中考數(shù)學(xué)相似難題壓軸題及答案

1、1、如圖，在正三角形ABC中，D, E, F分別是BC, AC, AB上的點(diǎn)，DE工AC , EF ± AB, FD ± BC ,則4DEF的面積與 ABC的面積之比等于()A. 1 ： 3 B. 2 ： 3C.避：2 D,屈. 32、如圖，在RtAABC中,ACB 90°, BC 3, AC 4, AB的垂直平分線DE交BC的延長線于點(diǎn)E ,則CE的長為()3A. 2 B7256 C .6 D, 23 .提出問題：如圖，有一塊分布均勻的等腰三角形蛋糕( AB BC ,且BC AC),在蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力，小明和小華決定只切一刀將這塊蛋糕平分(要求分得的蛋

2、糕和巧克力質(zhì)量都一樣)背景介紹：這條分割直線即平分了三角形的面積，又平分了三角形的周長，我們稱這條線為三角形的“等分積周線” .嘗試解決：(1)小明很快就想到了一條分割直線，而且用尺規(guī)作圖作出.請你幫小明在圖1中畫出這條“等分積周線”，從于點(diǎn)D.你覺得小華會成功嗎如能成功，說出確定的方法；。如不能成功，請說明理由.(3)通過上面的實(shí)踐，你一定有了更深刻的認(rèn)識.請你解決下面的問題：若AB= BC= 5 cm,AO 6 cm,請你找出 ABC勺所有“等分積周線”，并簡要的說明確定的方法.4 .如圖，點(diǎn)P是菱形ABCDB對角線0BD上一點(diǎn)，連結(jié) CP并延長，交AD于E,交BA的延長線點(diǎn)F.問: (1

3、)圖中 APD與哪個(gè)三角形全等并。說明理由.(2)求證： APE s' fpa(3) 猜想：線段PC PE、PF之間存在什么關(guān)系并說明理由.5、如圖1,在RtABC中，BAC 90。，ADLBC于點(diǎn)D,點(diǎn)O是AC邊上一點(diǎn)，連接BO交AD于F,OELOB交BC邊于點(diǎn)E(1)求證：ABF s/XCOE；AC OF(2)當(dāng)。為AC邊中點(diǎn), 2AB 時(shí)，如圖2,求OE的值;AC(3)當(dāng)0為AC邊中點(diǎn)，ABn時(shí)，請直接寫出OF0E的值.PQ AD6、已知/ ABC=90 , AB=2, BC=3 AD/ BC, P為線段BD上的動點(diǎn)，點(diǎn) Q在射線AB上，且滿足 PC AB (如圖1所示).(1)

4、當(dāng)AD=2且點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)(如圖2所示)，求線段PC的長；SS*A APQAD - 八-八e(2)在圖中，連結(jié)AP .當(dāng) 2 ,且點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，設(shè)點(diǎn)B、Q之間的距離為X, SPBC表示 APQ勺面積， S PBC表示PBC的面積，求y關(guān)于X的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域;(3)當(dāng)AD AB ,且點(diǎn)Q直線B C分別與直線BC相交于點(diǎn)7、如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(8，0),直線BC經(jīng)過點(diǎn)B( 8,6), C(0，6),將四邊形OAB俠點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度得到四邊形OABC ,此時(shí)直線0A、P、Q.(1)四邊形OABC勺形狀是BP當(dāng)90°時(shí)，BQ的值

5、是BP(2)如圖2,當(dāng)四邊形OABC的頂點(diǎn)B落在y軸正半軸時(shí)，求BQ的值;的面積.如圖3,當(dāng)四邊形OABC的頂點(diǎn)B落在直線BC上時(shí)，求4OPB*y0(備用圖)(3)在四邊形 OABO轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)001800時(shí)，是BP否存在這樣的點(diǎn) P和點(diǎn)Q使1 BQ2若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.D與點(diǎn)P重合，得折8、如圖，在矩形 ABCD43, AB=3,AD=1,點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動，設(shè)AP=x ,現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn) 痕EF (點(diǎn)E F為折痕與矩形邊的交點(diǎn))，再將紙片還原。(1)當(dāng)x=0時(shí)，折痕EF的長為;當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，折痕EF的長為(2)請寫出使四邊形 EPFM菱形的x的取值

6、范圍，并求出當(dāng) x=2時(shí)菱形的邊長;2判斷VEAP與VPBF(3)令EFy ,當(dāng)點(diǎn)E在AD點(diǎn)F在BC上時(shí)，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)y取最大值時(shí),是否相似若相似，求出 x的值；若不相似，請說明理由。第（2）導(dǎo)圖第門）題國9、如圖，在ABC中，A 90。，BC 10,zABC的面積為25,點(diǎn)D為AB邊上的任意一點(diǎn)（D不與A、B重合），過點(diǎn)D作DE / BC ,交AC于點(diǎn)E .設(shè)DE x,以DE為折線將 ADE翻折（使 ADE落在四邊形DBCE所在的平面內(nèi)），所得的ZXADE與梯形DBCE重疊部分的面積記為（1）用x表示ADE的面積；（2）求出0 x05時(shí)y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）求出5 x 10

7、時(shí)y與x的函數(shù)關(guān)系式；（4）當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大最大值是多少10、將一個(gè)量角器和一個(gè)含 30度角的直角二角板如圖（1）放置，圖（2）y.A B_CBl是由他抽象出的幾何圖形，其中點(diǎn)B在半圓O的直徑DE的延長線上，AB切半愎（1） 求證：DB/ CF。二 1 '/圖（1）O于點(diǎn)F,且BC=ODDUEE圖t 2)（2）當(dāng)OD=2時(shí)，若以 O B、F為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似，求OB11、問題背景 在某次活動課中，甲、乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組于同一時(shí)刻在陽光下對校園中一些物體進(jìn)行了測量.下面是他們通過測量得到的一些信息： 甲組：如圖1,測得一根直立于平地，長為80cm的竹竿的影長為 60cm

8、.乙組：如圖2,測得學(xué)校旗桿的影長為 900cm.丙組：如圖3,測得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細(xì)忽略不計(jì)）的高度為200cm,影長為156cm.任務(wù)要求（1）請根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度；（2）如圖3,設(shè)太陽光線NH與eO相切于點(diǎn)M .請根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑（ 友情提示：222如圖3,景燈的影長等于線段 NG的影長；需要時(shí)可采用等式156208260）.B*80cm /A 1 1C60cm圖112、如圖，已知一個(gè)三角形紙片 ABC, BC邊的長為8, BC邊上的高為6, B和C都為銳角，M為AB 一 動點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)A B不重合），過點(diǎn)M作

9、MN / BC ,交AC于點(diǎn)N ,在zAMN中，設(shè)MN的長為x, MN 上的高為h .（1）請你用含x的代數(shù)式表示h.（2）將4AMN沿MN折疊，使4AMN落在四邊形BCNM所在平面，設(shè)點(diǎn)A落在平面的點(diǎn)為A1, A1MN與 四邊形BCNM重疊部分的面積為 y ,當(dāng)x為何值時(shí)，y最大，最大值為多少13、如圖，ABC中，C 900 , AC 4, BC 3.半徑為i的圓的圓心P以1個(gè)單位/ S的速度由點(diǎn)A沿AC方向在AC上移動，設(shè)移動時(shí)間為 t (單位：S)165 時(shí)，四邊形PDBE為平行四(1)當(dāng)t為何值時(shí)，O P與AB相切；作PDtAC交AB于點(diǎn)D,如果。P和線段BC交于點(diǎn)E,證明：當(dāng)邊形.3

10、14、如圖，已知拋物線 y=4x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于 A B、C三點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為3(1,0),過點(diǎn)C的直線y= 4t x3與x軸交于點(diǎn)Q,點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動點(diǎn)，過P作P也OB于點(diǎn)H.若P艮5t，且0vt <1.(1)填空：點(diǎn) C的坐標(biāo)是, b = , c=A；(2)求線段QH勺長(用含t的式子表示)；(3)依點(diǎn)P的變化，是否存在t的值，使以P、H Q為頂點(diǎn)的三角形與 COQ目似若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由.15、如圖，拋物線經(jīng)過a(4，0)，Bd,0), C(。，2)三點(diǎn).(1)求出拋物線的解析式；(2) P是拋物線上一動點(diǎn)，過 P作PM x軸，垂足為 M是否存

11、在P點(diǎn)，使得以A, P, M為頂點(diǎn)的三角形與 4OAC相似若存在，請求出符合條件的點(diǎn) P的坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由；(3)在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn) D,使得DCA的面積最大，求出點(diǎn) d的坐標(biāo).16、如圖， ABC是直角三角形，/ ACB=90 , CDL AB于D, E是AC的中點(diǎn)，ED的延長線與 CB的延長線交于點(diǎn) F。(1) 求證：FD2=FB- FC(2) 若G是BC的中點(diǎn)，連接 GD GD與EF垂直嗎并說明理由。17、正方形ABCD邊長為4, M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動時(shí)，保持am和MN垂直，(1)證明：RtA ABM sRt/XMCN ；(2)設(shè)

12、BM x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形ABCN 面積最大，并求出最大面積；/2 218、如圖11,已知二次函數(shù)y (x m) k m的圖象與X軸相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A(x1 Q)、B(X2，°),與y軸的交點(diǎn)為C .設(shè) ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)P .(1)求0P與y軸的另一個(gè)交點(diǎn) D的坐標(biāo)；(2)如果AB恰好為0 P的直徑，且 ABC的面積等于J5，求m和k的值.19、如圖，在RtAABC中,BAC 90°,C 60°, BC 24,點(diǎn)P是BC邊上的動點(diǎn)(點(diǎn) P與點(diǎn)B、C不重合)，過動點(diǎn)P作(3)當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動到什么位

13、置時(shí) RtAABM s RtAAMN ,求X的值.PD / BA 交 AC于點(diǎn).(1)若 ABC與 DAP相似，則 APD是多少度(2分)(2)試問：當(dāng)PC等于多少時(shí)， APD的面積最大最大面積是多少(4分)(3)若以線段 AC為直徑的圓和以線段 BP為直徑的圓相外切，求線段 BP的長.(4分)20、如圖，在梯形 ABCDh AD / BC , AD 6cm , CD 4cm, BC BD 10cm,點(diǎn) P 由 B出發(fā)沿 BD方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s;同時(shí)，線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s,交BD于Q連接PE若設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t (s) (0 t 5).解答下列問題：(

14、1)當(dāng)t為何值時(shí)，PE / AB(2)設(shè)PEQ的面積為y (cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；S，2- S，.SA PEQ _ _ SA BCD.(3)是否存在某一時(shí)刻t,使25若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說明理由.(4)連接PF ,在上述運(yùn)動過程中，五邊形 PFCDE的面積是否發(fā)生變化說明理由.21、正方形ABCD邊長為4, M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動時(shí)，保持 AM和MN垂直,(1)證明：RtAABM sRtMCN ；(2)設(shè)BM x，梯形ABCN的面積為y ,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形ABCN面積最大，并求出最大面積；(3)

15、當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時(shí),2,y 一ly 二x22、如圖，已知直線 3RtAABM sRtAMN ,求此時(shí) x 的值.83與直線Ly 2x 16相交于點(diǎn)c,小l2分別交x軸于A B兩點(diǎn).矩形DEFG的頂點(diǎn)D、E分別在直線l1、l2上，頂點(diǎn)F、G都在x軸上，且點(diǎn)G與點(diǎn)B重合.(1)求 ABC的面積;(2)求矩形DEFG的邊DE與EF的長;(3)若矩形DEFG從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸的反方向以每秒1個(gè)單位長度的速度平移， 設(shè)移動時(shí)間為 可°&1012)秒,矩形DEFG 與ABC重疊部分的面積為 S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的 t的取值范圍.23、如圖，梯形ABCDK AB /

16、CD ,點(diǎn)F在BC上，連DF與AB的延長線交于點(diǎn) G(1)求證：CDFs/XBGF；(2)當(dāng)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)時(shí)，過F作EF /CD交AD于點(diǎn)E,若AB 6cm, EF 4cm求CD的長.24、 ABB一塊等邊三角形的廢鐵片，利用其剪裁一個(gè)正方形 分別落在AC AB上.I .證明： BD® ACEFDEFG使正方形的一條邊 DE落在BC上，頂點(diǎn)F、G圖圖n.探究：怎樣在鐵片上準(zhǔn)確地畫出正方形小聰和小明各給出了一種想法，請你在na和n b的兩個(gè)問題中選擇一個(gè)你喜歡的問題解答.如果兩題都解，只以na的解答記分.n a.小聰想：要畫出正方形 DEFG只要能計(jì)算出正方形的邊長就能求出BD和CE

17、的長，從而確定 D點(diǎn)和E點(diǎn)，再畫正方形DEFG容易了 .設(shè)ABC勺邊長為2 ,請你幫小聰求出正方形的邊長n b.小明想：不求正方形的邊長也能畫出正方形.在AB邊上任取一點(diǎn)G ,如圖作正方形連結(jié)BF并延長交AC于F;彳FE/ F' E'交 BC于 E, FG/ F' G 交 AB于 G你認(rèn)為小明的作法正確嗎說明理由.(結(jié)果用含根號的式子表示，不要求分母有理化).具體作法是：G D' E F;GD/ G D'交BC于D,則四邊形 DEF5為所求.25、如圖11,在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等月直角三角形 ABG口 AFG罷放在一起，A為公共頂點(diǎn)，Z BA(=Z

18、 AG=90 , 它們的斜邊長為 2,若？ ABC®定不動，？ AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AR AG與邊BC的交點(diǎn)分別為 D日點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合, 點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合)，設(shè)BE=m CD=n.(1)請?jiān)趫D中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進(jìn)行證明(2)求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n的取值范圍.BD2 +CE2=DE .(3)以？ ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為 y軸，建立平面直角坐標(biāo)系 (如圖12).在邊BC上找一點(diǎn)D,使BD=CE求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，并通過計(jì)算驗(yàn)證(4)在旋轉(zhuǎn)過程中,(3)中的等量關(guān)系BD2 + CE2 =DE2是否始終成立,若成立,

19、請證明,若不成立,請說明理由26、在ABC43, /A= 90° , AB= 4, AC= 3, M是AB上的動點(diǎn)(不與A, B重合)，過M點(diǎn)作MIN/ BC交AC于點(diǎn)N.以 MM直徑作。Q并在。O內(nèi)作內(nèi)接矩形 AMPN令A(yù)陣x.(1)用含x的代數(shù)式表示 MNP的面積S;(2)當(dāng)x為何值時(shí)，O O與直線BC相切(3)在動點(diǎn)M的運(yùn)動過程中，記 MNP與梯形BCNMI合的面積為y,試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求 x為何值 時(shí)，y的值最大，最大值是多少圖3(2010年浙江杭州)提出問題:如圖，有一塊分布均勻的等腰三角形蛋糕( AB BC ,且BC AC),在蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力，小明

20、和小華決定只切一刀將這塊蛋糕平分(要求分得的蛋糕和巧克力質(zhì)量都一樣)源:Z。xx o 背景介紹：這條分割直線即平分了三角形的面積，又平分了三角形的周長，我們稱這條線為三角線”.嘗試解決：.來形的“等分積周(1)小明很快就想到了一條分割直線，而且用尺規(guī)作圖作出 而平分蛋糕.請你幫小明在圖1中畫出這條“等分積周線”，從(2)小華覺得小明的方法很好，所以自己模仿著在圖1中過點(diǎn)C畫了一條直線 CD交AB于點(diǎn)D.你覺得小華會成功嗎如能成功，說出確定的方法；口如不能成功，請說明理由.(3)通過上面的實(shí)踐，你一定有了更深刻的認(rèn)識.請你解決下面的問題：若AB= BC= 5 cm,AC= 6 cm,請你找出 A

21、BC勺所有“等分積周線”，并簡要的說明確定的方法.解：(1)作線段AC的中垂線BD即可.(2)小華不會成功.若直線CD平分 ABC的面積那么 S ADC S DBC1 -1.AD?CE BD?CE2 2BD AD.AC BCAD AC BD BC，小華不會成功.(3) 若直線經(jīng)過頂點(diǎn)，則 AC邊上的中垂線即為所求線段. 若直線不過頂點(diǎn)，可分以下三種情況：(a)直線與BG AC分別交于E、F,如圖所示過點(diǎn)E作EFU AC于點(diǎn)H,過點(diǎn)B作BGL AC于點(diǎn)G易求，BG=4 AG=CG=3設(shè) CF=x,則 CE=8-x4、由 CEH CBG 可得 EH=5( x1?x?4(8根據(jù)面積相等，可得25x)

22、 6x 3 (舍去，即為)或 x 5CF=5, CE=3直線EF即為所求直線.(b)直線與AR AC分別交于M N,如圖所示由(a)可得，AM=3 AN=5直線MN即為所求直線.(仿照上面給分)(c)直線與AR BC分別交于P、Q,如圖所示過點(diǎn)A作AYL BC于點(diǎn)Y,過點(diǎn)P作PXa BC于點(diǎn)X24由面積法可得，AY= 5設(shè) BP=x,貝U BQ=8-x24x由相似，可得PX=25根據(jù)面積相等，可得1 24-?x?(82 25x) 6x8-52x(舍去)或8142814814 5而當(dāng)BP2 時(shí)，BQ= 2,舍去.此種情況不存在._綜上所述，符合條件的直線共有三條.(2010年教育聯(lián)合體)如圖，點(diǎn)

23、 P是菱形ABC曲.對角線,BD上一點(diǎn)，連結(jié) CP并延長，交AD于E,交BA的延長線點(diǎn)F.問:(1)圖中 APD與哪個(gè)三角形全等并.說明理由.(2)求證： APE s' fpa(3) 猜想：線段PC PE、PF之間存在什么勺(1) AAPtD CPD理由：二.四邊形ABC展形 .AD=CD, / ADP=Z CDP又 PD=PD .APD ACPD(2)證明：. APD ACPDZ DAP=/ DCP CD/ BF.1 / DCPW F/ DAP= / F又 / APE=/ FPA APE s* fpa(3) 猜想：PC2 PE?PF理由：. APEA FPAAP PEFP PAPA2

24、 PE? PF p. AP陰 CPDPA=PC PC2 PE? PF(2009年湖州)如圖，在正三角形ABC中，D, E, F分別是BC, AC, AB上的點(diǎn)，DE工AC , EF ± AB ,FD ' BC ,則 DEF的面積與 ABC的面積之比等于(A. 1 ： 3B. 2 ： 3【關(guān)鍵詞】等邊三角形的性質(zhì)，相似的性質(zhì)【答案】A（2009年山西?。┤鐖D，在RtAABC中，ACB 90。，BC 3, AC 4, AB的垂直平分線DE交BC的延長線于點(diǎn)E ,則CE的長為（）3 725A. 2 B .6 C .6D. 2【關(guān)鍵詞】相似三角形判定和性質(zhì)；勾股定理；線段和角的概念、

25、性質(zhì)【答案】B（2009武漢）如圖1,在Rt ABC中,BAC 90°, ADBC 于點(diǎn)D,點(diǎn)O是AC邊上一點(diǎn)，連接BO交ADOE工OB交BC邊于點(diǎn)(1)求證：ABFs/XCOEAC（2）當(dāng)0為AC邊中點(diǎn)，ABOF時(shí),如圖2,求OE的值;AC（3）當(dāng)。為AC邊中點(diǎn)，ABOF時(shí),請直接寫出 OE的值.【關(guān)鍵詞】相似三角形的判定和性質(zhì)【答案】解：（1）DAC C 90Q BAC 90°,BAFQ OE XOB,BOACOE90Q BOA ABF 90ABFCOE ABFs"oe ；（2）解法一：作OG，AC ,交AD的延長線于G .Q AC 2AB,。是 AC 邊的中

26、點(diǎn)，AB OC OA由(1)有 AABF sCOE , AABFACOE ,BF OEQ BAD DAC900 DAB ABD 90°,DACABD又BACAOG 90° AB OA ABCAOAG OG AC 2ABQ OG ± OA AB / OG ABF sGOFOF OG OF OF OGBF AB OE BF AB解法二：Q BAC 90°, AC 2AB, AD，BC于D,AD AC 2 RtA BAD s RtA BCA.BD AB設(shè) ab 1,貝u AC 2, BC 、,5, BO 、2,2 -11 -AD"5, BD AD 、

27、5525Q BDFBOE 90°, BDF ABOEBD BODF OE .由（1）知 BF OE,設(shè) OE BF x,、55DFx . 10DF2112，2x xx 在 DFB 中 5 10,3OF OB BFOFOE3123OF n OEPQ AD （2009年上海市）已知/ ABC=90 , AB=2, BC=3 AD/ BC P為線段BD上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線 AB上，且滿足 PC AB （如圖1所示）.（1）當(dāng)AD=2且點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)（如圖2所示），求線段PC的長；AD（2）在圖中，聯(lián)結(jié)AP .當(dāng)32 ,且點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，設(shè)點(diǎn)B、S*A APQQ之間的距離為 x, SA

28、 PBCS*A APQ表示 APQ勺面積， SPBC表示PBC的面積，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域;（3）當(dāng)AD AB ,且點(diǎn)Q在線段AB的延長線上時(shí)（如圖【關(guān)鍵詞】等腰直角三角形【答案】（1） .RtABD中,相似三角形共高三角形的面積AB=2 AD=23所示），求QPC的大小.直角三角形相似的判定PQ ADPC AB =1, / D=45PQ=PCBP PB=PC過點(diǎn)P作PH BC,則BE=2-BC32。而 / PBC=/ D=45°3,2PC=PB= 2(2)在圖8中，過點(diǎn)P作PEI BC, PF,AB于點(diǎn)F。/ A=Z PEB=90 , / D=Z PBE RtM

29、BD RtAEPBEB AD 3c 32EP AB 24設(shè) EB=3k,貝U EP=4k, PF=EB=3k1 -1S BPCBC PE 3 4k 6k2 2S APQAQABS APB2 x 1AB PF221-2 3k22 x 2 x 3k3k 2=2S bpc 12k4y S apq2 x 3k 2 x函數(shù)定義域?yàn)?x2Q(3)答：90°證明：在圖8中，過點(diǎn) P作P已BC, PH AB于點(diǎn)F。 / A=Z PEB=90 , / D=Z PBERt ABD RtAEPBEB ADEP ABPQ AD EB PF . PC AB = PE PERt PQf Rt PCE ./ FP

30、Q=/ EPC / EPC吆 QPEh FPQ吆 QPE=90（2009年寧波市）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A的坐標(biāo)為（8，0）,直線BC經(jīng)過點(diǎn)B（ 8,6）,C（0，6）,將四邊形OAB歌點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度得到四邊形OABC ,此時(shí)直線OA、直線BC分別與直線BC相交于點(diǎn)P、Q（1）四邊形OABC勺形狀是, BP當(dāng)90°時(shí)，BQ的值是；BP（2）如圖2,當(dāng)四邊形OABC的頂點(diǎn)B落在y軸正半軸時(shí)，求BQ的值；如圖3,當(dāng)四邊形OABC的頂點(diǎn)B落在直線BC上時(shí)，求OPB的面積.O（備用圖）1 -（3）在四邊形 OABO轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)00BP BQ 180時(shí)，是否存

31、在這樣的點(diǎn) P和點(diǎn)Q使 2 若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【關(guān)鍵詞】相似三角形有關(guān)的計(jì)算和證明【答案】解：（1）矩形（長方形）；BPBQ(2)Q POC BOAPCO OA B 90 COPsz aobCPOCCP6ab- OA,即"6" 8,-9_7CPBPBCCP22? .同理 ABCQs/X BCO ,CQ BC CQ 10 6CQ bC,即-6CQ 3 BQ BC CQ 11?BP 7BQ 22在zXOCP和ABAP中,OPCBPA,OCP A 90°,OC BA, OCP B A P(AAS)OP BP設(shè) BP x,25222X在

32、RtzXOCP 中，(8 x) 6 x 解得 41 2575SA OPB 6 一2 441 -BP BQ(3)存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q,使 2P 9 2 V6,6P5 ,6點(diǎn)P的坐標(biāo)是2,4對于第(3)題，我們提供如下詳細(xì)解答，對學(xué)生無此要求.過點(diǎn)Q畫QH，OA于H ,連結(jié)OQ,則QH OCOC1 - 1Q Sa poq -PQgOCSapoq-OPgQH22PCBC BPPQ OP設(shè) BP x,-1 -Q BP BQ2,BQ 2x如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，OP PQ BQ BP 3x222在 RtzXPCO 中，（8 x） 6（3x）x（1,1 6 x21、6解得 2,2（不符實(shí)際，舍去）P

33、9 3V6,6 2 .如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，OP PQ BQ BP x PC 8 x25222x 一在 RtzXPCO 中，（8 x） 6 x ,解得 4 .25 7PC BC BP T 4P27,64 .P 9 35/6,6P2 7,6BP 1 BQ綜上可知，存在點(diǎn)2,4,使 2（2009年義烏）如圖，在矩形ABCM,AB=3,AD=1,點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動，設(shè) AP=x ,現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，彳#折痕EF （點(diǎn)E、F為折痕與矩形邊的交點(diǎn)），再將紙片還原。i)(1)當(dāng)x=0時(shí)，折痕EF的長為 # .;當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，折痕EF的長為 # .;(2)請寫出使四邊形 EPFM

34、菱形的x的取值范圍，并求出當(dāng) x=2時(shí)菱形的邊長;(3)令EF2 y，當(dāng)點(diǎn)E在AD點(diǎn)F在BC上時(shí)，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)y取最大值時(shí)，判斷VEAP與VPBF 是否相似若相似，求出 x的值；若不相似，請說明理由。第(2)段圖第門)【關(guān)鍵詞】相似三角形【答案】解：(1) 3, 我(2) 1 0 x & 3當(dāng)x 2時(shí)，如圖1,連接DE、PF,Q EF為折痕，DE PE ,令PE為m,則AE 2 m,在 RtzXADE 中，AD2 AE2 DE2,1 (2 m)2 m255m解得 4 ,此時(shí)菱形邊長為 4.(3)如圖2,過E作EH，BC ,易證 4EFH S/XDPA,FH APEH AD

35、 FH 3xy EF2 EH 2 FH 2 9 9x2當(dāng)F與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖3,連接PF ,Q PF DF 3, PB 732 122軀,0< x< 3 2金.2顯然，函數(shù)y 9 9x的值在y軸的右側(cè)隨x的增大而增大,3 2五時(shí)，y有最大值.此時(shí) EPF 90°, EAPs/Xpbf綜上所述，當(dāng)y取最大值時(shí)，EAPs/XPBF, x3 2&（ EPF 90。不寫不扣分）.（2009恩施市）如圖，在ABC中，A 90°, BC10, ABC的面積為25,點(diǎn)D為AB邊上的任意一點(diǎn)（D不與A、B重合），過點(diǎn)D作DE / BC,交AC于點(diǎn)E .設(shè)DE x ,以D

36、E為折線將 ADE翻折（使 ADE落在四邊形DBCE所在的平面內(nèi)），所得的ADE與梯形DBCE重疊部分的面積記為 y(1)用x表示4ADE的面積;(2)求出0 x 0 5時(shí)y與x的函數(shù)關(guān)系式;(3)求出5 x 10時(shí)y與x的函數(shù)關(guān)系式;ADE(4)當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大最大值是多少【關(guān)鍵詞】相似、二次函數(shù)【答案】解：（1） DE / BC / ADE=/ B, / AEDW CS ADES .ADa AABCabc（麥S lx2S ADE x即4（2） BC=10BC邊所對的三角形的中位線長為5.當(dāng) 0< x 5 時(shí)y S ADE 1x24(3) 5 x<1Q 時(shí),點(diǎn)A'

37、落在三角形的外部，其重疊部分為梯形1 2x Sa a'de=Sa ade= 41-x.DE邊上的高AH=AH'=2 由已知求得AF=5A'F=AA'-AF=x-5由 A'MNI A'DE 知A'MNA' FA' DEA'HS A'MN(x 5)21223 2y x (x 5) x 10x 25441 2-y x -(4)在函數(shù) 4 中-.1 0< x< 525-1當(dāng)x=5時(shí)y最大為：43 2y -x10x 25在函數(shù)4中b2025x 2a 3時(shí)y最大為：325254 < 32025x3時(shí)，

38、y最大為：3（2009泰安）將一個(gè)量角器和一個(gè)含30度角的直角三角板如圖（1）放置，圖（2）是由他抽象出的幾何圖形，其中點(diǎn)B在半圓O的直徑DE的延長線上，AB切半圓。于點(diǎn)F,且BC=OD（1）求證：DB/ CF。（2） 當(dāng)OD=2時(shí)，若以Q B、F為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似，求OB 【關(guān)鍵詞】相似、切線【答案】證明:(1)連接OF,如圖.AB且半圓。于F,OF± ARCB± AB ,BC/ OE BC=OD OD=OFBC=OF四邊形OBC思平行四邊形,DB/ CR(2)以。R F為頂點(diǎn)的三角形與 . / A/ OBF/ BOF/ OBF=/ BFC, / BFO / A

39、, . / OBF> / A. / OBF與/ A不可能是對頂角。 / A與/ BOF是對應(yīng)角。ABC相似，/ OFBh ABC=90 ,/ BOF=30OB=OF/cos30°4.33（2009江西）問題背景 在某次活動課中，甲、乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組于同一時(shí)刻在陽光下對校園中一些物體進(jìn)行了測量.下面是他們通過測量得到的一些信息：甲組：如圖1,測得一根直立于平地，長為80cm的竹竿的影長為 60cm.乙組：如圖2,測得學(xué)校旗桿的影長為900cm.丙組：如圖3,測得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細(xì)忽略不計(jì)）的高度為200cm,影長為156cm.任務(wù)要求（1）請根據(jù)甲、乙

40、兩組得到的信息計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度；（2）如圖3,設(shè)太陽光線NH與eO相切于點(diǎn)M .請根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑（ 友情提示：222如圖3,景燈的影長等于線段NG需要時(shí)可采用等式156 208260 ）.B L80cm、A -l ' C60cmF圖1圖2【關(guān)鍵詞】相似、 光影BCA EFD.【答案】解：（1）由題意可知：/BAC /EDF 90,AABCA DEF.AB AC 8060 ? DE DF 即 DE 900DE=1200 (cm).所以，學(xué)校旗卞f的高度是 12m(2)解法一：AB AC 8060，與類似得：GN GH即GN 156.G仲208.在RtANG

41、H中，根據(jù)勾股定理得：NH 2 1562 20822602.NH=260.設(shè)e O的半徑為rcm,連結(jié)OMNH® e。于 M OM NH.則/OMN HGN 90,又/ONM / HNG.OM ON1.AOMN HGN . . HG HN又 ON OK KN OK (GN GK) r 8r r 8，156260 解得：r=12.所以，景燈燈罩的半徑是 12cm.EB%L80cm AA -1C60cmF圖2解法二：AB AC 8060， 與類似得：GN GH即GN 156，GN=208.設(shè)e O的半徑為rcm,連結(jié)OMNH® e 0于 MOM NH.則/OMN HGN 90,

42、又/ONM / HNG,AOMN sHGN.OM MN r MN，HG GN 即 1562084MN I. 3r'又 ON OK KN OK (GN GK) r 8在RtAOMN中，根據(jù)勾股定理得：22 42r - r r 8 ,23 即 r 9r 36 0.解得：r1 12，r23 (不合題意，舍去)所以，景燈燈罩的半徑是 12cm.（2009年清遠(yuǎn)）如圖，已知一個(gè)三角形紙片 ABC, BC邊的長為8, BC邊上的高為6, B和 C都為銳角，M 為AB 一動點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)A B不重合），過點(diǎn)M作MN / BC ,交AC于點(diǎn)N ,在zAMN中，設(shè)MN的長為 x, MN上的高為h .（1）

43、請你用含x的代數(shù)式表示h.（2）將 AMN沿MN折疊，使八AMN落在四邊形BCNM所在平面，設(shè) AMN abc83x(2)QA AMNA1MN AMN的邊MN上的高為h,A落在四邊形BCNM內(nèi)或1一y S"MN=2MN h點(diǎn)A落在平面的點(diǎn)為A "MN與四邊形BCNM重疊部分的面積為y ,當(dāng)X為何值時(shí)，y最大，最大值為多少【關(guān)鍵詞】分類討論思想【答案】解：（1） QMN /BC邊上時(shí),-x- - x - x2 48(0 x04)當(dāng)A落在四邊形BCNM外時(shí)，如下圖（48)BC設(shè)A1EF的邊EF上的高為h13幾 2h 6 -x 62Q EF / MN A1EF s& A1

44、MNQA AiMNs' ABC AEFABCSA A1EFS*A ABCQ SA ABCSA AiEF243- x262412x 24Q ySA A1MNSAA1EF12x 242 12x9 y x 所以 82_12x24(4 x8)2416綜上所述：當(dāng)0x0 4時(shí),A3 2x8 ，取x 4, y取大69 2“ cy -x 12x 24當(dāng)4 x 8時(shí)，816取x 3 , y最大8Q8 616當(dāng)*3時(shí)，y最大，y最大8（2009年濟(jì)寧市）如圖，ABC中，C900AC 4, BC 3.半徑為1的圓的圓心P以1個(gè)單位/ s的速度由點(diǎn)A沿AC方向在AC上移動，設(shè)移動時(shí)間為t （單位：S）（1）

45、當(dāng)t為何值時(shí)，O P與AB相切;（2）作PD AC交AB于點(diǎn)D ,如果。P和線段BC交于點(diǎn)E,證明：當(dāng) 5 時(shí)，四邊形PDBE為平行四邊形.【答案】（1）解：當(dāng)。P在移動中與AB相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為 M ,連PM ,則 AMP900AP PMAPMs ABCAB BCAP tAB .AC2BC2 55 3，3(2)證明：: BC AC,PD AC, . BC / DPt鼻當(dāng) 5 時(shí),APPC 4 ECPC212（5）2BE BCEC1216PDAPPDADP sABCBC5_4 ,12PD 5 . . PDBE.t旦當(dāng) 5 時(shí)，四邊形PDBE為平行四邊形3（2009年廣西欽州）如圖，已知拋物線 y

46、= 4x2+ bx+ c與坐標(biāo)軸交于 A3A點(diǎn)的坐標(biāo)為（一1, 0）,過點(diǎn)C的直線y= 4t x3與x軸交于點(diǎn)Q點(diǎn)上的一個(gè)動點(diǎn)，過 P作PHLOB于點(diǎn)H.若PB= 5t ,且0vt v 1.（1）填空：點(diǎn) C的坐標(biāo)是, b = , c = A；（2）求線段QH勺長（用含t的式子表示）；（3）依點(diǎn)P的變化，是否存在t的值，使以P、H Q為頂點(diǎn)的三角形與 存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由.【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)、相似三角形 .【答案】COQ目似若解：(1) (0, 3), b=一 3(2)由(1),得 y= 4 x294 , c= - 3.94 x-3,它與x軸交于A B兩點(diǎn)，得B (4,0)

47、.，OB= 4,又= OC= 3, BC= 5.由題意，得 BH四ABOC. OC： OB： BC= 3 ： 4 ： 5,HP： HB： BF 3 ： 4 ： 5,. PB 5t , . H艮 4t, H2 3t. OH= OB-HB- 4-4t .由y= 4t x 3與x軸交于點(diǎn)Q彳導(dǎo)Q (4t , 0).OQ= 4t .當(dāng)H在Q B之間時(shí)，QH= OH- OQ=(44t) 4t =48t .當(dāng)H在O Q之間時(shí)，QH= OQ- OH=4t ( 44t ) = 8t 4.綜合，得 QH= I 4-8t | ;(3)存在t的值，使以P、H Q為頂點(diǎn)的三角形與 COQ目似.當(dāng)H在Q B之間時(shí)，QH

48、= 48t,4 8t 3t若 QHP COQ 則 QH： CO= HP： OQ 得 3 = 4t , 7.-.t= 32.3t 4 8t若 PH* COQ 則 PH： CO= HQ： OQ 彳# 3 = 4t ,2即 t +2t -1 = 0. . ti= V21, t2=- 22 - 1 (舍去).當(dāng)H在O Q之間時(shí)，QH= 8t4.8t 4 3t若 QHP COQ 則 QH： CO= HP： OQ 得 3 = 4t , 25.,t= 32 .3t 8t 4若 PH* COQ 則 PH： CO= HQ： OQ 彳導(dǎo) 3 = 4t ,2即 t 2t + 1 = 0.t 1= t 2= 1 (舍

49、去).725綜上所述，存在t的值，t1= V2 1, t2= 32 , t3= 32 .（2009臨沂）如圖，拋物線經(jīng)過A（4，0） B（1，0） C（0，2）三點(diǎn).（1）求出拋物線的解析式； OAC（2） P是拋物線上一動點(diǎn)，過P作PMx軸，垂足為m是否存在P點(diǎn)，使得以A, P, M為頂點(diǎn)的三角形與相似若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn) D,使得DCA的面積最大，求出點(diǎn) D的坐標(biāo).【關(guān)鍵詞】拋物線的解析式，相似的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題2【答案】解：（1） Q該拋物線過點(diǎn)C（0，2）,可設(shè)該拋物線白解析式為y ax bx 2.125.2將 a(4,0), Bd,0)代入, a16a 4b 2 0, b 得a b 2 0.解得1 25.y x x 2此拋物線的解析式為22(2)存在.如圖，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m ,則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 當(dāng)1 m 4時(shí),125 cPM m -m 2AM 4 m22又 Q COA PMA 90°,AM AO 2當(dāng)PM OC 1時(shí)， APM ACO,-1 2 5-4 m 2 m -m