湖南省長沙市一中2020屆高二期末試卷數(shù)學(xué)試題

1、湖南省長沙市一中2020屆高二期末試卷數(shù)學(xué)試題全卷?黃分150分，考試時間120分鐘。?？荚図樌⒁馐马棧? .答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。并將準考證號條形碼 粘貼在答題卡上的指定位置。2 .選擇題作答用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干 凈后，再選涂其它答案標號。答在試卷和草稿紙上無效。3 .非選擇題作答用0.5毫米黑色墨水簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。答在試 卷和草稿紙上無效?？忌仨毐３执痤}卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，只需上交答題卡、選擇題（本大題共 12小題，每小題5分，滿分60分，）1 .復(fù)數(shù)'的虛部是（）1 .一i2

2、)1 iA. -1 B . - C - -i D 2222 .點A (1, 2, 3)關(guān)于xOy平面對稱的點 B坐標是A. (-1 , 2, 3) B . (1, -2 , 3)C . (1, 2, -3) D . (-1 , -2, 3)3 .已知直線l _L平面a,直線mu平面B,有下面四個命題:(1)ct/Pnl_Lm; (2) ct_LP=l/m; (3) l/m=a_LP;(4) l _1_ m= a /P 其中正確第11頁共8頁）條件的命題（）A、（1）（2）B、（1）（3）C （2）（4）D （3）（4）224 .若橢圓 勺十匕=1的焦距等于2,則m的值為（）m 6A.10B.7

3、C.10或 4D.7 或 5-才5 .設(shè)a,b為向量，則“ a，b > 0 ”是“ a,b的夾角是銳角”的（A.充分不必要 B .必要不充分C .充分必要 D .既不充分也不必要6 .用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1笠七邛|十（n七）蛇曳巾4：用N時，第一步驗證n =1時，左邊應(yīng)取的項是2A. 1B . 1 + 2C. 1+2 + 3D. 1+2+3+47 .如圖，網(wǎng)格紙是邊長為 1的小正方形，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則該多面體的體積為 （ ）A. 4 B .8 C . 16 D22c (c為雙曲線的半焦距8 .已知雙曲線 與Y2=1(a >0,b >0)的一個焦點到一條漸

4、近線的距離為 a b長)，則該雙曲線的離心率為()A. 3、59 .點 A,A. 7 -：10.設(shè)4B,5223,52C, D均在同一球面上，且AB,AC, AD兩兩垂直，且 AB=1,7存：AC=2, AD=3,則該球的表面積為45c的三邊長分別為 a瓦工BC的面積為S,內(nèi)切圓半徑為 一則a-b-c ,類比這個結(jié)論可知：四面體 F-/BC,的四個面的面積分別為 5卜內(nèi)切球的半徑為 ，四面體P-W5C1的體積為匕則/=()A.- - -B3V15點P(8,1)平分雙曲線x2 4y2=4的一條弦，則這條弦所在直線的斜率是 .16 .如圖正方形 BCDE的邊長為a ,已知AB =J3BC ,將&a

5、mp;ABE沿BE邊折起，折起后 A點在平面BCDE上的射影為D點，則翻折后的幾何體中有如下描述：AB與DE所成角的正切值是 J2 ; AB / CE ；18工天的體積是，a2;6平面ABC，平面ADC ;其中正確的有.(填寫你認為正確的序號) 三、解答題17 .(本小題滿分10分)22已知關(guān)于x, y的萬程C： x + y - 2x-4y + m = 0.(1)當m為何值時，方程 C表示圓.(2)若圓C與直線l: x+2y-4=0相交于M N兩點，且MN的長為求m的值.18 .(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)y = f (x)對任意實數(shù)x、y都有f (x + y) = f (x) + f (y)

6、+2xy ,(1)求f (0)的值；(2)若 f (1)=1 ,求 f(2)、f(3)、f(4)的值；(3)在(2)的條件下，猜想 f (n) (nw N+)的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。19 .(本小題滿分12分)已知命題：平面上一矩形ABCD的對角線 AC與邊AB AD所成的角分別為 a、P (如圖1),則COS2 a +COS2 P =1.用類比的方法，把它推廣到空間長方體中，試寫出相應(yīng)的一個真命題并證明。圖1圖220 .(本小題滿分12分) 求下列曲線的標準方程：(1)與橢圓x2 +4y2 =16有相同焦點，過點 P(d5, J6)的橢圓的標準方程(2)與橢圓) + 1=1有相同的

7、焦點，直線 y = 3x為一條漸近線的雙曲線的標準方程. 84(3)焦點在直線3彳-47-12=0上的拋物線的標準方程AB/ DC , D DAB = 90 ：PA _L 底21 .(本小題滿分12分)已知四棱錐 P-ABCD的底面為直角梯形,1面 ABCD,且 PA = AD =DC =, AB=1, M 是 PB 的中點。2(1)證明：面PAD，面PCD ；(2)求AC與PB所成的角；(3)求面AMC與面BMC所成二面角的余弦值.22.(本小題滿分12分)已知橢圓E的中心在原點，焦點在 X軸上，橢圓長軸上的頂點到焦點的距離為近-1,離心率e =3(1)求橢圓E的方程;(2)若直線l : y

8、 =x+m交E于P、Q兩點，點M (1,0),問是否存在 m使MP _L MQ ?若存在求出m的值，若不存在，請說明理由高二數(shù)學(xué)參考答案1A 2C 3B 4 D 5B 6D 7c 8D 9B 10C 11B 12D111 2n -113. 16n14. 1 + + + + <02 。22 K23 n n15. 216.17. (1) m <5(2) m =4試題解析：(1)方程C可化為(x 1)2+(y 2)2 =5m顯然5 m >0時方程C表示圓.即m < 55分(2)圓的方程化為(X1)2 +(y -2)2 =5m,圓心 C (1, 2),半徑 r = J5 - m

9、則圓心C (1, 2)到直線l:x+2y-4=0 的距離為|1 +2黑2-4d 二 1222_ 1 :541222121222 MN =-JMN =專,有 r2 = d2 +(，MN )2 ,工 5-m = (-)2 +(玲)2,得 m = 4-：?52, 525. 510分218. (1) 0(2) 4, 9, 16(3) f(n) = n2x y .-=113【解析】 試題分析：(1)令 x=y=0 得 f (0+0) =f (0) +f (0) +2X0X0?f (0) =0 4分(2) f (1) =1 ,f(2)=f(1 + 1)=1+1+2=4K3)=f(2+1)=4+1+2X 2

10、X1=9 f(4)=f(3+1)=9+1+2 X3X1=16 8 分2(3)猜想f (n) =n ,下用數(shù)學(xué)歸納法證明之.當n=1時，f (1) =1滿足條件假設(shè)當n=k時成立，即f (k) =k2則當 n=k+1 時 f (k+1) =f (k) +f (1) +2k=k2+1+2k= (k+1) 2從而可得當n=k+1時滿足條件對任意的正整數(shù) n,都有f (n) =n2 12分19 .命題：長方體 ABCD ABCD'中，對角線 AC'與棱AB、AD、AA'所成的角分別為a,P J ,則 cos2 a + cos2 P + cos2 ¥ = 1。證明見解析

11、。【解析】 有如下命題：長方體 ABCD ABCD'中，對角線AC'與棱AB、AD、AA'所成的角分別為a,Pj,貝U cos2.不 +cos21 cos2 =1AB 證明：. cosa =,ACAD cos -=AC10分12分此題答案不唯一，只AAcos =AC2 - 2 :2AB2 AD2 AA2 AC 2 d/. cos : - cos cos = = = 1AC 2AC要類比寫出的命題為真并證明，都應(yīng)給相應(yīng)的分數(shù) 2220 .解：(1) =1 4分(2)208(3) y 2 =16x 或 x2 = 12y12分21 .證明：以A為坐標原點AD長為單位長度，如圖

12、建立空間直角坐標系，則各點坐標為 -1A(0,0,0), B(0,2,0), C(1,1,0),D(1,0,0), P(0,0,1), M(0,1,-). 2(1)證明:因 Ap =(0,0,1),dC =(0,1,0)，故aP DC =0,所以AP_LDC.由題設(shè)知 AD _L DC ,且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得 DC _L面PAD .又DC在面PCD上，故面PAD，面PCD.4分(2)因 AC =(1,1,0),PB =(0,2,-1),故 | AC|=V2,| PB|=V5,AC PB = 2,所以cos ： AC,PB =AC PB|AC|PB|1(3)平面 AM

13、C 的一個法向重設(shè)為 n=(1, y1,z1), AC = (1,1,0), AM =(0,1,-),2n =(1,-1,2)1y1 =01 八 y 2乙=。1平面 BMC 的一個法向量設(shè)為 m = (1,y2,z2), BC =(1,1,0), BM =(0,-1,-),21 - y2 = 0_1n=(1,1,2)_ y2 Z2 =02一1-142一 a ,人、，12分:cos <m, n >=三=一二所求二面角的余弦值為66322.解：(1)設(shè)橢圓E的方程為22x y 十 22a b-1,(a b 0)由已知得a -c = 3 -1< c <3= a=J3, c =

14、 1,從而 b2=21a 一 3(3分)橢圓E的方程為(5分)- 22一 I 二 L -1 一 2-由 32= 5x 6mx 3m _6 = 0y = x m設(shè) P(xi，y)、Q(X2,y2),26m3m -6 =則 x1 + x2 =, x1x2 =,二552y1y2 =(x1 m)(x2 m) =x1x2 m(x1 x2) m(7分)由題意 3 3 36m2 - 4 x 5 x (3m2 - 6) > 0 , =_J'5<m<，5(8分)要 mP_LMQ,就要 mP mQ=0, 又 mP =(x1 1, y1) , mQ = (x21,y2)(x1 一1)(x2

15、1)+y1y2 = 0 , = 2x1x2 + (m1)(x + x?) + m2+1 = 0-6m2 -12 6m( m -1)2m55+ 1 =0,二 5m2 6m - 7 = 0(10 分)=4 11 -6f -4 11 -6 廠 一4 11-6=m =或 m =，又一寸5 < m < v 5 ,二 m =,5554 11-6故存在m=U 使得MP_LMQ. (12分)5C.一 一 一11.如圖，正方體ABCD- AiBiGD的棱長為1,線段BD上有兩個動點 E、F,一 1且EF=.則下列結(jié)論中正確的個數(shù) 為2 Ad BE;EFT面 ABCD三棱錐A- BEF的體積為定值;AAEF的面積與ABEF的面積相等,A. 4 B . 3C.2 D. 12212 .已知點 P為雙曲線 4 =1(a >0,b >0)右支上一點，12分別為雙曲線的左右焦點，且a* 2 * 4 b2| F1F2