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1、Estimation with STATAChp11 Time sereisChp11Time Series ModelsChp11Time Series Models111.1 簡 介211.2 穩(wěn)定隨機過程ARMA 模型211.2.111.2.211.2.311.2.411.2.511.2.6ARMA(p,q)2穩(wěn)定性和可逆性4自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)9模型的識別問題14ARMA 模型的估計17STATA8.0 實現(xiàn)1711.3數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性及單根檢定1811.3.111.3.211.3.311.3.411.3.5平穩(wěn)時間序列的特點18非平穩(wěn)性對估計及統(tǒng)計推斷的影響19趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)23根

2、檢定的方法25滯后階數(shù)的選取3111.4協(xié)整3211.5GARCH 模型32參考文獻33附 A：本章中所使用的主令34附 B：本章中所使用的部分 STATA 代碼351西安交通大學(xué)金禾經(jīng)濟研究中心arlioEstimation with STATAChp11 Time sereis11.1簡 介自從 1970 年 Box 和 Jenkins專著“時間序列分析：和控制”，對平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)，提出自回歸移動平均模型以及一整套的建模、估計檢驗、和控制方法以來，這一領(lǐng)域吸引了許多方面的學(xué)者對其理論與方法進行深入研究。在方面，這種單一變量、只有少量參數(shù)的模型表現(xiàn)往往比大型的宏觀經(jīng)濟模型要好。本章中，我們

3、著重介紹在時間序列分析中的一些主要工具和方法。11.2 節(jié)主要介紹穩(wěn)定序列的 ARMA 模型；11.3 節(jié)介紹非平穩(wěn)序列相關(guān)的主題，主要包括非平穩(wěn)性對估計的影響以及根檢驗方法；11.4 節(jié)介紹協(xié)整理論；11.5 節(jié)介紹 ARCH 族模型。11.2穩(wěn)定隨機過程ARMA 模型在時間序列模型中，我們可以假設(shè)序列是由一系列隨機沖擊（random shock）的線性組合構(gòu)成的。實際使用的模型往往更傾向于有較少的參數(shù)，這一點往往可以通過將序列表示成低階的自回歸過程和移動平均過程的線性組合。本節(jié)中我們介紹單變量的 ARMA 過程，它為描述單個時間序列的動態(tài)過程提供了一組非常實用的模型。在正式討論 ARMA

4、過程之前，我們有必要首先介紹一下貫穿本章的一個重要概念白噪聲，定義如下：et ，t = -¥, +¥滿足如下假設(shè)：Eet = 0e = sE22tCov(et ,e s ) = 0 for all t ¹ s因此，序列中的每個元素都是從一個均值為零，方差固定的分布中隨機抽取的。在某些情況下也會假設(shè)每次抽取是的，或服從正態(tài)分布，但在我們隨后的分析中，這兩個假設(shè)是否成立并不重要。11.2.1ARMA(p,q)本小節(jié)中，我們首先對 ARMA 過程作一個簡單的介紹。對于一個隨機序列 yt ，如果可以表示成如下形式，我們就說它服從一階移動平均過程，記作 MA(1)，yt =

5、 u + et + qet -1(11.1)2西安交通大學(xué)金禾經(jīng)濟研究中心arlioEstimation with STATAChp11 Time sereis更為一般化的 q-階移動平均過程可以表示為yt = u + et + q1et -1 + q2et -2 +"+ qqet -q(11.2)即，隨機序列 yt 可以表示為前 q 期歷史隨機沖擊的線性組合。接著，我們來看一階自回歸過程，即 AR(1)yt = u + g yt -1 + et應(yīng)用滯后算子，(11.3)式可以表示為(1- g L) yt = u + et在| l |< 1 的情況下1，采用 Koyek 變換得

6、到(11.3)u(1- g )¥+ å，2g iey =或t -iti =0u(1- g )+ e + ge+ g 2ey =+"ttt -1t -2可見，AR(1)過程可以轉(zhuǎn)換為無限階的 MA 過程， yt 也可以表示為所有歷史隨機沖擊的線性組合。同理，前述 MA(1)過程也可以表示為一個無限階的 AR 過程。3我們也可以對自回歸過程作一般化，得到 p-階自回歸過程：yt = u + g1 yt -1 + g 2 yt -2 +"+ g p yt - p + et(11.4)將 AR(p)過程和 MA(q)過程合并，可以得到自回歸移動平均過程，或稱 A

7、RMA(p,q)模型：yt = u + g1 yt -1 + g 2 yt -2 +"+ g p yt - p + et + q1et -1 + q2et -2 +"+ qqet- q(11.5)發(fā)現(xiàn)，具有低階 p 和q 的ARMA 模型可以進行非常有效的。一般而言，多數(shù)時間序列都可以視為被解釋變量對其滯后項的回歸或是所有歷史沖擊的累積。對于二者混合的情形，我們可以通過變換表示成單純的 AR 過程或 MA 過程。比如，對于 ARMA(1,2)過程：= g1 yt -1 + et + q1et -1 + q2et -2yt(11.6)可以表示為(1- g1 L) yt= et

8、 + q1et -1 + q2et -2(11.7)如果| g1 |< 1 ，我們可以對(11.7)式兩邊同時除以(1- g1 L) ，整理得到1至于為何做這樣一個假設(shè)，我們在后面會做出詳細解釋。由于u 是一個常數(shù)，(1- g L)-1u = 1+ g u + g 2u +" = (1- g )-1u ，滯后算子對常數(shù)是不起作用的 。對于 MA(1)過程 yt = et + qet-1 ，變換為 (1- j L) yt = et ，其中j = -q 。如果| j |< 1，我們可以-123得到 yt = j yt -1 + j y+"+ e 。2t -2t西安交

9、通大學(xué)金禾經(jīng)濟研究中心arlio3Estimation with STATAChp11 Time sereisy = e + (g + q )e+ (g + q )e+ g 3e+"2tt11 t -112 t -2t -3= et + f1et -1 + f2et -2 + f3et -3 +"即，我們可以把 ARMA(1,2)過程表示為一個無限階的 MA 過程，只是隨機項的系數(shù)變成了AR 過程和 MA 過程系數(shù)的線性組合。如，f = g + q ，f = g + q ，f = g （ j > 2 ），我們2j111212j1注意到，由于原序列是 ARMA(1,2)

10、過程，所以轉(zhuǎn)換為單純的 MA 過程后，原序列中移動平均部分的系數(shù)q1 和q2 只對新序列的前兩個系數(shù)f1 和f2 有影響。-14同樣地，如果多項式(1+ q1 L + q2 L) = 0 的根都落在圓以外 ，那么我們也可以將上述 ARMA(1,2)過程表示成無限階的 AR 過程。(11.6)式可以表示為：1- g1 L¥åy =f Ly = ei1+ q L + q Ltitti =0121- g1 L¥å i令 A(L) =， B(L) =f L ，顯然 A(L) = B(L) ，整理得：i1+ q L + q Li =012(f -1)L0 + (g

11、 + f + q )L + (f + q f + q )L2 + (f + q f + q f )L +" = 03(11.8)011121 1231 22 1顯然，Lj 的系數(shù)都必須為零才能保證(11.8)式成立，于是，我們可以得到：f = 1 ，f = -q - g ，0111f2 = -q1f1 -q2 及f j = -q1f j -1 + q2f j -2 （ j > 2 ），新序列的系數(shù)呈現(xiàn)遞推的特性。因此，(11.6)式的 ARMA(1,2)過程可以表示成如下無限階 AR 過程：yt = j1 yt -1 + j2 yt -2 +"+ et ，其中j j

12、= -f j對于更高階的 ARMA(p,q)過程，我們也同樣可以通過變換得到單純的 AR 過程或 MA 過程，只是中間的推導(dǎo)過程會變得非常復(fù)雜。但是，其背后的含義卻相當(dāng)明了，即，任何穩(wěn)定的隨機過程都可以單純地看作所有前期信息的累積或是所有歷史沖擊的累積，而二者的混合就是ARMA 過程。11.2.2穩(wěn)定性和可逆性前面我們多次提到并用到了穩(wěn)定性的概念，下面我們對穩(wěn)定性作正式定義。以下用et表示序列中的白噪聲沖擊，ARMA(p,q)過程由(11.5)式確定。定義 18.1: 協(xié)方差穩(wěn)定（Covariance Stationary），如果一個隨機過程 yt 滿足如下條件，我們就說該過程是弱穩(wěn)定或協(xié)方差

13、穩(wěn)定的：4該條件成為MA 過程的可逆條件，我們在 11.2.2.6 節(jié)會作進一步的說明。4西安交通大學(xué)金禾經(jīng)濟研究中心arlioEstimation with STATAChp11 Time sereis1 E y于t 。5t2 Var yt 是一個有限的正常數(shù)，且于t 。3 Cov yt，yt + s 是 s 的有限函數(shù)，但與t 無關(guān)。條件 3 表明，時序間的協(xié)方差僅與時距有關(guān)，而與時點無關(guān)。為了更為清晰地序列的平穩(wěn)性，滯后 k 階的自協(xié)方差（auto-covariance）定義為：lk =Cov yt，yt -k ，需要指出的是，l -k =Cov yt，yt + k = lk穩(wěn)定性要求自

14、協(xié)方差是 k 的函數(shù)，而非 t 的函數(shù)。一、 MA(1)的穩(wěn)定性對于 MA(1)過程， yt = u + et + qet -1 ，E yt = uVar yt = (1+ q )s22其自協(xié)方差為：l = (1+ q 2 )s 2 ，0l = qs 2 ，(11.9)1l j = 0(| j |> 1)從(11.10)式我們可以看出，不論q 取何值，MA(1)過程始終是穩(wěn)定的。其自協(xié)方差在滯后一階以后表現(xiàn)為突然截斷的特征，這與 AR(1)過程的自協(xié)方差有顯著的不同。二、 AR(1)的穩(wěn)定性對于 AR(1)過程 yt = u + g yt -1 + et ，u1- g，6E y =tVa

15、r y = l = s 2 1- g 2t0Cov( y , y) = l = g k l ，k = 1, 2,"7(11.10)tt -kk0等價于 E yt = E yt +s （ s ¹ 0 ）。E yt = u + g E yt -1 + Eet = u + g E yt ，所以 E yt = u 1- g 。西安交通大學(xué)金禾經(jīng)濟研究中心arlio565Estimation with STATAChp11 Time sereis顯然，保證 AR(1)過程穩(wěn)定的條件是| g |< 1。否則， l0 就沒有任何含義了，而且，隨著 k 的增大， l k 也會變得無窮

16、大。從(11.9)式我們可以看出，AR(1)過程的自協(xié)方差呈現(xiàn)出指數(shù)遞減的特征，逐漸遞減為零，這一特征在進行模型確定時非常重要，我們后面會做進一步的分析。三、 MA(q)的穩(wěn)定性對于任意的 MA(q)過程， yt = u + et + q1et -1 + q2et -2 +"+ qqet - q ，E yt = uVar y = E( y - u)2 = E(e + q e+ q e+" + q e)2t1 t -12 t -2q t -qtt由于corr(et ,et - j ) = 0 （for j ¹ 0 ），所以l =Var y = E( y - u) =

17、 (1+ q + q +" + q )s222220tt12q對于 k = 1, 2,", qlk = E( yt - u)( yt -k - u)= E(et + q1et -1 + q2et -2 +"+ qqet - q )(et - k + q1et -k -1 + q2et - k -2 +"+ qqet - k- q )= (q + q q + qq +"+ q q)s 2(11.11)kk +1 1k + 2 2q - k在上述運算過程中，由于不同期的et 不相關(guān)，所以只有同期的乘積項得到保留。當(dāng) k > q 時，所有乘積項

18、均不同期，所以這些項的數(shù)學(xué)期望都等于零。于是我們可以得到l = (q + q q + qq +" + q q)s 2for k = 1, 2,", qkkk +1 1k + 2 2q - kfor k > q0(11.12)從(11.11)式我們可以看出，無論(q1 ,q2 ,",qq ) 取何值，MA(q)過程始終是弱穩(wěn)定的，因此在實際操作過程中我們一般不用檢驗 MA 過程的穩(wěn)定性。同時，我們會發(fā)現(xiàn)，MA(q)過程的自協(xié)方差在（q+1）階以后表現(xiàn)為突然截斷的特征。因為， l = Var( y ) = g Var( y) + 2g E y e + Var(e

19、 )27t -1t -1 t0tt= g 2l + 2g E y E e + s = g l + s 2 ，所以 l = s 2 1- g 2 。22t -10t00 yt-1l = Cov( y , y) = E y - u y- u = E y y = gl ，依此類推， l = g kl 。tt -1t -1t t -11t0k06西安交通大學(xué)金禾經(jīng)濟研究中心arlioEstimation with STATAChp11 Time sereis四、 AR(p)的穩(wěn)定性在實際應(yīng)用過程中，我們很少使用大于 2 階的 AR 過程。因此，在討論 AR(p)的穩(wěn)定性之前，我們有必要先分析 AR(2

20、)過程穩(wěn)定的條件。對于 AR(2)過程，yt = u + g1 yt -1 + g 2 yt -2 + et ， 利用滯后算子，可以表示為：(1- g1 L - g 2 L ) y = u + e2tt(11.13)如果多項式(1- g1 L - g 2 L ) = 0 的根都落在2存在多項式j(luò)(L) 滿足如下關(guān)系：圓以外，那么根據(jù)滯后算子的運算性質(zhì)，必然j(L) = (1- g L - g L2 )-1 = j + j L + j L2 +"12012¥å| j |<¥ 8其中，ii =0對(11.12)式兩邊同乘j(L) ，可得yt = j(L

21、)u + j(L)etu9+ (e + j e+ j e=+")t1 t -12 t -21- g - g12210因此，如果多項式(1- g1 L - g 2 L ) = 0 的根都落在圓以外的條件 ，AR(2)過程可以表示為無限階的 MA 過程，所以是弱穩(wěn)定的。下面，我們來分析 AR(p)過程的穩(wěn)定性。AR(p)過程， yt = u + g1 yt -1 + g 2 yt -2 +"+ g p yt - p + et ，利用滯后算子，我們可以將其對于表示為：(1- g1 L - g 2 L -" - g L ) y = u + e2ppttAR(2)過程同樣的

22、邏輯，當(dāng)多項式(1- g1 L - g 2 L -"- g L ) = 0 的根全2p -1p與前面我們分析部落在圓之外時，AR(p)過程可以表示為一個常數(shù)項和一個無限階的 MA 過程之和，所以是弱平穩(wěn)的。轉(zhuǎn)換后的表達式為：8具體證明過程請參見李慶南老師講義，第 14 章，PP12。j(L)u = (1- g1L - g 2L ) u = (1- g1 - g 2 ) u ，這里由于u 為常數(shù)，所以用 1 代替 L 滯后算子。2 -1-1事實上，此條件對應(yīng)的系數(shù)關(guān)系為： | g 2 |< 1,g1 + g 2 < 1和g 2 - g1 < 1。7西安交通大學(xué)金禾經(jīng)濟

23、研究中心arlio910Estimation with STATAChp11 Time sereisu+ (e + j e+ j ey =+")1- g - g -"gt1 t -12 t -2t12p五、ARMA(p,q)的穩(wěn)定性對于 ARMA(p,q)過程，yt = u + g1 yt -1 + g 2 yt -2 +"+ g p yt - p + et + q1et -1 + q2et -2 +"+ qqet - q ，應(yīng)用滯后算子，我們可以將其表示為，(1- g1 L - g 2 L -"- g L ) y = u + (1+ q L

24、+ q L +"+ q L )e2p2ppt12pt(11.13)如果多項式(1- g1 L - g 2 L -"- g L ) 根全部落在2p -1p圓以外，那么，必然存在多項式j(luò) (L) 滿足如下關(guān)系：j(L) = (1- g1 L - g 2 L -"- g L ) (1+ q L + q L +" + q L )2p -12pp12p= j + j L + j L2 +"012其中，¥å| ji |<¥i =0因此，yt = c + j(L)et其中，u1- g1 - g 2 -"g pc

25、=，j(L)et = et + j1 + j2et -2 +"因此，在滿足多項式(1- g1 L - g 2 L -"- g L ) 根全部落在2p -1p圓以外的條件下，ARMA(p,q)過程可以表示為無限階 MA 過程，所以是弱平穩(wěn)的。六、 MA 過程的可逆性最后，我們需要分析一下 MA 過程的可逆性問題。事實上，MA 過程的可逆性是與 AR過程的穩(wěn)定性相對應(yīng)的兩個問題。前面我們提到任何系數(shù)個數(shù)有限的 MA 過程一定是穩(wěn)定的，而對于 AR 過程，只要滿足穩(wěn)定性的條件，我們就可以將其轉(zhuǎn)化為無限階的 MA 過程。那么 MA 過程在滿足怎樣的條件時，可以轉(zhuǎn)換為 AR 過程呢？

26、 我們在前面第 11.2.1 節(jié)的分8西安交通大學(xué)金禾經(jīng)濟研究中心arlioEstimation with STATAChp11 Time sereis析中，將（11.6）式變換為（11.8）式的過程中已經(jīng)用到了這樣的條件。如果 MA 過程的特征方程的根都落在圓以外，那么我們稱這個 MA 過程是可逆的，即，可以轉(zhuǎn)換為一個無限階的 AR 過程。需要強調(diào)的是，可逆性與穩(wěn)定性無關(guān)。所有系數(shù)個數(shù)有限的 MA 過程都是穩(wěn)定的。而對于 ARMA 過程，其穩(wěn)定與否，主要取決于模型的 AR部分。11.2.3自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)對于隨機序列 yt ，其自協(xié)方差函數(shù)定義為：lk = Cov( yt , yt -

27、k )當(dāng) k = 0 時， l0 = Var( yt ) ，即 yt 的方差。用 lk 除以 l0 即得到隨機序列 yt 的自相關(guān)函數(shù)（auto-correlation function，簡稱為 ACF），= lkr， -1 £ r £ 1(11.14)klk0ACF 是一個描述時間序列過程的非常有用的工具，其作用就像我們在描述一個隨量的分布是所使用的均值、方差等統(tǒng)計量一樣。穩(wěn)定隨機過程的一個重要特點就是，隨著時間的推移，其 ACF 最終會變?yōu)榱?。我們往往通過比較一個穩(wěn)定序列的 ACF 和后面將要提到的PACF 來初步判定該序列的大致類別。一、MA 過程的自相關(guān)函數(shù)由（11

28、.12）可得，MA(q)過程的自協(xié)方差為：l = (q + q q + qq +" + q q)s 2for k = 1, 2,", qkkk +1 1k + 2 2q - k0for k > q(11.15)且， l = (1+ q + q +" + q )s2222012q于是，MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)為：qk + qk +1q1 + qk + 2q2 +"+ q qq - kfor k = 1, 2,", qr=1+ q + q +" + q222k12qfor k > q0(11.16)可見，MA(q)過程的自相

29、關(guān)函數(shù)在 k > q 后全部為零，我們稱之為“截尾性”。反之，可以證明，若以平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)為截尾，那么它必然是 MA(q)過程。這一特征可用于以后的序列模型識別。9西安交通大學(xué)金禾經(jīng)濟研究中心arlioEstimation with STATAChp11 Time sereis以 MA(1)過程為例，其自相關(guān)函數(shù)為：q1, k = 11+ q2r=1k0for k > 1這表明，MA(1)過程在滯后大于一個周期時，自相關(guān)函數(shù)會突然截斷為 0。因此，該序列只能記憶一個周期，即 yt 和 yt -1 相關(guān)，但與時間序列的其它值不相關(guān)。也就是說，MA 過程的記憶是有限的，因此移動平

30、均模型能夠所能提供信息的未來周期是有限的。MA(1)模型只能給未來一個周期提供信息，即 MA(1)過程的一步“截尾性”。二、AR 過程的自相關(guān)函數(shù)對于穩(wěn)定的 AR(1)過程 yt = u + g yt -1 + et (| g |< 1) ，在 11.2.2.2 小節(jié)我們已經(jīng)得到l = s 2 1- g 20l = g l ， k = 1, 2,"kk0因此，其自相關(guān)函數(shù)為r k = g ， k = 1, 2,"k可見，AR(1)過程的自相關(guān)函數(shù)呈現(xiàn)指數(shù)遞減的特性。當(dāng)g > 0 時，為單側(cè)指數(shù)遞減；當(dāng)g < 0時，呈雙向鋸齒形指數(shù)遞減。對于 AR(p)過程

31、，yt = g1 yt -1 + g 2 yt -2 +"+ g p yt - p + et(11.17)其自協(xié)方差函數(shù)遵循 Yule-Walker 等式11：l = g l + g l +"+ g l + s 2(11.18)01 12 2p pl1 = g1l0 + g 2 l1 +"+ g p lp -1(11.19)#lk= g1lk -1 + g 2 lk -2 +"+ g p lp -k(11.20)在(11.20)式兩邊同除l0 ，可得 AR (p)過程的自相關(guān)函數(shù)為rk= g1 rk -1 + g 2 rk -2 +"+ g p

32、 r p -k(11.21)在(11.17)式兩邊同乘 yt ，取數(shù)學(xué)期望得到(11.18)式；在(11.17)式兩邊同乘 yt -1 ，取數(shù)學(xué)期望得到(11.19)11式。同理，可得到其他等式。10西安交通大學(xué)金禾經(jīng)濟研究中心arlioEstimation with STATAChp11 Time sereis因此，AR(p)過程的自相關(guān)函數(shù)是具有與原序列相同形式的差分方程。注意到 rk = r-k ，對于 k = 0,1, 2" p ，我們可以依據(jù)(11.21)式構(gòu)造出含有( p +1) 個等式的聯(lián)立方程組，從中我們可以解出 r , r , r " r 。這些自相關(guān)系數(shù)

33、是s 2 ,g ,g "g 的函數(shù)12。012p1 2p從另一個角度來看 AR(p)過程的自相關(guān)函數(shù)可能更為清楚。在 11.2.2.4 小節(jié)中，我們發(fā)AR(p)過程滿足穩(wěn)定性的條件時，即多項式(1- g1 L - g 2 L -"- g L ) = 0 的根全部落2p -1p現(xiàn)，當(dāng)在圓之外，其可以表示為一個常數(shù)項和一個無限階的 MA 過程之和，u+ (e + j e+ j ey =+")1- g - g -"gt1 t -12 t -2t12p因此，AR(p)過程的自相關(guān)函數(shù)與無限階的 MA 過程的自相關(guān)函數(shù)具有相似的性質(zhì)。不同于MA(q)過程，AR(p

34、)過程的自相關(guān)函數(shù)表現(xiàn)出突然截尾的特征，而是逐漸遞減到零，即表現(xiàn)出“脫尾”的特征。三、ARMA 過程的自相關(guān)函數(shù)由于 ARMA 過程是 AR 過程和 MA 過程的混合體，所以其自相關(guān)函數(shù)也相對復(fù)雜的多，這里我們先以最簡單的 ARMA(1,1)過程為例加以說明。對于 ARMA(1,1)過程，yt = g yt -1 + qet -1 + et兩邊同乘 yt -1 ，取數(shù)學(xué)期望，得(11.22)l = gl + qs 210同理，兩邊分別同乘 yt -2 和 yt -3 ，取數(shù)學(xué)期望，得l2 = gl1l3 = gl2以此類推，得lk = glk -1為了求得自相關(guān)函數(shù)，我們必須首先求得l0 。在

35、(11.22)兩邊同乘 yt ，取數(shù)學(xué)期望，得l = gl + s + q E y e 201t t -1= gl + s 2 + q Eg y e+ qe e+ e e 1t -1 t -1t -1 t -1t t -1= gl + s 2 + (qg + q 2 )s 21將l = gl + q 2s 2 代入，整理得，1012詳細過程請參考Hamilton，1994，pp59。11西安交通大學(xué)金禾經(jīng)濟研究中心arlioEstimation with STATAChp11 Time sereis= (1+ 2qg + q 2 )s 2l01- g 2因此，= lq + g + q g +

36、qg22r= 1 1l1+ 2qg + q 20r2 = gr1#r = grk -1k1可見，ARMA(1,1)的自相關(guān)函數(shù)在滯后期超過一階后便具有與單純的 AR 過程相似的結(jié)構(gòu)。對于 ARMA(p,q)過程，其自相關(guān)函數(shù)在滯后期超過 q 階后，與會具有與單純的 AR 過程相似的結(jié)構(gòu)。這是因為 MA 過程僅有 q 階的記憶能力，在 k > q 后，MA 過程就不再起作用了。四、偏自相關(guān)函數(shù)前面我們分析了穩(wěn)定時間序列的自相關(guān)函數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)，對于單純的 MA 過程，我們可以通過自相關(guān)函數(shù)大概判定其階數(shù)，但對于 AR 過程而言，由于其具有“托尾性”，所以我們無法通過其自相關(guān)函數(shù)來判定其階數(shù)。

37、那么能否有某種函數(shù)使得 AR(p)過程在滯后 p 階后截止呢？偏自相關(guān)函數(shù)（簡稱 PACF）恰恰起到了這樣的描述作用。直覺上，自相關(guān)函數(shù) ACF (k ) 給出了 yt 與 yt -k 之間的“毛”（gross）相關(guān)關(guān)系，但這種粗略的相關(guān)關(guān)系往往會掩蓋掉變量之間的真實關(guān)系。因此，我們需要考慮 yt 與 yt -k 之間的“凈”（net）相關(guān)關(guān)系， PACF (k ) 就是基于這樣的想法構(gòu)造的。所以， yt 與 yt -k 之間的偏相關(guān)函數(shù)可以粗略定義為， yt 對 yt -1 , yt -2 ," yt - k 序列回歸的最后一個估計系數(shù)。具體而言，假設(shè)我們做了以下 k 組回歸：=

38、a11 yt -1 + et= a21 yt -1 + a22 yt -2 + et#= ak1 yt -1 + ak 2 yt -2 +"+ akk yt - k + etyt ytyt那么每個回歸式中最高階滯后項的估計系數(shù)構(gòu)成的列便是 PACF，即ÙÙÙa11 , a22 ,", akk 因此，如果數(shù)據(jù)的真實生成過程為 AR(2)過程，那么在做如下回歸時= a21 yt -1 + a22 yt -2 + a23 yt -3 + etyt應(yīng)當(dāng)發(fā)現(xiàn) yt -3 項的估計系數(shù)不顯著，這是因為在控制了 yt -1 和 yt -2 的影響后， yt

39、-3 對 yt 就沒有12西安交通大學(xué)金禾經(jīng)濟研究中心arlioEstimation with STATAChp11 Time sereis任何解釋能力了。所以，偏自相關(guān)函數(shù)可以看作基于條件期望的相關(guān)系數(shù)。下面，我們給出PACF 的一個更為嚴格的定義：定義 18.2: 偏自相關(guān)系數(shù) yt 與 yt -k 之間的偏自相關(guān)系數(shù)為， yt 在去除了其他干擾滯后項解釋的部分后剩余的部分與 yt -k 之間的相關(guān)系數(shù)。即r = Corr y - E* ( y | y , y ,", y*), y(11.23)tt -1 t -2t - k +1t - kkt顯然，Corr y , y lr =

40、 r*tt -111Var y l1t -10所以，任何時間序列的一階偏自相關(guān)系數(shù)等于其一階自相關(guān)系數(shù)。對于 AR(p)過程而言，我們有r = 0*（ k > p ）k因為此時 yt - E ( y | y , y ,", y) = e ，即 y 的前 p 階滯后項解釋了全部確定性信息，所*tt -1 t -2t - k +1tt以 r = Corre , y = 0 。*tt -kk我們可以將以上分析總結(jié)如下，AR(p)過程的 ACF 呈現(xiàn)出指數(shù)遞減的特征，逐漸遞減為零；而其 PACF 則在滯后 p 階以后突然截斷。由于 MA 過程可以看作 AR 過程的對偶過程，因此，我們不

41、難想象 MA(q)過程的 PACF象其 ACF 那樣，在滯后 q 階后突然截尾，而是呈現(xiàn)出指數(shù)遞減的特征。對于 MA(1)過程而言，其 PACF 恰恰與 AR(1)過程的 ACF 具有相同的特性， r = q 。*kkARMA(p,q)過程是以上兩種過程的混合體，所以其 ACF 和 PACF 業(yè)基本上是我們上面所討論的兩種形式的混合體。盡管一般性的推斷比較難以給出，但 ARMA 過程的 ACF 在最初的幾個滯后期內(nèi)會有幾個非常明顯的峰值，這與 ARMA 中 MA 過程的階數(shù)相對應(yīng)，隨后的 ACF 會表現(xiàn)出指數(shù)平滑遞減的特征，這主要反映了 AR 項的作用。一般而言，高階的 MA過程非常少見，而高

42、階的 AR 過程（p>2）則往往對應(yīng)著非平穩(wěn)序列，這在下一節(jié)中會有所分析。在穩(wěn)定時間序列的分析中，最為常用的莫過于 ARMA(2,0)和 ARMA(1,1)。對于ARMA(1,1)過程而言，其 ACF 和 PACF 都會在滯后一階是表現(xiàn)出一個特殊的峰值，而后則遵循指數(shù)遞減的特征逐漸遞減至零。13西安交通大學(xué)金禾經(jīng)濟研究中心arlioEstimation with STATAChp11 Time sereis11.2.4模型的識別問題簡單地說，模型的識別問題就是確定 ARMA 過程的階數(shù)，從而判定模型的具體類別，為我們下一步進行模型的參數(shù)估計做準(zhǔn)備。所采用的基本方法主要是依據(jù)樣本的 ACF

43、 和PACF 初步判定其階數(shù)，如果利用這種方法無法明確判定模型的類別，就需要借助諸如 AIC、BIC 等信息準(zhǔn)則。前面，我們談到了截尾性和托尾性，這是識別模型的基本理論依據(jù)。如果樣本的 ACF在滯后 q+1 階時突然截斷，即在 q 處截尾，那么我們可以判定該序列為 MA(q)序列。同樣的道理，如果樣本的 PACF 在 p 處截尾，那么我們可以判定該序列為 AR(p)序列。如果 ACF和 PACF 都不截尾，只是按指數(shù)衰減為零，則應(yīng)判定該序列為 ARMA 序列，此時階次尚需作進一步的判斷。根據(jù) 11.2.3 節(jié)的分析，我們可將 ARMA 過程的 ACF 和 PACF 的特點總結(jié)如表 11-1 所

44、示。這些特點使我們進行模型識別的基本理論依據(jù)。表 11-1ARMA 過程的 ACF 和 PACF 的特點為了更為直觀地說明上述特點，下面我們通過模擬的方法產(chǎn)生一些 ARMA 序列，觀察其 ACF 和 PACF 的特點。14西安交通大學(xué)金禾經(jīng)濟研究中心arlioEstimation with STATAChp11 Time sereis圖 11-1AR(1)過程的 ACF 和 PACF從圖 11-1 我們可以看出，在序列的真實生成過程為 AR(1) 的情況下，采用 PACF 可以正確的確定滯后階數(shù)，而且相關(guān)系數(shù)的估計也基本接近真實狀況。而從 ACF 則無法直觀的進行判斷。圖 11-2MA(1)過

45、程的 ACF 和 PACF15西安交通大學(xué)金禾經(jīng)濟研究中心arlio-0.40-0.200.000.200.400.60-0.200.000.200.400.600.000.200.400.600.80-0.200.000.200.400.600.80-0.60-0.40-0.20-0.000.20-0.60-0.40-0.20-0.000.20-0.80-0.60-0.40-0.20-0.00-1.00-0.500.000.501.00PACF for MA(1) rogh = -0.8010203040Lag95% Conf idence bands se = 1/sqrt(n)PACF

46、for MA(1) rogh = 0.8010203040Lag95% Conf idence bands se = 1/sqrt(n)ACF for MA(1) rogh = -0.8010203040LagBartlett's f ormula f or MA(q) 95% conf idence bandsACF for MA(1) rogh = 0.8010203040LagBartlett's f ormula f or MA(q) 95% conf idence bandsPACF for AR(1) rogh = -0.8010203040Lag95% Conf

47、idence bands se = 1/sqrt(n)PACF for AR(1) rogh = 0.8010203040Lag95% Conf idence bands se = 1/sqrt(n)ACF for AR(1) rogh = -0.8010203040LagBartlett's f ormula f or MA(q) 95% conf idence bandsACF for AR(1) rogh = 0.8010203040LagBartlett's f ormula f or MA(q) 95% conf idence bandsEstimation with

48、 STATAChp11 Time sereis圖 11-2 是 MA(1) 過程的 ACF 和 PACF 圖，從中可以看出，恰恰與 AR(1) 過程相反，ACF可以很好的確定階數(shù)。圖 11-3ARMA(1，1)過程的 ACF 和 PACF從圖 11-3 我們可以看出，對于序列的真實生成過程為 ARMA(1,1) 的序列，我們用 ACF和 PACF 都無法明確的確定其形式。但對比圖 11-3 和圖 11-1、11-2，我們會發(fā)現(xiàn)，事實上由于 ARMA 過程綜合了 AR 和 MA 兩種過程的特征，所以我們可以通過綜合對比其 ACF 圖和PACF 圖來初步判斷其為 ARMA 過程。如果是單純的 AR

49、 或 MA 過程，ACF 和 PACF 中至少有一個表現(xiàn)出突然截斷的特征，而二者混合時，即為 ARMA 過程時，ACF 和 PACF 都不會表現(xiàn)出突然截斷的特征。采用以上方法判定序列的類型，有時結(jié)果是理想的。理論上 ACF 和 PACF 是具有明確的截尾性的，即在滯后 q 或p 階后全為零。但是由于實際樣本序列的隨機性、樣本個數(shù)的有限性，使得 ACF 和 PACF 都是隨量，且精確度也存在問題。這就使得即使序列是 MA(q)過程，其 ACF 在 k>q 后仍然為零。因此，在實際操作過程中，我們可以這樣判斷，只要 k>q 是，ACF 明顯地變小或接近于零，則可判定為 MA(q)序列。

50、對于 AR 過程，我們依據(jù) PACF 的判定邏輯與此相似。如果 ACF 只是變小，但非常平緩，則需要借助其他統(tǒng)計手段進行檢驗和判斷，如各種信息準(zhǔn)則?？紤]下面這個隨機生成的 ARMA(1, 3) 序列，wt = 0.9wt -1 + et + 0.9et -1 + 0.3et -2 + 0.5et -3我們很難通過分析其 ACF 和 PACF 來判斷其模型形式，此時采用 AIC、BIC 等信息準(zhǔn)則進行模型的識別顯得非常有用。AR 和 MA 過程的最大階數(shù)分別設(shè)定為 2 和 4，然后進行階數(shù)組合，估計了 16 種可能的 ARMA 模型。為了判斷最優(yōu)模型，我們采用了四種準(zhǔn)則進行模型的篩選，比較結(jié)果見表 11-2。從比較結(jié)果中可以看出，無論采用哪一種準(zhǔn)則我們都正確的確定了模型的形式，為 ARMA(1, 3) 過程。16西安交通大學(xué)金禾經(jīng)濟研究中心arlio-0.500.000.501.00-0.500.000.501.00ACF for ARMA(1,1) rogh=0.8 theta=0.80102