比較小的情況，這時(shí)，由這時(shí)，由u

19、TCu的非對(duì)的非對(duì)角項(xiàng)引起的耦合很少出現(xiàn)大于或者遠(yuǎn)大于對(duì)角項(xiàng)的情況。角項(xiàng)引起的耦合很少出現(xiàn)大于或者遠(yuǎn)大于對(duì)角項(xiàng)的情況。因此，略去因此，略去uTCu非對(duì)角線元素組成的各阻尼項(xiàng)，即令非對(duì)角線元素組成的各阻尼項(xiàng)，即令uTCu的所有非對(duì)角線元素的值為零，不會(huì)引起很大的誤的所有非對(duì)角線元素的值為零，不會(huì)引起很大的誤差。差。 多自由度系統(tǒng)的阻尼多自由度系統(tǒng)的阻尼 對(duì)應(yīng)正則坐標(biāo)的阻尼矩陣就可以表為對(duì)角矩陣，即對(duì)應(yīng)正則坐標(biāo)的阻尼矩陣就可以表為對(duì)角矩陣，即1122T222nn u Cu(5.7-9)因此，就可以把振型疊加法有效地推廣到有阻尼的多自因此，就可以把振型疊加法有效地推廣到有阻尼的多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題

20、的分析求解。由度系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題的分析求解。 有阻尼的多自由度系統(tǒng)的正則坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)微分方程有阻尼的多自由度系統(tǒng)的正則坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)微分方程為為 22rrr t t tN t(5.7-10)有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)解耦問(wèn)題有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)解耦問(wèn)題多自由度系統(tǒng)的阻尼多自由度系統(tǒng)的阻尼 實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明，它一般實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明，它一般適用于振型阻尼比適用于振型阻尼比r不大不大于于0.2的弱阻尼系統(tǒng)。的弱阻尼系統(tǒng)?；蛘归_(kāi)為或展開(kāi)為(5.7-11) 22rrrrrrrtttNt nr, 2 , 1 若系統(tǒng)的阻尼較大，不能用無(wú)阻尼系統(tǒng)的振型矩若系統(tǒng)的阻尼較大，不能用無(wú)阻尼系統(tǒng)的振型矩陣使方程解耦，即阻尼矩陣陣使方程解耦，即阻尼矩陣

21、C不能對(duì)角化，也有一般的不能對(duì)角化，也有一般的理論適用于這種情況，它將包含復(fù)特征值和復(fù)特征向量，理論適用于這種情況，它將包含復(fù)特征值和復(fù)特征向量，這個(gè)問(wèn)題已超出了本書(shū)的范圍。這個(gè)問(wèn)題已超出了本書(shū)的范圍。 有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)解耦問(wèn)題有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)解耦問(wèn)題有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)-振型疊加法振型疊加法 對(duì)于有阻尼的多自由度系統(tǒng)，在外激勵(lì)的作用下，對(duì)于有阻尼的多自由度系統(tǒng)，在外激勵(lì)的作用下，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為 Mq tCq tKq tF t 假設(shè)有粘性阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程中的阻尼矩陣假設(shè)有粘性阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程中的阻尼矩陣C可以實(shí)現(xiàn)對(duì)角化，可以實(shí)現(xiàn)

22、對(duì)角化，利用正則坐標(biāo)變換解耦后，得到利用正則坐標(biāo)變換解耦后，得到有有阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為 22rrrrrrrtttNt nr, 2 , 1根據(jù)式根據(jù)式(5.7-9)得振型阻尼比得振型阻尼比 r為為 T2rrrruCunr, 2 , 1(5.8-1)多自由度有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)多自由度有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分振型分析析有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)-振型疊加法振型疊加法對(duì)應(yīng)第對(duì)應(yīng)第r階正則坐標(biāo)階正則坐標(biāo) r(t)模態(tài)力向量為模態(tài)力向量為 TrrNtuF tnr, 2 , 1(5.8-2) 激勵(lì)類型：激勵(lì)類型：簡(jiǎn)諧激勵(lì)

23、；簡(jiǎn)諧激勵(lì)；周期激勵(lì)；周期激勵(lì)；任意激勵(lì)。任意激勵(lì)。多自由度有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)多自由度有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分振型分析析有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)-振型疊加法振型疊加法1簡(jiǎn)諧激勵(lì)簡(jiǎn)諧激勵(lì) 假定一個(gè)具有粘性阻尼的多自由度系統(tǒng)，它的各廣假定一個(gè)具有粘性阻尼的多自由度系統(tǒng)，它的各廣義坐標(biāo)上有同頻率、同相位的簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用。義坐標(biāo)上有同頻率、同相位的簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用。令令將方程將方程(5.7-11)寫(xiě)程復(fù)數(shù)形式寫(xiě)程復(fù)數(shù)形式 sint0F tF(5.8-3) 202sin()rrrrrrrtttNt nr, 2 , 1(5.8-4)式中式中 T0rrN

24、0uF(5.8-5)多自由度有阻尼系統(tǒng)對(duì)多自由度有阻尼系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激振簡(jiǎn)諧激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分振型分析析有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)-振型疊加法振型疊加法式中式中這里這里Hr()，r和和r分別為相應(yīng)于正則坐標(biāo)的放大因子，分別為相應(yīng)于正則坐標(biāo)的放大因子，相位角和頻率比。相位角和頻率比。 則正則坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為則正則坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 02sin(-)rrrrrNtHt (5.8-6) 222112rrrrH (5.8-7)122tg1rrrr (5.8-8)rr(5.8-9)多自由度有阻尼系統(tǒng)對(duì)多自由度有阻尼系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激振簡(jiǎn)諧激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)的響應(yīng)求解推導(dǎo)

25、振型分振型分析析有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)-振型疊加法振型疊加法因此因此系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以表示為可以表示為(5.8-10) 02222sin12rrrrrrrNtt 則則原廣義坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)原廣義坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為為 1T022221sin12nrrrrrnrrrrrrtt q tuuuF(5.8-11)多自由度有阻尼系統(tǒng)對(duì)多自由度有阻尼系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激振簡(jiǎn)諧激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分振型分析析有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)-振型疊加法振型疊加法 不難看出，當(dāng)外激勵(lì)頻率不難看出，當(dāng)外激勵(lì)頻率與系統(tǒng)第與系統(tǒng)第

26、r階固有頻率階固有頻率r值比較接近時(shí)，即值比較接近時(shí)，即r=/r1，這時(shí)第，這時(shí)第r階正則坐標(biāo)階正則坐標(biāo)r(t)的穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅值就會(huì)很大，這與單自由度系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅值就會(huì)很大，這與單自由度系統(tǒng)的共振現(xiàn)象是完全類似的。的共振現(xiàn)象是完全類似的。 2周期激勵(lì)周期激勵(lì) 如果系統(tǒng)各坐標(biāo)上作用的外激勵(lì)為具有同一周期的如果系統(tǒng)各坐標(biāo)上作用的外激勵(lì)為具有同一周期的周期力，則可將各外力周期力，則可將各外力先按傅里葉級(jí)數(shù)先按傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，即展開(kāi)，即 10sincos2jjjrtjbtjaatN(5.8-12)式中系數(shù)式中系數(shù)a0，aj和和bj可用第三章可用第三章3.2節(jié)給出的公式計(jì)算。節(jié)給出的公

27、式計(jì)算。有阻尼系統(tǒng)對(duì)有阻尼系統(tǒng)對(duì)一般周期激振一般周期激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分析振型分析有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)-振型疊加法振型疊加法 把外激勵(lì)各簡(jiǎn)諧分量所引起的系統(tǒng)各穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)把外激勵(lì)各簡(jiǎn)諧分量所引起的系統(tǒng)各穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)解分別求出，然后將各解疊加起來(lái)，就得到系統(tǒng)在這種解分別求出，然后將各解疊加起來(lái)，就得到系統(tǒng)在這種周期力作用下的響應(yīng)周期力作用下的響應(yīng) 102sincos21jrjjrjjrjrrtjbtjajHat(5.8-13)式中式中 2222112rjrrrHjjj(5.8-14)1222tg1rrrjrjj(5.8-15)rr(5.8-16)

28、有阻尼系統(tǒng)對(duì)有阻尼系統(tǒng)對(duì)一般周期激振一般周期激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分析振型分析有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)-振型疊加法振型疊加法 對(duì)于任意階正則坐標(biāo)響應(yīng)對(duì)于任意階正則坐標(biāo)響應(yīng)r(t) (r=1,2,n)，是由是由各個(gè)不同頻率的激勵(lì)引起的響應(yīng)疊加而成。各個(gè)不同頻率的激勵(lì)引起的響應(yīng)疊加而成。 因而，就一般周期性激勵(lì)函數(shù)來(lái)說(shuō)，產(chǎn)生共振的因而，就一般周期性激勵(lì)函數(shù)來(lái)說(shuō)，產(chǎn)生共振的可能性要比簡(jiǎn)諧函數(shù)大的多。所以很難預(yù)料各振型中哪可能性要比簡(jiǎn)諧函數(shù)大的多。所以很難預(yù)料各振型中哪一振型將受到激勵(lì)的強(qiáng)烈影響。一振型將受到激勵(lì)的強(qiáng)烈影響。 但是，當(dāng)激勵(lì)函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù)之后

29、，每一個(gè)但是，當(dāng)激勵(lì)函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù)之后，每一個(gè)激勵(lì)頻率激勵(lì)頻率j 可以和每個(gè)固有頻率可以和每個(gè)固有頻率 r相比較，從而預(yù)先推相比較，從而預(yù)先推測(cè)出強(qiáng)烈振動(dòng)所在。測(cè)出強(qiáng)烈振動(dòng)所在。 有阻尼系統(tǒng)對(duì)有阻尼系統(tǒng)對(duì)一般周期激振一般周期激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分析振型分析有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)-振型疊加法振型疊加法原坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為原坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 10211cos2sinnrrrrnrjjrjrjrjrjtaHjaj tbj tq tuu(5.8-17)3任意激勵(lì)任意激勵(lì) 對(duì)于外力是一般任意隨時(shí)間變化的激勵(lì)，用振型疊對(duì)于外力是一般任意隨時(shí)間變化的激勵(lì)，用振型疊加法也很容易求出各廣義坐標(biāo)的響應(yīng)。加法也很容易求出各廣義坐標(biāo)的響應(yīng)。 有阻尼系統(tǒng)對(duì)有阻尼系統(tǒng)對(duì)一般周期激振一般周期激振的響應(yīng)求解推導(dǎo)的響應(yīng)求解推導(dǎo)振型分析振型分析有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)-振型疊加法振型疊加法 000 0ecossin1e