高等數學：1-10 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質

1、1第十節(jié)第十節(jié) 閉區(qū)間閉區(qū)間上上連續(xù)函數連續(xù)函數的性質的性質介值定理介值定理( intermediate value theorem )小結小結 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)最大值最大值(maximum )和和最小值最小值(minimum)定理定理 在在閉區(qū)間閉區(qū)間上的上的連續(xù)函數連續(xù)函數有一些重要的性質有一些重要的性質,這些性質主要應用于分析和論證某些問題時作這些性質主要應用于分析和論證某些問題時作為理論的根據為理論的根據. . 這些性質的幾何意義很明顯這些性質的幾何意義很明顯. .第一章第一章 函數與極限函數與極限2定義定義)()(xff 例例,sgn xy ,),(上上在在, 2max y;

2、1min y,), 0(上上在在. 1max y,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y設設f (x)在區(qū)間在區(qū)間I上有定義上有定義, I 使得當使得當,時時Ix 恒有恒有若存在點若存在點),()( fxf 為函數為函數f(x)在區(qū)間在區(qū)間I上的上的)( f最小最小 值值, ,記為記為則稱則稱)(min)(xffIx ).(max)(xffIx ( (大大) ) miny一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質3在閉區(qū)間上連續(xù)的在閉區(qū)間上連續(xù)的,)(baCxf 若若注注 (1) 定理定理1中的條件中的條件“閉區(qū)間閉區(qū)

3、間”和和“連續(xù)性連續(xù)性” 定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) )函數一定有最大值和最小值函數一定有最大值和最小值. .,21ba 則則,bax 使得使得),()(1xff 有有).()(2xff 是不可少的是不可少的.閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質xyO)(xfy ab2 1 4xyO211在在開區(qū)間開區(qū)間(0,1)內連續(xù)內連續(xù), 2xy 在在(0,1)內內又如又如: : 21, 3, 1, 1, 10, 1)(xxxxxxfy在閉區(qū)間在閉區(qū)間0,2上有上有函數函數f (x)在在0,2上上既沒有最大值既沒有最大值,如如: 函數函數沒有最大值或最小值沒有最大值或

4、最小值.也沒有最小值也沒有最小值.間斷點間斷點函數函數閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質)(xfy , 1 x2xy 5(2) “閉區(qū)間閉區(qū)間”和和“連續(xù)連續(xù)性性”在在開區(qū)間開區(qū)間xysin )2, 0( 取得最小值取得最小值2 x處處在在23 x函數函數 0, 10,1 , 1,)(xxxxxf處取得最大值處取得最大值 1.而不是必要條件而不是必要條件.如如 函數函數內連續(xù)內連續(xù),但它在但它在處取得最大值處取得最大值1;. 1 又如又如在閉區(qū)間在閉區(qū)間1 , 1 上有上有間斷點間斷點取得最小值取得最小值但它在但它在處處1 x; 1 僅是定理的僅是定理的充分條件充分條件,閉區(qū)間上連續(xù)

5、函數的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質, 0 x1 , 0 x在在6證證,bax ,)(Mxfm ,max.)(Kxf .,)(上上有有界界在在函函數數baxf由由定理定理1(最值定理最值定理),定理定理2(2(有界性定理有界性定理) )有有| M|,|m取取 K則有則有,)(baCxf 設設.,)(上上有有界界在在則則baxf,)(baCxf 設設閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質7的的零點零點. .,0)(的根的根是方程是方程 xf )(xfy 又稱為函數又稱為函數定理定理3(3(方程實根的存在定理方程實根的存在定理) ),)(baCxf 設設),(af且且,)(異號異號bf則至少存在

6、一點則至少存在一點),(ba 使得使得, 0)( f).,(ba 零點定理零點定理幾何意義幾何意義: 如圖所示如圖所示.二、介值定理二、介值定理閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質xyO)(xfy ba 8定理定理4(4(介值定理介值定理) ),)(baCxf 設設),()(bfaf ( ),( ),f aA f bB CA B且為介于之間的任一數),(ba 則至少存在一點則至少存在一點使得使得,)(Cf ).,(ba 證證,)()(Cxfx ,)(baCx 則則Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 使使),(ba , 0)( , 0)()(

7、 Cf 即即.)(Cf 零點定理零點定理閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質 輔助函數輔助函數9幾何意義幾何意義:Cyxfy 與水平直線與水平直線連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧)(至少有一個交點至少有一個交點.閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質xyO)(xfy 1 ABCba2 3 1P2P3P10幾何意義幾何意義:之間的任何值之間的任何值( (不會有任何遺漏不會有任何遺漏).).Mm推論推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數必取得介于最大值在閉區(qū)間上連續(xù)的函數必取得介于最大值與最小值與最小值閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質xyO)(xfy ba1 C2 3 1P2P3P2x1xMm11

8、注注閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質常用于閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質常用于:證明某些等式或不等式證明某些等式或不等式;判斷某些方程根的存在性或實根的范圍判斷某些方程根的存在性或實根的范圍.閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質12例例.)1 , 0(0183至少有一根至少有一根內內在區(qū)間在區(qū)間證明方程證明方程 xx證證, 18)(3 xxxf令令,1 , 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xf, 01)0( f又又, 06)1( f由由零點定理零點定理,),1 , 0( , 0)( f使使, 0183 即即.)1 , 0(0183 內至少有一根內至少有一根在在方程方程 xx閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質閉區(qū)間上連續(xù)函

9、數的性質13閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質例例 證明證明:任何實系數奇數次代數方程必有實根任何實系數奇數次代數方程必有實根.證證 設實系數奇數次代數方程為設實系數奇數次代數方程為01110 nnnnaxaxaxa,)(1110nnnnaxaxaxaxf 設設且不妨設且不妨設, 00 a由于由于 )(xf,時時當當x,時時當當x故故, 01 x, 02 x故故), 0(0為奇數為奇數na nxa0 nnxaaxaa111001,)(xf; 0)(1 xf,)(xf. 0)(2 xf由由零點定理零點定理,即方程有實根即方程有實根.因為因為)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,12xx上連續(xù)上連續(xù)

10、,),(120 xxx 使得使得, 0)(0 xf14例例,)(上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設函數設函數baxf證證,)()(xxfxF 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 由由零點定理零點定理,),(ba )()(fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即使使, 0 ,)(aaf 且且.)(bbf .)(),( fba使得使得證明證明 輔助函數輔助函數閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質15( )( ) , ,( ).f af ba bf 使得 證證),()(bfaf 若若),()(bfaf 設設 )()(bfaf),()(bfaf 顯然顯然 例例證

11、明證明:.即可即可取取a .),()(可類似證明可類似證明bfaf 令令閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質 介值定理介值定理),(ba ,)( f使使即得即得( ) , , ,0,f xa b 設在上連續(xù)( )( )( ).f af bf16,)()(上連續(xù)上連續(xù)在在和和設設baxgxf),()()(xgxfxF 設設,)(上連續(xù)上連續(xù)在在baxF)()()(bgbfbF ),(ba ).()( gf 即即證證則則)()()(agafaF ; 0 . 0 , 0)( F使使零點定理零點定理),()(agaf 且且),()(bgbf ).()(,: gfba 使使證明證明且且閉區(qū)間上連

12、續(xù)函數的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質17注意條件注意條件1. 閉區(qū)間閉區(qū)間; 2. 連續(xù)函數連續(xù)函數這兩點不滿足上述定理不一定成立這兩點不滿足上述定理不一定成立三、小結三、小結閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質最值定理最值定理;有界性定理有界性定理;零點定理零點定理;介值定理介值定理.四個定理四個定理18思考題思考題 (是非題是非題)閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質非非例如例如: 0, 1, 10,)(xxxxf,)(上有定義上有定義在在設設baxfy ,),(內連續(xù)內連續(xù)在在ba, 0)()( bfaf且且則至少存在一點則至少存在一點),(ba . 0)( f使使,1 , 0上有定義上有定義在在.)1 , 0(內連續(xù)內連續(xù)在在1)1()1()0( ff且且,)1 , 0( 內不存在內不存在但在但在. 0)( f使使, 0 19作業(yè)作業(yè)習題習題1-10 (731-10 (73頁頁) ) 1. 2. 3. 4. 5.閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質 一個登