高一數(shù)學(xué)下第5章《向量的應(yīng)用》解析及答案

1、精選高一數(shù)學(xué)下第5章向量的應(yīng)用解析及答案鞏固基礎(chǔ) 一、自主梳理理解向量的幾何、代數(shù)、三角及物理方面的應(yīng)用,能將當(dāng)前的問題轉(zhuǎn)化為可用向量解決的問題,培育同學(xué)的創(chuàng)新精神和應(yīng)用力量.二、點(diǎn)擊雙基1.(理)(2005全國高考卷,理)已知雙曲線x2-=1的焦點(diǎn)F1、F2，點(diǎn)M在雙曲線上且·=0，則點(diǎn)M到x軸的距離為( )A. B. C. D.解析：如圖，不妨設(shè)M在右支上，則MF1MF2. 設(shè)|MF1|=r1,|MF2|=r2,由定義r1-r2=2a=2. RtMF1F2中，r12+r22=(2c)2=12. 式平方代入后得r1r2=4, SMF1F2=r1r2=2=|F1F2|·h=

2、×2h.h=.答案：C(文)若O是ABC內(nèi)一點(diǎn),+=0,則O是ABC的( )A.內(nèi)心 B.外心 C.垂心 D.重心解析：以、為鄰邊作平行四邊形OBDC,則=+. 又+=0, +=-. -=. O為AD的中點(diǎn),且A、O、D共線. 又E為OD的中點(diǎn),O是中線AE的三等分點(diǎn),且OA=AE. O是ABC的重心.答案：D2.(2006山東濰坊檢測)已知點(diǎn)A(,1)、B(0,0)、C(,0),設(shè)BAC的平分線AE與BC相交于E,若=,則等于 ( )A.- B. C.-3 D.-解析：由=,得=-=-=-1-=-1-=-1-=-.故選擇A.答案：A3.(2006湖北八校聯(lián)考)(理)已知向量a=(2

3、cos,2cos),b=(3cos,3sin),若a與b的夾角為60°,則直線xcos-ysin+=0與圓(x-cos)2+(y+sin)2=的位置關(guān)系是( )A.相交 B.相交且過圓心 C.相切 D.相離解析：由題意得=, coscos+sinsin=. 圓心為(cos,-sin). 設(shè)圓心到直線的距離為d,則 d=1>, 直線和圓相離.故選D.答案：D(文)已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A、B兩點(diǎn),且|+|=|-|,其中O為原點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值為( )A.2 B.-2 C.2或-2 D.6或-6解析：由|+|=|-|,得·=0,OAOB. 聯(lián)立方程組整理得

4、2x2-2ax+(a2-4)=0, 設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2), x1+x2=a,x1·x2=. y1·y2=(a-x1)·(a-x2)=a2-a(x1+x2)+x1x2=a2-2. OAOB,x1x2+y1y2=0. +-2=0.a2=4.a=±2. 又=(-2a)2-8(a2-4)>0, a2<8.a(-2,2),而±2(-2,2).故選C.答案：C4.在四邊形ABCD中，·=0,=，則四邊形ABCD是_.解析：由·=0知.由=知BCAD.四邊形ABCD是矩形.答案：矩形5.若a=(1,-1),b=

5、(-1,3),c=(3,5),使c=xa+yb成立的實(shí)數(shù)x、y取值是_.解析：依題意(3,5)=x(1,-1)+y(-1,3),解得答案：7、4訓(xùn)練思維【例1】 已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及=+t，求：(1)t為何值時，P在x軸上？P在y軸上？P在其次象限？(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不埽胨得骼磧?解：(1)=+t=(1+3t,2+3t). 若P在x軸上，則2+3t=0,t=-; 若P在y軸上，只需1+3t=0,t=-; 若P在其次象限，則-<t<-. (2)=(1,2)，=(3-3t,3-3t).若OABP為平行四邊形，則=.

6、 無解,四邊形OABP不能成為平行四邊形.鏈接·聚焦 本題第(2)問還可以利用共線的充要條件： =+t,-=t. =t.A、B、P共線. 四邊形OABP不能成為平行四邊形.【例2】 已知向量u=(x,y)與向量v=(y,2y-x)的對應(yīng)關(guān)系用v=f(u)表示.(1)證明對于任意向量a、b及常數(shù)m、n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立；(2)設(shè)a=(1,1)，b=(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐標(biāo)；(3)求使f(c)=(p、q)(p、q為常數(shù))的向量c的坐標(biāo).解：(1)設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,b2),則ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2).

7、f(ma+nb)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1), mf(a)+nf(b)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1). f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立. (2)f(a)=(1,2×1-1)=(1,1), f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1). (3)設(shè)c=(x,y),則f(c)=(y,2y-x)=(p,q).y=p,2y-x=q. x=2p-q，即向量c=(2p-q,p).講評：要利用題設(shè)條件，必需將向量用坐標(biāo)表示，通過坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，從而解決問題，這也是向量運(yùn)算中比

8、較常用的方法.【例3】 已知m、n、p、qR,求證：mp+nq·.剖析：本題若接受平方法，則需對mp+nq的符號進(jìn)行爭辯，然后再平方，若能把握其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)想到平面對量的數(shù)量積性質(zhì)，則問題簡潔解決.證明：設(shè)a=(m,n),b=(p,q),度 |a·b|a|b|, |mp+nq|·. mp+nq·.狀元訓(xùn)練復(fù)習(xí)篇1.(2004遼寧高考)已知點(diǎn)A(-2,0)、B(3,0),動點(diǎn)P(x,y)滿足·=x2,則點(diǎn)P的軌跡是( )A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線解析：=(-2-x,-y),=(3-x,-y),·=(-2-x)(3-x)+(

9、-y)2=x2,整理得y2=x+6.P點(diǎn)的軌跡為拋物線.答案：D2.臺風(fēng)中心從A地以20 km/h的速度向東北方向移動,離臺風(fēng)中心30 km內(nèi)的地區(qū)為危急區(qū),城市B在A的正東40 km處,B城市處于危急區(qū)內(nèi)的時間為( )A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h解析：臺風(fēng)中心移動t h,城市B處在危急區(qū),則(20t)2+402-2×20t×40×cos45°900. -t+.B城市處在危急區(qū)的時間為1 h.答案：B3.已知向量集合M=a|a=(1,2)+(3,4),R,N=a|a=(-2,-2)+(4,5),R,則MN等于( )A.(1,1)

10、 B.(1,1),(-2,-2)C.(-2,-2) D.解析：(留意不肯定相等).MN=(-2,2).答案：C4.在一座20 m高的觀測臺頂測得地面一水塔塔頂仰角為60°,塔底俯角為45°,那么這座塔的高為_.解析：如圖,AD=DC=20. BD=ADtan60°=20. 塔高為20(1+) m.答案：20(1+) m5.有一兩岸平行的河流，水速為1，小船的速度為，為使所走路程最短，小船應(yīng)朝_方向行駛.解析：如右圖,為使小船所走路程最短,v水+v船應(yīng)與岸垂直.又v水=1,v船=,ADC=90°, CAD=45°.答案：與水速成135°

11、角的6.平面內(nèi)有向量=(1,7)，=(5,1)，=(2,1)，點(diǎn)X為直線OP上的一個動點(diǎn).(1)當(dāng)·取最小值時，求的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)X滿足(1)的條件和結(jié)論時，求cosAXB的值.解：(1)設(shè)=(x,y),點(diǎn)X在直線OP上， 向量與共線. 又=(2,1),x·1-y·2=0,即x=2y,=(2y,y). 又=-=(1,7)-(2y,y), =(1-2y,7-y). 同理,=-=(5-2y,1-y). 于是,·=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=4y2-12y+5+y2-8y+7=5y2-20y+12 =5(y-2)2-8. 由二次函數(shù)的學(xué)問

12、，可知當(dāng)y=2時，·=5(y-2)2-8有最小值-8，此時=(4,2). (2)當(dāng)=(4,2)，即y=2時，有=(-3,5)，=(1，-1)，|=,|=, ·=(-3)×1+5×(-1)=-8,cosAXB=-.講評：向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算可以大大簡化數(shù)量積的運(yùn)算，由于有關(guān)長度、角度和垂直問題可以利用向量的數(shù)量積來解決，因此，我們可以利用向量的直角坐標(biāo)去爭辯有關(guān)長度、角度和垂直問題.7.已知向量a=(cosx,sinx),b=(cos,-sin),且x0，.求：(1)a·b及|a+b|;(2)若f(x)=a·b-2|a+b|的最小值是-

13、，求的值.解：(1)a·b=cosx·cos-sinx·sin=cos2x, |a+b|= =2. x0，cosx>0. |a+b|=2cosx. (2)f(x)=cos2x-4cosx,即f(x)=2(cosx-)2-1-22. x0,，0cosx1. 當(dāng)<0時，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=0時，f(x)取得最小值-1，這與已知沖突. 當(dāng)01時，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=時，f(x)取得最小值-1-22，由已知得-1-22=-,解得=. 當(dāng)>1時，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=1時，f(x)取得最小值1-4.由已知得1-4=-，解得=.這與>1相沖突.綜上所述，=為所

14、求.加強(qiáng)篇8.(2006北京海淀模擬)設(shè)a=(1+cos,sin),b=(1-cos,sin),c=(1,0),其中(0,),(,2),a與c的夾角為1,b與c的夾角為2,且1-2=,求sin的值.解：a=(2cos2,2sincos) =2cos(cos,sin), b=(2sin2,2sincos) =2sin(sin,cos), (0,),(,2), (0,),(,). 故|a|=2cos,|b|=2sin , cos1=cos, cos2=sin=cos(-).1=. 0<-<,2=-.又1-2=,-+=. 故=-,sin=sin(-)=-.講評：本題考查向量的坐標(biāo)表示及其

15、運(yùn)算，向量數(shù)量積的夾角公式的運(yùn)用，留意角度范圍的變化應(yīng)用，結(jié)合三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求值.9.(全新創(chuàng)編題)如圖所示，點(diǎn)F(a,0)(a>0),點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動，M在x軸上，N為動點(diǎn)，且·=0,+=0.(1)求點(diǎn)N的軌跡C的方程；(2)過點(diǎn)F(a,0)的直線l(不與x軸垂直)與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)K(-a,0),與的夾角為，求證：0<<.解：(1)設(shè)N(x,y)、M(x0,0)、P(0,y0), 則=(x0,-y0),=(a,-y0),=(x,y-y0). 由·=0,得ax0+y02=0. 由+=0，得(x+x0,y-2y0)=0,即所以 代入,得y2=

16、4ax即為所求. (2)設(shè)l的方程為y=k(x-a),由消去x,得y2-y-4a2=0. 設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則y1y2=-4a2,=(x1+a,y1),=(x2+a,y2), ·=(x1+a)(x2+a)+y1y2=x1x2+a(x1+x2)+a2+y1y2=+a·(+)+a2-4a2 =(y12+y22)-2a2>(2|y1y2|)-2a2=×4a2-2a2=0,所以cos=>0.所以0<<.講評：向量及其運(yùn)算是新課程的新增內(nèi)容，由于向量融數(shù)、形于一體，具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重身份，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)問的一個交匯點(diǎn)

17、，成為聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的媒介.本題是將向量與解析幾何、方程、不等式以及三角函數(shù)等學(xué)問有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了考試大綱要求的“在學(xué)問網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)處命題”的精神，我們猜測今年的向量高考題的難度可能上升到壓軸題水平. 一、教學(xué)思路 向量兼具代數(shù)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀，向量本身是一個數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，因此在向量的復(fù)習(xí)中要留意數(shù)與形的結(jié)合、代數(shù)與幾何的結(jié)合、形象思維與規(guī)律思維的結(jié)合.應(yīng)用向量可以解決平面幾何中的一些問題，在物理和工程技術(shù)中應(yīng)用也很廣泛，教學(xué)要結(jié)合實(shí)例，引導(dǎo)同學(xué)把向量的相關(guān)學(xué)問和實(shí)際問題相結(jié)合，滲透向量解決問題的高效性. 二、留意問題 與向量相關(guān)的綜合應(yīng)用問題類型較多，往往都和幾何圖形或某種類型曲線相關(guān)

18、聯(lián)，這就要求在轉(zhuǎn)化成向量方法或抽象為確定的數(shù)學(xué)模型時，肯定要留意和題意等價，擅長綜合全局，把握轉(zhuǎn)化合理性. 三、參考資料【例1】 已知a=(x2,x),b=(x,x-3),x-4,4.(1)求f(x)=a·b的表達(dá)式;(2)求f(x)的最小值,并求此時a與b的夾角.解：(1)f(x)=a·b=x2·x+x·(x-3)=x3+x2-3x,x-4,4. (2)f(x)=x2+2x-3=(x+3)(x-1).列表:x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4f(x)+0-0+f(x)極大值9微小值- 故當(dāng)x=1時,f(x)有最小值為-. 此時a=(,1)

19、,b=(1,-2). 設(shè)為a與b的夾角,則cos=-. 又由0,得=.【例2】 如圖所示,對于同一高度(足夠高)的兩個定滑輪,用一條(足夠長)繩子跨過它們,并在兩端分別掛有4 kg和2 kg的物體,另在兩個滑輪中間的一段繩子懸掛另一物體,為使系統(tǒng)保持平衡狀態(tài),此物體的質(zhì)量應(yīng)是多少?(忽視滑輪半徑、繩子的重量)剖析：先進(jìn)行受力分析,列出平衡方程,然后用數(shù)學(xué)方法求解.解：設(shè)所求物體質(zhì)量為m kg時,系統(tǒng)保持平衡,再設(shè)F1與豎直方向的夾角為1,F2與豎直方向的夾角為2,則有 (其中g(shù)為重力加速度) 由式和式消去2,得 m2-8mcos1+12=0, 即m=4cos1±2. cos20,由式

20、知,式中m=4cos1-2不合題意,舍去. 又4cos21-30,解得cos11. 經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)cos1=時,cos2=0,不合題意,舍去. 2m6. 綜上,所求物體的質(zhì)量在2kg到6 kg之間變動時,系統(tǒng)可保持平衡.講評：(1)m的范圍是通過函數(shù)y=4x+2的單調(diào)性求得的.(2)實(shí)際問題的處理要留意變量的實(shí)際意義,本題簡潔忽視cos20的實(shí)際限制.優(yōu)化測控一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分，共60分)1.(2006江蘇南京期末)已知向量a=(1,0),b=(1,1),c=(-1,0),若c=a+b(,R),則,的值分別為( )A.1,0 B.1,1 C.0,1 D.-1,0解析：c=a+

21、b=(1,0)+(1,1)=(+,),而c=(-1,0), 故選擇D.答案：D2.有三個命題：向量與是共線向量，則A、B、C、D必在同始終線上；向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是=.其中正確的是( )A. B. C. D.解析：與共線，AB與CD也可以平行.中a與b也可能有0.答案：B3.(2006四川成都檢測)設(shè)向量a=(cos25°,sin25°),b=(sin20°,cos20°),若t是實(shí)數(shù),且u=a+t b,則|u|的最小值為( )A. B.1 C. D.解析：|a|=|b|=1,a·

22、b=sin20°cos25°+cos20°sin25°=sin45°=, |u|2=|a+t b|2=a2+2t a·b+t2b2=t2+t+1=(t+)2+. |u|.選C.答案：C4.已知|a|=4，|b|=8，且a與2b-a相互垂直，則向量a與b的夾角是( )A.arccos B.-arccos C. D.解析：由a(2b-a),得a·(2b-a)=0. 2|a|b|cos-|a|2=0. cos=,=arccos.答案：A5.(2006北京西城模擬)向量=(1,),=(0,1),若動點(diǎn)P(x,y)滿足條件則P(x,y

23、)的變動范圍(不含邊界的陰影部分)是( )解析：=(1,),=(0,1). 設(shè)P(x,y),則=(x,y), 即 經(jīng)分析，選A.答案：A6.已知向量=(1,1)，=(1,a)，其中a為實(shí)數(shù)，O為原點(diǎn)，當(dāng)這兩向量的夾角在(0,)變動時，a的取值范圍是( )A.(0,1) B.(,) C.(,1)(1,) D.(1,)解析：只需保證直線AO和OB的夾角為此范圍就行，明顯kOA=1,kOB=a.應(yīng)用夾角公式tan=|<,可得選項(xiàng)C.答案：C7.已知向量m與向量n相互垂直且|m|=|n|,若m=(2,1),則n等于( )A.(1,-2) B.(-2,1)C.(-2,1)或(2,-1) D.(1,

24、-2)或(-1,2)解析：設(shè)n=(x,y),由題意設(shè)解得或 n=(1,-2)或(-1,2).答案：D8.已知四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在對角線AC上(不包括端點(diǎn)A、C)，則等于( )A.(+),(0,1) B.(+),(0,)C.(-),(0,1) D.(-),(0,)解析：由平行四邊形法則及共線的充要條件簡潔得到選項(xiàng)A.答案：A9.(2006西安五校聯(lián)考)已知向量a=(3,4)，b=(2，-1)，假如向量a+b與向量-b相互垂直，則實(shí)數(shù)的值為( )A. B. C.2 D.-解析：a+b=(3,4)+(2,-1)=(3+2,4-),-b=(-2,1),若(a+b)(-b)，則-2(3+2)+4

25、-=0.=-.故選D.答案：D10.若a與b的夾角為60°，|b|=4，(a+2b)·(a-3b)=-72，則向量a的模是( )A.2 B.4 C.6 D.12解析：由題意知a2-a·b-6b2=-7a,把|b|=4,cos60°=代入得|a|2-2|a|-24=0.|a|=6或|a|=-4(舍).答案：C11.命題p:ABC及點(diǎn)G滿足+=0；命題q：G是ABC的重心，則p是q的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件解析：若G是ABC的重心，由課本例題可知，+=0成立.若+=0，則+=-，可證CG必經(jīng)過AB

26、的中點(diǎn).答案：C12.在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，=a,=b，對任意一點(diǎn)M，它關(guān)于A的對稱點(diǎn)為S，S關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)為N，則用a、b表示為( )A.2(b-a) B.(a-b) C.a+b D.(a+b)解析：=+=2+2=2-2(四邊形OASB是平行四邊形).答案：A二、填空題(本大題共4小題,每小題4分，共16分)13.=3e1,=3e2,且=,則=_.解析：=3e2-3e1,=e2-e1,=+=2e1+e2.答案：2e1+e214.(2006北京海淀模擬)若向量a=(3,2),b=(0,-1),則向量2a-b的坐標(biāo)是_；a·b=_.解析：a=(3,2),b=(0,-1),2a

27、-b=(6,4)-(0,-1)=(6,5),a·b=3×0+2×(-1)=-2.答案：(6,5) -215.若對n個向量a1,a2,an存在n個不全為零的實(shí)數(shù)k1,k2,kn,使得k1a1+k2a2+knan=0成立，則稱向量a1,a2,an為“線性相關(guān)”.依此規(guī)定，能說明a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)“線性相關(guān)”的實(shí)數(shù)k1、k2、k3依次可以取_(寫出一組數(shù)值即可，不必考慮全部狀況).解析：設(shè)k1a1+k2a2+k3a3=0, 即k1(1,0)+k2(1,-1)+k3(2,2)=(0,0). k1=-4k3,k2=2k3. 取k3=1得一

28、組k1、k2、k3依次為-4、2、1.答案：-4、2、116.(2006江蘇南京期末)若|a|=1,|b|=2,c=a-b,且ca,則向量a與b的夾角為_.解析：c=a-b且ca,c·a=0,即(a-b)·a=0,a2=a·b=1,cosa,b=.a,b=.答案：三、解答題(本大題共6小題，共74分)17.(本小題滿分12分)已知向量a=(3，-4)，求：(1)與a平行的單位向量b；(2)與a垂直的單位向量c；(3)將a繞原點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到的向量e的坐標(biāo).解：(1)設(shè)b=a,則|b|=1，b=(,-)或b=(-,). (2)由ac，a=(3,-

29、4),可設(shè)c=(4,3),求得c=(,)或c=(-,-). (3)設(shè)e=(x,y),則x2+y2=25. 又a·e=3x-4y=|a|·|e|cos45°,即3x-4y=,由上面關(guān)系求得e=(,-)或e=(-,-). 而向量e由a繞原點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到，故e=(,-).18.(本小題滿分12分)已知a、b、c分別是ABC三個內(nèi)角A、B、C的對邊,(1)若ABC面積為,c=2,A=60°,求a、b的值；(2)若acosA=bcosB，試推斷ABC的外形，證明你的結(jié)論.解：(1)由已知得=bcsinA=bsin60°, b=1.

30、由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=3, a=. (2)由正弦定理得2RsinA=a,2RsinB=b, 2RsinAcosA=2RsinBcosB,即sin2A=sin2B. 由已知A、B為三角形內(nèi)角，A+B=90°或A=B. 故ABC為直角三角形或等腰三角形.19.(本小題滿分12分)向量a=(1,cos2),b=(2,1),c=(4sin,1),d=(sin,1),其中(0,).(1)求a·b-c·d的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)=|x-1|,推斷f(a·b)與f(c·d)的大小，并說明理由.解：(1)a·b=2+cos2,c·d=2sin2+1=2-cos2, a·b-c·d=2cos2, 0<<.0<2<. 0<cos2<1.0<2cos2<2. a·b-c·d的取值范圍是(0,2). (2)f(a·b)=|2+cos2-1| =|1+cos2|=2cos2, f(a·b)=|2-c