上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系ppt課件

1、上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 1平穩(wěn)時(shí)間序列模型預(yù)測平穩(wěn)時(shí)間序列模型預(yù)測 設(shè)平穩(wěn)時(shí)間序列 是一個(gè)ARMA(p,q)過程，即 本章將討論其預(yù)測問題，設(shè)當(dāng)前時(shí)刻為t，已知時(shí)刻t和以前時(shí)刻的觀察值 ，我們將用已知的觀察值對時(shí)刻t后的觀察值 進(jìn)行預(yù)測，記為 ，稱為時(shí)間序列 的第 步預(yù)測值。tX11112,0, , 0ttptpttqt qtstXXXWNst E X 12,tttx xxt lx0l tx ltXl上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 27.1 最小均方誤差預(yù)測最小均方誤差預(yù)測 考慮預(yù)測問題首先要確定衡量預(yù)測效果的標(biāo)準(zhǔn)，一個(gè)很自然的思想就是預(yù)測值 與真值 的均方誤差達(dá)到最小，即設(shè) 預(yù)測值 與真值 的均方誤差

2、我們的工作就是尋找 ，使上式達(dá)到最小。 下面我們證明最小均方誤差預(yù)測就是 tx lt lx tt lte lXx l tx lt lx 22tt ltE elE Xx l tx l1,t lttE XXX上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 3條件無偏均方誤差最小預(yù)測條件無偏均方誤差最小預(yù)測 設(shè)隨機(jī)序列 ，滿足 ，那么 如果隨機(jī)變量 使得 達(dá)到最小值，那么如果隨機(jī)變量 使得 達(dá)到最小值，那么 12,X X 2, ttEXEX1,nfXX2111,nnnEXfXXXX111, , ,nnnf XXE XXX 1,nfXX211,nnE XfXX111,nnnfXXE XXX上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 4 因?yàn)?可以看

3、作為當(dāng)前樣本和歷史樣本 的函數(shù)，根據(jù)上述結(jié)論，我們得到，當(dāng) 時(shí)， 使得 達(dá)到最小。 對于ARMA模型，下列等式成立： tx l1,ttXX 1,tt lttx lE XXX 22tt ltE elE Xx l 1,kttkE XXXxkt 1,0t ltttE XXXx ll1,kttkEXXkt1,0,kttEXXkt上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 5ARMA模型的預(yù)測方差和預(yù)測區(qū)間模型的預(yù)測方差和預(yù)測區(qū)間 如果ARMA模型滿足因果性，則有 所以，預(yù)測誤差為 0tttjtjjBXG BBG 00tt ltjt ljljtjjje lXx lGG 01111t lt lltGGG 0tE e l 222

4、222011varttt ltlE ele lE Xx lGGG 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 6 由此，我們可以看到在預(yù)測方差最小的原則下， 是 當(dāng)前樣本 和歷史樣本 已知條件下得到的條件最小方差預(yù)測值。其預(yù)測方差只與預(yù)測步長 有關(guān)，而與預(yù)測起始點(diǎn)t無關(guān)。當(dāng)預(yù)測步長 的值越大時(shí)，預(yù)測值的方差也越大，因此為了預(yù)測精度，ARMA模型的預(yù)測步長 不宜過大，也就是說使用ARMA模型進(jìn)行時(shí)間序列分析只適合做短期預(yù)測。 2112var,vart lttt lt lttt lttXXXEXE XXXE Xx le l2222011lGGG tx lt lXtX1,ttXXlll上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 7 進(jìn)一步地，

5、在正態(tài)分布假定下，有 由此可以得到 預(yù)測值的95%的置信區(qū)間為 或者 22221011,t ltttlXXXN x lGGGt lX 1.96 var,1.96 varttttx le lx le l 1 21 22222220110111.96,1.96tltlx lGGGx lGGG上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 87.2 對對AR模型的預(yù)測模型的預(yù)測 首先考慮AR(1)模型 當(dāng) 時(shí)，即當(dāng)前時(shí)刻為t的一步預(yù)測為 當(dāng) ，當(dāng)前時(shí)刻為t的 步預(yù)測 1t lt lt lXX 1l 1111 1,tttttttttxE XXXEXXXx1l l 111,1ltt lttt lt lttttx lE XX XE

6、XX Xx lx 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 9 對于AR(p)模型 當(dāng) 時(shí)，當(dāng)前時(shí)刻為t的一步預(yù)測為 當(dāng) ，當(dāng)前時(shí)刻為t的 步預(yù)測 11t lt lpt lpt lXXX 1l 1111111 1,tttttptpt ltttp t pxE X X XEXXX Xxx 1111,tt lttt lp t l pt lttx lE X X XEXXX X lpl11tptx lx lp上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 10例例7.1 設(shè)平穩(wěn)時(shí)間序列 來自AR(2)模型 知 ，求 和 以及95%的置信區(qū)間。 解： tX121.10.3ttttXXX254550.8,1.2,1.21xx 551x 552x 555

7、6555455545655545554 1,1.10.3,1.10.31.1 1.2 0.3 0.81.08xE X X XEXXX Xxx上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 11根據(jù)第三章，可以計(jì)算模型的格林函數(shù)為 所以 的95%的置信區(qū)間為（1.076，3.236） 的95%的置信區(qū)間為 （2.296，3.952） 55575554565557555455552,1.10.3,1.110.31.1 1.08 0.3 1.20.828xE XXXEXXXXxx01101,1.1GGG56X57X上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 12例例7.2 已知某商場月銷售額來自AR(2)模型(單位：萬元/月) 2019年第一季度

8、該商場月銷售額分別為：101萬元，96萬元，97.2萬元。求該商場2019年第二季度的月銷售額的95%的置信區(qū)間。 12100.60.3,0,36tttttXXXN上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 13 求第二季度的四月、五月、六月的預(yù)測值分別為 3432132432132 1,100.60.3,100.60.397.2xE XXXXEXXXXXxx 35321435321332,100.60.3,100.610.397.432xE XXXXEXXXXXxx 36321546321333,100.60.3,100.620.3197.5952xE XXXXEXXXXXxx上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 14 計(jì)算模型

9、的格林函數(shù)為 四月、五月、六月的月銷售額的95%的置信區(qū)間分別為 四月：（85.36，108.88） 五月：（83.72，111.15） 六月：（81.84，113.35）010 1211201,0.60.360.30.66GGGGGG上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 157.3 MA模型的預(yù)測模型的預(yù)測 對于MA(q)模型 我們有 當(dāng)預(yù)測步長 ， 可以分解為 當(dāng)預(yù)測步長 ， 可以分解為11tttqt qX 11t lt lt lqt l qX lqt lX1111t lt lt lltltqt l qX lqt lX 1111,tt lttt lt lqt l qttx lE XXXEXX 0 1,tt

10、 lttltqt l qx lE XXX 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 16 MA(q)模型預(yù)測方差為 2221122211var1ltqlqe llq上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 17例例7.3 已知某地區(qū)每年常住人口數(shù)量近似的服從MA(3)模型單位：萬人） 2019年2019年的常住人口數(shù)量及1步預(yù)測數(shù)量見表21231000.80.60.2,25tttttX年份人口數(shù)量預(yù)測人口數(shù)量201920192019104108105110100109上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 18 預(yù)測未來5年該地區(qū)常住人口數(shù)量的95%的置信區(qū)間。 20042004200320022004200420032004200420042004

11、11000.80.60.2109.221000.60.29631000.2100.841005100 xxxxx上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 19預(yù)測年份95%的置信區(qū)間20192019201920192009（99，119）（83，109）（87，115）（86，114）（86，114）上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 207.4 ARMA模型的預(yù)測模型的預(yù)測 關(guān)于ARMA模型 有 1111ttpt pttq t qXXX 11111111111111t lt lp t l pt lt lq t l qt lp t l pt lt lltl tq t l qt lp t l pt lt lq t l qXXXX

12、Xl qXXl q 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 21 111,1 1tt ltttptltqt l qtptx lE XXXx lx lplqx lx lplq 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 22 例7.4 已知ARMA(1, 1)模型為 且 ，預(yù)測未來3期序列值的95%的置信區(qū)間。2110.80.6,0.0025ttttXX1001000.3,0.01x上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 23 首先計(jì)算未來3期預(yù)測值 計(jì)算模型的格林函數(shù)為 10010010010010010010010.80.60.23420.810.187230.820.14976xxxxxx010 112111,0.20.16GGGGG上海財(cái)經(jīng)大學(xué)

13、統(tǒng)計(jì)學(xué)系 24 計(jì)算預(yù)測方差 計(jì)算 得到未來3期序列值的95%的置信區(qū)間 21000222100012222100012var10.0025var20.0026var30.002664eGeGGeGGG 1001001001001.96 var,1.96 varxlelxlel預(yù)測時(shí)期95%的置信區(qū)間101102103（0.136，0.332）（0.087，0.287）（-0.049，0.251）上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 257.5 預(yù)測值的適時(shí)修正預(yù)測值的適時(shí)修正 對于平穩(wěn)時(shí)間序列的預(yù)測，實(shí)際就是利用已有的當(dāng)前信息和歷史信息對于序列未來某個(gè)時(shí)期 進(jìn)行預(yù)測。預(yù)測的步長值越大，預(yù)測精度越差。 隨著時(shí)間的向前推移，在原有時(shí)間序列觀測值的基礎(chǔ)上，我們會不斷獲得新的觀測值。顯然，如果把新的觀測值加入歷史數(shù)據(jù)，就能夠提高對的預(yù)測精度。所謂預(yù)測值的修正就是研究如何利用新的信息去獲得精度更高的預(yù)測值。 12,tttx xxt lx0l 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 26例例7.2續(xù)續(xù) 假設(shè)一個(gè)月后已知四月份的真實(shí)銷售額為100萬元，求第二季度后兩個(gè)月銷售額的修正預(yù)測值及95%的置信區(qū)間。 因?yàn)?根據(jù)上述公式可以計(jì)算五月、六月的修正預(yù)測值如下： 443 110097.122.8