第2章隨機變量及其分布

1、2022-4-221第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布2.1 隨機變量及分布函數(shù)隨機變量及分布函數(shù)2022-4-2222.1.1 隨機變量隨機變量觀察以下隨機試驗的結果觀察以下隨機試驗的結果:例例2.1 擲一枚色子考察出現(xiàn)的點數(shù)擲一枚色子考察出現(xiàn)的點數(shù),則則6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 試驗結果與數(shù)之間試驗結果與數(shù)之間的恒等映射為的恒等映射為:6,.,2 , 1,)( iiXi 例例2.2 某廠出廠燈泡中抽取一只做壽命某廠出廠燈泡中抽取一只做壽命試驗試驗,記錄燈泡的壽命記錄燈泡的壽命,則則0| 樣本點與數(shù)之間也有恒等映射樣本點與數(shù)之間也有恒等映射 )(X2022-4-

2、223例例2.4 隨機從某人群中抽樣隨機從某人群中抽樣,觀察抽得的人觀察抽得的人的性別的性別,此時此時,21男，女男，女 我們可以建立樣本點與數(shù)之間的映射為我們可以建立樣本點與數(shù)之間的映射為: 0)()(1)()(21女女男男XXXX 定義定義2.1 設設 是一試驗的樣本空間是一試驗的樣本空間,如果對如果對于每一個樣本點于每一個樣本點 ,規(guī)定一個實數(shù)規(guī)定一個實數(shù))( X這樣就定義了一個定義域為這樣就定義了一個定義域為 的實值函數(shù)的實值函數(shù))( XX ,稱稱X為為隨機變量隨機變量注意注意:還有許多試驗的結果本身不是實數(shù)還有許多試驗的結果本身不是實數(shù)2022-4-224隨機變量的定義隨機變量的定義

3、隨機變量隨機變量常用常用X、Y、Z 或或 、 、 等表示等表示2022-4-225隨機變量與普通函數(shù)的區(qū)別隨機變量與普通函數(shù)的區(qū)別(1)定義域是樣本空間定義域是樣本空間,樣本空間不一定樣本空間不一定是實空間是實空間;(2)隨機變量的取值具有隨機性隨機變量的取值具有隨機性;即試驗即試驗之前之前,不知道樣本空間不知道樣本空間 中哪一個樣本點中哪一個樣本點 出現(xiàn)出現(xiàn),從而從而 )( X取何值不能確定取何值不能確定,而而試驗之后試驗之后,)( X才確定取何值才確定取何值;(3)隨機變量的取值具有一定的概率隨機變量的取值具有一定的概率;例如例如61)2)( XP在例在例2.1中中,2022-4-226利

4、用隨機變量表示事件利用隨機變量表示事件有了隨機變量的定義之后有了隨機變量的定義之后,我們可以用我們可以用隨機隨機變量落入某個區(qū)域變量落入某個區(qū)域來表示隨機事件來表示隨機事件.例如例如:用用“5 , 3 , 1 X”表示打色子的時候表示打色子的時候“出現(xiàn)奇數(shù)點出現(xiàn)奇數(shù)點”這一隨機事件；用這一隨機事件；用“ ”1 X表示表示“打出的色子數(shù)等于打出的色子數(shù)等于1”這一隨機事件這一隨機事件.一般情況下，我們可以用一般情況下，我們可以用)(|GX 表示隨機變量取值在表示隨機變量取值在G中的樣本點構成的中的樣本點構成的事件，簡記為事件，簡記為)(GX 2022-4-2272.1.2 隨機變量的分布函數(shù)隨機

5、變量的分布函數(shù)定義定義2.2 設設X是是隨機變量，對任意實數(shù)隨機變量，對任意實數(shù)xR，定義，定義 F(x)P(X x)稱稱F(x) 為隨機變量為隨機變量X的的分布函數(shù)分布函數(shù).注注 (1) 分布函數(shù)的本質是一個概率，即分布函數(shù)的本質是一個概率，即 事件事件|X() x的概率的概率P(X x)(2) 對任意實數(shù)對任意實數(shù)a, b (ab), P(aX b) F( b)F(a)2022-4-228X012P0.10.60.3例例2.5 已知隨機變量已知隨機變量X的的取值情況如右表，求取值情況如右表，求X的的分布函數(shù)分布函數(shù)分布函數(shù)的求法分布函數(shù)的求法( )()F xP Xx 0,00.1,010.

6、7,121,2xxxx 因為分布函數(shù)是定義在整個數(shù)軸上，所以因為分布函數(shù)是定義在整個數(shù)軸上，所以0122022-4-229可見可見,此題中此題中,F(x)是一個階梯型函數(shù)是一個階梯型函數(shù))(xFx01122022-4-2210例例2.6某射手向半徑為某射手向半徑為R的圓形靶射擊一次，假定的圓形靶射擊一次，假定不會脫靶。彈著點落在以靶心為圓心，不會脫靶。彈著點落在以靶心為圓心，r 為為半徑的圓形區(qū)域的概率與該區(qū)域的面積成正半徑的圓形區(qū)域的概率與該區(qū)域的面積成正比比,設隨機變量設隨機變量X表示彈著點與靶心的距離表示彈著點與靶心的距離,求求X的分布函數(shù)的分布函數(shù),并求概率并求概率)434(RXRP

7、RX解解: 對任意的對任意的2)0(, 0 xkxXPRx 2022-4-2211例例2.621Rk 2)0(1RkRXP 由題意由題意,(1)0,( )()()0 xF xP XxP 當當2222)0()0()()(,0)2(RxRxxXPXPxXPxFRx 當當1)()(,)3( xXPxFRx當當2022-4-2212例例2.621)4()43(1)4()43()434(222 RRRRXPRXPRXRPF(x)xF(x)是一個是一個單調不減的單調不減的函數(shù)函數(shù)2022-4-2213定理定理2.1 分布函數(shù)的性質分布函數(shù)的性質 1)單調不減性單調不減性：若：若x12)與分布與分布函數(shù)函數(shù)

8、.解解:Xp1107297103 3120741201P(X2)=P(X=3)+P(X=4)=1/152022-4-2220例例2.7 120141207330721071X由題意由題意: , 1,120/730/710/7,30/710/7,10/7, 0)(xF1 x21 x32 x43 xx 42022-4-2221解解: :設設Ai表示第表示第i個零件不合格個零件不合格, ,它們之間它們之間互相獨立互相獨立. .用一臺機器獨立地制造用一臺機器獨立地制造3個同種零件個同種零件, ,第第i個個零件不合格的概率為零件不合格的概率為1/(i+1), i=1,2,3. .以以X表表示三個零件中不

9、合格品的個數(shù)，求示三個零件中不合格品的個數(shù)，求X的分的分布律與分布函數(shù)布律與分布函數(shù). .)()0(321AAAPXP 3141)411)(311)(211()(iiAP例例2022-4-2222)()()()1(321321321AAAPAAAPAAAPXP 2411413221433121433221 )()()()2(321321321AAAPAAAPAAAPXP 41413121413221433121 241413121)()3(321 AAAPXP2022-4-2223X 241412411413210 , 1,24/23,24/17, 4/1, 0)(xF0 x10 x21 xx

10、 332 x2022-4-22242.2.2 常見的離散型分布常見的離散型分布(1) 幾何分布幾何分布定義定義2.4 若隨機變量若隨機變量X取值為取值為1,2,且且,.2 , 1,)(1 kpqkXppkk其中其中,1, 10pqp 則稱則稱X服從參數(shù)服從參數(shù)為為p的的幾何分布幾何分布,記為記為)(pGX可見可見,若一個隨機變量若一個隨機變量X表示重復的貝努利表示重復的貝努利試驗中試驗中,首次成功出現(xiàn)所需的試驗次數(shù)首次成功出現(xiàn)所需的試驗次數(shù),則則)(pGX2022-4-2225(2) 超幾何分布超幾何分布定義定義2.5 設設N,n,m為正整數(shù)為正整數(shù),若隨機變量若隨機變量 X 的分布律為的分布

11、律為nkCCCkXPpnNknmNkmk,.,1 , 0,)( 則稱則稱X服從服從超幾何分布超幾何分布,記為記為),(NmnHX古典概型中古典概型中,不放回摸球試驗不放回摸球試驗,N個球個球,其中有其中有m 個紅球個紅球,隨機從隨機從N個球中取個球中取n個個,取到紅球取到紅球的個數(shù)為的個數(shù)為X,則則),(NmnHX2022-4-2226(3) 二項分布二項分布則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為n，p的的二項分布二項分布，記，記為為XB(n,p)定義定義2.6 設隨機變量設隨機變量X的可能取值為的可能取值為0,1，2,n ，且且nkqpCkXPknkkn, 1 , 0,)( 特別地特別地,當當n=1

12、時，二項分布時，二項分布XB(1,p)，即為即為(0-1)分布分布. ppX1102022-4-2227某人獨立地射擊，設每次射擊的命中率某人獨立地射擊，設每次射擊的命中率為為0.02，射擊，射擊400次，求至少擊中目標兩次，求至少擊中目標兩次的概率次的概率. . 解解 每次射擊看成一次試驗，設擊中次每次射擊看成一次試驗，設擊中次 數(shù)為數(shù)為X，則則 XB(400, ,0.02) X的分布律為的分布律為 400, 2 , 1 , 0,98. 002. 0)(400400 kCkXPkkk例例2022-4-2228所求概率為所求概率為 )400() 3() 2() 2( XPXPXPXP)1()0

13、(1 XPXP997. 098. 002. 040098. 01399400 2022-4-2229二項分布的最有可能次數(shù)二項分布的最有可能次數(shù) pqkqkpnkXPkXP 111) 1()(若若XB(n,p)，則，則可見可見,pk是先是隨著是先是隨著 k 的增大而增大，達的增大而增大，達到其最大值后再隨著到其最大值后再隨著k 的增大而減少的增大而減少. 記二項分布的最可能次數(shù)為記二項分布的最可能次數(shù)為k 0 otherspnNpnpnpnk,) 1() 1(1) 1() 1(0，和和2022-4-2230(4) 泊松泊松(Poisson)分布分布)0(, 2 , 1 , 0,!)( kekk

14、XPk則稱則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的泊松分布泊松分布， X P( ).定義定義2.7 若隨機變量若隨機變量X可能的取值為可能的取值為0,1,2,且且可證：二項分布以泊松分布為極限分布可證：二項分布以泊松分布為極限分布 定理定理2.2(泊松定理泊松定理) 設隨機變量設隨機變量,!)1(lim ekppCkknnknknn),(nnpnBX且滿足且滿足 nnp則則2022-4-2231證：二項分布以泊松分布為極限分布證：二項分布以泊松分布為極限分布 左左=knknnknnnk )1()(1).(1(!1 knkknnnknnnk)1()1()1).(1(! ennn)1(lim11得證得

15、證2022-4-2232P(X 2)=1 P(X0)P(X1) =1(18)e80.996981 上例上例 可用泊松定理計算可用泊松定理計算取取 =np=4000.028, 故近似地有故近似地有2022-4-2233例例2.12 某網(wǎng)吧有某網(wǎng)吧有300臺電腦臺電腦,每臺電腦的上網(wǎng)人因每臺電腦的上網(wǎng)人因各種原因需要網(wǎng)管幫助的概率為各種原因需要網(wǎng)管幫助的概率為0.01,現(xiàn)在現(xiàn)在有兩種方式配備網(wǎng)管有兩種方式配備網(wǎng)管: A:配備配備10名網(wǎng)管名網(wǎng)管,每人負責每人負責30臺電腦臺電腦; B:配備配備8名網(wǎng)管名網(wǎng)管,共同負責共同負責300臺電腦臺電腦;(1) 證明證明:方式方式B比方式比方式A效果好效果好

16、;(2) 若只需要方式若只需要方式B下有上網(wǎng)人得不到及時下有上網(wǎng)人得不到及時幫助的概率小于幫助的概率小于0.02,則則8名網(wǎng)管可減少至名網(wǎng)管可減少至幾名幾名? ?2022-4-2234例例2.12 證明證明:設設 分別為兩種方式下有人得分別為兩種方式下有人得不到幫助的概率不到幫助的概率,則只需證則只需證21, pp21pp X為方式為方式A下一名網(wǎng)管負責的下一名網(wǎng)管負責的30臺電腦中臺電腦中任意時刻需要幫助的人數(shù)任意時刻需要幫助的人數(shù),)01. 0 ,30( BX設設Ai為方式為方式A下一名網(wǎng)管負責的下一名網(wǎng)管負責的30臺電腦臺電腦中有人得不到及時幫助中有人得不到及時幫助,i=1,2,1003

17、61. 0)1()0(1)2()( XPXPXPAPi2022-4-2235例例2.12 注意注意1021,.,AAA相互獨立相互獨立,于是于是1121012101210(.)1(.)1P() P()P()0.3077pP AAAP AAAAAA 2022-4-2236例例2.12 Y為方式為方式B下下300臺電腦中任一時刻需要幫臺電腦中任一時刻需要幫助的人數(shù)助的人數(shù),)01. 0 ,300( BY由于由于np=3,近似地有近似地有)3( PY于是于是,查泊松查泊松分布表分布表,有有0038. 0)9()8(2 YPYPp(2)設設N為使得為使得02. 0)1()( NYPNYP的最小的的最小

18、的N,查泊松分布表查泊松分布表,得得N+1=82022-4-2237某商店出售某種商品，具歷史記錄分析，某商店出售某種商品，具歷史記錄分析，每月銷售量服從參數(shù)每月銷售量服從參數(shù) =5的泊松分布。問的泊松分布。問在月初進貨時，要庫存多少件此種商品，在月初進貨時，要庫存多少件此種商品，才能以才能以0.999的概率充分滿足顧客的需要？的概率充分滿足顧客的需要？解解 用用X表示每月銷量，則表示每月銷量，則XP( )= P(5)。由題意，要求由題意，要求k，使得使得P(Xk)0.999，即即999. 0)1(1)(1)( kXPkXPkXP思考題思考題2022-4-2238001.0999.01)1(

19、kXP這里的計算通過查這里的計算通過查Poisson分布表得到分布表得到, , =5 001.0000698.0)14( XP001. 0002019. 0)13( XPk+1=14時時, ,k+1=13時時,所以所以，k=13，即月初進貨庫存要即月初進貨庫存要13件件. . 2022-4-2239對離散型隨機變量的認識對離散型隨機變量的認識(1) 離散型隨機變量是通過離散型隨機變量是通過“分布律分布律”來來刻畫的；刻畫的；(2) 分布律包括兩點分布律包括兩點:一是隨機變量的取值一是隨機變量的取值二是隨機變量取值對應的概率二是隨機變量取值對應的概率;(3) 若已知分布律若已知分布律:A.可求隨

20、機變量落入任意區(qū)域的概率可求隨機變量落入任意區(qū)域的概率;B.可求隨機變量的分布函數(shù)可求隨機變量的分布函數(shù);2022-4-22402.3 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量定義定義2.8 設隨機變量設隨機變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x),若存在非負可積函數(shù)若存在非負可積函數(shù) f(x)，使得，使得( )( ),xF xf t dtxR 則稱則稱X為為連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量,概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)，記為簡稱密度函數(shù)，記為 f(x) 為為X 的的X f (x) 2022-4-2241xf(x)( )( )xF xf t dt 密度函數(shù)本身并不表示概率密度函數(shù)本身并不表示概率,對密

21、度函數(shù)對密度函數(shù)的積分才是概率的積分才是概率.也就是說也就是說,密度函數(shù)圖密度函數(shù)圖象下的面積才表示概率象下的面積才表示概率密度函數(shù)的意義密度函數(shù)的意義2022-4-2242x2f(x)密度函數(shù)的意義密度函數(shù)的意義x1問問:f(x1)f(x2)意味著什么呢意味著什么呢?答答: f(x1)x f(x2)x,表示隨機變量表示隨機變量X落入落入x1附近的可能性要比落入附近的可能性要比落入x2附近附近的可能性大的可能性大.2022-4-2243密度函數(shù)的性質密度函數(shù)的性質; 0)( xf( )1f x dx ()()baP aXbfx dx 定理定理2.3 X為連續(xù)型隨機變量為連續(xù)型隨機變量,F(x)

22、和和f(x)分別為分別為X的分布函數(shù)與密度函數(shù)的分布函數(shù)與密度函數(shù),則則(1) 對任意對任意a,b(ab),有有(1) 非負性非負性：(2) 歸一性歸一性：這兩個性質這兩個性質也是密度函也是密度函數(shù)的特征數(shù)的特征2022-4-2244密度函數(shù)的性質密度函數(shù)的性質(2) F(x)是連續(xù)函數(shù)且在是連續(xù)函數(shù)且在f(x)的連續(xù)點，有的連續(xù)點，有( )( )Fxf x 連續(xù)型隨機變量取單個值的概率為零連續(xù)型隨機變量取單個值的概率為零(3) 對任意實數(shù)對任意實數(shù)c，有有P(X=c)0因此，對連續(xù)型隨機變量因此，對連續(xù)型隨機變量X，有，有)()()()(bXaPbXaPbXaPbXaP badxxfaFbF

23、)()()(2022-4-2245例例2.13已知隨機變量已知隨機變量X的密度為的密度為 其它, 031 ,)(xbaxxf且且P(2X3)=2P(1X0函數(shù)的性質：函數(shù)的性質：(3)(3)如果如果n n為自然數(shù)，則為自然數(shù)，則2022-4-2260定義定義2.12 設隨機變量設隨機變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 分布分布 1000 xxexfxx 則稱隨機變量則稱隨機變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的分布分布., ( )e 注注意意， =1=1時時， 分分布布為為指指數(shù)數(shù)分分布布記為記為 X(,)2022-4-2261例例2.15某廠生產的元件其壽命某廠生產的元件其壽命1(2,)2X 1) 隨

24、機取一個元件隨機取一個元件,求該元件壽命大于求該元件壽命大于4萬小時的概率萬小時的概率;2) 隨機取隨機取10個元件個元件,求至少有求至少有1個元件壽個元件壽命大于命大于4萬小時的概率萬小時的概率;解解:由題意由題意,X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為: 21,04xfxx ex 2022-4-2262 41) (4)P Xfx dx 例例2.1510(1)1(0)10.594P YP Y2) 設設Y表示表示10只元件中壽命大于只元件中壽命大于4的只數(shù)的只數(shù),則則YB(10,0.406) 21,04xfxx ex 已知已知:求求分部積分分部積分2241() ()30.4062xx d ee |bbba

25、aaudvuvvdu2022-4-22632.4 隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布例例2.16 X有概率分布有概率分布10120.20.30.30.2X 321,2XYXZ 求求Y,Z的概率分布的概率分布.解解: Y的取值為的取值為0,1,4,分別求分別求Y取這些值取這些值的概率的概率:P(Y=0)=P(X=0)=0.3P(Y=1)=P(X=-1 或或 X= 1)=0.52022-4-2264P(Y=4)=P(X=2)=0.2從而從而0140.30.50.2Y類似地類似地,可得可得00.514.50.20.30.30.2Z2022-4-2265例例2.17設隨機變量設隨機變量X的密度函數(shù)為

26、的密度函數(shù)為2 ,01( )0,Xxxfx 其其它它Y=-2lnX,求求Y的密度函數(shù)的密度函數(shù).解解: 當當X取值在取值在(0,1)內時內時,Y的值域為的值域為(0,)Y的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為:( )()( 2ln)YFyP YyPXy2( )()yYFyP Xe 2022-4-22662 ,01( )0,Xxxfx 其其它它2( )()yYFyP Xe 21(0)21yyeyxdxe 當當2(0)00yeydx 當當例例2.172022-4-22671,0( )0,0yYeyFyy ( ),0( )0,0yYYFyeyfyy 例例2.17連續(xù)型連續(xù)型情形下情形下,求密度函數(shù)的一般方法求密度

27、函數(shù)的一般方法:2022-4-2268( )( ),(),( )( ),( )()( ()( )( )( )( )( )( )0YG yYYYXf x Yg XYR YyR YYFyP YyP g XyP XG yf x dxFyfyyR YyR Yfy 已已知知隨隨機機變變量量 有有密密度度函函數(shù)數(shù)則則 (1) (1) 確確定定 的的值值域域 (2) (2) 對對任任意意 求求出出 的的分分布布函函數(shù)數(shù) (3) (3) 對對求求導導，可可得得， (4) (4) 對對) )時時，取取一般方法一般方法2022-4-2269例例2.19設隨機變量設隨機變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為1|,20( )

28、4,01Xxxfxxx Y=X2,求求Y的密度函數(shù)的密度函數(shù).解解: 易得易得 R(Y)=0,4,4 , 0 y有有)()()(2yXyPyXPyFY 注意注意X的密度函數(shù)定義在兩個不同區(qū)間上的密度函數(shù)定義在兩個不同區(qū)間上2022-4-2270例例2.191|,20( )4,01Xxxfxxx 01,( )( )yYXyyFyfx dx 0015()48yyx dxxdxy ( )()YF yPyXy 114,( )( )YXyyFyfx dx 010111()482yx dxxdxy 2022-4-2271例例2.195,0181,14( )( )80,其它YYyyfyFy 2022-4-2272典型題分析典型題分析例例1 設離散型隨機變量設離散型隨機變量X的分布律為的分布律為 11Yg X 試求隨機變量試求隨機變量Y的分布律的分布律.若若X為奇數(shù)為奇數(shù)若若X為偶數(shù)為偶數(shù)2022-4-2273解：解