2012年高考理科數(shù)學(新課標)試題分析

1、2012年高考理科數(shù)學（新課標）試題分析優(yōu)學教育教研部高中數(shù)學教研組2012年6月15日I.總體評價2012年普通高考數(shù)學課標卷遵循課程標準版考試大綱和考試說明的各項要求，試題科學、規(guī)范。試題突破以往風格，在結(jié)構(gòu)和難度上均有較大變化，主干知識在選擇題中順序改變，比重增大，難度增加。2012年課標卷對于應(yīng)用問題的考查更加貼近現(xiàn)實、貼近考生的實際。試卷在選修模塊的考查更加突出定義理解，對新增內(nèi)容的考查進行了進一步的探索，課程改革試卷形式趨于穩(wěn)固。一、 注重全面考查 2012年課標卷中各種知識點題型起點較高、較綜合、不易入手，多數(shù)試題源于教材，但考查較深入，強調(diào)對基本知識、基本技能和基本方法的考查，

2、又注重考查知識間的緊密聯(lián)系，第（1）、（2）、（5）、（7）、（9）、（13）、（14）題分別對集合、排列組合、等比數(shù)列、三視圖、三角函數(shù)、平面向量、線性規(guī)劃等基本概念和基本運算進行了考查。試卷注重考查通性通法，有效檢測考生對數(shù)學知識所蘊涵的數(shù)學思想和方法的掌握情況，第（3）題考查命題，而內(nèi)容是復(fù)數(shù)的計算；第（4）、（8）題考查圓錐曲線的性質(zhì)，注重聯(lián)系平面幾何與平面坐標系的轉(zhuǎn)化；第（6）、（15）題分別考查了新課改中增加的程序框圖、正態(tài)分布，更加強調(diào)對新知識定義的理解，更加的貼近實際操作；第（10）、（12）題考查了函數(shù)的性質(zhì)和反函數(shù)，研究函數(shù)圖象在解題中的巧妙作用；第（16）題考查了數(shù)列的性

3、質(zhì)和求和。解答題中第一題較以往不同的是考查了解斜三角形，第二題考查概率同時涉及分段函數(shù)的解析式，立體幾何、解析幾何、函數(shù)與導數(shù)的考查較以往變化不大。二、 強化思想方法 2012年課標卷中試卷突出考查數(shù)學本質(zhì)和考生基本的數(shù)學素養(yǎng)，注重對數(shù)學思想方法的考查，如第（4）、（7）、（8）、（9）、（10）、(11)、（12）、（14）、（19）題考查了數(shù)形結(jié)合的思想；第（10）、（12）、（18）、（20）、（21）、（24）題考查了函數(shù)與方程的思想；第（12）、（16）、（20）、（21）、（23）題考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想；第（10）、（16）、（18）、（21）、（24）題考查了分類討論與整合的思

4、想。三、 重視知識聯(lián)系2012年課標卷在知識的交匯處設(shè)計試題，考查知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，如第（3）題在考查命題時同時考查了復(fù)數(shù)的概念和代數(shù)運算；第（18）題在考察概率分布列知識時，先出現(xiàn)了分段函數(shù)的考查；第（21）題將函數(shù)、導數(shù)、方程和不等式融為一體。四、 突出能力立意 2012年課標卷突出能力立意，綜合考查考生的各種能力，如第（2）、（5）、（18）、（20）、（21）題考查了運算求解能力；第（7）、（11）、（19）題考查了空間想象能力；第（6）、（19）題考查了推理論證能力；第（18）題考查了數(shù)據(jù)處理能力；第（6）、（12）、（15）題考查了創(chuàng)新應(yīng)用能力。五、 重視應(yīng)用意識2012年課標

5、卷重視考查考生的應(yīng)用意識和建模能力，如第（15）、（18）題設(shè)計巧妙，貼近生活實際，深入考查概率分布的基本思想，有效考查了考生的應(yīng)用意識。II試題知識點分布及難易程度題型題號分值考查知識點難易程度選擇題（60分）15分集合及元素運算中等25分排列組合較易35分命題與復(fù)數(shù)較易45分橢圓及其性質(zhì)中等55分等比數(shù)列較易65分程序框圖較難75分三視圖、空間幾何體體積中等85分雙曲線、拋物線的性質(zhì)中等95分三角函數(shù)的單調(diào)性中等105分復(fù)合函數(shù)圖象較難115分球與空間幾何體較難125分指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)較難填空題（20分）135分平面向量較易145分線性規(guī)劃較易155分正態(tài)分布中等165分數(shù)列求和較難解答

6、題（60分）1712分解斜三角形較易1812分分段函數(shù)、概率及分布列中等1912分立體幾何線線垂直、二面角較易2012分拋物線方程及其與直線位置關(guān)系較難2112分函數(shù)與導數(shù)較難選做題（10分）2210分選修41：幾何選講注：任選一題作答較易2310分選修4:4：坐標系與參數(shù)方程較難2410分選修45：不等式選講中等III未考查知識點2012年課標卷未考查大綱要求重要知識點有二項式定理、定積分、相關(guān)系數(shù)與線性回歸方程、幾何概型。IV.試題分析一、選擇題：（1）已知集合；,則中所含元素的個數(shù)為（ ） 【考查目標】 本題考查集合的概念和集合中元素個數(shù)的求法?！窘忸}思路】，共10個。【答案】【試題評價

7、】 試題考查了集合概念的理解，集合元素個數(shù)的求法，體現(xiàn)了考試大綱對于此方面知識的要求。（2）將名教師，名學生分成個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由名教師和名學生組成，不同的安排方案共有（ ）種 種 種 種【考查目標】 本題考查了計數(shù)原理中排列組合?！窘忸}思路】甲地由名教師和名學生：種【答案】A【試題評價】 試題以生活實例為素材，體現(xiàn)了數(shù)學的應(yīng)用性，要求考生理解掌握技術(shù)原理方法，應(yīng)用所學知識解決實際問題。（3）下面是關(guān)于復(fù)數(shù)的四個命題：其中的真命題為（ ） 的共軛復(fù)數(shù)為 的虛部為 【考查目標】 此題考查復(fù)數(shù)的基本概念和復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算。【解題思路】 ，的共軛復(fù)數(shù)為，的虛部

8、為【答案】C【試題評價】 試題通過對復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算，檢測考生對復(fù)數(shù)及其模長、共軛復(fù)數(shù)的理解和掌握程度。（4）設(shè)是橢圓的左、右焦點，為直線上一點， 是底角為的等腰三角形，則的離心率為（ ） 【考查目標】本題主要考查橢圓的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想。【解題思路】是底角為的等腰三角形，=，=，故選C.【答案】C【試題評價】 試題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)，通過幾何關(guān)系建立代數(shù)關(guān)系，是典型的數(shù)形結(jié)合問題，充分體現(xiàn)了考試大綱中對于橢圓內(nèi)容的要求。（5）已知為等比數(shù)列，則（ ） 【考查目標】 此題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及運算?！窘忸}思路】 ，或【答案】【試題評價】 試題較簡單，反映了課程標準對考生注重運用數(shù)列內(nèi)容性

9、質(zhì)的要求。（6）如果執(zhí)行右邊的程序框圖，輸入正整數(shù)和實數(shù)，輸出，則（ ）為的和為的算術(shù)平均數(shù)和分別是中最大的數(shù)和最小的數(shù)和分別是中最小的數(shù)和最大的數(shù)【考查目標】 本題主要考查框圖表示算法的意義?！窘忸}思路】 由框圖知其表示的算法是找N個數(shù)中的最大值和最小值，和分別為，中的最大數(shù)和最小數(shù)，故選C.【答案】C【試題評價】 此題是新課改中的新內(nèi)容，更加注重考查考生對計算機程序語言的理解掌握，要求考生理解算法思想并能在實踐中自覺應(yīng)用，是新課改創(chuàng)新應(yīng)用的反映。（7）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（ ） 【考查目標】 本題主要考查簡單幾何體的三視圖及體積計

10、算，考查考生的空間想象能力?！窘忸}思路】 由三視圖知，其對應(yīng)幾何體為三棱錐，其底面為一邊長為6，這邊上高為3，棱錐的高為3，故其體積為=9，故選B.【答案】B【試題評價】 試題的設(shè)計注重考查考生空間想象能力，是新課程教學中培養(yǎng)學生多樣化學習能力的體現(xiàn)。 （8）等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于兩點，；則的實軸長為（ ） 【考查目標】 本題主要考查拋物線的準線、直線與雙曲線的位置關(guān)系。【解題思路】 由題設(shè)知拋物線的準線為：，設(shè)等軸雙曲線方程為：，將代入等軸雙曲線方程解得=，=，=，解得=2，的實軸長為4，故選C.【答案】C【試題評價】 試題突出了對雙曲線基本知識和拋物線性質(zhì)的

11、考查，準確把握了考試說明對雙曲線和拋物線內(nèi)容的不同能力要求。（9）已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減。則的取值范圍是（ ） 【考查目標】 此題考查三角函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，要求考生理解三角函數(shù)圖像的伸縮、平移等變化?！窘忸}思路】 不合題意 排除 合題意 排除另：， 得：【答案】A【試題評價】 試題比教材所講三角函數(shù)知識復(fù)雜，對知識的考查側(cè)重于理解和應(yīng)用。（10） 已知函數(shù)；則的圖像大致為（ ）【考查目標】 本題考查函數(shù)的圖像，涉及定義域、最值、單調(diào)性，也間接考查了導數(shù)在求單調(diào)性和最值得應(yīng)用?！窘忸}思路】 得：或均有 排除【答案】B【試題評價】 試題通過對函數(shù)單調(diào)性和最值的考查，反映考生對求導方法的理解和靈活

12、應(yīng)用程度。 （11）已知三棱錐的所有頂點都在球的求面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且；則此棱錐的體積為（ ） 【考查目標】 本題考查錐體及其外接球的結(jié)構(gòu)特征，考查空間幾何體中的計算能力技巧，考查考生空間想象能力。【解題思路】的外接圓的半徑，點到面的距離 為球的直徑點到面的距離為 此棱錐的體積為 另：排除【答案】A【試題評價】 試題設(shè)計較難，要求考生不僅要有良好的空間想象能力，也要掌握靈巧的相關(guān)計算能力。 （12）設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則最小值為（ ） 【考查目標】本題考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖像的位置關(guān)系，考查平面坐標系中的運算能力?！窘忸}思路】函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于對稱 函數(shù)

13、上的點到直線的距離為 設(shè)函數(shù) 由圖象關(guān)于對稱得：最小值為【答案】B【試題評價】 試題區(qū)別一般函數(shù)的最值問題，不直接通過兩函數(shù)做差構(gòu)造新函數(shù)再求解，而是先觀察到兩函數(shù)間是互為反函數(shù)的關(guān)系，然后通過圖像幾何關(guān)系解答，這要求考生具備敏銳的審題能力，隨時靈活運用轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想解題。二填空題：（13）已知向量夾角為 ，且；則【考查目標】 本題主要考查平面向量的數(shù)量積及其運算法則。【解題思路】|=，平方得，即，解得|=或（舍）?！敬鸢浮俊驹囶}評價】 試題考查課本基礎(chǔ)的平面向量知識，體現(xiàn)課程標準中對考生注重基礎(chǔ)的要求。 (14) 設(shè)滿足約束條件：；則的取值范圍為 . 【考查目標】 本題考查簡單的線性規(guī)劃問題

14、。【解題思路】約束條件對應(yīng)四邊形邊際及內(nèi)的區(qū)域： 則【答案】【試題評價】 試題考查知識很基礎(chǔ)，有效檢測考生對線性規(guī)劃問題的理解和應(yīng)用。（15）某個部件由三個元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個電子元件的使用壽命（單位：小時）均服從正態(tài)分布，且各個元件能否正常相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為 【考查目標】 本題考查正態(tài)分布在實際問題中的應(yīng)用，考查學生實踐中應(yīng)用數(shù)學知識的能力。【解題思路】 三個電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布得：三個電子元件的使用壽命超過1000小時的概率為超過1000小時時元件1或元件2正常工作的概率 那

15、么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為【答案】【試題評價】 試題考查了學生運用正態(tài)分布知識解決實際問題的能力，關(guān)注新課程下考生的數(shù)學應(yīng)用意識。（16）數(shù)列滿足，則的前項和為 【考查目標】本題主要考查靈活運用數(shù)列知識求數(shù)列問題能力?！窘忸}思路】【思路1】有題設(shè)知=1， =3 =5 =7，=9，=11，=13，=15，=17，=19，得=2，+得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，是各項均為2的常數(shù)列，是首項為8，公差為16的等差數(shù)列，的前60項和為=1830.【思路2】可證明： 【答案】【試題評價】 試題通過巧妙設(shè)計，整個求和公式中可分為常數(shù)列和等差數(shù)列兩個新數(shù)列的求和，得以全面考查考

16、生對數(shù)列知識的掌握程度和應(yīng)用能力。三、解答題： （17）（本小題滿分12分）已知分別為三個內(nèi)角的對邊，（1）求 （2）若，的面積為；求。【考查目標】 本題主要考查正余弦定理應(yīng)用【解題思路】 運用正弦定理把已知等式化成角的關(guān)系（“邊化角”），從而用余弦定理求解?！敬鸢浮拷猓?）由正弦定理得： （2） 解得：【試題評價】 試題注重基礎(chǔ)，考查了考試大綱中要求的對三角形面積公式、正余弦定理的理解應(yīng)用。18.（本小題滿分12分）某花店每天以每枝元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理。（1）若花店一天購進枝玫瑰花，求當天的利潤(單位：元)關(guān)于當天需求

17、量（單位：枝，）的函數(shù)解析式。 （2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率。（i）若花店一天購進枝玫瑰花，表示當天的利潤（單位：元），求的分布列，數(shù)學期望及方差；（ii）若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應(yīng)購進16枝還是17枝？請說明理由?！究疾槟繕恕?（1）考查分段函數(shù)解析式的求法；（2）考查有限個值得離散型隨機變量的概率分布和數(shù)學期望，考查考生準確解讀統(tǒng)計圖表的意義的能力?！窘忸}思路及答案】 解（1）當時， 當時， 得： （2）（i）可取， 的分布列為 （ii）購進17枝時，當天的利潤為 得：應(yīng)購進17

18、枝【試題評價】 本題通過對生產(chǎn)生活實際問題的檢測，展示了數(shù)據(jù)的獲取、整理、分析等統(tǒng)計的基本內(nèi)容，體現(xiàn)新課改注重過程、實踐與能力的教學理念。（19）（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱中，是棱的中點，（1）證明：（2）求二面角的大小。【考查目標】 本題考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查二面角的概念和計算，綜合考查考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力?！窘忸}思路】 （1）用線面垂直證線線垂直；（2）可建立空間直角坐標系求解?！敬鸢浮拷猓?）在中， 得： 同理： 得：面 （2）面 取的中點，過點作于點，連接 ，面面面 得：點與點重合 且是二面角的平面角 設(shè)，則， 既二

19、面角的大小為【試題評價】 試題以考生熟悉的三棱柱為載體，通過問題的分層設(shè)計，使不同層次考生的水平都得以發(fā)揮。試題準確把握相關(guān)幾何要素，把“綜合推理論證”和“向量計算驗證”巧妙融入試題設(shè)計中，使空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力得到充分考查，體現(xiàn)了課程標準對立體幾何教學的能力要求。（20）（本小題滿分12分）設(shè)拋物線的焦點為，準線為，已知以為圓心，為半徑的圓交于兩點；（1）若，的面積為；求的值及圓的方程；（2）若三點在同一直線上，直線與平行，且與只有一個公共點，求坐標原點到距離的比值?！究疾槟繕恕勘绢}主要考查圓的方程、拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系、點到直線距離公式、線線平行等基礎(chǔ)知

20、識，考查數(shù)形結(jié)合思想和運算求解能力?！窘忸}思路及答案】解（1）由對稱性知：是等腰直角，斜邊 點到準線的距離 圓的方程為 （2）由對稱性設(shè)，則 點關(guān)于點對稱得： 得：，直線 切點 直線坐標原點到距離的比值為。【試題評價】 試題設(shè)計圍繞解析幾何的思想方法展開，突出了數(shù)形結(jié)合的思想，側(cè)重于對思想方法的理解和應(yīng)用，同時還強調(diào)了良好的運算求解能力，全面體現(xiàn)了考試大綱對解析幾何的考查目標。（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)滿足滿足；（1）求的解析式及單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的最大值?！究疾槟繕恕?本題考查導數(shù)在求單調(diào)性、最值問題中的應(yīng)用，考查分類討論的數(shù)學思想，考查靈活應(yīng)用導數(shù)這一工具去分析、解決問題的能

21、力?！窘忸}思路】 （1）代特殊值法；（2）構(gòu)造新函數(shù)。【答案】解（1） 令得： 得： 在上單調(diào)遞增 得：的解析式為 且單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為 （2）得 當時，在上單調(diào)遞增 時，與矛盾 當時， 得：當時， 令；則 當時， 當時，的最大值為?！驹囶}評價】 試題分布設(shè)問，考查由淺入深，重點突出，靈活考查了利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)以及導數(shù)的基礎(chǔ)知識和解題方法，而且對邏輯推理能力、運算求解能力提出較高要求。請考生在第22,23,24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分，做答時請寫清題號。（22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，分別為邊的中點，直線交的外接圓于兩點，若，證明：（1）；（2）?！究疾槟繕恕?本題主要考查線線平行