試驗設計與數據處理教案-(李云雁)第8章--回歸正交試驗設計電子教案

1、試驗設計與數據處理教案-(李云雁)第8章-回歸正交試驗設計8.1 一次回歸正交試驗設計及結果分析一次回歸正交試驗設計及結果分析 n建立試驗指標（建立試驗指標（y）與）與m個試驗因素個試驗因素x1，x2，xm之間的之間的一次回歸方程一次回歸方程n例：例：m3時，時，一次回歸方程：一次回歸方程： yab1x1b2x2b3x3b12x1x2b13x1x3b23x2x3其中其中x1，x2，x3表示表示3個因素；個因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用表示交互作用若不考慮交互作用，為三元一次線形回歸方程：若不考慮交互作用，為三元一次線形回歸方程： yab1x1b2x2b3x38.1.1 一次回歸

2、正交設計的基本方法一次回歸正交設計的基本方法 （1）確定因素的變化范圍）確定因素的變化范圍 以因素以因素xj為例為例：n設設xj 的變化范圍為的變化范圍為xj1， xj2 nxj1為為xj的下水平的下水平 nxj2為為xj的上水平的上水平 n xj0為為xj的零水平：的零水平： xj0 (xj1 xj2)/2n因素因素xj的變化間距的變化間距j：j上水平上水平 零水平零水平xj2xj0j= (xj2 xj1)/2 （2）因素水平的編碼）因素水平的編碼zj：因素：因素xj的編碼的編碼 ，稱為規(guī)范變量，稱為規(guī)范變量 xj：自然變量：自然變量 上水平上水平xj2的編碼的編碼 ：zj21 下水平下水平

3、xj1的編碼：的編碼：zj11 零水平零水平xj0的編碼：的編碼：zj00 0jjjjxxzn 編碼（編碼（coding）：將因素）：將因素xj的各水平進行線性變換：的各水平進行線性變換：n編碼目的：編碼目的：使每因素的每水平在編碼空間是使每因素的每水平在編碼空間是“平等平等”的，規(guī)范變量的，規(guī)范變量zj的取值范圍都是的取值范圍都是1，1編碼能將試驗結果編碼能將試驗結果y與因素與因素xj（j1，2，m）之間）之間的回歸問題，轉換成試驗結果的回歸問題，轉換成試驗結果y與編碼值與編碼值zj之間的回歸問之間的回歸問題題 （3）一次回歸正交設計表）一次回歸正交設計表n將二水平的正交表中將二水平的正交表

4、中“2”用用“1”代換代換 ，例：，例：n回歸正交設計表的特點：回歸正交設計表的特點：任一列編碼的和為任一列編碼的和為0 任兩列編碼的乘積之和等于任兩列編碼的乘積之和等于0 （4）試驗方案的確定）試驗方案的確定可參考正交設計的表頭設可參考正交設計的表頭設計方法計方法交互作用列的編碼等于表交互作用列的編碼等于表中對應兩因素列編碼的乘中對應兩因素列編碼的乘積積 n零水平試驗（中心試驗零水平試驗（中心試驗 ）n 表頭設計表頭設計 ：8.1.2 一次回歸方程的建立一次回歸方程的建立 n總試驗次數為總試驗次數為n ： nmcm0mc：二水平試驗次數：二水平試驗次數m0：零水平試驗次數：零水平試驗次數n一

5、次回歸方程系數的計算：一次回歸方程系數的計算：常數項：常數項：a一次項系數：一次項系數：bj 交互項系數：交互項系數： bjk11niiayyn1njiiijcz ybm j1，2，m 1()nkjiiikjcz zybmjk, k1，2，m1 n說明：說明：求得的回歸系數直接反映了該因素作用的大小求得的回歸系數直接反映了該因素作用的大小 回歸系數的符號反映了因素對試驗指標影響的正負回歸系數的符號反映了因素對試驗指標影響的正負 8.1.3 回歸方程及偏回歸系數的方差分析回歸方程及偏回歸系數的方差分析 8.1.3.1 無零水平試驗時無零水平試驗時 平方和：平方和：n總平方和：總平方和：22211

6、11()()nnnTyyiiiiiiSSLyyyyn2jcjSSm b2kjckjSSm bRSSSSSS一次項交互項eTRSSSSSSn一次項偏回歸平方和一次項偏回歸平方和 ：n交互項偏回歸平方和：交互項偏回歸平方和：n回歸平方和回歸平方和 ：n殘差平方和殘差平方和 ：自由度自由度 ndfTn1 n各種偏回歸平方和的自由度各種偏回歸平方和的自由度1 n回歸平方和的自由度回歸平方和的自由度 ：Rdfdfdf一次項交互項eTRdfdfdfn殘差自由度：殘差自由度：均方均方F檢驗：檢驗：n回歸方程顯著性檢驗回歸方程顯著性檢驗n偏回歸系數顯著性檢驗偏回歸系數顯著性檢驗 ：判斷因素或交互作用對試驗的影

7、響程度判斷因素或交互作用對試驗的影響程度經檢驗不顯著的因素或交互作用應歸入殘差，重新檢驗經檢驗不顯著的因素或交互作用應歸入殘差，重新檢驗可直接從回歸方程中剔除這些一次和交互項可直接從回歸方程中剔除這些一次和交互項例例8-1： （1）因素水平編碼）因素水平編碼 （2）正交表的選擇和試驗方案的確定）正交表的選擇和試驗方案的確定 （3）回歸方程的建立）回歸方程的建立 m00，nmc8 計算表計算表計算各回歸系數計算各回歸系數寫出寫出y與規(guī)范變量與規(guī)范變量zj的回歸方程的回歸方程根據偏回歸系數絕對值大小，確定因素和交互作用主次根據偏回歸系數絕對值大小，確定因素和交互作用主次根據偏回歸系數正負，得到各因

8、素對試驗指標的影響方向根據偏回歸系數正負，得到各因素對試驗指標的影響方向（4）方差分析）方差分析（5）回歸方程的回代：得到試驗指標）回歸方程的回代：得到試驗指標y與自然變量與自然變量xj的回歸的回歸方程方程8.1.3.2 有零水平試驗時有零水平試驗時 n目的：進行回歸方程的失擬性（目的：進行回歸方程的失擬性（lack of fit）檢驗）檢驗 （要求（要求m02 ）n失擬性檢驗：為了檢驗一次回歸方程在整個研究范圍內的失擬性檢驗：為了檢驗一次回歸方程在整個研究范圍內的擬合情況擬合情況n失擬性檢驗步驟：失擬性檢驗步驟： 設設m0次零水平試驗結果為次零水平試驗結果為y01，y02，y0m0 重復試驗

9、誤差：重復試驗誤差：n平方和：平方和： 0002221000011101()()mmmeiiiiiiSSyyyym101edfm11LfTReeeSSSSSSSSSSSS1Lfeedfdfdfn重復試驗誤差的自由度：重復試驗誤差的自由度：回歸方程失擬部分：回歸方程失擬部分：n失擬平方和失擬平方和 ：n失擬平方和自由度：失擬平方和自由度：n對于給定的顯著性水平對于給定的顯著性水平（一般?。ㄒ话闳?.1） n當當FLfF（dfLf，dfe1）時，就認為回歸方程失擬不顯）時，就認為回歸方程失擬不顯著，失擬平方和著，失擬平方和SSLf是由隨機誤差造成的，所建立的回是由隨機誤差造成的，所建立的回歸方程是

10、擬合得很好歸方程是擬合得很好n例例8-2 11LfLfLfeeSSdfFSSdf失擬檢驗失擬檢驗 ：8.2 二次回歸正交組合設計二次回歸正交組合設計 n回歸方程的建立：回歸方程的建立：根據最小二乘法原理得到正規(guī)方程組根據最小二乘法原理得到正規(guī)方程組求解正規(guī)方程組，得回歸系數求解正規(guī)方程組，得回歸系數要求：試驗次數回歸方程的項數要求：試驗次數回歸方程的項數n回歸正交組合設計：在一次回歸正交試驗設計的基礎上回歸正交組合設計：在一次回歸正交試驗設計的基礎上再增加一些特定的試驗點，通過適當的組合形成試驗方再增加一些特定的試驗點，通過適當的組合形成試驗方案案 8.2.1 二次回歸正交組合設計表二次回歸正

11、交組合設計表 （1）二元二次回歸正交組合設計試驗方案）二元二次回歸正交組合設計試驗方案n二元二次回歸方程：二元二次回歸方程：221 122121211 1222yab xb xb x xb xb xn試驗方案試驗方案n正交組合設計的三類試驗點及次數：正交組合設計的三類試驗點及次數：二水平試驗：二水平試驗：全實施：全實施：mc2m 1/2實施：實施：mc2m11/4實施：實施：mc2m2 星號試驗：星號試驗：與原點（中心點）的距離都為與原點（中心點）的距離都為 m2m 零水平試驗：零水平試驗：各因素水平編碼都為零時的試驗各因素水平編碼都為零時的試驗 試驗次數試驗次數m0 n 二元二次回歸正交組合

12、設計二元二次回歸正交組合設計（2） 三元二次回歸正交組合設計試驗方案三元二次回歸正交組合設計試驗方案 n三元二次回歸方程：三元二次回歸方程：2221 12 23 312 1 213 1 323 2 311 122 233 3y a bxbxbxb xxb xxb x xb xb xb x n試驗方案試驗方案n 三元二次回歸正交組合設計三元二次回歸正交組合設計 （3）星號臂長度與二次項的中心化）星號臂長度與二次項的中心化 星號臂長度星號臂長度n星號臂長度星號臂長度與因素數與因素數m，零水平試驗次數，零水平試驗次數m0及二水平試及二水平試驗數驗數mc有關有關n的確定的確定公式計算公式計算0(2)2

13、cccmmm mm 參考表參考表8-18m0因素數因素數m234（1/2實施）實施）45（1/2實施）實施）511.0001.2151.3531.4141.5471.59621.0781.2871.4141.4831.6071.66231.1471.3531.4711.5471.6641.72441.2101.4141.5251.6071.7191.78451.2671.4711.5751.6641.7711.84161.3201.5251.6231.7191.8201.89671.3691.5751.6681.7711.8681.94981.4141.6231.7111.8201.9142.

14、00091.4571.6681.7521.8681.9582.049101.4981.7111.7921.9142.0002.097二次回歸正交組合設計二次回歸正交組合設計值表值表 二次項的中心化二次項的中心化 n對二次項的每個編碼進行中心化處理對二次項的每個編碼進行中心化處理 ： (二次項編碼二次項編碼)(二次項編碼算術平均值二次項編碼算術平均值)2211njijijiizzzn試驗號試驗號z1z2z1 z2z12z22z1z21111111/31/32111111/31/33111111/31/34111111/31/35100101/32/36100101/32/37010012/31/

15、38010012/31/39000002/32/3二元二次回歸正交組合設計編碼表二元二次回歸正交組合設計編碼表 8.2.2 二次回歸正交組合設計的應用二次回歸正交組合設計的應用 （1）基本步驟）基本步驟 因素水平編碼因素水平編碼 n試驗因素的水平被編為試驗因素的水平被編為，1，0，1，n變化間距：變化間距：j上水平零水平零水平下水平上水平零水平零水平下水平0jjjxx 規(guī)范變量規(guī)范變量zj自然變量自然變量xjx1x2xm上星號臂上星號臂x1x2xm上水平上水平1x12x101x22x202xm2xm0m零水平零水平0 x10 x20 xm0下水平下水平1x11x101x21x202xm1xm0

16、m下星號臂下星號臂x1x2xm變化間距變化間距j12m因素水平的編碼表因素水平的編碼表 確定合適的二次回歸正交組合設計確定合適的二次回歸正交組合設計 n參考表參考表8-22因素數因素數m選用正交表選用正交表表頭設計表頭設計mcm2L4（23）1，2列列22443L8（27）1，2，4列列23864（1/2實施）實施）L8（27）1，2，4，7列列241884L16（215）1，2，4，8列列241685（1/2實施）實施）L16（215）1，2，4，8，15列列24116105L32（231）1，2，4，8，16列列253210正交表的選用正交表的選用 試驗方案的實施試驗方案的實施 回歸方程的

17、建立回歸方程的建立 n常數項：常數項：a11niiayynn一次項偏回歸系數一次項偏回歸系數bj ：121njiiijnjiiz ybzn 交互項偏回歸系數交互項偏回歸系數bkj ：121()()nkjiiikjnkjiiz zybz zn 二次項偏回歸系數二次項偏回歸系數bjj ：121()()njiiijjnjiizybz回歸方程顯著性檢驗回歸方程顯著性檢驗 總平方和：總平方和： 2221111()()nnnTiiiiiiSSyyyyn221njjjiiSSbz 交互項偏回歸平方和：交互項偏回歸平方和：221()nkjkjkjiiSSbz z 二次項偏回歸平方和：二次項偏回歸平方和：221

18、()njjjjjiiSSbz 一次項偏回歸平方和：一次項偏回歸平方和：n 平方和：平方和： 回歸平方和：回歸平方和： 殘差平方和：殘差平方和： eTRSSSSSSRSSSSSSSS一次項二次項交互項n自由度：自由度：dfTn1各種偏回歸平方和的自由度：各種偏回歸平方和的自由度：1 回歸平方和的自由度：回歸平方和的自由度： Rdfdfdfdf一次項二次項交互項 殘差平方自由度：殘差平方自由度： eTRdfdfdfn回歸系數的檢驗：回歸系數的檢驗：jjjeeeMSSSFMSSSdfkjkjkjeeeMSSSFMSSSdfjjjjjjeeeMSSSFMSSSdf失擬性檢驗失擬性檢驗 回歸方程的回代回歸方程的回代 最優(yōu)試驗方案的確定