2008試卷分析

1、一、填空題（共20分）1. 設(shè)A是mn矩陣， B是m維列向量，則方程組AX=B有惟一解的充分必要條件是：_ rank(A) = rank(A|B)=n2. 已知E為單位矩陣，若可逆矩陣P使得 2P-1AP+P-1A2P=3E， 則當(dāng)E-A可逆時， A3=_112112122121323 (2 )3(2)3 2(3 )3230 (3 )()030 ()03 , 27P APP A PEPA PP A PEPAA PEAAPE PEAAEAEAEEAAEAEAEAEAE 由于 可逆，則可逆。3. 若t為實(shí)數(shù)，則若向量組 =（0，4，t），=（2，3，1），=（t，2，3+t） 的秩為_2141 3

2、322 802432,43213130243243231013024231020134243243202113003228TTTtrrrt rttttttttttttttt t 20230038,3TTTttrank4. 若A為2009階正交矩陣，A*為A的伴隨矩陣， 則 | A*|=_*1*212009 1* 1, 111nnTnAAA EAAAEAAAA AEAAAA 因?yàn)橛捎?是正交矩陣，5. 設(shè)A為n階方陣， 是A的n個特征根，則 12,n 1niiiiEA121,00iiiiiiniiiniiiiAEAEA 的特征值為則選擇題（共20分）1. 1. 如果將單位矩陣E的第i行乘k加到第

3、j行得到的矩陣設(shè)為P(j, i(k)，將矩陣Amn的第i列乘k加到第j列相當(dāng)于對Amn：A. 左乘一個P(i , j(k) B，右乘一個P(i , j(k) C，左乘一個P(j , i(k)， D，右乘一個P(j , i(k) 1. 2. 若A為mn 矩陣， B是m 維非零列向量。2. r(A) = r minm , n. 集合A， M是m維向量空間， B， M是n-r維向量空間C， M是m-r維向量空間， D， A，B，C都不對:,nMXAXB XR1. 3. 若n階方陣A滿足A2 +3A=4E，則以下命題哪一個成立A，A = E B，r(A) = r(E)C，det A = det E D

4、，r(A+E)+r(A-E)n 234(3 )4detdet(3 )det(4 )4det0( )( )nAAEA AEEAAEEAr Anr E1. 4. 若A是2n階正交矩陣，則以下命題哪一個成立：A，矩陣AA*為正交矩陣， B，矩陣2A-1為正交矩陣C，矩陣A+A*為正交矩陣， D，矩陣A-A*為正交矩陣*22*2*(det)() ()(det)(det)(det)det()det1(det)1() ()(det)TTTTTAAA EAAAAA EA EA EA AEAAAAAAAA EEAA由于是正交矩陣1.5. 如果n階行列式 11111 01 0 0的值為-1，那么n的值可能是：_

5、A. 2007 B，2008C，2009 D，2000 (1(1)2211111 011( 1)1 0 02009n nn nnn ）（） （）只有代入時成立三、判斷題（12分）（1）對一個線性方程組的增廣矩陣做初等變換，對應(yīng)的線性方程組的解不變。( ) 做行行初等變換 (2) 實(shí)對稱矩陣的特征值是實(shí)數(shù)。( )(3) 如果矩陣的行列式為0，那么這個矩陣或者有一行（列）全為零，或者有兩行（列）的元素對應(yīng)成比例。( )對12351111.11103101 求向量在基，下的坐標(biāo)。四、解下列各題（每小題8分，共16分）12311223312312311151013,|11011101101311151

6、013101310030114011401020102001600163,2,6. xxxxxxxxx 解;設(shè) 的坐標(biāo)為則的坐標(biāo)（-3，2，6）1232132.det2312341nnAn計(jì)算1213112231213det123112341ccccccnnnnnAnnn解：213111223010001200111rrrrrn rnnn123100001000100(1)(1)012001202201110111nn nn nnn1(1)(1)!( 1)( 2)(1)( 1)22nn nnn 1111101001011001A五、求矩陣列向量組所生成的子空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。11111010

7、01011001001010100110000A 0110001-1001-1001-1解：01010101100110011,rank(A)=312323111101010100 1令，則，是一個基。12122111112/31011/31010131011/3 11施密特正交化：，1323331212112/31/5111/32/521/30011/5315/9011/33/5 12，單位化：3121231231232/ 151/ 151/31/ 152/ 151/3, , 03/ 151/ 151/31/ 153/ 15, 則是單位正交基。 .AmnAXmAm六、（6分）證明題：設(shè) 是

8、行 列矩陣，如果線性方程組對于任意維向量 都有解，那么 的秩等于12121212100010001 (1,2,) (1,2,)(,)(,)(,), ()min( ),( )miiiimmm mmAXXimAXimA XXXEBXXXABErank ABrank A rank B 證：設(shè)， ，設(shè)的解是即：則令則一方面，( )()( )( ),( )rank Amrank ABrank Emmrank Amrank Am另一方面，則116, ,A B ABAB七、（ 分）設(shè)矩陣都是可逆矩陣，證明 也是可逆矩陣。:證明11.AB設(shè)法把表示成可逆矩陣的乘積1111 EEABAB1111BBBAAA11

9、11()()BBBAAABA111111,()AAB BAAB BAB由于,都可逆，它們的乘積也可逆，則可逆。2221231122233( ,)24344f x x xxx xxx xx八、（10分）用正交變換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出該 正交變換所對應(yīng)的正交變換矩陣。 220 232024220det()232024AAE解：(2)(3)022(2)(3)2222322224024 22123(2)(3)424522424245252(3)(6)24240,3,6 特征值111213223233100)0 :220110110023201201202401200020222022201AE XAExtxxxxxtxxxxxt 1對， 解 方 程 組 (基 礎(chǔ) 解 系是 對 應(yīng)的 特 征 向 量 。211212223323233 )0:1201201203202042021021021000220220222132AE XAExtxxxxxtxxxxxt 2對，解方程組(基礎(chǔ)解系是對應(yīng)的特征向量。311221223313366 )0:420210210623202201102201100020220221262AE XAExtxxx