高等數(shù)學第七版課件106三重積分在柱坐標和球坐標系下的計算

1、第六講 三重積分在柱坐標和球坐標系下的計算三重積分在柱坐標和球坐標系下的計算三重積分在柱坐標和球坐標系下的計算一、三重積分在柱坐標系下的計算二、三重積分在球坐標系下的計算三重積分在柱坐標和球坐標系下的計算三重積分在柱坐標和球坐標系下的計算一、三重積分在柱坐標系下的計算二、三重積分在球坐標系下的計算一、三重積分在柱坐標系下的計算一、三重積分在柱坐標系下的計算（一）柱坐標系（二）柱坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法一、三重積分在柱坐標系下的計算一、三重積分在柱坐標系下的計算（一）柱坐標系（二）柱坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法oxyz,R)

2、,(3zyxM設sinyzz cosx常數(shù)在柱坐標系下在柱坐標系下圓柱面圓柱面常數(shù)半平面半平面常數(shù)z平面平面oz),(zyxM)0 ,(yx柱坐標系柱坐標系平面極坐標系添加平面極坐標系添加oz軸得到的空間坐標系軸得到的空間坐標系柱坐標柱坐標, , x y, ,x y z, , z 點點M的的柱坐標柱坐標直角坐標與柱坐標的關系直角坐標與柱坐標的關系規(guī)定規(guī)定0,02,z一、三重積分在柱坐標系下的計算一、三重積分在柱坐標系下的計算（一）柱坐標系（二）柱坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法一、三重積分在柱坐標系下的計算一、三重積分在柱坐標系下的計算（一）柱坐標系（二）柱坐標系

3、的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法一般地一般地若若在在xoy面的投影面的投影為圓或圓的一部分為圓或圓的一部分則可以考慮用柱坐標計算三重積分則可以考慮用柱坐標計算三重積分在在( , , )df x y zv中中f(x,y,z)中含有中含有22xy或或arctanyx的項的項為圓柱體為圓柱體一、三重積分在柱坐標系下的計算一、三重積分在柱坐標系下的計算（一）柱坐標系（二）柱坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法一、三重積分在柱坐標系下的計算一、三重積分在柱坐標系下的計算（一）柱坐標系（二）柱坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法z

4、zdddzvddddxyzodd將直角坐標系下三重積分化為柱坐標系下三重積分將直角坐標系下三重積分化為柱坐標系下三重積分1體積元素的變化體積元素的變化2被積函數(shù)的變化被積函數(shù)的變化, ,fx y zcos ,sin ,fz 3積分區(qū)域的變化積分區(qū)域的變化將將的邊界曲面用柱坐標表示的邊界曲面用柱坐標表示柱坐標系下三重積分計算公式柱坐標系下三重積分計算公式( , )d(cos,sin, ) d d df x y zvfzz 一、三重積分在柱坐標系下的計算一、三重積分在柱坐標系下的計算（一）柱坐標系（二）柱坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法一、三重積分在柱坐標系下的計算一

5、、三重積分在柱坐標系下的計算（一）柱坐標系（二）柱坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法將柱坐標系下的三重積分化為累次積分將柱坐標系下的三重積分化為累次積分1 1積分次序的選擇：積分次序的選擇：一般選擇先一般選擇先z、后、后、再、再的次序的次序2 2積分限的確定：積分限的確定：(1)(1)畫出區(qū)域畫出區(qū)域的草圖的草圖( (或或的一部分的一部分).).(2)(2)求區(qū)域求區(qū)域在在xoy面的投影面的投影D.(3)(3)定出定出z的上限和下限的上限和下限. .xyzo在在D內(nèi)作平行于內(nèi)作平行于z 軸的直線軸的直線,),(1zz ),(2zz (4)(4)將二重積分化為極坐標系

6、下的累次積分將二重積分化為極坐標系下的累次積分. .21( , )( , )( cos ,sin , ) d d d( cos ,sin , )dzzDfzzd dfzz ( , , )0Fz 穿入?yún)^(qū)域時穿入?yún)^(qū)域時, , 的邊界曲面的邊界曲面 確定的確定的 為為z的下限的下限. .1( , )zz 穿出區(qū)域時穿出區(qū)域時, , 的邊界曲面的邊界曲面 確定的確定的 為為z的上限的上限. .( , , )0Gz 2( , )zz 利用柱坐標計算三重積分的步驟利用柱坐標計算三重積分的步驟考慮是否用柱坐標計算考慮是否用柱坐標計算化為柱坐標系下化為柱坐標系下三重積分三重積分積分次序：積分次序：定限方法：定

7、限方法：化為累次積分化為累次積分計算累次積分計算累次積分注意注意 對一個變量積分時，將其余變量對一個變量積分時，將其余變量視為常數(shù)視為常數(shù)的投影的投影為圓或圓的一部分為圓或圓的一部分f(x,y,z)中含有中含有22xy或或arctanyx( , )d d df x y zx y z 三變、一勿忘三變、一勿忘( , , )f x y z積分區(qū)域積分區(qū)域 柱坐標表示柱坐標表示被積函數(shù)被積函數(shù)( cos ,sin , )fz 體積元素體積元素d d dx y zd d dz 一個勿忘一個勿忘一般先一般先z后后再再投影、發(fā)射投影、發(fā)射(cos,sin, ) d d dfzz 2axyzocos2u例例

8、1o oxyzhu例例2zyx422)0( hhz所圍成所圍成 . .與平面與平面其中其中 由拋物面由拋物面計算三重積分計算三重積分,1ddd22yxzyx所圍成的半圓柱體所圍成的半圓柱體. .其中其中 為由柱面為由柱面,ddd22zyxyxz xyx2220),0(, 0yaazz及平面及平面計算三重積分計算三重積分三重積分在柱坐標和球坐標系下的計算三重積分在柱坐標和球坐標系下的計算一、三重積分在柱坐標系下的計算二、三重積分在球坐標系下的計算三重積分在柱坐標和球坐標系下的計算三重積分在柱坐標和球坐標系下的計算一、三重積分在柱坐標系下的計算二、三重積分在球坐標系下的計算二、三重積分在球坐標系下

9、的計算二、三重積分在球坐標系下的計算（一）球坐標系（二）球坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法二、三重積分在球坐標系下的計算二、三重積分在球坐標系下的計算（一）球坐標系（二）球坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法直角坐標與球面坐標的關系直角坐標與球面坐標的關系Moxyzzrcossinrx sinsinry cosrz 在球坐標系下在球坐標系下常數(shù)r球面球面常數(shù)半平面半平面常數(shù)錐面錐面),(rM球坐標球坐標rOMOM與與z軸正方向所夾的角軸正方向所夾的角x軸逆時針轉(zhuǎn)到軸逆時針轉(zhuǎn)到OP的角的角),(rM的球坐標的球坐標規(guī)定規(guī)定20 ,0,0 r

10、P二、三重積分在球坐標系下的計算二、三重積分在球坐標系下的計算（一）球坐標系（二）球坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法二、三重積分在球坐標系下的計算二、三重積分在球坐標系下的計算（一）球坐標系（二）球坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法一般地一般地若若為球或球為球或球的一部分的一部分則可以考慮用球坐標計算三重積分則可以考慮用球坐標計算三重積分在在( , , )df x y zv中中f(x,y,z)中含有中含有222xyz的項的項二、三重積分在球坐標系下的計算二、三重積分在球坐標系下的計算（一）球坐標系（二）球坐標系的適用條件（三）三重積分計

11、算公式（四）化為累次積分的方法二、三重積分在球坐標系下的計算二、三重積分在球坐標系下的計算（一）球坐標系（二）球坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法xyzoddrrdddddsind2rrv 將直角坐標系下三重積分化為球坐標系下三重積分將直角坐標系下三重積分化為球坐標系下三重積分1體積元素的變化體積元素的變化2被積函數(shù)的變化被積函數(shù)的變化, ,fx y zsincos , sinsin , cosf rrr3積分區(qū)域的變化積分區(qū)域的變化將將的邊界曲面用球坐標表示的邊界曲面用球坐標表示球坐標系下三重積分計算公式球坐標系下三重積分計算公式2( , )d( sincos,

12、sinsin,cos)sind d df x y zvf rrrrr 二、三重積分在球坐標系下的計算二、三重積分在球坐標系下的計算（一）球坐標系（二）球坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法二、三重積分在球坐標系下的計算二、三重積分在球坐標系下的計算（一）球坐標系（二）球坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法將球坐標系下的三重積分化為累次積分將球坐標系下的三重積分化為累次積分1 1積分次序的選擇：積分次序的選擇：一般選擇先一般選擇先r、后、后、再、再的次序的次序2 2積分限的確定：積分限的確定：觀察、想象觀察、想象利用球坐標計算三重積分的步驟利用球坐標計算三重積分的步驟考慮是否用球坐標計算考慮是否用球坐標計算化為球坐標系下化為球坐標系下三重積分三重積分積分次序：積分次序：定限方法：定限方法：化為累次積分化為累次積分計算累次積分計算累次積分注意注意 對一個變量積分時，將其余變量對一個變量積分時，將其余變量視為常數(shù)視為常數(shù)的球的球或球的一部分或球的一部分f(x,y,z)中含有中含有222xyz( , )d d df x y zx y z 三變、一勿忘三變、一勿忘( , , )f x y z積分區(qū)域積分區(qū)域 球坐標表示球坐標表示被積函數(shù)被積函