6.1二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形ppt課件

1、第一節(jié) 實(shí)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的概念復(fù)復(fù)二二次次型型 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 , 稱為二次型稱為二次型. .的的二二次次齊齊次次函函數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)變變量量含含有有定定義義nxxxn, 121; , 稱稱為為是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)faij. , 稱稱為為是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)faij先看書上實(shí)例先看書上實(shí)例1.實(shí)實(shí)二二次次型型1 1用和號(hào)表示用和號(hào)表示 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 , 對(duì)二次型對(duì)二次型,aaijji 取取,2xxax

2、xaxxaijjijiijjiij 則則于是于是nnxxaxxaxaf1121122111 .1,xxajinjiij nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa 二、二次型的表示方法2 2用矩陣表示用矩陣表示nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa )()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),

3、( ,.Tfx AxA 則則二二次次型型可可記記作作其其中中 為為對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣11121121222212,nnnnnnnaaaxaaaxAxaaax 記記 1112112122221212,nnnnnnnnaaaxaaaxxxxaaax ;Af對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣 叫叫做做二二次次型型的的矩矩陣陣 ;fA叫叫做做對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣 的的二二次次型型解解,a,a,a321332211 ,aa22112 ,aa03113 .aa33223 .330322021 A.6432 3221232221的的矩矩陣陣寫寫出出二二次次型型xxxxxxxf 例例見(jiàn)書上例見(jiàn)書上例2、例、例3.只含有平方項(xiàng)的二次型

4、只含有平方項(xiàng)的二次型2222211nnykykykf 稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形或法式）稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形或法式）例如例如 312322213214542,xxxxxxxxf 都為二次型；都為二次型； 23222132144,xxxxxxf 為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形. . 323121321,xxxxxxxxxf nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,設(shè)設(shè)三、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)于二次型，我們討論的主要問(wèn)題是：尋求對(duì)于二次型，我們討論的主要問(wèn)題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形),(cCi

5、j 記記記作記作則上述可逆線性變換可則上述可逆線性變換可 Cyx AxxfT 有有將將其其代代入入, AxxfT . yACCyTT CyACyT 這樣問(wèn)題就演變?yōu)槿绾握页鲞@樣問(wèn)題就演變?yōu)槿绾握页鰊階可逆矩陣階可逆矩陣C使得使得為對(duì)角矩陣。為對(duì)角矩陣。TC AC 注意等價(jià)、相似和合同的區(qū)別。注意等價(jià)、相似和合同的區(qū)別。定義：如果對(duì)于定義：如果對(duì)于n階方陣階方陣A和和B，存在，存在n階可逆矩陣階可逆矩陣P，使，使得得 ，則稱，則稱A與與B合同，記為合同，記為TBP AP AB 方陣合同的性質(zhì)：方陣合同的性質(zhì)：（1反身性反身性（2對(duì)稱性對(duì)稱性 假設(shè)假設(shè) ，那么，那么（3傳遞性傳遞性 假設(shè)假設(shè) ，那

6、么，那么,AB BCBA AB AC AA 闡明：兩個(gè)相似的方陣必等價(jià)，兩個(gè)合同的方陣也必等闡明：兩個(gè)相似的方陣必等價(jià)，兩個(gè)合同的方陣也必等價(jià)。反之都不成立。等價(jià)的方陣未必相似，也未必合同。價(jià)。反之都不成立。等價(jià)的方陣未必相似，也未必合同。兩個(gè)正交相似的方陣必正交合同。反之，兩個(gè)正交合同兩個(gè)正交相似的方陣必正交合同。反之，兩個(gè)正交合同的方陣也必正交相似。因此，兩個(gè)方陣正交相似與正交的方陣也必正交相似。因此，兩個(gè)方陣正交相似與正交合同是一回事。然而，兩個(gè)同階方陣既相似又合同時(shí)，合同是一回事。然而，兩個(gè)同階方陣既相似又合同時(shí)，它們未必是正交相似的，也未必正交合同。它們未必是正交相似的，也未必正交合

7、同。有有型型把此結(jié)論應(yīng)用于二次把此結(jié)論應(yīng)用于二次即即使使總有正交矩陣總有正交矩陣陣陣由于對(duì)任意的實(shí)對(duì)稱矩由于對(duì)任意的實(shí)對(duì)稱矩,.,1 APPAPPPAT ,12 ,nijijijjii jTfa x xaaxPy PPEf 定定理理任任給給二二次次型型總總有有正正交交變變換換使使化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形2221122,TTnnfx Axyyyyy .,21的的特特征征值值的的矩矩陣陣是是其其中中ijnaAf 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟;,. 1AAxxfT求求出出將將二二次次型型表表成成矩矩陣陣形形式式 ;,. 221nA 的的所所有有特特征征值值求求

8、出出 ;,. 321n 征征向向量量求求出出對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值的的特特 ;,. 4212121nnnC 記記得得單單位位化化正正交交化化將將特特征征向向量量 .,. 52211nnyyffCyx 的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形則則得得作作正正交交變變換換 解解1 1寫出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值寫出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值 144241422217A 144241422217EA 9182 .,844141417 323121232221化成標(biāo)準(zhǔn)形化成標(biāo)準(zhǔn)形通過(guò)正交變換通過(guò)正交變換將二次型將二次型Pyxxxxxxxxxxf 例例2 2從而得特征值從而得特征值.18, 9321 得基礎(chǔ)解系得基

9、礎(chǔ)解系代入代入將將, 091 xEA 2 2求特征向量求特征向量 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系代代入入將將, 01832 xEA ,)0 , 1 , 2(2 T .)1 , 0 , 2(3 T 3 3將特征向量正交化將特征向量正交化,11 取取.)1 , 1 , 21(1T ,22 ,2223233 得正交向量組得正交向量組.)1 , 54, 52(3 T ,)0 , 1 , 2(2 T ,)1 , 1 , 21(1T ,3 , 2 , 1, iiii 令令得得,051522 ,3232311 .4554544523 .45503245451324525231 P 所所以以4 4將正交向量組單位化，得

10、正交矩陣將正交向量組單位化，得正交矩陣P于是所求正交變換為于是所求正交變換為,45503245451324525231321321 yyyxxxyyf 且且有有解解例例3 3.22 2222 , 434232413121化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形把二次型把二次型求一個(gè)正交變換求一個(gè)正交變換xxxxxxxxxxxxfPyx 二次型的矩陣為二次型的矩陣為,0111101111011110 A它的特征多項(xiàng)式為它的特征多項(xiàng)式為.111111111111 EA有有四列都加到第一列上四列都加到第一列上三三把二把二計(jì)算特征多項(xiàng)式計(jì)算特征多項(xiàng)式,:,1111111111111)1( EA有

11、有四行分別減去第一行四行分別減去第一行三三把二把二,1000212022101111)1( EA1221)1(2 .)1( )3()32()1(322 . 1, 34321 的的特特征征值值為為于于是是A, 0)3(,31 xEA解解方方程程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,11111 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系.1111211 p單位化即得單位化即得, 0)(,1432 xEA解方程解方程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,1111,1100,0011232 可得正交的基礎(chǔ)解系可得正交的基礎(chǔ)解系單位化即得單位化即得 21212121,212100,002121432ppp于于是是正正交交變變換換為為 yyyyxxxx4321432121210

12、21212102121021212102121.324232221yyyyf 且且有有用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形1.若二次型含有若二次型含有 的平方項(xiàng)，則先把含有的平方項(xiàng)，則先把含有 的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過(guò)非退化線樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過(guò)非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形; ixix kkjijjiiyxyyxyyx jiknk, 2 , 1 且且配方法的步驟配方法的步驟2.若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是 則先作可逆線性變換則先作可

13、逆線性變換0 ija),(ji 化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按1中方中方法配方法配方.解解32312123222162252xxxxxxxxxf .,62252 323121232221并并求求所所用用的的變變換換矩矩陣陣為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例例1 131212122xxxxx 322322652xxxx 的的項(xiàng)項(xiàng)配配方方含含有有x1含有平方項(xiàng)含有平方項(xiàng) 2321xxx 322322652xxxx 3223222xxxx 去掉配方后多出來(lái)的項(xiàng)去掉配方后多出來(lái)的項(xiàng) 322322232144xxxxxxx .22322

14、321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yxyyxyyyx 321321100210111yyyxxx32312123222162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用變換矩陣為所用變換矩陣為 .01,100210111 CC,33212211 yxyyxyyx 令令解解,622323121xxxxxxf 代代入入.842232312221yyyyyyf 得得.,622 323121并并求求所所用用的的變變換換矩矩陣陣成成標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形化化二二次次型型xxxxxxf 例例2 2由于所給二次型中無(wú)平方項(xiàng)，所以由于所給二次型中無(wú)平方項(xiàng)，所以 yyy

15、xxx321321100011011即即再配方，得再配方，得 .622223232231yyyyyf 333223112yzyyzyyz 令令,233322311 zyzzyzzy .622232221zzzf 得得 zzzyyy321321100210101即即所用變換矩陣為所用變換矩陣為 100210101100011011C.100111311 .02 C見(jiàn)書上例見(jiàn)書上例6、例、例7.四、二次型的規(guī)范形四、二次型的規(guī)范形前面我們介紹了兩種將二次型變換成標(biāo)準(zhǔn)形的方法，不前面我們介紹了兩種將二次型變換成標(biāo)準(zhǔn)形的方法，不管是通過(guò)哪一種方法得到的標(biāo)準(zhǔn)形，都可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)。管是通過(guò)哪一種方法得到的

16、標(biāo)準(zhǔn)形，都可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)。見(jiàn)書上例見(jiàn)書上例8.定義：所有平方項(xiàng)的系數(shù)均為定義：所有平方項(xiàng)的系數(shù)均為1，-1或或0的標(biāo)準(zhǔn)二次型稱為的標(biāo)準(zhǔn)二次型稱為 規(guī)范二次型。規(guī)范二次型。222211( , ,AA).1 kkrTfx Axfzzzzkrkr 定定理理 慣慣性性定定理理任任意意一一個(gè)個(gè)n n元元二二次次型型一一定定可可以以經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)可可逆逆線線性性變變換換化化為為規(guī)規(guī)范范形形和和是是由由唯唯一一確確定定的的（與與所所采采用用的的變變換換的的選選擇擇無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)）是是規(guī)規(guī)范范形形中中系系數(shù)數(shù)為為 的的項(xiàng)項(xiàng)數(shù)數(shù)， 就就是是的的秩秩。而而且且其其中中的的定義：定義： 規(guī)范形中的規(guī)范形中的 k 稱為二次型稱為

17、二次型 （或?qū)ΨQ矩陣（或?qū)ΨQ矩陣A的正慣性指數(shù)，稱的正慣性指數(shù)，稱 r-k 為二次型為二次型 （或?qū)ΨQ矩陣（或?qū)ΨQ矩陣A的負(fù)慣性指數(shù)，的負(fù)慣性指數(shù)， 稱為它們的符號(hào)差稱為它們的符號(hào)差.Tfx Ax Tfx Ax ()2krkkr 定理：對(duì)稱矩陣定理：對(duì)稱矩陣A與與B合同當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的秩和相合同當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的秩和相同的正慣性指數(shù)。同的正慣性指數(shù)。證明見(jiàn)書上證明見(jiàn)書上P171.看書上例看書上例9.五、小結(jié)1.實(shí)二次型的化簡(jiǎn)問(wèn)題，在理論和實(shí)際中實(shí)二次型的化簡(jiǎn)問(wèn)題，在理論和實(shí)際中經(jīng)常遇到，通過(guò)在二次型和對(duì)稱矩陣之間建立一經(jīng)常遇到，通過(guò)在二次型和對(duì)稱矩陣之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，將二次型的化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為將對(duì)稱矩一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，將二次型的化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣，而這是已經(jīng)解決了的問(wèn)題，請(qǐng)陣化為對(duì)角矩陣，而這是已經(jīng)解決了的問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們注意這種研究問(wèn)題的思想方法同學(xué)們注意這種研究問(wèn)題的思想方法2.實(shí)二次型的化簡(jiǎn)，并不局限于使用正交實(shí)二次型的化簡(jiǎn)，并不局限于使用正交矩陣，根據(jù)二次型本身的特點(diǎn)，可以找到某種運(yùn)矩陣，根據(jù)二次型本身的特點(diǎn)，可以找到某種運(yùn)算更快的可逆變換，如配方法算更快的可逆變換，如配方法化為標(biāo)準(zhǔn)型，并指出化為標(biāo)準(zhǔn)型，并指出 表示何種二次表示何種二次 1,321 xxxf曲面曲面. 323121232221321662355,xxxxxxxxxxxxf 求一正交變換，