三年級奧數(shù)專題知識要點系列之方陣問題講解

1、小學三年級奧數(shù)題：三年級奧數(shù)知識要點系列之方陣問題同學們要參加運動會入場式，要進行隊列操練，解放軍排著整齊的方隊接受檢閱等，無論是訓練或接受檢I，都要按一定的規(guī)則排成一定的隊形，于是就產(chǎn)生了這一類的數(shù)學問題，今天我們將共同研究和分析這類問題。士兵排隊，橫著排叫行，豎著排叫列，若行數(shù)與列數(shù)都相等，正好排成一個正方形，這就是一個方隊，這種方隊也叫做方陣（亦叫乘方問題）。方陣的基本特點：（1）方陣不論哪一層，每邊上的人（或物）數(shù)量都相同，每向里一層，每邊上的人數(shù)就少2。（2）每邊人（或物）數(shù)和四周人（或物）的關系；四周人（或物）數(shù)=每邊人（或物）數(shù)-1X4每邊人（或物）數(shù)二四周人（或物）數(shù)+4+1（

2、3）中實方陣的總人數(shù)（或物尸每邊人（或物）數(shù)x每邊人（或物）數(shù)（4）空心方陣的總人（或物）數(shù)=（最外層每邊人（或物）數(shù)一空心方陣的層數(shù)）X空心方陣的層數(shù)X4例1.三年級一班參加運動會入場式，排成一個方陣，最外層一周的人數(shù)為20人，問方陣最外層每邊的人數(shù)是多少？這個方陣共有多少人？分析：根據(jù)四周人數(shù)與每邊人數(shù)的關系可知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)+4+1，可以求出這個方陣最外層每邊的人數(shù)，那么這個方陣隊列的總人數(shù)就可以求了。解：（1）方陣最外層每邊的人數(shù)：20+4+1=5+1=6（人）（2）整個方陣共有學生人數(shù)：6X6=36（人）答：方陣最外層每邊的人數(shù)是6人，這個方B$共有36人。例2.明明用圍棋子擺

3、成一個三層空心方陣，如果最外層每邊有圍棋子15個，明明擺這個方陣最里層一周共有多少棋子？擺這個三層空心方陣共用了多少個棋子？分析：（1）方陣每向里面一層，每邊的個數(shù)就減少2個，知道最外面一層，每邊放15個，可以求出最里層每邊的個數(shù)，就可以求出最里層一周放棋子的總數(shù)。(2)根據(jù)最外層每邊放棋子的個數(shù)減去這個空心方陣的層數(shù)，再乘以層數(shù)，再乘以4,計算出這個空心方陣共用棋子多少個。解：(1)最里層一周棋子的個數(shù)是：(15-2-2-1)X4=40(個)(2)這個空心方陣共用的棋子數(shù)是：(15-3)X3X4=144(個)答：這個方陣最里層一周有40個棋子；擺這個空心方陣共用144個棋子。例3.玲玲家的花

4、園中，有一個如下圖那樣，由四個大小相同的小等邊三角形組成的一個大三角形花壇，玲玲在這個花壇上種了若干棵雞冠花，已知每個小三角形每邊上種雞冠花5棵，問大三角形的一周有雞冠花多少棵？玲玲一共種雞冠花多少棵？分析：(1)由圖可知大三角形的一條邊是由兩條小三角形的邊組成的，而在大三角形一條邊的中間那棵花，是兩條小三角形的邊所共用的，所以如果小三角形每邊種花5棵,那么大三角形每邊上種花的棵數(shù)就是5X2-1=9棵了，又由于大三角形三個頂點上的3棵花，都是大三角形的兩條邊所共用的，所以大三角形一周種花的棵數(shù)等于大三角形三邊上種花棵數(shù)的和減去三個頂點上重復計算的3棵花，即:9X3-3=24,就是大三角形一周種

5、花的棵數(shù)。(2)三角形各條邊上種雞冠花棵數(shù)的總和，等于里邊小三角形一周上種花的棵數(shù)，加上大三角形一周種花的棵數(shù)，再減去重復計算的3棵花(因為里邊小三角形的三個頂點上的三棵花，也分別是外邊大三角形每條邊上的一棵花)。解:(1)大三角形一周上種花的棵數(shù)是：(5X2-1)X3-3=24(棵)(2)小三角形一周種雞冠花的棵數(shù)是:(5-1)X3=12(棵)(3)玲玲一共種雞冠花的棵數(shù)是：24+12-3=33(棵)答：大三角形一周種雞冠花24棵；玲玲一共種雞冠花33棵。例4.五年級學生分成兩隊參加學校廣播操比賽，他們排成甲乙兩個方陣，其中甲方陣每邊的人數(shù)等于8,如果兩隊合并，可以另排成一個空心的丙方陣，丙

6、方陣每邊的人數(shù)比乙方陣每邊的人數(shù)多4人，甲方陣的人數(shù)正好填滿丙方陣的空心五年級參加廣播操比賽的一共有多少人？分析：若只排列一個乙方陣，則多余的人數(shù)為(即甲方陣的人數(shù))8X8=64(人，排列一個實心的丙方陣，不足的人數(shù)是：8X8=64(人)假設丙方陣為實心方陣，則乙多的人數(shù)是：8X8+8X8=128(人，又根據(jù)方陣擴展一層，每邊增加2人，丙方陣比乙方陣的外邊多4人，丙方陣多于乙方陣的層數(shù)是42=2(層),方陣擴展2層，需要增加128人，則方陣最外層的人數(shù)是（128+2X4）+2=68（人），丙方陣的總人數(shù)18X18-8X8=260（人）解：（1）假設丙方陣為實心方陣，則方陣最外層的人數(shù)是:（8X

7、8+8X8+2X4）+2=68（人）（2）丙方陣最外層每邊的人數(shù)是：68+4+1=18（人）（3）空心丙方陣的總人數(shù):18X18-8X8=324-64=260（人）答：五年級參加廣播操比賽的一共有260人。例5.有楊樹和柳樹以隔株相間的種法，種成7行7列的方陣，問這個方陣最外一層有楊樹和柳樹各多少棵？方陣中共有楊樹，柳樹各多少棵？分析：根據(jù)已知條件柳樹和楊樹的種法有如下兩種，假設黑點表示楊樹，白點表示柳樹觀察圖（1）（2）不管是柳樹種在方陣最外層的角上還是楊樹種在方陣最外層的角上，方陣中除最里邊一層外其它層楊樹和柳樹都是相同的。因而楊秋口柳樹的棵數(shù)相等，即最外層楊，柳樹分別為（7-1）X4+2=12（棵）。當柳樹種在方陣最外層的角上時，最內層的一棵是柳樹；當楊樹種在方陣最外層的角上時，最內層的一棵是楊樹，即在方陣中，楊樹和柳樹總數(shù)相差1棵。解：（1）最外層楊柳樹的棵數(shù)分別為：（7-1）X4+2=12（棵）（2）當楊樹種在最外層角上時，楊樹比柳樹多1棵：楊樹:（7X7+1）+2=25（棵）柳樹：7X7-25=24（棵）（3）當柳樹種在最外層角上時，柳樹比楊樹