高等數(shù)學(xué)-第七版-課件-3-9曲率

1、第九講 曲率曲曲 率率一、弧微分二、曲率及其計(jì)算公式三、曲率圓與曲率半徑曲曲 率率一、弧微分二、曲率及其計(jì)算公式三、曲率圓與曲率半徑0M0 xMxxyo規(guī)定：規(guī)定：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在在(a,b)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)M0(x0，y0)度量基點(diǎn)度量基點(diǎn)M(x，y)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)(1) 曲線(xiàn)的正向與曲線(xiàn)的正向與x增大的方向一致增大的方向一致s0s0s為為x的函數(shù)，記為：的函數(shù)，記為：s(x)s(x)為為x的單調(diào)增加函數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)有向弧段的值有向弧段的值的方向與曲線(xiàn)的正向相反的方向與曲線(xiàn)的正向相反MM0的方向與曲線(xiàn)的正向一致的方向與曲線(xiàn)的正向一致MM0(2) 有向弧段有向弧段

2、的值為的值為sMM0MM0| sM Rxx M0M0 xxxyo弧微分弧微分x的值：的值：xx+x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)：對(duì)應(yīng)的點(diǎn)：MM0,xMM 0limxyyx dd21syx s(x)為為x的單調(diào)增加函數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)dd21syx 弧微分公式弧微分公式y(tǒng) MMs 22222)(|xMMMMMMxMMxs 2222)()()(|xyxMMMM 221|xyMMMM 221|xyMMMMxs1|lim MMMMMM曲曲 率率一、弧微分二、曲率及其計(jì)算公式三、曲率圓與曲率半徑曲曲 率率一、弧微分二、曲率及其計(jì)算公式三、曲率圓與曲率半徑描述曲線(xiàn)局部性質(zhì)（彎曲程度）描述曲線(xiàn)局部性質(zhì)（彎曲程度）1M3M)2 2

3、M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段彎曲程度越大轉(zhuǎn)角越大弧段彎曲程度越大轉(zhuǎn)角越大轉(zhuǎn)角相同轉(zhuǎn)角相同,弧段越短彎曲程度越大弧段越短彎曲程度越大1 )背景背景定義定義) S S) .M .MC0MyxosKs 0limMM切線(xiàn)轉(zhuǎn)角切線(xiàn)轉(zhuǎn)角: Ks dds 曲線(xiàn)曲線(xiàn)C在在M處的曲率處的曲率|sMM 的平均曲率的平均曲率MM 計(jì)算公式計(jì)算公式(1) 直線(xiàn)的曲率處處為零直線(xiàn)的曲率處處為零;(2) 圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù)圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù),半徑越小曲率越大半徑越小曲率越大.,tany 2dd ,1yxy arctan,y 2d1dsyx l注注sKs 0limdds 3 221y

4、ky ( )( )xtyt C: 3 222( )( )( ) ( )( )( )ttttktt u例例1拋物線(xiàn)拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c上哪一點(diǎn)處的曲率最大上哪一點(diǎn)處的曲率最大?曲曲 率率一、弧微分二、曲率及其計(jì)算公式三、曲率圓與曲率半徑曲曲 率率一、弧微分二、曲率及其計(jì)算公式三、曲率圓與曲率半徑D)(xfy Mk1 xyo定義定義設(shè)曲線(xiàn)設(shè)曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)M(x,y)處的曲率為處的曲率為K(K0).在點(diǎn)在點(diǎn)M處的曲線(xiàn)的法線(xiàn)上處的曲線(xiàn)的法線(xiàn)上,在在凹的一側(cè)取一點(diǎn)凹的一側(cè)取一點(diǎn)D,使使1DMK 以以D為圓心為圓心,為半徑作圓為半徑作圓,稱(chēng)為曲線(xiàn)在點(diǎn)稱(chēng)為曲線(xiàn)在點(diǎn)M處的曲率圓處的曲率圓.其中其中: D曲率中心曲率中心曲率半徑曲率半徑l注注1. 曲率半徑與曲率互為倒數(shù)曲率半徑與曲率互為倒數(shù).2. 曲率半徑越大曲率半徑越大, 曲線(xiàn)越平坦曲線(xiàn)越平坦;曲率半徑越小曲率半徑越小, 曲線(xiàn)越彎曲曲線(xiàn)越彎曲.3.曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的曲率圓弧可近似代替該點(diǎn)附近曲線(xiàn)弧曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的曲率圓弧可近似代替該點(diǎn)附近曲線(xiàn)弧u思考思考橢圓橢圓 x=2cost，y=3sint 上哪些點(diǎn)處曲率最大上哪些點(diǎn)處曲率最大？l解答解答232)(1 |yyk 2322)cos