第7章MATLAB解方程與函數(shù)極值1ppt課件

1、第第7章章 MATLAB解方程與函數(shù)極值解方程與函數(shù)極值7.1 線性方程組求解線性方程組求解7.2 非線性方程數(shù)值求解非線性方程數(shù)值求解7.3 常微分方程初值問題的數(shù)值解法常微分方程初值問題的數(shù)值解法7.4 函數(shù)極值函數(shù)極值7.1 線性方程組求解線性方程組求解7.1.1 直接解法直接解法1利用左除運(yùn)算符的直接解法利用左除運(yùn)算符的直接解法對于線性方程組對于線性方程組Ax=b，可以利用左除運(yùn)算符，可以利用左除運(yùn)算符“”求解：求解： x=Ab例例7-1 用直接解法求解下列線性方程組。用直接解法求解下列線性方程組。命令如下：命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-

2、1,-4;b=13,-9,6,0;x=Ab2利用矩陣的分解求解線性方程組利用矩陣的分解求解線性方程組矩陣分解是指根據(jù)一定的原理用某種算法將一個(gè)矩陣分解成矩陣分解是指根據(jù)一定的原理用某種算法將一個(gè)矩陣分解成若干個(gè)矩陣的乘積。常見的矩陣分解有若干個(gè)矩陣的乘積。常見的矩陣分解有LU分解、分解、QR分解、分解、Cholesky分解，以及分解，以及Schur分解、分解、Hessenberg分解、奇異分解、奇異分解等。分解等。(1) LU分解分解矩陣的矩陣的LU分解就是將一個(gè)矩陣表示為一個(gè)交換下三角矩陣分解就是將一個(gè)矩陣表示為一個(gè)交換下三角矩陣和一個(gè)上三角矩陣的乘積形式。線性代數(shù)中已經(jīng)證明，只和一個(gè)上三角

3、矩陣的乘積形式。線性代數(shù)中已經(jīng)證明，只要方陣要方陣A是非奇異的，是非奇異的，LU分解總是可以進(jìn)行的。分解總是可以進(jìn)行的。MATLAB提供的提供的lu函數(shù)用于對矩陣進(jìn)行函數(shù)用于對矩陣進(jìn)行LU分解，其調(diào)用格分解，其調(diào)用格式為：式為：L,U=lu(X)：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣U和一個(gè)變換形式的下三角和一個(gè)變換形式的下三角陣陣L(行交換行交換)，使之滿足，使之滿足X=LU。注意，這里的矩陣。注意，這里的矩陣X必須必須是方陣。是方陣。L,U,P=lu(X)：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣U和一個(gè)下三角陣和一個(gè)下三角陣L以及以及一個(gè)置換矩陣一個(gè)置換矩陣P，使之滿足，使之滿足PX=LU。當(dāng)然

4、矩陣。當(dāng)然矩陣X同樣必須同樣必須是方陣。是方陣。實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)LU分解后，線性方程組分解后，線性方程組Ax=b的解的解x=U(Lb)或或x=U(LPb)，這樣可以大大提高運(yùn)算速度。，這樣可以大大提高運(yùn)算速度。例例7-2 用用LU分解求解例分解求解例7-1中的線性方程組。中的線性方程組。命令如下：命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;L,U=lu(A);x=U(Lb)或采用或采用LU分解的第分解的第2種格式，命令如下：種格式，命令如下：L,U ,P=lu(A);x=U(LP*b) (2) QR分解分解對矩陣對矩陣X進(jìn)行進(jìn)行QR分

5、解，就是把分解，就是把X分解為一個(gè)正交矩陣分解為一個(gè)正交矩陣Q和一和一個(gè)上三角矩陣個(gè)上三角矩陣R的乘積形式。的乘積形式。QR分解只能對方陣進(jìn)行。分解只能對方陣進(jìn)行。MATLAB的函數(shù)的函數(shù)qr可用于對矩陣進(jìn)行可用于對矩陣進(jìn)行QR分解，其調(diào)用格分解，其調(diào)用格式為：式為：Q,R=qr(X)：產(chǎn)生一個(gè)一個(gè)正交矩陣：產(chǎn)生一個(gè)一個(gè)正交矩陣Q和一個(gè)上三角矩陣和一個(gè)上三角矩陣R，使之滿足使之滿足X=QR。Q,R,E=qr(X)：產(chǎn)生一個(gè)一個(gè)正交矩陣：產(chǎn)生一個(gè)一個(gè)正交矩陣Q、一個(gè)上三角矩陣、一個(gè)上三角矩陣R以及一個(gè)置換矩陣以及一個(gè)置換矩陣E，使之滿足，使之滿足XE=QR。實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)QR分解后，線性方程組分解后，

6、線性方程組Ax=b的解的解x=R(Qb)或或x=E(R(Qb)。例例7-3 用用QR分解求解例分解求解例7-1中的線性方程組。中的線性方程組。命令如下：命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;Q,R=qr(A);x=R(Qb)或采用或采用QR分解的第分解的第2種格式，命令如下：種格式，命令如下：Q,R,E=qr(A);x=E*(R(Qb) (3) Cholesky分解分解如果矩陣如果矩陣X是對稱正定的，則是對稱正定的，則Cholesky分解將矩陣分解將矩陣X分解成分解成一個(gè)下三角矩陣和上三角矩陣的乘積。設(shè)上三角矩陣為一個(gè)下

7、三角矩陣和上三角矩陣的乘積。設(shè)上三角矩陣為R，則下三角矩陣為其轉(zhuǎn)置，即則下三角矩陣為其轉(zhuǎn)置，即X=RR。MATLAB函數(shù)函數(shù)chol(X)用于對矩陣用于對矩陣X進(jìn)行進(jìn)行Cholesky分解，其調(diào)用格式為：分解，其調(diào)用格式為：R=chol(X)：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣R，使，使RR=X。若。若X為非對稱為非對稱正定，則輸出一個(gè)出錯(cuò)信息。正定，則輸出一個(gè)出錯(cuò)信息。R,p=chol(X)：這個(gè)命令格式將不輸出出錯(cuò)信息。當(dāng)：這個(gè)命令格式將不輸出出錯(cuò)信息。當(dāng)X為對為對稱正定的，則稱正定的，則p=0，R與上述格式得到的結(jié)果相同；否則與上述格式得到的結(jié)果相同；否則p為一個(gè)正整數(shù)。如果為一個(gè)正整數(shù)

8、。如果X為滿秩矩陣，則為滿秩矩陣，則R為一個(gè)階數(shù)為為一個(gè)階數(shù)為q=p-1的上三角陣，且滿足的上三角陣，且滿足RR=X(1:q,1:q)。實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)Cholesky分解后，線性方程組分解后，線性方程組Ax=b變成變成RRx=b，所以，所以x=R(Rb)。例例7-4 用用Cholesky分解求解例分解求解例7-1中的線性方程組。中的線性方程組。命令如下：命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;R=chol(A)? Error using = cholMatrix must be positive definite命令執(zhí)行時(shí)，出現(xiàn)

9、錯(cuò)誤信息，說明命令執(zhí)行時(shí)，出現(xiàn)錯(cuò)誤信息，說明A為非正定矩陣。為非正定矩陣。7.1.2 迭代解法迭代解法迭代解法非常適合求解大型系數(shù)矩陣的方程組。在數(shù)值分析迭代解法非常適合求解大型系數(shù)矩陣的方程組。在數(shù)值分析中，迭代解法主要包括中，迭代解法主要包括 Jacobi迭代法、迭代法、Gauss-Serdel迭代迭代法、超松弛迭代法和兩步迭代法。法、超松弛迭代法和兩步迭代法。1Jacobi迭代法迭代法對于線性方程組對于線性方程組Ax=b，如果，如果A為非奇異方陣，即為非奇異方陣，即aii0(i=1,2,n)，則可將，則可將A分解為分解為A=D-L-U，其中，其中D為對為對角陣，其元素為角陣，其元素為A的

10、對角元素，的對角元素，L與與U為為A的下三角陣和上的下三角陣和上三角陣，于是三角陣，于是Ax=b化為：化為：x=D-1(L+U)x+D-1b與之對應(yīng)的迭代公式為：與之對應(yīng)的迭代公式為：x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b這就是這就是Jacobi迭代公式。如果序列迭代公式。如果序列x(k+1)收斂于收斂于x，則，則x必必是方程是方程Ax=b的解。的解。Jacobi迭代法的迭代法的MATLAB函數(shù)文件函數(shù)文件Jacobi.m如下：如下：function y,n=jacobi(A,b,x0,eps)if nargin=3 eps=1.0e-6;elseif nargin=eps x0=y

11、; y=B*x0+f; n=n+1;end例例7-5 用用Jacobi迭代法求解下列線性方程組。設(shè)迭代初值為迭代法求解下列線性方程組。設(shè)迭代初值為0，迭代精度為迭代精度為10-6。在命令中調(diào)用函數(shù)文件在命令中調(diào)用函數(shù)文件Jacobi.m，命令如下：，命令如下：A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10;b=9,7,6;x,n=jacobi(A,b,0,0,0,1.0e-6)2Gauss-Serdel迭代法迭代法在在Jacobi迭代過程中，計(jì)算時(shí)，已經(jīng)得到，不必再用，即原迭代過程中，計(jì)算時(shí)，已經(jīng)得到，不必再用，即原來的迭代公式來的迭代公式Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b可以改進(jìn)為

12、可以改進(jìn)為Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b，于是得到：，于是得到：x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b該式即為該式即為Gauss-Serdel迭代公式。和迭代公式。和Jacobi迭代相比，迭代相比，Gauss-Serdel迭代用新分量代替舊分量，精度會(huì)高些。迭代用新分量代替舊分量，精度會(huì)高些。Gauss-Serdel迭代法的迭代法的MATLAB函數(shù)文件函數(shù)文件gauseidel.m如下：如下：function y,n=gauseidel(A,b,x0,eps)if nargin=3 eps=1.0e-6;elseif nargin=eps x0=y; y=G*

13、x0+f; n=n+1;end例例7-6 用用Gauss-Serdel迭代法求解下列線性方程組。設(shè)迭代迭代法求解下列線性方程組。設(shè)迭代初值為初值為0，迭代精度為，迭代精度為10-6。在命令中調(diào)用函數(shù)文件在命令中調(diào)用函數(shù)文件gauseidel.m，命令如下：，命令如下：A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10;b=9,7,6;x,n=gauseidel(A,b,0,0,0,1.0e-6)例例7-7 分別用分別用Jacobi迭代和迭代和Gauss-Serdel迭代法求解下列線性迭代法求解下列線性方程組，看是否收斂。方程組，看是否收斂。命令如下：命令如下：a=1,2,-2;1,1,1;2

14、,2,1;b=9;7;6;x,n=jacobi(a,b,0;0;0)x,n=gauseidel(a,b,0;0;0)7.2 非線性方程數(shù)值求解非線性方程數(shù)值求解7.2.1 單變量非線性方程求解單變量非線性方程求解 在在MATLAB中提供了一個(gè)中提供了一個(gè)fzero函數(shù)，可以用來求函數(shù)，可以用來求單變量非線性方程的根。該函數(shù)的調(diào)用格式為：單變量非線性方程的根。該函數(shù)的調(diào)用格式為： z=fzero(fname,x0,tol,trace)其中其中fname是待求根的函數(shù)文件名，是待求根的函數(shù)文件名，x0為搜索的起為搜索的起點(diǎn)。一個(gè)函數(shù)可能有多個(gè)根，但點(diǎn)。一個(gè)函數(shù)可能有多個(gè)根，但fzero函數(shù)只給出函

15、數(shù)只給出離離x0最近的那個(gè)根。最近的那個(gè)根。tol控制結(jié)果的相對精度，缺控制結(jié)果的相對精度，缺省時(shí)取省時(shí)取tol=eps，trace 指定迭代信息是否在運(yùn)算指定迭代信息是否在運(yùn)算中顯示，為中顯示，為1時(shí)顯示，為時(shí)顯示，為0時(shí)不顯示，缺省時(shí)取時(shí)不顯示，缺省時(shí)取trace=0。 例例7-8 求求f(x)=x-10 x+2=0在在x0=0.5附近的根。附近的根。 步驟如下：步驟如下：(1) 建立函數(shù)文件建立函數(shù)文件funx.m。 function fx=funx(x) fx=x-10.x+2; (2) 調(diào)用調(diào)用fzero函數(shù)求根。函數(shù)求根。 z=fzero(funx,0.5) z = 0.37587

16、.2.2 非線性方程組的求解非線性方程組的求解 對于非線性方程組對于非線性方程組F(X)=0，用，用fsolve函數(shù)求其數(shù)值解。函數(shù)求其數(shù)值解。fsolve函數(shù)的調(diào)用格式為：函數(shù)的調(diào)用格式為： X=fsolve(fun,X0,option)其中其中X為返回的解，為返回的解，fun是用于定義需求解的非線性方程組的是用于定義需求解的非線性方程組的函數(shù)文件名，函數(shù)文件名，X0是求根過程的初值，是求根過程的初值，option為最優(yōu)化工具為最優(yōu)化工具箱的選項(xiàng)設(shè)定。最優(yōu)化工具箱提供了箱的選項(xiàng)設(shè)定。最優(yōu)化工具箱提供了20多個(gè)選項(xiàng)，用戶可多個(gè)選項(xiàng)，用戶可以使用以使用optimset命令將它們顯示出來。如果想改

17、變其中某命令將它們顯示出來。如果想改變其中某個(gè)選項(xiàng)，則可以調(diào)用個(gè)選項(xiàng)，則可以調(diào)用optimset()函數(shù)來完成。例如，函數(shù)來完成。例如，Display選項(xiàng)決定函數(shù)調(diào)用時(shí)中間結(jié)果的顯示方式，其中選項(xiàng)決定函數(shù)調(diào)用時(shí)中間結(jié)果的顯示方式，其中off為不顯示，為不顯示，iter表示每步都顯示，表示每步都顯示，final只顯示只顯示最終結(jié)果。最終結(jié)果。optimset(Display,off)將設(shè)定將設(shè)定Display選項(xiàng)為選項(xiàng)為off。 例例7-9 求下列非線性方程組在求下列非線性方程組在(0.5,0.5) 附近的數(shù)值解。附近的數(shù)值解。 (1) 建立函數(shù)文件建立函數(shù)文件myfun.m。function

18、q=myfun(p)x=p(1);y=p(2);q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y);q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y); (2) 在給定的初值在給定的初值x0=0.5,y0=0.5下，調(diào)用下，調(diào)用fsolve函數(shù)求方程函數(shù)求方程的根。的根。x=fsolve(myfun,0.5,0.5,optimset(Display,off)x = 0.6354 0.3734將求得的解代回原方程，可以檢驗(yàn)結(jié)果是否正確，命令如下：將求得的解代回原方程，可以檢驗(yàn)結(jié)果是否正確，命令如下：q=myfun(x)q = 1.0e-009 * 0.2375 0.2957 可見得到

19、了較高精度的結(jié)果?？梢姷玫搅溯^高精度的結(jié)果。7.3 常微分方程初值問題的數(shù)值解法常微分方程初值問題的數(shù)值解法7.3.1 龍格庫塔法簡介龍格庫塔法簡介7.3.2 龍格庫塔法的實(shí)現(xiàn)龍格庫塔法的實(shí)現(xiàn) 基于龍格庫塔法，基于龍格庫塔法，MATLAB提供了求常微分方程數(shù)值提供了求常微分方程數(shù)值解的函數(shù)，一般調(diào)用格式為：解的函數(shù)，一般調(diào)用格式為： t,y=ode23(fname,tspan,y0) t,y=ode45(fname,tspan,y0)其中其中fname是定義是定義f(t,y)的函數(shù)文件名，該函數(shù)文件必須返回的函數(shù)文件名，該函數(shù)文件必須返回一個(gè)列向量。一個(gè)列向量。tspan形式為形式為t0,tf

20、,表示求解區(qū)間。表示求解區(qū)間。y0是初始是初始狀態(tài)列向量。狀態(tài)列向量。t和和y分別給出時(shí)間向量和相應(yīng)的狀態(tài)向量。分別給出時(shí)間向量和相應(yīng)的狀態(tài)向量。例例7-10 設(shè)有初值問題，試求其數(shù)值解，并與精確解相比較設(shè)有初值問題，試求其數(shù)值解，并與精確解相比較(精確解為精確解為y(t)=)。 (1) 建立函數(shù)文件建立函數(shù)文件funt.m。function yp=funt(t,y)yp=(y2-t-2)/4/(t+1);(2) 求解微分方程。求解微分方程。t0=0;tf=10;y0=2;t,y=ode23(funt,t0,tf,y0); %求數(shù)值解求數(shù)值解y1=sqrt(t+1)+1; %求精確解求精確解tyy1 y為數(shù)值解，為數(shù)值解，y1為精確值，顯然兩者近似。為精確值，顯然兩者近似。例例7-11 求解著名的求解著名的Van der Pol方程。方程。例例7-12 有有Lorenz模型的狀態(tài)方程，試?yán)L制系統(tǒng)相平面圖。模