北師大七年級(jí)上冊(cè)有理數(shù)錯(cuò)題解析

1、有理數(shù)的意義錯(cuò)題解析例1小學(xué)學(xué)過(guò)的數(shù)的前面添上”號(hào)，得到的數(shù)都是負(fù)數(shù).這句話對(duì)嗎？若不對(duì)，怎樣改正？錯(cuò)解這句話是對(duì)的.診斷這句話是不對(duì)的.因?yàn)樾W(xué)學(xué)過(guò)的數(shù)除自然數(shù)、正分?jǐn)?shù)（小數(shù)可以化成分?jǐn)?shù)）外,還有0.在0的前面添上”號(hào)仍是0,而0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).正確解答這句話不對(duì).改為：小學(xué)學(xué)過(guò)的數(shù)（0除外）的前面添上“”號(hào)，得到的數(shù)都是負(fù)數(shù).例2有理數(shù)包括哪些數(shù)？錯(cuò)解有理數(shù)包括正數(shù)、零和負(fù)數(shù).診斷零當(dāng)然是有理數(shù)，但正數(shù)和負(fù)數(shù)中，還有不是有理數(shù)的數(shù)，只不過(guò)我們現(xiàn)在還沒(méi)有學(xué)罷了.正確解答有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù).例3把有理數(shù)6.4、-9、25,-100按正整數(shù)，負(fù)整數(shù)，正分?jǐn)?shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)分成四個(gè)集合.錯(cuò)解正整

2、數(shù)：+10,1,25,負(fù)整數(shù)：9,-100,診斷題目是要求把給出的10個(gè)數(shù)分成四個(gè)集合，顯然每個(gè)集合中的有理數(shù)是有限個(gè).上述解答把每個(gè)集合中的有限個(gè)數(shù)全部寫(xiě)出來(lái)之后，又寫(xiě)上了省略號(hào)，把有限個(gè)變成了無(wú)限個(gè)，這顯然是錯(cuò)的.說(shuō)明省略號(hào)是表示還有許多沒(méi)有寫(xiě)出來(lái)的數(shù)，或者表示無(wú)窮個(gè)數(shù).例4最小的正整數(shù)是幾？最大的負(fù)整數(shù)是幾?錯(cuò)解最小的正整數(shù)是零，最大的負(fù)整數(shù)不存在.診斷零是整數(shù)，但它既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，因而最小的正整數(shù)應(yīng)該是1.解題者由于受“不存在最大正整數(shù)”負(fù)遷移作用的影響，導(dǎo)致出不存在最大的負(fù)整數(shù)的錯(cuò)誤結(jié)論.事實(shí)上，根據(jù)兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值小的反而大，可以得到最大的負(fù)整數(shù)是1.例5a一定是負(fù)數(shù)嗎？錯(cuò)解

3、a一定是負(fù)數(shù).診斷之所以出現(xiàn)上面的錯(cuò)誤，其原因是解題者對(duì)字母表示數(shù)的認(rèn)識(shí)膚淺，加上解題者又從形式上看問(wèn)題.事實(shí)上，如果a表小一5,那么一a表小一(5)=5;如a表示0,那么一a也表示0.正確解答-a不一定是負(fù)數(shù)，可以是正數(shù)，也可以是0.說(shuō)明0經(jīng)常出現(xiàn)在各種數(shù)學(xué)問(wèn)題中，在思考問(wèn)題時(shí)，要注意考慮0這一特殊情況.例6數(shù)軸的三要素是什么？錯(cuò)解數(shù)軸的三要素是指原點(diǎn)、正方向、長(zhǎng)度單位.診斷上面的回答錯(cuò)在混淆了“單位長(zhǎng)度”和“長(zhǎng)度單位”這兩個(gè)概念.看起來(lái)只有詞序不同，但實(shí)際意義不一樣.“長(zhǎng)度單位”是一個(gè)確定的量，如厘米、分米等.而“單位長(zhǎng)度”不是確定的，它的大小可根據(jù)實(shí)際需要適當(dāng)選取.當(dāng)然還可用一個(gè)或若干個(gè)

4、長(zhǎng)度單位來(lái)作為一個(gè)“單位長(zhǎng)度”.正確解答數(shù)軸的三要素是原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度.例7在數(shù)軸上記出下列各數(shù):+5.5,6,4,3.5,1.5.錯(cuò)解如圖2-1.診斷只有標(biāo)明了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線，才是數(shù)軸.上面畫(huà)的數(shù)軸錯(cuò)在沒(méi)有標(biāo)出原點(diǎn)和單位長(zhǎng)度.正確解答如圖22.例8任何一個(gè)有理數(shù)與它的相反數(shù)不相等.這話對(duì)嗎？錯(cuò)解這話是對(duì)的.如7的相反數(shù)是7,7與7不相等.診斷這句話不對(duì).其原因是把零排除在有理數(shù)之外了.因?yàn)槿魏我粋€(gè)有理數(shù)包括正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零，而零的相反數(shù)是零，即零和它的相反數(shù)相等.正確解答這話不對(duì).應(yīng)改為：任何一個(gè)不等于零的有理數(shù)與它的相反數(shù)不相例9寫(xiě)出絕對(duì)值不大于5的整數(shù).錯(cuò)解絕對(duì)

5、值不大于5的整數(shù)是：一4,3,2,1,1,2,3,4.診斷上面解答錯(cuò)誤有兩處：其一，把符合條件的零排除在整數(shù)集合之外；其二，對(duì)“不大于”的含義認(rèn)識(shí)模糊.事實(shí)上，“不大于”包括“小于”或“等于”兩層意思，不能把“等于”排除在外.正確解答絕對(duì)值不大于5的整數(shù)有：5,4,3,2,-1,0,1,2,3,4,5.例10什么數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)？錯(cuò)解負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù).診斷上面解答錯(cuò)在漏掉了零.因?yàn)榱愕慕^對(duì)值和零的相反數(shù)都是零.進(jìn)入有理數(shù)后，零這個(gè)角色越來(lái)越重要了，我們對(duì)它要加倍注意.正確解答零和負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù).例11比較下列每對(duì)數(shù)的大小:一|一3|和一(一2);(3)(+3.25)和一

6、|3.245|.因?yàn)橐粅3|的絕對(duì)值是3,(2)的絕對(duì)值是2,根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小”的法則，所以一|一3|(-2).(3)因?yàn)橐?+3.25)=3.25,一|3.245|=3.245,而一3.253.245,所以一(+3.25)|3.245|.為絕對(duì)值大的負(fù)數(shù)反而小.(2)的解答最后的結(jié)論是根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù)絕對(duì)值大的反而小”得到的.但一|3|和(2)不都是負(fù)數(shù)，因而以“兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小”為根據(jù)，就錯(cuò)了.事實(shí)上，一|3|二3,(2)=2,因?yàn)檎龜?shù)大于一切負(fù)數(shù)，所以一|3|3.245,所以一3.253.245,即一(+3.25)”或連接下列各數(shù)：錯(cuò)解診斷這里的錯(cuò)誤，一是沒(méi)有同時(shí)

7、考慮這七個(gè)數(shù)的大?。欢菦](méi)有理解“或”的含義.這里的“或”是指在“”與中選用其中一個(gè)來(lái)連接各數(shù)，不能同時(shí)用兩個(gè)符號(hào).正確解法如果用“”，應(yīng)為：如果用“a.診斷這里不加分析就斷定a是正數(shù)，-a是負(fù)數(shù)，這是毫無(wú)根據(jù)的.我們知道，字母a可以表示正數(shù)，也可以表示負(fù)數(shù)，還可以表示0.因此a與一a的大小要依a的取值范圍而定.正確解法（1）當(dāng)a0時(shí)，a是正數(shù)，一a是負(fù)數(shù)，所以a-a；當(dāng)a0時(shí)，a是負(fù)數(shù)，一a是正數(shù)，所以a-a；當(dāng)a=0時(shí)，a與一a均為零；所以a=a.例14如果a0,b|b|,試比較a與b的大小.錯(cuò)解ab.診斷上面解答出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是：解題者對(duì)兩個(gè)負(fù)數(shù)大小比較法則的語(yǔ)言敘述與數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)式之間

8、不能互相翻譯、轉(zhuǎn)換.事實(shí)上，由a0,b|b伏口負(fù)數(shù)a的絕對(duì)值比負(fù)數(shù)b的絕對(duì)值大.再根據(jù)兩個(gè)負(fù)數(shù)大小比較的法則就不難得出a0,b0,a|b|,試把一a,-b,a,b用連結(jié)起來(lái).錯(cuò)解一abb0,b0知表示a,b的點(diǎn)分別在數(shù)軸上原點(diǎn)的右邊和左邊，且由a0知|a|b|,所以表示a的點(diǎn)離原點(diǎn)較近.因一a,b與a,b互為相反數(shù)和a|bI,再找出一a,一b兩點(diǎn)(如圖).顯然，b-aa0時(shí)，|x|=x;當(dāng)x=0時(shí)，|x|=x;當(dāng)x0時(shí)，|x|=-x.例17x為何值時(shí)，|x+1|=-(x+1).錯(cuò)解當(dāng)x+10,即x1時(shí)，上式成立.診斷根據(jù)絕對(duì)值定義，|a|=a成立的條件是a0,a0,知bai0,即ba.因此，上

9、面得到的a=8,b=2或a=8,b=2是不符合條件的.所以，只有a=8,b=2或a=8,b=-2才為所求.說(shuō)明學(xué)習(xí)有理數(shù)這一節(jié)應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題：一、要正確理解“+”“”號(hào)的意義.1 .理解為性質(zhì)符號(hào)，如+5,3,分別讀作“正5”、“負(fù)3”.2 .理解為運(yùn)算符號(hào)，如（+2）+（3）中（+2）與（一3）之間的“+”就表示加，在（一8）（3）中（8）與（一3）之間的“一”就表示減.3,既可理解為性質(zhì)符號(hào)又可以理解為運(yùn)算符號(hào).如47+6,其中的“十”“”若理解為性質(zhì)符號(hào)，就讀作為“4,負(fù)7,正6的和，若理解為運(yùn)算符號(hào)，則讀作為“4減7加6”.但23中2前面的“”一定要理解為性質(zhì)符號(hào)，不能讀成“減2減3

10、”或“減2負(fù)3”，應(yīng)讀成“負(fù)2,負(fù)3的和”或“負(fù)2減3”.二、要正確理解絕對(duì)值概念1.為什么要引入絕對(duì)值概念？引入正、負(fù)數(shù)的目的是為了區(qū)別具有相反意義的量，但有時(shí)又不需要考慮量是否意義相反，而只注意其數(shù)量的大小，因此，需要引出一個(gè)與正負(fù)數(shù)相關(guān)而又能反映其數(shù)量大小的概念一一絕對(duì)值.此外，引入了正負(fù)數(shù)后，如何進(jìn)行它們的加減乘除等運(yùn)算？為了把帶有性質(zhì)符號(hào)的數(shù)的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為小學(xué)里所學(xué)過(guò)的數(shù)的運(yùn)算.于是，也需要引出一個(gè)新映概念絕對(duì)值.2,絕對(duì)值的性質(zhì).每個(gè)有理數(shù)都有唯一確定的絕對(duì)值，它是一個(gè)非負(fù)數(shù).在有理數(shù)范圍內(nèi)，絕對(duì)值最小的數(shù)是0.絕對(duì)值等于已知正數(shù)a的數(shù)有兩個(gè)，分別是+a和一a,它們互為相反數(shù).絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是正數(shù)或0.3,絕對(duì)值的幾何意義.一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，離原點(diǎn)