數(shù)學(xué)建模--微分方程第一講(暑期培訓(xùn))

1、 微分方程模型微分方程模型 第一講第一講 1、微分方程的主要適用范圍、微分方程的主要適用范圍 我們所關(guān)心的研究對(duì)象的特征，會(huì)隨時(shí)間我們所關(guān)心的研究對(duì)象的特征，會(huì)隨時(shí)間(空間空間)的變化而變的變化而變化，這種變化可以是連續(xù)的，也可以是不連續(xù)的?；?，這種變化可以是連續(xù)的，也可以是不連續(xù)的。 一般來(lái)說(shuō)，如果判斷研究對(duì)象的某些特征可能會(huì)關(guān)于時(shí)間、一般來(lái)說(shuō)，如果判斷研究對(duì)象的某些特征可能會(huì)關(guān)于時(shí)間、空間連續(xù)，那么應(yīng)該重點(diǎn)考慮利用微分方程建立模型，至少空間連續(xù)，那么應(yīng)該重點(diǎn)考慮利用微分方程建立模型，至少可以利用微分方程建立某些子問(wèn)題的模型?？梢岳梦⒎址匠探⒛承┳訂?wèn)題的模型。比如，問(wèn)題中涉及到：比如，問(wèn)

2、題中涉及到：(1) 物體的運(yùn)動(dòng)、振動(dòng)、受力形變物體的運(yùn)動(dòng)、振動(dòng)、受力形變(2) 生物生物(動(dòng)植物、微生物動(dòng)植物、微生物)的數(shù)量變化或密度變化的數(shù)量變化或密度變化(3) 物質(zhì)、能量的擴(kuò)散、傳遞物質(zhì)、能量的擴(kuò)散、傳遞(4) 消費(fèi)品在市場(chǎng)上的銷售過(guò)程消費(fèi)品在市場(chǎng)上的銷售過(guò)程(5) 信息的擴(kuò)散與傳播信息的擴(kuò)散與傳播導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌跡測(cè)算，運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤與攔截；導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌跡測(cè)算，運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤與攔截；高層建筑、橋梁的防震、防強(qiáng)風(fēng)設(shè)計(jì)；橋梁、微高層建筑、橋梁的防震、防強(qiáng)風(fēng)設(shè)計(jì)；橋梁、微型手術(shù)器械的形變與控制，彈性桿受力形變型手術(shù)器械的形變與控制，彈性桿受力形變自然環(huán)境中植物的生長(zhǎng)，兩種或多種生物之間的自然環(huán)

3、境中植物的生長(zhǎng)，兩種或多種生物之間的相互依賴、促進(jìn)，食物鏈問(wèn)題；動(dòng)植物、微生物相互依賴、促進(jìn)，食物鏈問(wèn)題；動(dòng)植物、微生物在環(huán)境中的擴(kuò)散與增長(zhǎng)；傳染病的傳播與控制在環(huán)境中的擴(kuò)散與增長(zhǎng)；傳染病的傳播與控制粉塵、煙霧、化學(xué)物質(zhì)在空氣、水、土壤中的擴(kuò)粉塵、煙霧、化學(xué)物質(zhì)在空氣、水、土壤中的擴(kuò)散與沉積，化學(xué)反應(yīng)過(guò)程的描述，熱量在同種或散與沉積，化學(xué)反應(yīng)過(guò)程的描述，熱量在同種或不同物質(zhì)間的傳導(dǎo)不同物質(zhì)間的傳導(dǎo)比如，問(wèn)題中涉及到：比如，問(wèn)題中涉及到：(1) 物體的運(yùn)動(dòng)、振動(dòng)、受力形變；物體的運(yùn)動(dòng)、振動(dòng)、受力形變；(2) 生物生物(動(dòng)植動(dòng)植物、微生物物、微生物)的數(shù)量變化或密度變化；的數(shù)量變化或密度變化；(3

4、) 物質(zhì)、能量的擴(kuò)散、傳遞；物質(zhì)、能量的擴(kuò)散、傳遞；(4) 消費(fèi)品在市場(chǎng)上的銷售過(guò)程；消費(fèi)品在市場(chǎng)上的銷售過(guò)程；(5) 信息的擴(kuò)散與傳播。信息的擴(kuò)散與傳播。導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌跡測(cè)算，運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤與攔截；高層建筑、橋梁的防震、導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌跡測(cè)算，運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤與攔截；高層建筑、橋梁的防震、防強(qiáng)風(fēng)設(shè)計(jì)；橋梁、微型手術(shù)器械的形變與控制，彈性桿受力形變防強(qiáng)風(fēng)設(shè)計(jì)；橋梁、微型手術(shù)器械的形變與控制，彈性桿受力形變自然環(huán)境中植物的生長(zhǎng)，兩種或多種生物之間的相互依賴、促進(jìn)，食物自然環(huán)境中植物的生長(zhǎng)，兩種或多種生物之間的相互依賴、促進(jìn)，食物鏈問(wèn)題；動(dòng)植物、微生物在環(huán)境中的擴(kuò)散與增長(zhǎng)；傳染病的傳播與控制鏈問(wèn)題；動(dòng)植物

5、、微生物在環(huán)境中的擴(kuò)散與增長(zhǎng)；傳染病的傳播與控制粉塵、煙霧、化學(xué)物質(zhì)在空氣、水、土壤中的擴(kuò)散與沉積，化學(xué)反應(yīng)過(guò)粉塵、煙霧、化學(xué)物質(zhì)在空氣、水、土壤中的擴(kuò)散與沉積，化學(xué)反應(yīng)過(guò)程的描述，熱量在同種或不同物質(zhì)間的傳導(dǎo)程的描述，熱量在同種或不同物質(zhì)間的傳導(dǎo)如果研究的是事物在一段時(shí)間內(nèi)的變化情況，或者說(shuō)在這個(gè)如果研究的是事物在一段時(shí)間內(nèi)的變化情況，或者說(shuō)在這個(gè)過(guò)程中發(fā)生了什么過(guò)程中發(fā)生了什么微分方程的求解和求數(shù)值解微分方程的求解和求數(shù)值解如果研究的是事物未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)，穩(wěn)態(tài)情形，或者無(wú)法如果研究的是事物未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)，穩(wěn)態(tài)情形，或者無(wú)法/無(wú)須獲得精確的解無(wú)須獲得精確的解可以利用微分方程幾何理論可以利用微

6、分方程幾何理論2、微分方程模型的分析方法、微分方程模型的分析方法3、方程的階數(shù)、方程的階數(shù)注意不同階方程的實(shí)際意義注意不同階方程的實(shí)際意義表達(dá)的是某個(gè)表達(dá)的是某個(gè)變量的增長(zhǎng)速度變量的增長(zhǎng)速度，與其，與其當(dāng)前當(dāng)前狀態(tài)狀態(tài)和和時(shí)間時(shí)間變量之間的關(guān)系。變量之間的關(guān)系。)(,()()1(kxkfkxkx 從幾何的角度來(lái)理解，表達(dá)的是從幾何的角度來(lái)理解，表達(dá)的是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，與，與函數(shù)本身函數(shù)本身及及自自變量變量之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。表達(dá)的是某個(gè)表達(dá)的是某個(gè)變量的增量變量的增量，與，與其其當(dāng)前狀態(tài)當(dāng)前狀態(tài)和和所處時(shí)間段所處時(shí)間段之間之間的關(guān)系。的關(guān)系。如果討論的事物，有多個(gè)變量會(huì)如果討論的事物

7、，有多個(gè)變量會(huì)隨著時(shí)間變化，而且可以分析出隨著時(shí)間變化，而且可以分析出這些變量的增長(zhǎng)速度這些變量的增長(zhǎng)速度與事物與事物當(dāng)前當(dāng)前狀態(tài)狀態(tài)和和時(shí)間變量時(shí)間變量之間的關(guān)系，可之間的關(guān)系，可以考慮建立一階微分方程組。以考慮建立一階微分方程組。)(),(),(,()()(),(),(,()()(),(),(,()(tztytxthtztztytxtgtytztytxtftx )(,()(txtftx 3、方程的階數(shù)、方程的階數(shù)二階、二階以上的常微分方程通常用于有運(yùn)動(dòng)的物理現(xiàn)象。二階、二階以上的常微分方程通常用于有運(yùn)動(dòng)的物理現(xiàn)象。通常經(jīng)濟(jì)、管理、生態(tài)系統(tǒng)等領(lǐng)域，較少有實(shí)際量會(huì)涉及到二通常經(jīng)濟(jì)、管理、生態(tài)系

8、統(tǒng)等領(lǐng)域，較少有實(shí)際量會(huì)涉及到二階導(dǎo)數(shù)，即所謂的加速度。階導(dǎo)數(shù)，即所謂的加速度。偏微分方程比較復(fù)雜，比如對(duì)于偏微分方程比較復(fù)雜，比如對(duì)于u(x,y)：u為產(chǎn)品銷量；為產(chǎn)品銷量；x為產(chǎn)為產(chǎn)品價(jià)格；品價(jià)格；y為廣告宣傳費(fèi)用。為廣告宣傳費(fèi)用。,2222yxuxyuxuxu 表示固定表示固定y時(shí)，時(shí)，u關(guān)于關(guān)于x的變化速度和加速度的變化速度和加速度表示表示u關(guān)于關(guān)于x的變化速度，在的變化速度，在y變化時(shí)的變化幅度變化時(shí)的變化幅度理解為：價(jià)格變動(dòng)時(shí)銷量的增幅，關(guān)于廣告費(fèi)理解為：價(jià)格變動(dòng)時(shí)銷量的增幅，關(guān)于廣告費(fèi)用的變化速度。用的變化速度。4、微分和差分方程模型的解、微分和差分方程模型的解（ 1）解析解（精

9、確解）解析解（精確解） 適用于線性系統(tǒng)和少量非線性系統(tǒng)（伯努利方程）適用于線性系統(tǒng)和少量非線性系統(tǒng)（伯努利方程）（2）數(shù)值解（近似解）數(shù)值解（近似解） 對(duì)于多數(shù)的線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)，但不能對(duì)系統(tǒng)對(duì)于多數(shù)的線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)，但不能對(duì)系統(tǒng) 的行為提供一個(gè)定性解釋。的行為提供一個(gè)定性解釋。（3）定性解（定性理論分析）定性解（定性理論分析） 用定性理論和穩(wěn)定性理論分析系統(tǒng)在局部和全局用定性理論和穩(wěn)定性理論分析系統(tǒng)在局部和全局 的動(dòng)態(tài)行為。的動(dòng)態(tài)行為。 定性理論適用于二維、三維系統(tǒng)。定性理論適用于二維、三維系統(tǒng)。 穩(wěn)定性理論適用于高維系統(tǒng)。穩(wěn)定性理論適用于高維系統(tǒng)。 5、微分模型和差分模型的建模方

10、法、微分模型和差分模型的建模方法1、根據(jù)規(guī)律建模根據(jù)規(guī)律建模利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的定理或經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的規(guī)律等來(lái)建立模型。學(xué)科中的定理或經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的規(guī)律等來(lái)建立模型。2、用微元法建模用微元法建模利用已知的定理與規(guī)律尋求微元利用已知的定理與規(guī)律尋求微元之間的關(guān)系式，與第一種方法不同的是對(duì)微元而不是之間的關(guān)系式，與第一種方法不同的是對(duì)微元而不是直接對(duì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律。直接對(duì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律。3、用模擬近似法建模用模擬近似法建模在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的實(shí)際在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的實(shí)際問(wèn)題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也問(wèn)題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很

11、清楚，即使有所了解也是及其復(fù)雜的，建模時(shí)在不同的假設(shè)下去模擬實(shí)際的現(xiàn)是及其復(fù)雜的，建模時(shí)在不同的假設(shè)下去模擬實(shí)際的現(xiàn)象，建立能近似反映問(wèn)題的微分方程，然后從數(shù)學(xué)上求象，建立能近似反映問(wèn)題的微分方程，然后從數(shù)學(xué)上求解或分析所建方程及其解的性質(zhì)，再去同實(shí)際情況對(duì)比解或分析所建方程及其解的性質(zhì)，再去同實(shí)際情況對(duì)比，檢驗(yàn)此模型能否刻畫、模擬某些實(shí)際現(xiàn)象。，檢驗(yàn)此模型能否刻畫、模擬某些實(shí)際現(xiàn)象。6、微分模型的建模原理、微分模型的建模原理在建立微分方程的時(shí)候，所要求的其實(shí)是微分方程在建立微分方程的時(shí)候，所要求的其實(shí)是微分方程的一條解曲線，通過(guò)它來(lái)反映某些我們所要尋求的的一條解曲線，通過(guò)它來(lái)反映某些我們所要

12、尋求的規(guī)律。微分方程曲線思想是，如果知道曲線上每一規(guī)律。微分方程曲線思想是，如果知道曲線上每一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)以及它的起始點(diǎn)，那么就能構(gòu)造這條曲點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)以及它的起始點(diǎn)，那么就能構(gòu)造這條曲線。具體步驟如下：線。具體步驟如下：1、轉(zhuǎn)化、轉(zhuǎn)化實(shí)際問(wèn)題中，有許多表示實(shí)際問(wèn)題中，有許多表示“導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)”的常用詞，如的常用詞，如“速率速率”、”增長(zhǎng)增長(zhǎng)“（在生物學(xué)以及人口問(wèn)題研究中）、（在生物學(xué)以及人口問(wèn)題研究中）、”衰變衰變“（在放射性問(wèn)題中）以及（在放射性問(wèn)題中）以及”邊際的邊際的“（在經(jīng)濟(jì)學(xué)中）等。（在經(jīng)濟(jì)學(xué)中）等。這些詞就是信號(hào)，這個(gè)時(shí)候要注意是哪些研究對(duì)象這些詞就是信號(hào)，這個(gè)時(shí)候要注意是哪些研究對(duì)象在

13、變化，對(duì)這些規(guī)律的表示微分方程也許就能用得上。在變化，對(duì)這些規(guī)律的表示微分方程也許就能用得上。考慮：我們所研究的對(duì)象是否遵循某些原考慮：我們所研究的對(duì)象是否遵循某些原則或物理定理呢？是應(yīng)該用已知的定律呢？則或物理定理呢？是應(yīng)該用已知的定律呢？還是必須去推導(dǎo)呢？大部分微分方程模型還是必須去推導(dǎo)呢？大部分微分方程模型符合下面的模式：符合下面的模式： 凈變化率凈變化率=輸入率輸入率輸出率輸出率2、準(zhǔn)確性和總體特征、準(zhǔn)確性和總體特征微分方程是一個(gè)在任何時(shí)刻都必須正確的微分方程是一個(gè)在任何時(shí)刻都必須正確的瞬時(shí)表達(dá)式，這是問(wèn)題的核心。建立微分瞬時(shí)表達(dá)式，這是問(wèn)題的核心。建立微分方程模型，首先要把注意力放在

14、方程文字方程模型，首先要把注意力放在方程文字形式的總關(guān)系上：形式的總關(guān)系上： 凈變化率凈變化率=輸入率輸入率輸出率輸出率或者：或者：變化率（微商）變化率（微商）=單位增加量單位增加量-單位減少量單位減少量等式通常是利用已有的原則或定律。等式通常是利用已有的原則或定律。3、單位、單位一旦確定了哪些子項(xiàng)應(yīng)該列入微分方程中，一旦確定了哪些子項(xiàng)應(yīng)該列入微分方程中，就要確保每一項(xiàng)都采用同樣的物理單位。就要確保每一項(xiàng)都采用同樣的物理單位。這是在建立微分方程過(guò)程中容易疏忽的問(wèn)題。這是在建立微分方程過(guò)程中容易疏忽的問(wèn)題。4、約束條件、約束條件約束條件是關(guān)于所研究對(duì)象在某一特定時(shí)刻約束條件是關(guān)于所研究對(duì)象在某一

15、特定時(shí)刻的信息（比如初始時(shí)刻），它們獨(dú)立于微分的信息（比如初始時(shí)刻），它們獨(dú)立于微分方程而存在。在建立微分方程模型后，利用方程而存在。在建立微分方程模型后，利用它們來(lái)確定模型中有關(guān)的常數(shù)，這些常數(shù)包它們來(lái)確定模型中有關(guān)的常數(shù)，這些常數(shù)包括比例系數(shù)、原微分方程的其他參數(shù)和解中括比例系數(shù)、原微分方程的其他參數(shù)和解中的積分常數(shù)。為了完整，充分地給出問(wèn)題的的積分常數(shù)。為了完整，充分地給出問(wèn)題的數(shù)學(xué)陳述，建模過(guò)程中應(yīng)該將這些約束數(shù)學(xué)陳述，建模過(guò)程中應(yīng)該將這些約束條件和微分方程一起寫出。條件和微分方程一起寫出。5、概念框架、概念框架前面闡述的都是使用微分方程建模的關(guān)鍵問(wèn)題。當(dāng)面臨前面闡述的都是使用微分方程

16、建模的關(guān)鍵問(wèn)題。當(dāng)面臨一個(gè)典型問(wèn)題是，首先必須有一個(gè)明確的概念框架一個(gè)典型問(wèn)題是，首先必須有一個(gè)明確的概念框架（建立其他模型也是如此），這個(gè)概念框架就是關(guān)鍵步驟。（建立其他模型也是如此），這個(gè)概念框架就是關(guān)鍵步驟。具體如下：具體如下：（1）把用語(yǔ)言描述的情況轉(zhuǎn)化為文字方程。）把用語(yǔ)言描述的情況轉(zhuǎn)化為文字方程。（2）陳述出所涉及的原則或物理定律。）陳述出所涉及的原則或物理定律。（3）建立微分方程，配備方程各子項(xiàng)的單位。）建立微分方程，配備方程各子項(xiàng)的單位。（4）給定約束條件，包括初始條件或其他條件。）給定約束條件，包括初始條件或其他條件。（5）給出微分方程的解。）給出微分方程的解。（6）求出微分

17、方程的常數(shù)。）求出微分方程的常數(shù)。（7）給出問(wèn)題答案。）給出問(wèn)題答案。（8）檢驗(yàn)答案是否滿足問(wèn)題的要求。）檢驗(yàn)答案是否滿足問(wèn)題的要求。在建模過(guò)程中，明確了概念框架，然后就是依次完成在建模過(guò)程中，明確了概念框架，然后就是依次完成框架中每一步所要做的事情?？蚣苤忻恳徊剿龅氖虑椤?、建立微分方程模型的依據(jù)、建立微分方程模型的依據(jù))()()()()()(tqytpxtytqytpxtx根據(jù)問(wèn)題的背景資料，或者我們自己查到的資料，根據(jù)問(wèn)題的背景資料，或者我們自己查到的資料，隨著時(shí)間隨著時(shí)間/空間的變化，問(wèn)題中的某些指標(biāo)的變化情況，與另外一些空間的變化，問(wèn)題中的某些指標(biāo)的變化情況，與另外一些指標(biāo)的數(shù)值

18、或變化情況呈現(xiàn)比例關(guān)系，或其他的簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)指標(biāo)的數(shù)值或變化情況呈現(xiàn)比例關(guān)系，或其他的簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系系，則可以據(jù)此建立微分方程模型。，則可以據(jù)此建立微分方程模型。建立微分方程模型時(shí)，需要注意：建立微分方程模型時(shí)，需要注意：(1) 所建立的方程或方程組應(yīng)滿足守恒定律；所建立的方程或方程組應(yīng)滿足守恒定律；(2) 如果希望得到解析解進(jìn)行深入分析，則盡量簡(jiǎn)化方程；如果希望得到解析解進(jìn)行深入分析，則盡量簡(jiǎn)化方程；(3) 注意掌握微分方程幾何理論，用于做定性的討論；注意掌握微分方程幾何理論，用于做定性的討論；(4) 如果建立的是差分方程模型，也可以粗略的轉(zhuǎn)化為微分如果建立的是差分方程模型，也可以粗略的轉(zhuǎn)化為微

19、分方程進(jìn)行定性討論；方程進(jìn)行定性討論；(5) 微分方程屬于比較理想化的建模方法，適合用于定性討微分方程屬于比較理想化的建模方法，適合用于定性討論或精度要求不高的情形下。論或精度要求不高的情形下。)()()(txtctxttx8、案例、案例物體的運(yùn)動(dòng)、振動(dòng)、受力形變物體的運(yùn)動(dòng)、振動(dòng)、受力形變導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌跡測(cè)算，運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤與攔截；高層建筑、導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌跡測(cè)算，運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤與攔截；高層建筑、橋梁的防震、防強(qiáng)風(fēng)設(shè)計(jì)；橋梁、微型手術(shù)器械的形變與控橋梁的防震、防強(qiáng)風(fēng)設(shè)計(jì)；橋梁、微型手術(shù)器械的形變與控制，彈性桿受力形變制，彈性桿受力形變此類問(wèn)題一般都可以參照經(jīng)典的物理原理，建立微分方程模此類問(wèn)題一般都

20、可以參照經(jīng)典的物理原理，建立微分方程模型，在此基礎(chǔ)上再考慮一些細(xì)節(jié)問(wèn)題即可。比如往年美國(guó)競(jìng)型，在此基礎(chǔ)上再考慮一些細(xì)節(jié)問(wèn)題即可。比如往年美國(guó)競(jìng)賽題中的摩托車特技飛躍問(wèn)題。賽題中的摩托車特技飛躍問(wèn)題。其中其中 x 表示特技演員的位置向量，表示特技演員的位置向量，g 表示重力加速度，表示重力加速度，k 表示空氣阻表示空氣阻力系數(shù)，力系數(shù)，v 表示標(biāo)量運(yùn)動(dòng)速度，表示標(biāo)量運(yùn)動(dòng)速度，m 表示演員表示演員+車的質(zhì)量。車的質(zhì)量。運(yùn)動(dòng)方程不是模型的運(yùn)動(dòng)方程不是模型的難點(diǎn)，但卻是一個(gè)關(guān)難點(diǎn)，但卻是一個(gè)關(guān)鍵的基礎(chǔ)問(wèn)題。鍵的基礎(chǔ)問(wèn)題。6、案例、案例生物的數(shù)量變化或密度變化生物的數(shù)量變化或密度變化自然環(huán)境中植物的生長(zhǎng)

21、，兩種或多種生物之間的相互依賴、自然環(huán)境中植物的生長(zhǎng)，兩種或多種生物之間的相互依賴、促進(jìn)，食物鏈問(wèn)題；動(dòng)植物、微生物在環(huán)境中的擴(kuò)散與增長(zhǎng)；促進(jìn)，食物鏈問(wèn)題；動(dòng)植物、微生物在環(huán)境中的擴(kuò)散與增長(zhǎng)；傳染病的傳播與控制傳染病的傳播與控制一個(gè)封閉的環(huán)境中，沒(méi)有天敵的某種生物，其數(shù)量變化一般一個(gè)封閉的環(huán)境中，沒(méi)有天敵的某種生物，其數(shù)量變化一般都可以假設(shè)服從都可以假設(shè)服從LogisticLogistic規(guī)律：規(guī)律：()dNraN Ndt(1)dNNrNdtK或或一個(gè)封閉的環(huán)境中，兩個(gè)種群競(jìng)爭(zhēng)，其數(shù)量變化一般都可以一個(gè)封閉的環(huán)境中，兩個(gè)種群競(jìng)爭(zhēng)，其數(shù)量變化一般都可以假設(shè)滿足競(jìng)爭(zhēng)模型：假設(shè)滿足競(jìng)爭(zhēng)模型：).1

22、()(),1 ()(NyMxytyNyMxrxtx0)0(),( )()(1 ()(iitititidttdi傳染病或病毒的擴(kuò)散，被感染者的數(shù)量變化一般可以用下面?zhèn)魅静』虿《镜臄U(kuò)散，被感染者的數(shù)量變化一般可以用下面的模型表示：的模型表示：如果存在退出系統(tǒng)的情形，則被感染者的數(shù)量變化一般可以如果存在退出系統(tǒng)的情形，則被感染者的數(shù)量變化一般可以用下面的模型表示：用下面的模型表示： )( )( )()()()(tidtdrtititsdtdititsdtds 涉及到狀態(tài)轉(zhuǎn)變時(shí)，特別注涉及到狀態(tài)轉(zhuǎn)變時(shí)，特別注意系統(tǒng)的守恒問(wèn)題！意系統(tǒng)的守恒問(wèn)題！s i rSISIR222222div grad,CCCC

23、kCktxyz這里的不同之處在于，物質(zhì)或能量是一定的，不會(huì)有新的物這里的不同之處在于，物質(zhì)或能量是一定的，不會(huì)有新的物質(zhì)或能量產(chǎn)生。比如不考慮重力影響時(shí)，空間中不同位置粉質(zhì)或能量產(chǎn)生。比如不考慮重力影響時(shí)，空間中不同位置粉塵、煙霧的濃度變化可以用下面的擴(kuò)散方程描述：塵、煙霧的濃度變化可以用下面的擴(kuò)散方程描述：7、案例、案例物質(zhì)、能量的擴(kuò)散與傳遞物質(zhì)、能量的擴(kuò)散與傳遞粉塵、煙霧、化學(xué)物質(zhì)在空氣、水、土壤中的擴(kuò)散與沉積，粉塵、煙霧、化學(xué)物質(zhì)在空氣、水、土壤中的擴(kuò)散與沉積，化學(xué)反應(yīng)過(guò)程的描述，熱量在同種或不同物質(zhì)間的傳導(dǎo)。化學(xué)反應(yīng)過(guò)程的描述，熱量在同種或不同物質(zhì)間的傳導(dǎo)。 中心室中心室周邊室周邊室給

24、藥給藥排除排除)(0tf111)(),(Vtxtc222)(),(Vtxtc12k21k13k)()(02211131121tfxkxkxktx2211122)(xkxktx藥物在體內(nèi)的傳遞與排出問(wèn)題藥物在體內(nèi)的傳遞與排出問(wèn)題 2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktc8、案例、案例消費(fèi)品在市場(chǎng)上的銷售過(guò)程消費(fèi)品在市場(chǎng)上的銷售過(guò)程新產(chǎn)品入市之后，如果對(duì)銷量進(jìn)行預(yù)測(cè)？或者說(shuō)，如何描述新產(chǎn)品入市之后，如果對(duì)銷量進(jìn)行預(yù)測(cè)？或者說(shuō)，如何描述新產(chǎn)品占領(lǐng)市場(chǎng)的過(guò)程？新產(chǎn)品占領(lǐng)市場(chǎng)的過(guò)程？設(shè)需求量有一個(gè)上界，并記此上界為設(shè)需求量有一個(gè)上界，并記此上界

25、為K，記記 t 時(shí)刻已銷售出的產(chǎn)品數(shù)量為時(shí)刻已銷售出的產(chǎn)品數(shù)量為x(t)，則，則尚未使用的人數(shù)大致為尚未使用的人數(shù)大致為Kx(t)，則基于，則基于阻滯增長(zhǎng)模型，可以認(rèn)為：阻滯增長(zhǎng)模型，可以認(rèn)為：()dxx Kxdt記比例系數(shù)為記比例系數(shù)為k： ()dxkx Kxdt研究機(jī)構(gòu)預(yù)測(cè)某種商品近期的銷量時(shí)，一般采用線性估計(jì)辦研究機(jī)構(gòu)預(yù)測(cè)某種商品近期的銷量時(shí)，一般采用線性估計(jì)辦法給出銷量區(qū)間。如果希望預(yù)測(cè)較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的銷量，則可以法給出銷量區(qū)間。如果希望預(yù)測(cè)較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的銷量，則可以采用上面的形式。采用上面的形式。在預(yù)測(cè)商品的銷量時(shí)，連續(xù)性模型一般不便于使用，在預(yù)測(cè)商品的銷量時(shí)，連續(xù)性模型一般不便于使用，采

26、用離散形式的阻滯增長(zhǎng)模型更方便一些。采用離散形式的阻滯增長(zhǎng)模型更方便一些。xNxrdttdx)1()( ,2,1 ,0),1(1 kNyryyykkkk)1(1()1(1kkkyNrryry 如果考慮更復(fù)雜一些的情形，比如部分早期用戶更新如果考慮更復(fù)雜一些的情形，比如部分早期用戶更新對(duì)銷量的影響，可以采用時(shí)滯微分方程。對(duì)銷量的影響，可以采用時(shí)滯微分方程。xNxrdttdx)1()( ,2,1 ,0),1(1 kNyryyykkkk)1(1()1(1kkkyNrryry 考慮早期用戶更新的因素，可以采用時(shí)滯微分方程。考慮早期用戶更新的因素，可以采用時(shí)滯微分方程。)()()(1 ()(txtxNt

27、xrdttdx101) 1(1 () 1(kjjjkkkyyNrryry搜集數(shù)據(jù)，計(jì)算方程中的參數(shù)，即可得到銷量的遞推公式搜集數(shù)據(jù)，計(jì)算方程中的參數(shù)，即可得到銷量的遞推公式對(duì)于這些方程的求解都可以用對(duì)于這些方程的求解都可以用mathematics 8.0 來(lái)求，詳見(jiàn)附件來(lái)求，詳見(jiàn)附件1n2011高教社杯 A題題 城市表層土壤重金屬污染分析城市表層土壤重金屬污染分析n隨著城市經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和城市人口的不斷增加，人類活動(dòng)隨著城市經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和城市人口的不斷增加，人類活動(dòng)對(duì)城市環(huán)境質(zhì)量的影響日顯突出。對(duì)城市土壤地質(zhì)環(huán)境異常對(duì)城市環(huán)境質(zhì)量的影響日顯突出。對(duì)城市土壤地質(zhì)環(huán)境異常的查證，以及如何應(yīng)用查證

28、獲得的海量數(shù)據(jù)資料開(kāi)展城市環(huán)的查證，以及如何應(yīng)用查證獲得的海量數(shù)據(jù)資料開(kāi)展城市環(huán)境質(zhì)量評(píng)價(jià)，研究人類活動(dòng)影響下城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，境質(zhì)量評(píng)價(jià)，研究人類活動(dòng)影響下城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，日益成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)。日益成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)。n按照功能劃分，城區(qū)一般可分為生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、主按照功能劃分，城區(qū)一般可分為生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、主干道路區(qū)及公園綠地區(qū)等，分別記為干道路區(qū)及公園綠地區(qū)等，分別記為1類區(qū)、類區(qū)、2類區(qū)、類區(qū)、5類區(qū)，不同的區(qū)域環(huán)境受人類活動(dòng)影響的程度不同。類區(qū)，不同的區(qū)域環(huán)境受人類活動(dòng)影響的程度不同。n現(xiàn)對(duì)某城市城區(qū)土壤地質(zhì)環(huán)境進(jìn)行調(diào)查。為此，將所考察的現(xiàn)對(duì)某城市城區(qū)土壤

29、地質(zhì)環(huán)境進(jìn)行調(diào)查。為此，將所考察的城區(qū)劃分為間距城區(qū)劃分為間距1公里左右的網(wǎng)格子區(qū)域，按照每平方公里公里左右的網(wǎng)格子區(qū)域，按照每平方公里1個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)表層土（個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)表層土（010 厘米深度）進(jìn)行取樣、編號(hào)，并用厘米深度）進(jìn)行取樣、編號(hào)，并用GPS記錄采樣點(diǎn)的位置。應(yīng)用專門儀器測(cè)試分析，獲得了每記錄采樣點(diǎn)的位置。應(yīng)用專門儀器測(cè)試分析，獲得了每個(gè)樣本所含的多種化學(xué)元素的濃度數(shù)據(jù)。另一方面，按照個(gè)樣本所含的多種化學(xué)元素的濃度數(shù)據(jù)。另一方面，按照2公里的間距在那些遠(yuǎn)離人群及工業(yè)活動(dòng)的自然區(qū)取樣，將其公里的間距在那些遠(yuǎn)離人群及工業(yè)活動(dòng)的自然區(qū)取樣，將其作為該城區(qū)表層土壤中元素的背景值。作為該城區(qū)表層土

30、壤中元素的背景值。附件1列出了采樣點(diǎn)的位置、海拔高度及其所屬功能區(qū)等信息，附件2列出了8種主要重金屬元素在采樣點(diǎn)處的濃度，附件3列出了8種主要重金屬元素的背景值?，F(xiàn)要求你們通過(guò)數(shù)學(xué)建模來(lái)完成以下任務(wù)：(1) 給出8種主要重金屬元素在該城區(qū)的空間分布，并分析該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬的污染程度。(2) 通過(guò)數(shù)據(jù)分析，說(shuō)明重金屬污染的主要原因。(3) 分析重金屬污染物的傳播特征，由此建立模型，確定污染源的位置。(4) 分析你所建立模型的優(yōu)缺點(diǎn)，為更好地研究城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，還應(yīng)收集什么信息？有了這些信息，如何建立模型解決問(wèn)題？(1)對(duì)于地形分布可采用：對(duì)于地形分布可采用：Shepard插值方法，

31、插值方法，又稱距離平方反比律或又稱距離平方反比律或Kriging插值方法。插值方法。對(duì)于污染濃度同樣采用散亂數(shù)據(jù)插值方法。對(duì)于污染濃度同樣采用散亂數(shù)據(jù)插值方法。而對(duì)于污染程度評(píng)價(jià)指標(biāo)可采用地質(zhì)累積而對(duì)于污染程度評(píng)價(jià)指標(biāo)可采用地質(zhì)累積指數(shù)或內(nèi)梅羅指數(shù)來(lái)評(píng)價(jià)。指數(shù)或內(nèi)梅羅指數(shù)來(lái)評(píng)價(jià)。(2)污染原因分析可采用：相關(guān)性分析和聚類污染原因分析可采用：相關(guān)性分析和聚類分析處理分析處理具體細(xì)節(jié)可參看附件兩篇參考文獻(xiàn)！具體細(xì)節(jié)可參看附件兩篇參考文獻(xiàn)！(3)分析污染物的傳播特征：建立擴(kuò)散微分方程模型背景知識(shí)：環(huán)境介質(zhì)一般是指在自然環(huán)境中能夠傳遞物質(zhì)和能量的媒介，空氣，水，土壤是最基本的環(huán)境介質(zhì)。盡管污染物在進(jìn)入

32、不同的環(huán)境介質(zhì)之后做著復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)變化，但都是由以下幾種基本形式組成的：1、隨著介質(zhì)的遷移運(yùn)動(dòng)2、污染物的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)3、污染物的衰減與轉(zhuǎn)化4、污染物被環(huán)境介質(zhì)吸收或吸附5、污染物的沉淀1、遷移運(yùn)動(dòng)推流遷移是指污染物在氣流或水流作用下產(chǎn)生的空間位置上的轉(zhuǎn)移，單純的推流作用不能降低污染物的質(zhì)量和濃度2、污染物的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)由分子的隨機(jī)熱運(yùn)動(dòng)引起的質(zhì)點(diǎn)的擴(kuò)散現(xiàn)象，分子擴(kuò)散過(guò)程符合Fick第一定律，擴(kuò)散物質(zhì)量與其濃度梯度成正比,xxyyzzxxCCCJDJDJDxyzJ 為x方向上的擴(kuò)散通量，表示在x方向上擴(kuò)散物質(zhì)通過(guò)單位截面的物質(zhì)量，D 為x方向上分子擴(kuò)散系數(shù)，指單位濃度梯度下物質(zhì)在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位面積的

33、量。由于擴(kuò)散都是由濃度高處向濃度低處擴(kuò)散，故取負(fù)梯度方向。3、污染物的衰減與轉(zhuǎn)化污染物在環(huán)境中的衰減過(guò)程可用一級(jí)動(dòng)力學(xué)規(guī)律描述，即dCKCdt 遷移遷移擴(kuò)散擴(kuò)散衰減衰減1、零維模型對(duì)于湖泊、某一河段或高空某一區(qū)域，當(dāng)污染物濃度的空間差異可以忽略不計(jì)時(shí)，可以將所研究的環(huán)境單元視為一個(gè)污染物能在瞬時(shí)分散到空間各部位的連續(xù)流完全混合反應(yīng)器，易得不含空間變量的平衡方程 即零維模型為：污染物傳播的基本模型污染物傳播的基本模型0QCQCsKVC0000=,dCQCQCSKVCdtVQCCrSdCQCQCrVdtdCrKCQCQCKCVdt V其中： 反應(yīng)器的容積；流入流出反應(yīng)器的物質(zhì)流量輸入介質(zhì)中是污染物

34、濃度；輸出介質(zhì)中的污染物濃度污染物的衰減反應(yīng)速度；非主要因素引起的污染物量的添加與衰減，如降雨，湖底滲漏當(dāng)S 0時(shí)，即不考慮污染物的源和漏，V可修改為：V2l、一維模型當(dāng)污染物濃度的空間分布只在一個(gè)方向上存在顯著差異時(shí)，常采用一維模型來(lái)進(jìn)行描述。一維模型是通過(guò)一個(gè)只在一個(gè)方向（設(shè)為 軸向）上存在濃度梯度的微小體積元的質(zhì)量平衡推導(dǎo)的llCtxDluK其中：污染物濃度，它是時(shí)間 和空間位置 的函數(shù)向上擴(kuò)散系數(shù),斷面平均流速污染物衰減速度常數(shù)2222lmlmCCCCCDDuuKCtlmlm3、二維模型：當(dāng)污染物的濃度分布在橫向也存在顯著差異，需建立二維的模型，思路與一維模型一樣，只是要同時(shí)考慮體積元

35、在兩個(gè)方向上的質(zhì)量平衡。222222+lmnlmnCCCCCCCDDDuuuKCtlmnlmn4、三維模型：當(dāng)污染物在空間各方向都存在濃度梯度時(shí)，就需要建立三維模型，建模思路同前：利用上述基本模型，針對(duì)本題，我們可將模型修改為：利用上述基本模型，針對(duì)本題，我們可將模型修改為： 接下來(lái)只需利用回歸分析方法對(duì)接下來(lái)只需利用回歸分析方法對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，最后再做模型模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，最后再做模型檢驗(yàn)即可。檢驗(yàn)即可。 模型的修改：模型的修改：9、微分方程定性分析方法簡(jiǎn)介、微分方程定性分析方法簡(jiǎn)介xNxrdttdx)1()( 不求解，直接分析解的一些性態(tài)。不求解，直接分析解的一些性態(tài)。1、x 只能取正

36、值；只能取正值；2、x 1時(shí)，時(shí)，t +則則 i(t) 1-1/。 畫出解的圖象為畫出解的圖象為 ：1，t +時(shí)時(shí)i(t) 0. =1-1/iti0i0模型結(jié)果分析模型結(jié)果分析ii00 t1 0。根據(jù)極限的定義，對(duì)于充分大的根據(jù)極限的定義，對(duì)于充分大的t，都應(yīng)該有，都應(yīng)該有i(t)/2，把這個(gè)結(jié)論代入方程組。，把這個(gè)結(jié)論代入方程組。 模型分析模型分析 )( )( )()()()(tidtdrtititsdtdititsdtds dr/dt=i /2 這會(huì)導(dǎo)致這會(huì)導(dǎo)致r(t)+，這跟上面，這跟上面r(t)的極限也存在的結(jié)的極限也存在的結(jié)論有矛盾。論有矛盾。所以只能有：所以只能有： i = 0 ，

37、即傳染病最終將消失。，即傳染病最終將消失。 其次，考慮隨著其次，考慮隨著t的變化，的變化，i-s平面上解的軌線變化平面上解的軌線變化情況。大概的走勢(shì)圖為：情況。大概的走勢(shì)圖為： 模型分析模型分析000ln1sssisii10 1/ s )( )( )()()()(tidtdrtititsdtdititsdtds =i10 1/ s)( ),( )()( ),()(tidtdrtititsdtdititsdtds s0 1/ 時(shí)，時(shí)，i(t) 先升后降至先升后降至0傳染病蔓延傳染病蔓延s0 1/ 時(shí)，時(shí)，i(t) 單調(diào)降至單調(diào)降至0傳染病不會(huì)蔓延開(kāi)來(lái)傳染病不會(huì)蔓延開(kāi)來(lái)n1/1/是一個(gè)邊界點(diǎn)，為了

38、讓傳染病不蔓延，是一個(gè)邊界點(diǎn)，為了讓傳染病不蔓延，需要調(diào)整需要調(diào)整s s0 0和和1/1/。具體的方法：一是降低。具體的方法：一是降低s s0 0，如接種疫苗，使，如接種疫苗，使S S類人群直接變成類人群直接變成R R類；類；n二是提高二是提高1/1/使之大于使之大于s s0 0，=/ /, ,也就也就是降低是降低而提高而提高，強(qiáng)化衛(wèi)生教育和隔離病，強(qiáng)化衛(wèi)生教育和隔離病人，同時(shí)提高醫(yī)療水平。人，同時(shí)提高醫(yī)療水平。 模型分析模型分析對(duì)參數(shù)對(duì)參數(shù)的估計(jì)：的估計(jì)：令解兩端同時(shí)取令解兩端同時(shí)取t+t+，因?yàn)?，因?yàn)?i i = 0 = 0 ，得到，得到 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)000ln1sssisi 0ln1

39、000 sssis ssss00lnln 根據(jù)歷史數(shù)據(jù)和此公式就可以得到根據(jù)歷史數(shù)據(jù)和此公式就可以得到的估計(jì)值。的估計(jì)值。 關(guān)于傳染病模型，我們還可以進(jìn)一步考慮更復(fù)雜的情關(guān)于傳染病模型，我們還可以進(jìn)一步考慮更復(fù)雜的情形，如考慮出生率、死亡率、防疫措施的作用、潛伏形，如考慮出生率、死亡率、防疫措施的作用、潛伏期等。期等。 其他類型的傳染病模型其他類型的傳染病模型nSIES模型模型健康染病潛伏期健康不免疫健康染病潛伏期健康不免疫nSIER模型模型健康染病潛伏期移出系統(tǒng)健康染病潛伏期移出系統(tǒng)nSIRS模型模型健康染病短時(shí)免疫健康健康染病短時(shí)免疫健康(易感易感)n考慮抵抗能力考慮抵抗能力n考慮地域傳播

40、考慮地域傳播n考慮傳播途徑考慮傳播途徑(接觸、空氣、昆蟲、水源等接觸、空氣、昆蟲、水源等) 對(duì)象仍是動(dòng)態(tài)過(guò)程，建模目的變成了時(shí)間充分對(duì)象仍是動(dòng)態(tài)過(guò)程，建模目的變成了時(shí)間充分長(zhǎng)以后會(huì)如何？即研究事物最終的發(fā)展趨勢(shì)。長(zhǎng)以后會(huì)如何？即研究事物最終的發(fā)展趨勢(shì)。 借助微分方程穩(wěn)定性理論，不求解微分方程，借助微分方程穩(wěn)定性理論，不求解微分方程，描述事物某些特征的最終穩(wěn)定狀態(tài)。描述事物某些特征的最終穩(wěn)定狀態(tài)。穩(wěn)定性模型穩(wěn)定性模型比如，商品的價(jià)格與其價(jià)值的變化關(guān)系；食肉動(dòng)物比如，商品的價(jià)格與其價(jià)值的變化關(guān)系；食肉動(dòng)物與草食性動(dòng)物數(shù)量的變化規(guī)律；侵入人體的病菌與與草食性動(dòng)物數(shù)量的變化規(guī)律；侵入人體的病菌與白血球

41、的數(shù)量變化關(guān)系。白血球的數(shù)量變化關(guān)系。隨著時(shí)間的推移，最終的結(jié)局是什么？隨著時(shí)間的推移，最終的結(jié)局是什么？微分方程穩(wěn)定性方法建模微分方程穩(wěn)定性方法建模穩(wěn)定性模型穩(wěn)定性模型 由于諸多偶然因素以及參數(shù)變化的影響，通常微由于諸多偶然因素以及參數(shù)變化的影響，通常微分方程用來(lái)做長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，效果并不夠好，在精度上分方程用來(lái)做長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，效果并不夠好，在精度上難以讓人滿意。如各種人口模型。難以讓人滿意。如各種人口模型。 不過(guò)即便誤差很大，但微分方程穩(wěn)定性模型反映不過(guò)即便誤差很大，但微分方程穩(wěn)定性模型反映出來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)還是有借鑒意義的。出來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)還是有借鑒意義的。 另外，很多微分方程穩(wěn)定性模型的最終目的并不另

42、外，很多微分方程穩(wěn)定性模型的最終目的并不是預(yù)測(cè)，而是尋找控制手段。是預(yù)測(cè)，而是尋找控制手段。事物發(fā)展的穩(wěn)定與不穩(wěn)定事物發(fā)展的穩(wěn)定與不穩(wěn)定t這些現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)中都有實(shí)用背景和研究?jī)r(jià)值這些現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)中都有實(shí)用背景和研究?jī)r(jià)值一、常微分方程穩(wěn)定性理論一、常微分方程穩(wěn)定性理論1、一階微分方程、一階微分方程 方程右端不顯含方程右端不顯含t)()(xftx . 0)( )(0 xxf記記作作的的實(shí)實(shí)根根，：代代數(shù)數(shù)方方程程奇奇點(diǎn)點(diǎn)平平衡衡點(diǎn)點(diǎn) 的的；否否則則是是不不穩(wěn)穩(wěn)定定的的。是是穩(wěn)穩(wěn)定定則則稱稱總總滿滿足足的的解解穩(wěn)穩(wěn)定定性性：若若 ,(t) lim )()(00 xxxtxxfxt 平衡點(diǎn)穩(wěn)定的幾何特征t

43、xx0穩(wěn)定不穩(wěn)定一階微分方程一階微分方程通常判斷平衡點(diǎn)穩(wěn)定性有兩種方法，通常判斷平衡點(diǎn)穩(wěn)定性有兩種方法，直接求解法直接求解法和和定定性分析法性分析法。定性分析法定性分析法1、若方程為線性，即、若方程為線性，即 f(x) = ax + b，則，則 a 0不穩(wěn)定；不穩(wěn)定；2、若方程為非線性，即、若方程為非線性，即 x ( t ) = f(x) ，考慮，考慮 f (x0) 。 f (x0) 0不穩(wěn)定。不穩(wěn)定。)()(00 xxxfxf 2、二階微分方程、二階微分方程),()(xxtftx ),()()(yxtftyytx所以討論二階微分方程的穩(wěn)定性往往就歸結(jié)為對(duì)二所以討論二階微分方程的穩(wěn)定性往往就歸

44、結(jié)為對(duì)二維一階方程組的討論維一階方程組的討論 ),()(),()(212211xxgtxxxftx二階微分方程二階微分方程 ),()(),()(212211xxgtxxxftx求方程組的平衡點(diǎn)，即求解求方程組的平衡點(diǎn)，即求解 0),(0),(2121xxgxxf下面設(shè)法給出下面設(shè)法給出P0穩(wěn)定的判斷準(zhǔn)則。穩(wěn)定的判斷準(zhǔn)則。),(,02010022011xxPxxxx記記為為設(shè)設(shè)解解得得實(shí)實(shí)根根為為 .)(lim,)(lim0220110 xtxxtxPtt 穩(wěn)穩(wěn)定定，則則應(yīng)應(yīng)有有：若若二階微分方程二階微分方程 ),()(),()(212211xxgtxxxftx首先將方程組線性化：首先將方程組線

45、性化： )()()()()()(0220011020220011012121xxPgxxPgtxxxPfxxPftxxxxx其系數(shù)矩陣為：其系數(shù)矩陣為： 2121xxxxggffA二階微分方程二階微分方程02 qp 矩矩陣陣的的特特征征方方程程：021| )(Pxxgfp | Aq 2121xxxxggffA二階微分方程的穩(wěn)定性由二階微分方程的穩(wěn)定性由 p 和和 q 的正負(fù)決定。的正負(fù)決定。p 0 且且 q 0 時(shí)平衡點(diǎn)時(shí)平衡點(diǎn) P0 穩(wěn)定；穩(wěn)定；p 0 或或 q 0且且x2(t)0，相應(yīng)的相軌線應(yīng)保持在第一象限中。相應(yīng)的相軌線應(yīng)保持在第一象限中。0t求（求（3.313.31）的相軌線）的相軌

46、線將兩方程相除消去時(shí)間將兩方程相除消去時(shí)間t，得：，得：1111222221()()dxx rxdxxrx分離變量并兩邊積分得軌線方程：分離變量并兩邊積分得軌線方程：22 111 212()()rxrxx ex eS（3.32）令令22 111()()rxxx e11 222()()rxxx e兩者應(yīng)具有類似的性質(zhì)用微積分知識(shí)容易證明：用微積分知識(shí)容易證明：(0)()0 220r212rx1( )0 x212rx1( )0 x212rxmax有：有：同理：對(duì)同理：對(duì)2()x121rx有：有：max11rm1( )x2x20 x21x0圖3-20 (b)22rma)(1x1x10 x11x0圖3

47、-20 (a) 與與 的圖形見(jiàn)圖的圖形見(jiàn)圖3-20)(1x)(2x易知僅當(dāng)易知僅當(dāng) 時(shí)（時(shí)（3.32）才有解）才有解maxmaxS記：記：12002121,rrxx討論平衡點(diǎn)討論平衡點(diǎn) 的性態(tài)。的性態(tài)。),(0201xx當(dāng)當(dāng) 時(shí)，軌線退化為平衡點(diǎn)。時(shí)，軌線退化為平衡點(diǎn)。maxmaxS當(dāng)當(dāng) 時(shí)，軌線為一封閉曲線（圖時(shí)，軌線為一封閉曲線（圖3-21），），即周期解。即周期解。maxmaxS2x1x1x10 x002x0P1x圖圖3-21證明具有周期解。證明具有周期解。 只需證明：存在兩點(diǎn)只需證明：存在兩點(diǎn) 及及 ， 當(dāng)當(dāng) x1 時(shí)，方程（時(shí)，方程（3.32）有兩）有兩 個(gè)解，當(dāng)個(gè)解，當(dāng)x1= 或或

48、x1= 時(shí)，方程恰時(shí)，方程恰 有一解，而在有一解，而在x1 時(shí)，方時(shí)，方 程無(wú)解。程無(wú)解。1x1x 1x1x 1x1x 1x 1x1x1x 事實(shí)上，若事實(shí)上，若 ，記，記maxmaxSmax0maxS，則，則由由 的性質(zhì)，的性質(zhì)， ， 而而 ，使得：，使得：)(1x11xx 、011xx 011xx )()(11xx。同樣根據(jù)的性質(zhì)知，當(dāng)。同樣根據(jù)的性質(zhì)知，當(dāng) x1 時(shí)時(shí)1x1x )(1x。此時(shí)：。此時(shí)：max1max12)()()(xxSx)(2x由由 的性質(zhì)，的性質(zhì)， ，使，使 成立。成立。22xx 、12( ) ()xxS1x1x 當(dāng)當(dāng)x1= 或或 時(shí)，時(shí)， ，)(1xmax1max12

49、)()()(xxSx僅當(dāng)僅當(dāng) 時(shí)才能成立。時(shí)才能成立。022xx 而當(dāng)而當(dāng)x1 時(shí)，由于時(shí)，由于 ，1x1x )(1xmax1max12)()()(xxSx故故 無(wú)解。無(wú)解。12( ) ()xxS得證。得證。確定閉曲線的走向確定閉曲線的走向21121221:rlxrlx用直線用直線將第一象限劃分成四個(gè)子區(qū)域?qū)⒌谝幌笙迍澐殖伤膫€(gè)子區(qū)域在每一子區(qū)域，在每一子區(qū)域， 與與 不變號(hào)，據(jù)此確定軌線的走向（圖不變號(hào)，據(jù)此確定軌線的走向（圖3-22） 1x 2x 2x1x圖圖3-221200 xx1200 xx1200 xx1200 xx將將Volterra方程中的第二個(gè)改寫成：方程中的第二個(gè)改寫成：222

50、 12xrxx 將其在一個(gè)周期長(zhǎng)度為將其在一個(gè)周期長(zhǎng)度為T的區(qū)間上積分，得的區(qū)間上積分，得001022110()ln( )( )tTtx tTrTx t dtx t 等式左端為零，故可得：等式左端為零，故可得：002121( )tTtrx t dtT同理：同理：001211( )tTtrx t dtT平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)P P的兩個(gè)坐標(biāo)恰為的兩個(gè)坐標(biāo)恰為食用魚與食肉魚在一個(gè)食用魚與食肉魚在一個(gè)周期中的平均值。周期中的平均值。解釋解釋DAncona發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象 引入捕撈能力系數(shù)引入捕撈能力系數(shù)，（，（01），），表示單位時(shí)間表示單位時(shí)間內(nèi)捕撈起來(lái)的魚占總量的百分比。故內(nèi)捕撈起來(lái)的魚占總量的百分比

51、。故Volterra方程應(yīng)為：方程應(yīng)為：111112111112222212222212()()xr xx xxrxx xxr xx xxrxx x 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)P的位置移動(dòng)到了：的位置移動(dòng)到了：2121,rrP由于捕撈能力系數(shù)由于捕撈能力系數(shù)的引入，的引入，食用魚的平均量有了增加，食用魚的平均量有了增加，而食肉魚的平均量卻有所下而食肉魚的平均量卻有所下降，降，越大，平衡點(diǎn)的移動(dòng)越大，平衡點(diǎn)的移動(dòng)也越大。也越大。食用魚的數(shù)量反而食用魚的數(shù)量反而因捕撈它而增加，因捕撈它而增加，真的是這樣？！真的是這樣？！ P-P模型導(dǎo)出的結(jié)果雖非絕對(duì)直理，但在一定程度上是附模型導(dǎo)出的結(jié)果雖非絕對(duì)直理，但在一定程

52、度上是附合客觀實(shí)際的，有著廣泛的應(yīng)用前景。例如，當(dāng)農(nóng)作物發(fā)生病合客觀實(shí)際的，有著廣泛的應(yīng)用前景。例如，當(dāng)農(nóng)作物發(fā)生病蟲害時(shí)，不要隨隨便便地使用殺蟲劑，因?yàn)闅⑾x劑在殺死害蟲蟲害時(shí)，不要隨隨便便地使用殺蟲劑，因?yàn)闅⑾x劑在殺死害蟲的同時(shí)也可能殺死這些害蟲的天敵，（害蟲與其天敵構(gòu)成一個(gè)的同時(shí)也可能殺死這些害蟲的天敵，（害蟲與其天敵構(gòu)成一個(gè)雙種群捕食系統(tǒng)），這樣一來(lái)，使用殺蟲劑的結(jié)果會(huì)適得其反雙種群捕食系統(tǒng)），這樣一來(lái)，使用殺蟲劑的結(jié)果會(huì)適得其反，害蟲更加猖獗了。，害蟲更加猖獗了。 （3）捕魚對(duì)食用魚有利而對(duì)食肉魚不利，多捕魚（）捕魚對(duì)食用魚有利而對(duì)食肉魚不利，多捕魚（當(dāng)然要在一定限度內(nèi)，如當(dāng)然要在一定

53、限度內(nèi)，如1( 11( 21)不穩(wěn)定不穩(wěn)定 11 20而且而且q02.2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性根據(jù)前面的方法不能給出各個(gè)平衡點(diǎn)全部的穩(wěn)定性根據(jù)前面的方法不能給出各個(gè)平衡點(diǎn)全部的穩(wěn)定性條件。條件。下面對(duì)下面對(duì) 1 和和 2 分情況討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性條件。分情況討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性條件。 考慮轉(zhuǎn)到相平面上，即在考慮轉(zhuǎn)到相平面上，即在 x1 - x2 平面上研究平面上研究方程解沿著方程解沿著 t 增加所表現(xiàn)出的趨勢(shì)。增加所表現(xiàn)出的趨勢(shì)。x1(t) = r1x1(1-x1/N1- 1x2/N2)x2(t) = r2x2(1- 2x1/N1-x2/N2)可知，在任意時(shí)刻，可知，在任意時(shí)刻， x1(

54、t)和和x2(t)是增是減由是增是減由 =1-x1/N1- 1x2/N2 和和 =1- 2x1/N1-x2/N2 決定。決定。1、 11S1S2S3O N1/ 2 N1 x1x2N2/ 1N2=0=0這時(shí)這時(shí) =0 和和 =0 將相平將相平面分為三個(gè)區(qū)域：面分為三個(gè)區(qū)域：S1：x10, x20;S2：x10, x20;S3：x10, x21，21，P2穩(wěn)定 3、 11，21，21，方程的解不存在統(tǒng)一的發(fā)展趨勢(shì)。)/1()()/1()(2211222222111111NxNxxrtxNxNxxrtx 一一(2)生物互惠共生模型生物互惠共生模型甲乙兩種群的相互依存有三種形式甲乙兩種群的相互依存有三

55、種形式1) 1) 甲可以獨(dú)自生存，乙不能；甲乙一起甲可以獨(dú)自生存，乙不能；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。2) 2) 甲乙均可以獨(dú)自生存；甲乙一起生甲乙均可以獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。3) 3) 甲乙均不能獨(dú)自生存；甲乙一起生甲乙均不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。第一種情形第一種情形模型模型假設(shè)假設(shè) 甲可以獨(dú)自生存，數(shù)量變化服從甲可以獨(dú)自生存，數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律規(guī)律; 甲乙一甲乙一起生存時(shí)乙為甲提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。起生存時(shí)乙為甲提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。 乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)甲為乙提供食物、乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)甲為乙提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)；乙的增長(zhǎng)又受到本身的阻滯作用促進(jìn)增長(zhǎng)；