數(shù)學(xué)建模——時間序列分析

1、時間序列分析時間序列分析華中農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)建?；叵盗姓n件華中農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)建模基地系列課件7000年前的古埃及人把年前的古埃及人把 尼羅尼羅河漲落的情況逐天記錄下來，河漲落的情況逐天記錄下來，就構(gòu)成所謂的時間序列。對這就構(gòu)成所謂的時間序列。對這個時間序列長期的觀察使他們個時間序列長期的觀察使他們發(fā)現(xiàn)尼羅河的漲落非常有規(guī)律發(fā)現(xiàn)尼羅河的漲落非常有規(guī)律。由于掌握了尼羅河泛濫的規(guī)。由于掌握了尼羅河泛濫的規(guī)律，使得古埃及的農(nóng)業(yè)迅速發(fā)律，使得古埃及的農(nóng)業(yè)迅速發(fā)展，從而創(chuàng)建了埃及燦爛的史展，從而創(chuàng)建了埃及燦爛的史前文明。前文明。引例引例引例引例時間序列：時間序列：某一系統(tǒng)在不同的時間（地點或其他條件某一系統(tǒng)在

2、不同的時間（地點或其他條件等）的響應(yīng)（數(shù)據(jù)）。等）的響應(yīng)（數(shù)據(jù)）。時間序列是按時間序列是按一定的順序一定的順序排列而成，排列而成，“一定順序一定順序”既既可以是時間順序，也可以是具有不同意義的物理量?？梢允菚r間順序，也可以是具有不同意義的物理量。如：如：研究高度與氣壓的關(guān)系，這里的高度就可以看作研究高度與氣壓的關(guān)系，這里的高度就可以看作“時間時間”總而言之，時間序列只是強調(diào)順序的重要性，因此又被總而言之，時間序列只是強調(diào)順序的重要性，因此又被稱為稱為“縱向數(shù)據(jù)縱向數(shù)據(jù)”，相對于，相對于“橫向數(shù)據(jù)橫向數(shù)據(jù)”而言的。而言的。什么是時間序列什么是時間序列時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理 平穩(wěn)

3、性檢驗平穩(wěn)性檢驗 純隨機性檢驗純隨機性檢驗 平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析非平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析非平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析 內(nèi)容提要內(nèi)容提要時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理基本概念基本概念平穩(wěn)性檢驗平穩(wěn)性檢驗純隨機性檢驗純隨機性檢驗 概率分布概率分布的意義的意義隨機變量族的統(tǒng)計特性完全由它們的聯(lián)合分布函數(shù)或隨機變量族的統(tǒng)計特性完全由它們的聯(lián)合分布函數(shù)或聯(lián)合密度函數(shù)決定聯(lián)合密度函數(shù)決定 時間序列時間序列概率分布族概率分布族的定義的定義 幾個重要幾個重要數(shù)字特征數(shù)字特征：均值：均值 、方差、自協(xié)方差、自相關(guān)系、方差、自協(xié)方差、自相關(guān)系數(shù)數(shù)Ttt

4、tmmxxxFmmtttm ,), 2 , 1(),(2121,21時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理1 基本概念基本概念1 .1 基本的數(shù)字特征基本的數(shù)字特征特征統(tǒng)計量特征統(tǒng)計量均值均值 方差方差自協(xié)方差自協(xié)方差自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)( )tttEXxdF x 22()()( )tttttDXE XxdF x ( , )()()ttsst sE XX( , )( , )tst st sDXDX 時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理1.2 平穩(wěn)時間序列的定義平穩(wěn)時間序列的定義嚴平穩(wěn)嚴平穩(wěn)嚴平穩(wěn)是一種條件比較苛刻的平穩(wěn)性定義，它嚴平穩(wěn)是一種條件比較苛刻的平穩(wěn)性定義，它認為只有當序列所有的

5、統(tǒng)計性質(zhì)都不會隨著時認為只有當序列所有的統(tǒng)計性質(zhì)都不會隨著時間的推移而發(fā)生變化時，該序列才能被認為平間的推移而發(fā)生變化時，該序列才能被認為平穩(wěn)。穩(wěn)。寬平穩(wěn)寬平穩(wěn)寬平穩(wěn)是使用序列的特征統(tǒng)計量來定義的一種寬平穩(wěn)是使用序列的特征統(tǒng)計量來定義的一種平穩(wěn)性。它認為序列的統(tǒng)計性質(zhì)主要由它的低平穩(wěn)性。它認為序列的統(tǒng)計性質(zhì)主要由它的低階矩決定，所以只要保證序列低階矩平穩(wěn)（二階矩決定，所以只要保證序列低階矩平穩(wěn)（二階），就能保證序列的主要性質(zhì)近似穩(wěn)定。階），就能保證序列的主要性質(zhì)近似穩(wěn)定。 時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理滿足如下條件的序列稱為滿足如下條件的序列稱為寬平穩(wěn)序列寬平穩(wěn)序列Ttskkstts

6、kkstTtEXTtEXtt 且且，為為常常數(shù)數(shù)，,),(),()3,)2,)12 時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理常數(shù)均值和方差常數(shù)均值和方差 自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)只依賴于時間的平移自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)只依賴于時間的平移長度，而與時間的起止點無關(guān)長度，而與時間的起止點無關(guān) 延遲延遲k自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù) 延遲延遲k自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù))0()( kk 為整數(shù)為整數(shù)kkttk ),()( 平穩(wěn)時間序列的統(tǒng)計性質(zhì)平穩(wěn)時間序列的統(tǒng)計性質(zhì) 時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理平穩(wěn)時間序列的意義平穩(wěn)時間序列的意義 時間序列數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的特殊性時間序列數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的特殊性可列多個隨機變量

7、，而每個變量只有一個樣本可列多個隨機變量，而每個變量只有一個樣本觀察值觀察值平穩(wěn)性的重大意義平穩(wěn)性的重大意義極大地減少了隨機變量的個數(shù)，并增加了待估極大地減少了隨機變量的個數(shù)，并增加了待估變量的樣本容量變量的樣本容量極大地簡化了時序分析的難度，同時也提高了極大地簡化了時序分析的難度，同時也提高了對特征統(tǒng)計量的估計精度對特征統(tǒng)計量的估計精度時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理平穩(wěn)性檢驗主要有平穩(wěn)性檢驗主要有兩種兩種方法：方法：根據(jù)時序圖和自相關(guān)圖顯示的特征做出判斷的根據(jù)時序圖和自相關(guān)圖顯示的特征做出判斷的圖檢驗圖檢驗方法方法構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量進行構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量進行假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗的方法。的方法。

8、時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理2 平穩(wěn)性檢驗平穩(wěn)性檢驗時序圖檢驗時序圖檢驗 根據(jù)平穩(wěn)時間序列均值、方差為常數(shù)的性質(zhì)，平根據(jù)平穩(wěn)時間序列均值、方差為常數(shù)的性質(zhì)，平穩(wěn)序列的時序圖應(yīng)該顯示出該序列始終在一個常穩(wěn)序列的時序圖應(yīng)該顯示出該序列始終在一個常數(shù)值附近隨機波動，而且波動的范圍有界、無明數(shù)值附近隨機波動，而且波動的范圍有界、無明顯趨勢及周期特征。顯趨勢及周期特征。自相關(guān)圖檢驗自相關(guān)圖檢驗 平穩(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性。該性質(zhì)用自相關(guān)平穩(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性。該性質(zhì)用自相關(guān)系數(shù)來描述就是隨著延遲期數(shù)的增加，平穩(wěn)序列系數(shù)來描述就是隨著延遲期數(shù)的增加，平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)會很快地衰減向零。的

9、自相關(guān)系數(shù)會很快地衰減向零。2.1 平穩(wěn)性的圖檢驗平穩(wěn)性的圖檢驗時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理例例1檢驗檢驗1964年年1999年中國紗年產(chǎn)量序列的平年中國紗年產(chǎn)量序列的平穩(wěn)性穩(wěn)性例例2檢驗檢驗1962年年1月月1975年年12月平均每頭奶牛月月平均每頭奶牛月產(chǎn)奶量序列的平穩(wěn)性產(chǎn)奶量序列的平穩(wěn)性例例3檢驗檢驗1949年年1998年北京市每年最高氣溫序年北京市每年最高氣溫序列的平穩(wěn)性列的平穩(wěn)性平穩(wěn)性檢驗平穩(wěn)性檢驗時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理例例1 平穩(wěn)性檢驗平穩(wěn)性檢驗時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理平穩(wěn)性檢驗平穩(wěn)性檢驗時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理平穩(wěn)性檢

10、驗平穩(wěn)性檢驗時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理例例2 自相關(guān)圖自相關(guān)圖時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理例例3 時序圖時序圖時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理例例3 自相關(guān)圖自相關(guān)圖時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理 等間隔時間數(shù)據(jù)的錄入等間隔時間數(shù)據(jù)的錄入程序說明（數(shù)據(jù)的錄入）程序說明（數(shù)據(jù)的錄入）時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理 等間隔時間數(shù)據(jù)的錄入等間隔時間數(shù)據(jù)的錄入程序說明（數(shù)據(jù)的錄入）程序說明（數(shù)據(jù)的錄入）時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理 數(shù)據(jù)的變換數(shù)據(jù)的變換程序說明（數(shù)據(jù)的錄入）程序說明（數(shù)據(jù)的錄入）時

11、間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理 取數(shù)據(jù)中的子集取數(shù)據(jù)中的子集程序說明（數(shù)據(jù)的錄入）程序說明（數(shù)據(jù)的錄入）時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理 缺失數(shù)據(jù)的插入缺失數(shù)據(jù)的插入程序說明（數(shù)據(jù)的錄入）程序說明（數(shù)據(jù)的錄入） data a;input sha; year=intnx(year,1964,_n_-1);format year year4.; dif=dif(sha); cards; 97 130 156.5 135.2 137.7 180.5 205.2 190 188.6 196.7 180.3 210.8 196 223 238.2 263.5 292.6 317 335.

12、4 327 321.9 353.5 397.8 436.8 465.7 476.7 462.6 460.8 501.8 501.5 489.5 542.3 512.2 559.8 542 567 ; proc gplot;plot sha*year=1 dif*year=2; symbol1 v=circle i=join c=black; symbol2 v=star i=join c=red; proc arima data=a;identify var=sha nlag=22; run;時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理 1964年年1999年中國紗年產(chǎn)量年中國紗年產(chǎn)量SAS程序程

13、序時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理 1962年年1月月1975年年12月平均每頭奶牛月產(chǎn)奶量月平均每頭奶牛月產(chǎn)奶量SAS程序程序時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理 1949年年1998年北京市每年最高氣溫年北京市每年最高氣溫SAS程序程序純隨機序列的純隨機序列的定義定義純隨機性的純隨機性的性質(zhì)性質(zhì)純隨機性純隨機性檢驗檢驗時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理3 純隨機性檢驗純隨機性檢驗3.1 純隨機序列的定義純隨機序列的定義純隨機序列也稱為純隨機序列也稱為白噪聲序列白噪聲序列，它滿足如下兩條，它滿足如下兩條性質(zhì)性質(zhì) TststststTtEXt , 0,),()2(,)1(2

14、時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理標準正態(tài)白噪聲序列時序圖標準正態(tài)白噪聲序列時序圖 時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理3.2 白噪聲序列的性質(zhì)白噪聲序列的性質(zhì) 純隨機性純隨機性 各序列值之間沒有任何相關(guān)關(guān)系，即為各序列值之間沒有任何相關(guān)關(guān)系，即為 “沒有沒有記憶記憶”的序列的序列 方差齊性方差齊性 根據(jù)馬爾可夫定理，只有方差齊性假定成立時，根據(jù)馬爾可夫定理，只有方差齊性假定成立時，用最小二乘法得到的未知參數(shù)估計值才是準確用最小二乘法得到的未知參數(shù)估計值才是準確的、有效的線性無偏估計的、有效的線性無偏估計00)( kk， )0(2 tDX時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理3.3

15、 純隨機性檢驗純隨機性檢驗 檢驗原理檢驗原理假設(shè)條件假設(shè)條件檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量 判別原則判別原則時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理Barlett定理定理 如果一個時間序列是純隨機的，得到一個觀察期如果一個時間序列是純隨機的，得到一個觀察期數(shù)為數(shù)為 的觀察序列，那么該序列的延遲非零期的樣的觀察序列，那么該序列的延遲非零期的樣本自相關(guān)系數(shù)將近似服從均值為零，方差為序列本自相關(guān)系數(shù)將近似服從均值為零，方差為序列觀察期數(shù)倒數(shù)的正態(tài)分布觀察期數(shù)倒數(shù)的正態(tài)分布0, )1, 0( knNk n時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理假設(shè)條件假設(shè)條件原假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于原假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于

16、 期的序列值之間相期的序列值之間相互獨立互獨立備擇假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于備擇假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于 期的序列值之間期的序列值之間有相關(guān)性有相關(guān)性 1, 0210 mHm ：mkmHk ，：至少存在某個：至少存在某個1, 01 mm時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量Q統(tǒng)計量統(tǒng)計量 LB統(tǒng)計量統(tǒng)計量 )(212mnQmkk )()()2(212mknnnLBmkk 時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理判別原則判別原則拒絕原假設(shè)拒絕原假設(shè)當檢驗統(tǒng)計量大于當檢驗統(tǒng)計量大于 分位點，或該統(tǒng)計分位點，或該統(tǒng)計量的量的P值小于值小于 時，則可以以時，則可以以 的置信水的置信

17、水平拒絕原假設(shè)，認為該序列為非白噪聲序列平拒絕原假設(shè)，認為該序列為非白噪聲序列接受原假設(shè)接受原假設(shè)當檢驗統(tǒng)計量小于當檢驗統(tǒng)計量小于 分位點，或該統(tǒng)計量分位點，或該統(tǒng)計量的的P值大于值大于 時，則認為在時，則認為在 的置信水平的置信水平下無法拒絕原假設(shè)，即不能顯著拒絕序列為下無法拒絕原假設(shè)，即不能顯著拒絕序列為純隨機序列的假定純隨機序列的假定 21( )m121( )m1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理樣本自相關(guān)圖樣本自相關(guān)圖例例4 隨機生成的隨機生成的100個服從標準正態(tài)的白噪聲序列純個服從標準正態(tài)的白噪聲序列純隨機性檢驗隨機性檢驗時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理檢驗結(jié)果檢驗結(jié)

18、果LBQLBQ延遲延遲統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量值統(tǒng)計量值P值值延遲延遲6期期2.360.8838延遲延遲12期期5.350.9454由于由于P值顯著大于顯著性水平值顯著大于顯著性水平 ，所以該序列，所以該序列不能拒絕純隨機的原假設(shè)。換句話說可以認不能拒絕純隨機的原假設(shè)。換句話說可以認為該序列的波動沒有任何統(tǒng)計規(guī)律可循，因為該序列的波動沒有任何統(tǒng)計規(guī)律可循，因此可以停止對該序列的統(tǒng)計分析。此可以停止對該序列的統(tǒng)計分析。 時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理數(shù)據(jù)預(yù)處理部分的小結(jié)：數(shù)據(jù)預(yù)處理部分的小結(jié)：序列平穩(wěn)性與純隨機性檢驗的基本步驟：序列平穩(wěn)性與純隨機性檢驗的基本步驟： 1. 繪制該序列時

19、序圖；繪制該序列時序圖； 2. 自相關(guān)圖檢驗；自相關(guān)圖檢驗； 3. 該序列若是平穩(wěn)序列，進行純隨機性檢驗該序列若是平穩(wěn)序列，進行純隨機性檢驗. 實例：實例： 對對1950年年1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄所占比例序列的平穩(wěn)性與純隨機性進行檢驗。蓄所占比例序列的平穩(wěn)性與純隨機性進行檢驗。 時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理data a; input year prop; cards; /*數(shù)據(jù)省略*/ ; proc gplot; plot prop*year=1; /*所畫的圖記為圖1*/ symbol1 v=diamond

20、i=join c=red; proc arima data=a; identify var=prop; run; 相應(yīng)的相應(yīng)的SAS程序程序時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理1. 繪制時序圖繪制時序圖該序列顯示北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄所占比例序列波動該序列顯示北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄所占比例序列波動“貌似貌似” 比較平穩(wěn)比較平穩(wěn) 時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理2. 自相關(guān)圖進一步檢驗平穩(wěn)性自相關(guān)圖進一步檢驗平穩(wěn)性樣本自相關(guān)圖延遲樣本自相關(guān)圖延遲3階后，自相關(guān)系數(shù)都落在階后，自相關(guān)系數(shù)都落在2倍標準差范圍以內(nèi)，而且自相倍標準差范圍以內(nèi)，而且自相關(guān)系數(shù)向零衰減的速度非常快。綜合前兩個步

21、驟，可知北京市城鄉(xiāng)居民定期關(guān)系數(shù)向零衰減的速度非?？臁＞C合前兩個步驟，可知北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄所占比例為平穩(wěn)序列儲蓄所占比例為平穩(wěn)序列 時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理3. 序列純隨機性檢驗序列純隨機性檢驗結(jié)論：結(jié)論：由于統(tǒng)計量的由于統(tǒng)計量的P值值0.0001，遠遠小于，遠遠小于 0.05，即拒絕，即拒絕序列為純隨機序列的假定。因而認為京市城鄉(xiāng)居民序列為純隨機序列的假定。因而認為京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄所占比例的變動不屬于純隨機波動，各序定期儲蓄所占比例的變動不屬于純隨機波動，各序列值之間有相關(guān)關(guān)系。列值之間有相關(guān)關(guān)系。 這說明我們可以根據(jù)歷史信息預(yù)測未來年份的北京這說明我們可以根據(jù)歷史

22、信息預(yù)測未來年份的北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄所占比例，該平穩(wěn)序列屬于非市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄所占比例，該平穩(wěn)序列屬于非白噪聲序列，可以對其繼續(xù)進行研究。白噪聲序列，可以對其繼續(xù)進行研究。 時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析方法性工具與兩種相關(guān)系數(shù)方法性工具與兩種相關(guān)系數(shù)自回歸自回歸(AutoRegression, AR)模型模型移動平均移動平均(Moving Average, MA)模型模型ARMA模型模型平穩(wěn)序列建模平穩(wěn)序列建模 平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析1.1 方法性工具方法性工具 差分運算差分運算一階差分一階差分 階差分階差分 步差分步

23、差分pk1 tttxxx111 tptptpxxxkttkxx 平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析1. 方法性工具與兩種相關(guān)系數(shù)方法性工具與兩種相關(guān)系數(shù)延遲算子延遲算子延遲算子類似于一個時間指針，當前序列值乘以延遲算子類似于一個時間指針，當前序列值乘以一個延遲算子，就相當于把當前序列值的時間向一個延遲算子，就相當于把當前序列值的時間向過去撥了一個時刻過去撥了一個時刻 記記 B為延遲算子，有為延遲算子，有 1, pxBxtppt平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析延遲算子的性質(zhì)延遲算子的性質(zhì)10 B為任意常數(shù)為任意常數(shù)cxcxBcxcBttt,)()(1 11)( ttttyxyxBn

24、ttnxxB ,)1()1(0iniininBCB )!( !ininCin 其中其中平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析則有（用延遲算子表示差分）：則有（用延遲算子表示差分）：1.2 兩種樣本相關(guān)系數(shù)的基本概念與計算兩種樣本相關(guān)系數(shù)的基本概念與計算樣本自相關(guān)系數(shù)樣本自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)系數(shù)nttkntkttkxxxxxx121)()(平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析所謂滯后所謂滯后k階偏自相關(guān)系數(shù)就階偏自相關(guān)系數(shù)就是指在給定中間是指在給定中間k-1個隨機變個隨機變量量 xt-1, xt-2, xt-k+1的條件下，的條件下，或者說，在剔除了中間或者說，在剔除了中

25、間k-1個個隨機變量的干擾之后，隨機變量的干擾之后， xt-k對對xt影響的相關(guān)度影響的相關(guān)度量。量。樣本偏自相關(guān)系數(shù)的計算樣本偏自相關(guān)系數(shù)的計算平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析2. AR模型的定義模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為 階階自回歸模型自回歸模型，簡，簡記為記為特別當特別當 時，稱為中心化時，稱為中心化 模型模型 tsExtsEVarExxxxtsstttptptpttt, 0, 0)(,)(0)(0222110 ，p)(pAR00 )(pAR平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析均均 值值 如果如果AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則有模型滿足平穩(wěn)性條件

26、，則有根據(jù)平穩(wěn)序列均值為常數(shù)，且根據(jù)平穩(wěn)序列均值為常數(shù)，且 為白噪聲序為白噪聲序列，有列，有推導(dǎo)出推導(dǎo)出p101)(110tptpttxxEExTtEExtt,0)(,t平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析 AR(P)序列中心化變換序列中心化變換稱稱 為為 的中心化序列的中心化序列 ，令，令p 101 ttxytytx平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析中心化中心化AR(P)模型模型引進延遲算子，中心化引進延遲算子，中心化 模型又可以簡記為模型又可以簡記為 自回歸系數(shù)多項式自回歸系數(shù)多項式)(pARttxB )(ppBBBB 2211)(平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析AR模型

27、自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)模型自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)拖尾性拖尾性呈負指數(shù)衰減呈負指數(shù)衰減1( )pkiiikc不能恒等于零pccc,211( )pkiiikc0平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析例例5 考察如下考察如下AR模型的自相關(guān)圖模型的自相關(guān)圖ttttttttttttttxxxxxxxxxx 2121115 . 0)4(5 . 0)3(8 . 0)2(8 . 0)1(平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析自相關(guān)系數(shù)按復(fù)指數(shù)單調(diào)收斂到零自相關(guān)系數(shù)按復(fù)指數(shù)單調(diào)收斂到零1(1)0.8tttxx平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析1(2)0.8tttxx 自相關(guān)系數(shù)正負相間的衰減自相關(guān)系數(shù)正負相間的

28、衰減平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)出自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)出“偽周期偽周期”性性12(3)0.5ttttxxx平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析自相關(guān)系數(shù)不規(guī)則衰減自相關(guān)系數(shù)不規(guī)則衰減12(4)0.5ttttxxx 平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析偏自相關(guān)系數(shù)的截尾性偏自相關(guān)系數(shù)的截尾性AR(p)模型偏自相關(guān)系數(shù)模型偏自相關(guān)系數(shù)P階截尾階截尾pkkk ,0 平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析例例5續(xù)續(xù) 考察如下考察如下AR模型的偏自相關(guān)圖模型的偏自相關(guān)圖ttttttttttttttxxxxxxxxxx 2121115 . 0)4(5 . 0)3(8 . 0)

29、2(8 . 0)1(平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析理論偏自相關(guān)系數(shù)理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖樣本偏自相關(guān)圖1(1)0.8tttxx0.8,10,2kkkk平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析理論偏自相關(guān)系數(shù)理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖樣本偏自相關(guān)圖1(2)0.8tttxx 0.8,10,2kkkk平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析理論偏自相關(guān)系數(shù)理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖樣本偏自相關(guān)圖12(3)0.5ttttxxx2,130.5,20,3kkkkk 平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析理論偏自相關(guān)系數(shù)理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)系數(shù)圖樣本偏自相關(guān)系數(shù)圖12(4

30、)0.5ttttxxx 2,130.5,20,3kkkkk 平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析3. MA模型的定義模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為 階階移動平均模型移動平均模型，簡記為簡記為特別當特別當 時，稱為中心化時，稱為中心化 模型模型q)(qMA0)(qMA112220( )0( ),()0,ttttqt qqtttsxEVarEst ，平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析移動平均系數(shù)多項式移動平均系數(shù)多項式引進延遲算子，中心化引進延遲算子，中心化 模型又可以簡模型又可以簡記為記為 階移動平均系數(shù)多項式階移動平均系數(shù)多項式)(qMAttBx )( qqq

31、BBBB 2211)(平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析MA模型的統(tǒng)計性質(zhì)模型的統(tǒng)計性質(zhì)常數(shù)均值常數(shù)均值常數(shù)方差常數(shù)方差）（qtqttttEEx221122212211)1 ()()(qqtqttttVarxVar平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析MA模型的統(tǒng)計性質(zhì)模型的統(tǒng)計性質(zhì)MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾)(11111 qktqktqtqtkk 零零不不會會在在有有限限階階之之后后恒恒為為不不恒恒為為零零kkq ,1平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析例例6 考察如下考察如下MA模型的相關(guān)性質(zhì)模型的相關(guān)性質(zhì)212111162545)4(251654)3(5

32、 . 0)2(2)1( ttttttttttttttxxxx 平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾模型的自相關(guān)系數(shù)截尾112tttx（）120.5tttx（ ）平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾模型的自相關(guān)系數(shù)截尾124163525ttttx（ ）125254416ttttx（ ）平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾112tttx（）120.5tttx（ ）平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾124163525ttttx（ ）1252

33、54416ttttx（ ）平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析4. ARMA模型的定義模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為自回歸移動平均模型自回歸移動平均模型，簡記為簡記為特別當特別當 時，稱為中心化時，稱為中心化 模型模型),(qpARMAtsExtsEVarExxxtsstttqpqtqttptptt, 0, 0)(,)(0)(00211110，00),(qpARMA平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析系數(shù)多項式系數(shù)多項式引進延遲算子，中心化引進延遲算子，中心化 模型又可以簡模型又可以簡記為記為 階自回歸系數(shù)多項式階自回歸系數(shù)多項式 階移動平均系數(shù)多項式階移動平均

34、系數(shù)多項式),(qpARMAttBxB )()( qqqBBBB 2211)(pppBBBB 2211)(平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析ARMA(p,q)模型的統(tǒng)計性質(zhì)模型的統(tǒng)計性質(zhì)均值均值協(xié)方差協(xié)方差自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)ptEx 101 )(02 ikiiGGk 020)0()()(jjjkjjGGGkk 平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析ARMA模型的相關(guān)性模型的相關(guān)性自相關(guān)系數(shù)拖尾自相關(guān)系數(shù)拖尾偏自相關(guān)系數(shù)拖尾偏自相關(guān)系數(shù)拖尾平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析例例7 考察考察ARMA模型的相關(guān)性模型的相關(guān)性 擬合模型擬合模型ARMA(1,1):并直觀地考察該模型自相

35、關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的并直觀地考察該模型自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)。性質(zhì)。 118 . 05 . 0 ttttxx 平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)拖尾性自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)拖尾性樣本自相關(guān)圖樣本自相關(guān)圖樣本偏自相關(guān)圖樣本偏自相關(guān)圖平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)拖尾 ARMA模型相關(guān)性特征模型相關(guān)性特征模型模型自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)AR(P)拖尾拖尾P階截尾階截尾MA(q)q階截尾階截尾拖尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾拖尾拖尾平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列

36、數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列的理論基礎(chǔ)平穩(wěn)時間序列的理論基礎(chǔ)對于任何一個離散平穩(wěn)過程對于任何一個離散平穩(wěn)過程 它都可以分解為它都可以分解為兩個不相關(guān)的平穩(wěn)序列之和，其中一個為確定兩個不相關(guān)的平穩(wěn)序列之和，其中一個為確定性的，另一個為隨機性的，不妨記作性的，另一個為隨機性的，不妨記作 其中：其中： 為確定性序列，為確定性序列， 為隨機序列，為隨機序列， 它們需要滿足如下條件它們需要滿足如下條件 （1） （2） （3）txtttVxtV t0jjtjt020, 1jj ), 0(2WNtstVEst , 0),(Wold分解定理（分解定理（1938）：）：平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析ARMA模

37、型分解模型分解ttBBx)()(確定性序列確定性序列隨機序列隨機序列5.5.平穩(wěn)序列建模平穩(wěn)序列建模 建模步驟建模步驟模型識別模型識別參數(shù)估計參數(shù)估計模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗?zāi)Ｐ蛢?yōu)化模型優(yōu)化序列預(yù)測序列預(yù)測平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析建模步驟建模步驟平平穩(wěn)穩(wěn)非非白白噪噪聲聲序序列列計計算算樣樣本本相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)模型模型識別識別參數(shù)參數(shù)估計估計模型模型檢驗檢驗?zāi)ＤＰ托蛢?yōu)優(yōu)化化序序列列預(yù)預(yù)測測YN平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析模型定階的困難模型定階的困難因為由于樣本的隨機性，樣本的相關(guān)系數(shù)不會呈因為由于樣本的隨機性，樣本的相關(guān)系數(shù)不會呈現(xiàn)出理論截尾的完美情況，本應(yīng)截尾的現(xiàn)出理論截尾

38、的完美情況，本應(yīng)截尾的 或或 仍仍會呈現(xiàn)出小值振蕩的情況會呈現(xiàn)出小值振蕩的情況由于平穩(wěn)時間序列通常都具有短期相關(guān)性，隨著由于平穩(wěn)時間序列通常都具有短期相關(guān)性，隨著延遲階數(shù)延遲階數(shù) ， 與與 都會衰減至零值附近作都會衰減至零值附近作小值波動小值波動當當 或或 在延遲若干階之后衰減為小值波動時，在延遲若干階之后衰減為小值波動時，什么情況下該看作為相關(guān)系數(shù)截尾，什么情況下什么情況下該看作為相關(guān)系數(shù)截尾，什么情況下該看作為相關(guān)系數(shù)在延遲若干階之后正常衰減到該看作為相關(guān)系數(shù)在延遲若干階之后正常衰減到零值附近作拖尾波動呢？零值附近作拖尾波動呢？ kk kk kkkkkk平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)

39、分析樣本相關(guān)系數(shù)的近似分布樣本相關(guān)系數(shù)的近似分布BarlettQuenouillennNk,)1, 0(nnNkk,)1, 0(平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析模型定階經(jīng)驗方法模型定階經(jīng)驗方法95的置信區(qū)間的置信區(qū)間模型定階的經(jīng)驗方法模型定階的經(jīng)驗方法如果樣本如果樣本(偏偏)自相關(guān)系數(shù)在最初的自相關(guān)系數(shù)在最初的d階明顯大于兩階明顯大于兩倍標準差范圍，而后幾乎倍標準差范圍，而后幾乎95的自相關(guān)系數(shù)都落的自相關(guān)系數(shù)都落在在2倍標準差的范圍以內(nèi)，而且通常由非零自相關(guān)倍標準差的范圍以內(nèi)，而且通常由非零自相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動的過程非常突然。這時，通系數(shù)衰減為小值波動的過程非常突然。這時，通常視

40、為常視為(偏偏)自相關(guān)系數(shù)截尾。截尾階數(shù)為自相關(guān)系數(shù)截尾。截尾階數(shù)為d。22Pr0.9522Pr0.95kkknnnn平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析例例8 選擇合適的模型選擇合適的模型ARMA擬合擬合1950年年1998年北年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列。京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列。平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析序列偏自相關(guān)圖序列偏自相關(guān)圖平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析擬合模型識別擬合模型識別自相關(guān)圖顯示延遲自相關(guān)圖顯示延遲3階之后，自相關(guān)系數(shù)全部衰減階之后，自相關(guān)系數(shù)全部衰減到到2倍標準差范圍內(nèi)波動，這表明序列明顯地短期倍標準差范圍內(nèi)波動，這表明序列明顯地短

41、期相關(guān)。但序列由顯著非零的相關(guān)系數(shù)衰減為小值相關(guān)。但序列由顯著非零的相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動的過程相當連續(xù)，相當緩慢，該自相關(guān)系數(shù)波動的過程相當連續(xù)，相當緩慢，該自相關(guān)系數(shù)可視為不截尾可視為不截尾 偏自相關(guān)圖顯示除了延遲偏自相關(guān)圖顯示除了延遲1階的偏自相關(guān)系數(shù)顯著階的偏自相關(guān)系數(shù)顯著大于大于2倍標準差之外，其它的偏自相關(guān)系數(shù)都在倍標準差之外，其它的偏自相關(guān)系數(shù)都在2倍標準差范圍內(nèi)作小值隨機波動，而且由非零相倍標準差范圍內(nèi)作小值隨機波動，而且由非零相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動的過程非常突然，所以該關(guān)系數(shù)衰減為小值波動的過程非常突然，所以該偏自相關(guān)系數(shù)可視為一階截尾偏自相關(guān)系數(shù)可視為一階截尾 所以可以考慮

42、擬合模型為所以可以考慮擬合模型為AR(1)平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析例例9 美國科羅拉多州某一加油站連續(xù)美國科羅拉多州某一加油站連續(xù)57天的天的OVERSHORT序列序列 平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析序列自相關(guān)圖序列自相關(guān)圖平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析序列偏自相關(guān)圖序列偏自相關(guān)圖平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析擬合模型識別擬合模型識別自相關(guān)圖顯示除了延遲自相關(guān)圖顯示除了延遲1階的自相關(guān)系數(shù)在階的自相關(guān)系數(shù)在2倍標倍標準差范圍之外，其它階數(shù)的自相關(guān)系數(shù)都在準差范圍之外，其它階數(shù)的自相關(guān)系數(shù)都在2倍倍標準差范圍內(nèi)波動。根據(jù)這個特點可以判斷該序標準差范圍

43、內(nèi)波動。根據(jù)這個特點可以判斷該序列具有短期相關(guān)性，進一步確定序列平穩(wěn)。同時，列具有短期相關(guān)性，進一步確定序列平穩(wěn)。同時，可以認為該序列自相關(guān)系數(shù)可以認為該序列自相關(guān)系數(shù)1階截尾階截尾偏自相關(guān)系數(shù)顯示出典型非截尾的性質(zhì)。偏自相關(guān)系數(shù)顯示出典型非截尾的性質(zhì)。綜合該序列自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，綜合該序列自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，為擬合模型定階為為擬合模型定階為MA(1) 平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析例例10 1880-1985年全球氣表平均溫度改變值差分序列年全球氣表平均溫度改變值差分序列 平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析序列自相關(guān)圖序列自相關(guān)圖平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析

44、平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析序列偏自相關(guān)圖序列偏自相關(guān)圖平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析擬合模型識別擬合模型識別自相關(guān)系數(shù)顯示出不截尾的性質(zhì)自相關(guān)系數(shù)顯示出不截尾的性質(zhì)偏自相關(guān)系數(shù)也顯示出不截尾的性質(zhì)偏自相關(guān)系數(shù)也顯示出不截尾的性質(zhì)綜合該序列自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，綜合該序列自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，可以嘗試使用可以嘗試使用ARMA(1,1)模型擬合該序列模型擬合該序列平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析參數(shù)估計參數(shù)估計待估參數(shù)待估參數(shù) 個未知參數(shù)個未知參數(shù)常用估計方法常用估計方法矩估計矩估計極大似然估計極大似然估計最小二乘估計最小二乘估計2pq211, ,pq 平穩(wěn)時間序列

45、數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析例例8續(xù)續(xù) 確定確定1950年年1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列擬合模型的口徑儲蓄比例序列擬合模型的口徑 擬合模型：擬合模型：AR(1)估計方法：極大似然估計估計方法：極大似然估計模型口徑模型口徑tttxx 169. 017.2517.16)(2 Var平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析例例9續(xù)續(xù) 確定美國科羅拉多州某一加油站連續(xù)確定美國科羅拉多州某一加油站連續(xù)57天的天的OVERSHORTS序列擬合模型的口徑序列擬合模型的口徑 擬合模型：擬合模型：MA(1)估計方法：條件最小二乘估計估計方法：條件最小二乘估計模型口徑模型口徑ttB

46、x )82303. 01(40351. 4 929.2178)(2 Var平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析例例10續(xù)續(xù) 確定確定1880-1985全球氣表平均溫度改變值差分全球氣表平均溫度改變值差分序列擬合模型的口徑序列擬合模型的口徑 擬合模型：擬合模型：ARMA(1,1)估計方法：條件最小二乘估計估計方法：條件最小二乘估計模型口徑模型口徑119 . 0407. 0003. 0 ttttxx 016. 0)(2 Var平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗?zāi)Ｐ偷娘@著性檢驗?zāi)Ｐ偷娘@著性檢驗整個模型對信息的提取是否充分整個模型對信息的提取是否充分參數(shù)的顯著性檢驗參數(shù)的顯著

47、性檢驗?zāi)Ｐ徒Y(jié)構(gòu)是否最簡模型結(jié)構(gòu)是否最簡平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析模型的顯著性檢驗?zāi)Ｐ偷娘@著性檢驗?zāi)康哪康臋z驗?zāi)Ｐ偷挠行裕▽π畔⒌奶崛∈欠癯浞郑z驗?zāi)Ｐ偷挠行裕▽π畔⒌奶崛∈欠癯浞郑z驗對象檢驗對象殘差序列殘差序列判定原則判定原則一個好的擬合模型應(yīng)該能夠提取觀察值序列一個好的擬合模型應(yīng)該能夠提取觀察值序列中幾乎所有的樣本相關(guān)信息，即殘差序列應(yīng)中幾乎所有的樣本相關(guān)信息，即殘差序列應(yīng)該為白噪聲序列該為白噪聲序列 反之，如果殘差序列為非白噪聲序列，那就反之，如果殘差序列為非白噪聲序列，那就意味著殘差序列中還殘留著相關(guān)信息未被提意味著殘差序列中還殘留著相關(guān)信息未被提取，這就說明擬合模型

48、不夠有效取，這就說明擬合模型不夠有效. .平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析假設(shè)條件假設(shè)條件原假設(shè)：殘差序列為白噪聲序列原假設(shè)：殘差序列為白噪聲序列備擇假設(shè)：殘差序列為非白噪聲序列備擇假設(shè)：殘差序列為非白噪聲序列0120,1mHm：mkmHk ，：至少存在某個：至少存在某個1, 01 平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量LB統(tǒng)計量統(tǒng)計量221(2)() ( )mkkLBn nmnk平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析例例8續(xù)續(xù) 檢驗檢驗1950年年1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列擬合模型的顯著性比例序列擬合模型的顯著性 殘差白噪

49、聲序列檢驗結(jié)果殘差白噪聲序列檢驗結(jié)果延遲階數(shù)延遲階數(shù)LB統(tǒng)計量統(tǒng)計量P值值檢驗結(jié)論檢驗結(jié)論65.830.3229擬合模型擬合模型顯著有效顯著有效1210.280.50501811.380.8361平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析參數(shù)顯著性檢驗參數(shù)顯著性檢驗?zāi)康哪康臋z驗每一個未知參數(shù)是否顯著非零。刪除不顯檢驗每一個未知參數(shù)是否顯著非零。刪除不顯著參數(shù)使模型結(jié)構(gòu)最精簡著參數(shù)使模型結(jié)構(gòu)最精簡 假設(shè)條件假設(shè)條件檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量mjHHjj10:0:10)()(mntQamnTjjjj平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析例例8續(xù)續(xù) 檢驗檢驗1950年年1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲年北京

50、市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列極大似然估計模型的參數(shù)是否顯著蓄比例序列極大似然估計模型的參數(shù)是否顯著 參數(shù)檢驗結(jié)果參數(shù)檢驗結(jié)果檢驗參數(shù)檢驗參數(shù)t統(tǒng)計量統(tǒng)計量P值值結(jié)論結(jié)論均值均值46.120.0001顯著顯著6.720.0001顯著顯著1平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析模型優(yōu)化模型優(yōu)化問題提出問題提出當一個擬合模型通過了檢驗，說明在一定的當一個擬合模型通過了檢驗，說明在一定的置信水平下，該模型能有效地擬合觀察值序置信水平下，該模型能有效地擬合觀察值序列的波動，但這種有效模型并不是唯一的。列的波動，但這種有效模型并不是唯一的。優(yōu)化的目的優(yōu)化的目的選擇相對最優(yōu)模型選擇相對最優(yōu)模型 平穩(wěn)時間序列

51、數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析AIC準則準則最小信息量準則最小信息量準則（An Information Criterion） 指導(dǎo)思想指導(dǎo)思想似然函數(shù)值越大越好似然函數(shù)值越大越好 未知參數(shù)的個數(shù)越少越好未知參數(shù)的個數(shù)越少越好 AIC統(tǒng)計量統(tǒng)計量)(2)ln(2未未知知參參數(shù)數(shù)個個數(shù)數(shù) nAIC平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析SBC準則準則AIC準則的缺陷準則的缺陷在樣本容量趨于無窮大時，由在樣本容量趨于無窮大時，由AIC準則選擇準則選擇的模型不收斂于真實模型，它通常比真實的模型不收斂于真實模型，它通常比真實模型所含的未知參數(shù)個數(shù)要多模型所含的未知參數(shù)個數(shù)要多 SBC統(tǒng)計量統(tǒng)計量)(ln(

52、)ln(2未未知知參參數(shù)數(shù)nnSBC 平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析例例11 連續(xù)讀取連續(xù)讀取70個某次化學(xué)反應(yīng)的過程數(shù)據(jù)，構(gòu)成一個某次化學(xué)反應(yīng)的過程數(shù)據(jù)，構(gòu)成一時間序列。對該序列進行兩個模型擬合，并用時間序列。對該序列進行兩個模型擬合，并用AIC準準則和則和SBC準則評判例兩個擬合模型的相對優(yōu)劣。準則評判例兩個擬合模型的相對優(yōu)劣。 結(jié)果結(jié)果AR(1)優(yōu)于優(yōu)于MA(2)模型模型AICSBCMA(2)536.4556542.2011AR(1)535.7896540.2866平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析序列預(yù)測序列預(yù)測線性預(yù)測函數(shù)線性預(yù)測函數(shù)預(yù)測方差最小原則預(yù)測方差最小原則1

53、0titiixC x ( )( )min( )t lxttVare lVar e l平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析例例8續(xù)續(xù) 北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列擬合與預(yù)測圖北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列擬合與預(yù)測圖平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析ARMA模型綜合舉例模型綜合舉例平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析例：例：現(xiàn)有現(xiàn)有201個連續(xù)的生產(chǎn)紀錄，選擇適當模型擬合該個連續(xù)的生產(chǎn)紀錄，選擇適當模型擬合該序列的發(fā)展并寫出擬合模型，最后預(yù)測該序列后序列的發(fā)展并寫出擬合模型，最后預(yù)測該序列后5年的年的95%預(yù)測的置信區(qū)間。預(yù)測的置信區(qū)間。 步驟：步驟： 1、平穩(wěn)性檢驗、平穩(wěn)性檢驗

54、 2、純隨機性檢驗（白噪聲檢驗）、純隨機性檢驗（白噪聲檢驗）3、模型識別（前提是平穩(wěn)非白噪聲序列）、模型識別（前提是平穩(wěn)非白噪聲序列）4、擬合模型、擬合模型 5、顯著性檢驗（包括模型和參數(shù)的顯著性檢驗）、顯著性檢驗（包括模型和參數(shù)的顯著性檢驗） 6、模型優(yōu)化、模型優(yōu)化 7、預(yù)測、預(yù)測 平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析1. 平穩(wěn)性檢驗平穩(wěn)性檢驗 data a; input factory ; time=_n_; cards; /*數(shù)據(jù)省略數(shù)據(jù)省略*/ ; proc gplot; plot factory*time; symbol v=diamond i=join c=blue; proc

55、 arima data=a; identify var=factory nlag=18; run; 平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析1. 平穩(wěn)性檢驗平穩(wěn)性檢驗 平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析1. 平穩(wěn)性檢驗平穩(wěn)性檢驗 由時序圖和自相關(guān)圖可知，序列是平穩(wěn)序列 平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析2.純隨機性檢驗（白噪聲檢驗）純隨機性檢驗（白噪聲檢驗） 由p值都小于0.05可知，序列不是白噪聲序列，各序列值之間有相關(guān)關(guān)系，可以對其進行研究。平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析3.模型識別模型識別 SAS系統(tǒng)提供了相對最優(yōu)模型識別，只要在系統(tǒng)提供了相對最優(yōu)模型識別，只要在i

56、dentify命令中增加一個可選擇命令命令中增加一個可選擇命令minic，就，就可以獲得一定范圍內(nèi)最優(yōu)模型定階。故可將?？梢垣@得一定范圍內(nèi)最優(yōu)模型定階。故可將模型識別和模型優(yōu)化一起考慮。型識別和模型優(yōu)化一起考慮。平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析3.模型識別模型識別data a; input factory ; time=_n_; cards; /*數(shù)據(jù)省略數(shù)據(jù)省略*/ ; proc gplot; plot factory*time; symbol v=diamond i=join c=blue; proc arima data=a; identify var=factory nlag=

57、18 minic p=(0:5) q=(0:5);/*模型定階*/ run; 平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析3.模型識別模型識別BIC最小信息值為最小信息值為1.960692，根據(jù)，根據(jù)BIC最小信息準最小信息準則，選擇則，選擇MA(1)模型是相對最優(yōu)的模型是相對最優(yōu)的 平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析4.擬合模型擬合模型data a; input factory ; time=_n_; cards; /*數(shù)據(jù)省略數(shù)據(jù)省略*/ ; proc gplot; plot factory*time; symbol v=diamond i=join c=blue; proc arima

58、 data=a; identify var=factory; estimate q=1 method=ml; run; 平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析4.擬合模型擬合模型可知模型為：可知模型為： MA模型模型:平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析5.顯著性檢驗顯著性檢驗 由于各延遲階數(shù)下由于各延遲階數(shù)下LB統(tǒng)計量的統(tǒng)計量的P值都顯著大于值都顯著大于0.05，可，可以認為這個擬合模型的殘差序列屬于白噪聲序列，根據(jù)模以認為這個擬合模型的殘差序列屬于白噪聲序列，根據(jù)模型檢驗的判別原則，得出該擬合模型型檢驗的判別原則，得出該擬合模型顯著有效顯著有效。 平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)

59、分析5.顯著性檢驗顯著性檢驗 看到對兩個參數(shù)的檢驗看到對兩個參數(shù)的檢驗t統(tǒng)計量的統(tǒng)計量的P值均小于值均小于0.0001，則則兩參數(shù)檢驗均顯著兩參數(shù)檢驗均顯著，則每一個未知參數(shù)顯著非零，該模，則每一個未知參數(shù)顯著非零，該模型結(jié)構(gòu)已經(jīng)是最精簡，不需要刪除不顯著參數(shù)。型結(jié)構(gòu)已經(jīng)是最精簡，不需要刪除不顯著參數(shù)。 平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)分析6.預(yù)測并作出擬合圖預(yù)測并作出擬合圖data a; input factory ; year=_n_; cards; /*數(shù)據(jù)省略數(shù)據(jù)省略*/ ; proc arima data=a; identify var=factory; estimate q=1

60、 method=ml; forecast id=year lead=5 out=results;/*lead預(yù)測期數(shù)，預(yù)測期數(shù)，id指定身份變量，指定身份變量，out預(yù)測預(yù)測結(jié)果存入某數(shù)據(jù)集結(jié)果存入某數(shù)據(jù)集*/ proc gplot data=results; plot factory*year=1 forecast*year=2 l95*year=3 u95*year=3/overlay; symbol1 v=star i=join c=black; symbol2 v=none i=join c=red; symbol3 v=none i=join c=green; run; 平穩(wěn)時間序列