第4章 費(fèi)率厘定

1、4.1 基本術(shù)語(yǔ)危險(xiǎn)（風(fēng)險(xiǎn)）單位危險(xiǎn)（風(fēng)險(xiǎn)）單位危險(xiǎn)（風(fēng)險(xiǎn)）單位危險(xiǎn)（風(fēng)險(xiǎn)）單位(exposure unit)：風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行度量的基本單位，不同的險(xiǎn)種有不同的風(fēng)險(xiǎn)單位；承保（到期）危險(xiǎn)承保（到期）危險(xiǎn)(written exposures)：指一定時(shí)期內(nèi)保險(xiǎn)人已經(jīng)簽訂了保險(xiǎn)合同的風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)；承擔(dān)危險(xiǎn)承擔(dān)危險(xiǎn)(earned exposures)：指各個(gè)相應(yīng)時(shí)間內(nèi)已經(jīng)承擔(dān)責(zé)任的危險(xiǎn)單位數(shù)量；有效危險(xiǎn)有效危險(xiǎn)(in-force exposures)：指在一個(gè)給定的時(shí)刻危險(xiǎn)單位數(shù)量。索賠索賠索賠索賠(Claim)：是指保險(xiǎn)事故發(fā)生后，索賠人索賠人(claimant)根據(jù)保險(xiǎn)合同的條款提出的賠付要求。事故日期

2、事故日期(Accident date)：引起索賠的事故發(fā)生日期。報(bào)告日期報(bào)告日期(report date)：保險(xiǎn)人收到索賠通知的日期。報(bào)告延遲報(bào)告延遲(reporting lag)：從發(fā)生到發(fā)現(xiàn)并報(bào)告所需要的時(shí)間導(dǎo)致的延遲。理算延遲理算延遲(settlement lag)：在非壽險(xiǎn)事故報(bào)告后，往往不能立即認(rèn)定責(zé)任達(dá)成賠付協(xié)議，期間所需要的時(shí)間導(dǎo)致的延遲。結(jié)案延遲：結(jié)案延遲：對(duì)一次性賠付的案件來說，理算完畢即可結(jié)案。對(duì)多次定期賠付的案件來說，理算完畢和結(jié)案之間的延遲會(huì)很長(zhǎng)。索賠頻率索賠頻率索賠頻率索賠頻率(frequency)：F為索賠頻率；C為索賠總次數(shù)；E為危險(xiǎn)單位總數(shù)2001年有5,750

3、個(gè)車年的承擔(dān)危險(xiǎn)，并且有287個(gè)事故日期在2001年的索賠，那么索賠頻率為多少？ECF l損失和損失調(diào)整費(fèi)用損失和損失調(diào)整費(fèi)用損失損失(losses)：已付和應(yīng)付給索賠人的數(shù)額。已付損失已付損失(paid losses)：在一個(gè)特定時(shí)期實(shí)際已經(jīng)支付給索賠人的損失。個(gè)案準(zhǔn)備金個(gè)案準(zhǔn)備金(case reserve)：對(duì)每一個(gè)在預(yù)期的未來將有支付發(fā)生情形的索賠，未來支付數(shù)額的估計(jì)。已發(fā)生損失已發(fā)生損失(case-incurred losses)：某個(gè)事故年(accident year)所有已付損失和個(gè)案準(zhǔn)備金的總和。最終損失最終損失(ultimate incurred losses)：包括在計(jì)算已發(fā)

4、生損失時(shí)還沒有報(bào)告到保險(xiǎn)公司的損失。事故年年齡事故年年齡(accident year age)：事故年年齡一般以月為單位。按慣例，到某事故年的最后一天, 該事故年具有12個(gè)月的年齡。如在6/1/2001對(duì)事故年2000年已發(fā)生損失的評(píng)估被稱為事故年2000年已發(fā)生損失在年齡18個(gè)月時(shí)的評(píng)估。損失調(diào)整費(fèi)用損失調(diào)整費(fèi)用(loss adjustment expense)u分?jǐn)倱p失調(diào)整費(fèi)用分?jǐn)倱p失調(diào)整費(fèi)用(allocated loss adjustment expense)：與索賠直接相聯(lián)系的損失調(diào)整費(fèi)用。u非分?jǐn)倱p失調(diào)整費(fèi)用非分?jǐn)倱p失調(diào)整費(fèi)用(unallocated loss adjustment

5、expense)：與索賠不直接相聯(lián)系的損失調(diào)整費(fèi)用。索賠強(qiáng)度：索賠強(qiáng)度：每個(gè)索賠的平均損失S為索賠強(qiáng)度；L為損失；C為索賠總次數(shù)。純保費(fèi)純保費(fèi)(pure premium)：每危險(xiǎn)單位的平均損失P為純保費(fèi)；L為損失；E為危險(xiǎn)單位總數(shù)。純保費(fèi)也可以表示為每危險(xiǎn)單位的索賠頻率與索賠強(qiáng)度的每危險(xiǎn)單位的索賠頻率與索賠強(qiáng)度的乘積乘積：CLSELP SFCLECP費(fèi)率厘定的數(shù)據(jù)發(fā)生年度數(shù)據(jù)在一個(gè)日歷年度內(nèi)所有發(fā)生的損失事件的保單數(shù)據(jù)稱為發(fā)生年度數(shù)據(jù)。報(bào)告由已付賠款和未付賠款準(zhǔn)備金組成 。例：發(fā)生年度數(shù)據(jù)發(fā)生發(fā)生年年進(jìn)展進(jìn)展12243648607219942,116,135$3,128,695$3,543,4

6、45$3,707,375$3,854,220$3,928,80519952,315,9203,527,1973,992,8054,182,1334,338,76519962,743,6574,051,9504,593,4724,797,19419973,130,2624,589,4305,230,43719983,625,4185,380,61719993,919,522保單年度數(shù)據(jù)保單年度數(shù)據(jù)在一個(gè)日歷年度內(nèi)所有簽發(fā)的保單數(shù)據(jù)稱為保單年度數(shù)據(jù)。 例：1999年的保單年度數(shù)據(jù)是指1999年簽發(fā)的所有保單數(shù)據(jù)。平均事故日期若假設(shè)所有的簽單日期和事故發(fā)生日期均勻分布，則1999年內(nèi)簽發(fā)保單的事故發(fā)

7、生日期中點(diǎn)是12/31/1999子夜（或1/1/2000零點(diǎn)） 保單年度的數(shù)據(jù)由已付賠款和未付賠款準(zhǔn)備金組成。 費(fèi)用、利潤(rùn)與安全負(fù)荷費(fèi)用、利潤(rùn)與安全負(fù)荷厘定費(fèi)率需要考慮的因素：厘定費(fèi)率需要考慮的因素：u純保費(fèi)純保費(fèi)(pure premium)u可變費(fèi)用可變費(fèi)用(variable expenses)：隨保單價(jià)格的變化而變化的費(fèi)用。u固定費(fèi)用固定費(fèi)用(fixed expenses)：和保單的價(jià)格無關(guān)的費(fèi)用。u利潤(rùn)利潤(rùn)為什么保費(fèi)大于純保費(fèi)對(duì)于保險(xiǎn)人從風(fēng)險(xiǎn)理論中可以知道, 保費(fèi)大于純保費(fèi)使保險(xiǎn)人不至于破產(chǎn)。在實(shí)踐中，保險(xiǎn)公式的營(yíng)業(yè)費(fèi)用和合理的利潤(rùn)都要在收取的保費(fèi)中加以考慮。對(duì)于投保人效用角度假定某投保

8、人擁有價(jià)值為100單位的財(cái)產(chǎn)，但這筆財(cái)產(chǎn)將面臨某種損失，這一風(fēng)險(xiǎn)被表示為隨機(jī)變量Y，Y是服從0到36之間均勻分布的隨機(jī)變量。假設(shè)此人的效用函數(shù)為其中X是他的財(cái)富。問他應(yīng)付出多大一筆保費(fèi)G去全額投保這筆財(cái)產(chǎn)？( )u xx解答：由隨機(jī)損失的概率密度函數(shù) 得到 。保險(xiǎn)人將收取大于18的保費(fèi)如果投保人購(gòu)買了保險(xiǎn)，則他的財(cái)富是確定的，即100G，效用為 。如果他不購(gòu)買保險(xiǎn)，則他的財(cái)富是隨機(jī)變量100Y，那么他剩余財(cái)富的期望效用可以計(jì)算如下1( )36f y 36/218E Y 100G363/20 (100)( )1 1003612244 (100)36327 E Uuyf y dyydyy解答（續(xù)）

9、投保人愿意支付的保費(fèi)G應(yīng)該使得不管他購(gòu)買保險(xiǎn)與否其剩余財(cái)富的期望效用值相等。因此，我們通過解得到G18.33。投保人購(gòu)買保險(xiǎn)最高愿意支付18.33，這超過了他的期望損失18。如果保險(xiǎn)人收取的保費(fèi)小于18.33。這個(gè)投保人就會(huì)購(gòu)買該保險(xiǎn)。24410027G費(fèi)率厘定每個(gè)危險(xiǎn)單位的費(fèi)率每個(gè)危險(xiǎn)單位的費(fèi)率:uR為每危險(xiǎn)單位的費(fèi)率；uP為純保費(fèi)；uF為每個(gè)危險(xiǎn)單位的固定費(fèi)用；uV為可變費(fèi)用因子；uQ為利潤(rùn)因子。l因此有：lRV為可變費(fèi)用；RQ為利潤(rùn)。QV1FPRQRVRFPR假設(shè)：純保費(fèi)為75.00，每個(gè)危險(xiǎn)單位的固定費(fèi)用為12.50，可變費(fèi)用因子為17.5%，利潤(rùn)因子為5.00%，則費(fèi)率為該費(fèi)率的各個(gè)

10、組成部分如下：純保費(fèi)為75.00，固定費(fèi)用為12.50，可變費(fèi)用為19.76，利潤(rùn)為5.64，總計(jì)為112.9075.00 12.50112.901 0.1750.050R保費(fèi)保費(fèi)(premium)上面的例子中，假設(shè)危險(xiǎn)單位是一輛保險(xiǎn)期為1年的商用汽車。如果某份保單有15輛商用汽車，則其保費(fèi)為：112.90 15 = 1693.50承保保費(fèi)承保保費(fèi)(writtenpremium)、承擔(dān)保費(fèi)承擔(dān)保費(fèi)(earnedpremium)和有效有效保費(fèi)保費(fèi)(in-forcepremium)。如果上面所討論的保單是從7/1/2000開始，承保時(shí)間為12個(gè)月，那么到12/31/2000為止，這份保單的上述幾種

11、保費(fèi)如下所示： 2000日歷年承保保費(fèi) 1693.502000日歷年承擔(dān)保費(fèi) 846.7512/31/2000有效保費(fèi) 1693.50損失率（賠付率）損失率（賠付率）損失率損失率(loss ratio)是在保險(xiǎn)損失分析中最廣泛使用統(tǒng)計(jì)量中的一個(gè)。它等于損失除以保費(fèi)。損失率可以基于純損失而不包括各種損失調(diào)整費(fèi)用，也可包括分?jǐn)偟幕蚩偟膿p失調(diào)整費(fèi)用。損失可以是已付的，已發(fā)生的，或者預(yù)測(cè)的最終損失。保費(fèi)可以是承保或承擔(dān)保費(fèi)。費(fèi)率厘定的目標(biāo)費(fèi)率厘定的目標(biāo)供足夠的資金去支付預(yù)期的損失和費(fèi)用，并且能給投資者產(chǎn)生一個(gè)合理的回報(bào)提供足夠的準(zhǔn)備金，以應(yīng)付突發(fā)事件和不利的偏差。費(fèi)率一般要經(jīng)過監(jiān)管機(jī)構(gòu)的審核。審核通常

12、是基于這樣一個(gè)監(jiān)管標(biāo)準(zhǔn)，即類型和特性相似的風(fēng)險(xiǎn)，他們之間的費(fèi)率不應(yīng)該有不適當(dāng)，過分，或不公平的差別。費(fèi)率厘定系統(tǒng)費(fèi)率厘定系統(tǒng)費(fèi)率厘定系統(tǒng)費(fèi)率厘定系統(tǒng)(rating plan)：在為某個(gè)危險(xiǎn)單位厘定費(fèi)率時(shí)，綜合所考慮的各種因素而形成的結(jié)構(gòu)。其中的各個(gè)因素通常稱為費(fèi)率因子費(fèi)率因子(rating factor)。沒有被考慮對(duì)損失有影響的費(fèi)率因子將導(dǎo)致的兩種不同情況：當(dāng)費(fèi)率厘定系統(tǒng)沒有考慮某個(gè)含有傾向于減少損失趨勢(shì)有利特征的費(fèi)率因子，厘定的費(fèi)率太高了。如果沒有考慮某個(gè)含有不利特征的費(fèi)率因子，將導(dǎo)致使用過低的費(fèi)率。費(fèi)率因子的風(fēng)險(xiǎn)特征：費(fèi)率因子的風(fēng)險(xiǎn)特征：主要影響索賠頻率的特征和主要影響索賠強(qiáng)度的特征。4

13、.2 費(fèi)率厘定過程費(fèi)率厘定所根據(jù)的保費(fèi)計(jì)算原理有許多。這里的方法是基于期望值原理的費(fèi)率厘定的兩個(gè)基本的方法：（1）純保費(fèi)法）純保費(fèi)法（2）損失率法）損失率法（1）純保費(fèi)法純保費(fèi)法確定的費(fèi)率預(yù)期能夠滿足期望損失與費(fèi)用的需要，并提供預(yù)期的利潤(rùn)水平。 ，這里的損失L除了保險(xiǎn)公司已付和應(yīng)付給索賠人的損失外，還要加上損失調(diào)整費(fèi)用。QV1FPRELP (2)損失率法損失率法來源于純保費(fèi)法,純保費(fèi)法厘定費(fèi)率為EF剛好是在經(jīng)驗(yàn)期的總的固定費(fèi)用,記G=EF/L,它表示經(jīng)驗(yàn)期的總的固定費(fèi)用與損失之比。令R0為當(dāng)前費(fèi)率，則ER0是經(jīng)驗(yàn)期里總的承擔(dān)保費(fèi),則令 ：經(jīng)驗(yàn)損失率。目標(biāo)損失率：QV1LEF1ELQV1FELQ

14、V1FPR00RQV1G1ERLR0ERLW ERLG1QV1T公司希望得到的目標(biāo)保費(fèi)損失損失率法由下面的公式厘定費(fèi)率： ：調(diào)整因子，經(jīng)驗(yàn)損失率/目標(biāo)損失率損失率法直接來源于純保費(fèi)法，它們只是表現(xiàn)的形式不同。損失率方法得到的公式 實(shí)際上給出了一個(gè)逐步改進(jìn)的費(fèi)率估計(jì)公式。0ARR TWA （3）如何選擇合適的方法純保費(fèi)法是建立在每個(gè)危險(xiǎn)單位的損失基礎(chǔ)上的，它需要嚴(yán)格定義的危險(xiǎn)單位。若危險(xiǎn)單位不知道或各危險(xiǎn)單位間有差異，比如在火災(zāi)險(xiǎn)的情形，則純保費(fèi)法不適用。因?yàn)閾p失率法得到的是當(dāng)前費(fèi)率的變化，所以它需要當(dāng)前的費(fèi)率和保費(fèi)的歷史記錄。而新業(yè)務(wù)的費(fèi)率厘定，我們只能利用相關(guān)公司或相關(guān)險(xiǎn)種的損失數(shù)據(jù)，沒有歷

15、史記錄，那么只能使用純保費(fèi)法。損失率法不適用于新業(yè)務(wù)的費(fèi)率厘定。當(dāng)然，如果沒有任何的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可用，則這兩種方法都不適用。損失率法需要的是當(dāng)前水平承擔(dān)保費(fèi)，所以在當(dāng)前水平承擔(dān)保費(fèi)難以計(jì)算時(shí)，純保費(fèi)法更為適用。在某些險(xiǎn)種中，對(duì)保單需要進(jìn)行個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)的費(fèi)率調(diào)整，此時(shí)就很難確定損失率法中需要的當(dāng)前水平承擔(dān)保費(fèi)，在這種情況下若采用純保費(fèi)法更為合適。關(guān)于歷史數(shù)據(jù)中的不同費(fèi)率調(diào)整到一個(gè)統(tǒng)一費(fèi)率的問題，下面會(huì)專門論述。注意事項(xiàng)（1）經(jīng)驗(yàn)期的選擇）經(jīng)驗(yàn)期的選擇使用可以獲得的最近期的損失經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，而同時(shí)這樣的損失經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)很可能比成熟期（指具有較多的已經(jīng)結(jié)案的保單的經(jīng)驗(yàn)期）包含了更高比例的未付損失，因此更有可能會(huì)在對(duì)

16、損失進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)帶來誤差。當(dāng)所涉及的業(yè)務(wù)會(huì)有災(zāi)害性的損失時(shí)，比如在易出現(xiàn)龍卷風(fēng)地區(qū)的風(fēng)暴險(xiǎn)項(xiàng)目，經(jīng)驗(yàn)期必須足夠長(zhǎng)，以致于能代表災(zāi)害的平均發(fā)生率。經(jīng)驗(yàn)期必須包含足夠的損失經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)以使最后的結(jié)果具有統(tǒng)計(jì)的可信性。（2）再保險(xiǎn)的影響）再保險(xiǎn)的影響費(fèi)率的分析要基于再保險(xiǎn)之前的保費(fèi)和損失數(shù)據(jù)。當(dāng)再保險(xiǎn)的成本很大時(shí)，再保險(xiǎn)費(fèi)經(jīng)常作為費(fèi)用準(zhǔn)備的一個(gè)獨(dú)立的部分。（3）保險(xiǎn)項(xiàng)目的差異）保險(xiǎn)項(xiàng)目的差異一個(gè)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中各個(gè)主要的保險(xiǎn)項(xiàng)目應(yīng)該分別處理。不僅各項(xiàng)目的經(jīng)驗(yàn)損失數(shù)據(jù)要分開考察，而且保費(fèi)和危險(xiǎn)單位數(shù)據(jù)也要分離。（4）提高限額時(shí)的處理方法）提高限額時(shí)的處理方法限額限額(Limit)：當(dāng)索賠發(fā)生時(shí)，保險(xiǎn)公司的賠付不超

17、過限額。保險(xiǎn)公司的賠付為Min(X, u)，費(fèi)率為 EMin(X, u) 。在實(shí)踐中，保險(xiǎn)公司通常會(huì)對(duì)同樣的標(biāo)的提供不同的限額，供投保人選擇。最低的限額叫基本限額基本限額(Basic Limit)，其他限額叫提高限額提高限額(Increased Limit)。責(zé)任險(xiǎn)費(fèi)率的厘定首先確定基本責(zé)任限額的費(fèi)率，然后厘定出提高限額因子。更高的限額的費(fèi)率等于基本限額費(fèi)率乘以提高限額因子高限額因子(Increased Limit Factor)。例如，某保險(xiǎn)公司提供兩種限額，u1和u2，u1 均值：過離散（over-dispersion）大量保單沒有索賠發(fā)生：零膨脹（zero-inflation）分層（組內(nèi)

18、相關(guān)）索賠頻率數(shù)據(jù)的特點(diǎn)索賠頻率預(yù)測(cè)模型傳統(tǒng)的線性回歸模型最小偏差模型（minimum bias procedure)廣義線性模型及其推廣泊松回歸模型過離散回歸模型零膨脹回歸模型分層（多層）回歸模型傳統(tǒng)線性回歸模型的問題傳統(tǒng)線性回歸模型的問題：正態(tài)，同方差。索賠頻率：非負(fù)，離散， 均值越大，方差越大。最小偏差模型的問題最小偏差模型的問題：統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)廣義線性模型廣義線性模型：解決上述問題泊松分布：方差等于均值實(shí)際索賠次數(shù)：方差大于均值（過離散）風(fēng)險(xiǎn)防范意識(shí)增強(qiáng)，大多數(shù)保單不會(huì)發(fā)生事故；應(yīng)用了免賠額或無賠款折扣等條款，許多被保險(xiǎn)人在發(fā)生輕微事故時(shí)不會(huì)提出索賠；個(gè)別被保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)太大，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于總體平均

19、水平。問題：低估標(biāo)準(zhǔn)誤，高估顯著性水平，保留多余的解釋變量，最終導(dǎo)致不合理的費(fèi)率厘定結(jié)果 泊松回歸模型假設(shè)泊松分布的概率函數(shù)為 結(jié)構(gòu)函數(shù)為 混合泊松分布的概率函數(shù)可以表示為混合泊松回歸: 假設(shè) Yi 服從混合泊松分布( )kp( )u0( ) ( )dkkppu過離散：混合泊松回歸模型結(jié)構(gòu)函數(shù)與混合泊松分布結(jié)構(gòu)函數(shù)與混合泊松分布：伽瑪結(jié)構(gòu)負(fù)二項(xiàng)分布逆高斯結(jié)構(gòu)泊松-逆高斯分布對(duì)數(shù)正態(tài)結(jié)構(gòu)泊松-對(duì)數(shù)正態(tài)分布。廣義泊松分布：結(jié)構(gòu)函數(shù)沒有顯式表達(dá)（Joe and Zhu, 2005）。結(jié)構(gòu)函數(shù)的尾部越厚，混合泊松分布的尾部將會(huì)越長(zhǎng)：泊松-對(duì)數(shù)正態(tài) 泊松-逆高斯 負(fù)二項(xiàng)雙泊松分布：方差可以大于均值。負(fù)二

20、項(xiàng)回歸模型負(fù)二項(xiàng)回歸模型:()Pr() () , 0,1,( ) (1)iyaiiiiiiiiayaYyyayaa 2 , / iiiiiE YVar Ya exp Pr !iyiiiiiiiiYyE YVar Yy 泊松：，索賠頻率預(yù)測(cè)模型的比較索賠頻率預(yù)測(cè)模型的比較 泊松泊松-逆高斯回歸模型：逆高斯回歸模型：230exp(1) /(2)exp()Prd!2iyiiiiiYyy 2 , iiiiiE YVar Y exp Pr !iyiiiiiiiiYyE YVar Yy 泊松：，泊松泊松-對(duì)數(shù)正態(tài)回歸模型對(duì)數(shù)正態(tài)回歸模型：2220exp(ln/2) /(2)exp()Prd!2iyiiiiiYyy 22 , exp() 1 iiiiiE YVar Y exp Pr !iyiiiiiiii