中科大線性控制_-最優(yōu)控制部分補充課件

1、包包元元1包包元元4包包元元4包包元元5包包元元2包包元元91x2x3x4x5x6x1800 xxx,1500 xxx654321 x最小最小654321x9x5x4x4x2x)x(fJ 一一次次函函數(shù)數(shù)x無關(guān)無關(guān)與與t重力加速度重力加速度月球表面月球表面mg tu th tv月球推力推力發(fā)動機發(fā)動機高高度度速度 tmM登登月月艙艙質(zhì)質(zhì)量量（不含燃料）（不含燃料）登月艙的自重登月艙的自重 0tv ,0th,ttfff 00mtm 00hth 00vtv 0tt ),(),()(ttutxftx tu maxutu0 ,tu* mintmJf 有有J dtttutxLttxJfttff 0,),

2、(),(),()(ttutxftx ),(),()(kkk1kttutxftx tu 0t)t (x0)t (x0)t (x0ft)t (xf)t (xf)t (xf dtt ,tu,txLJft0t 1N0kkk),k(u),k(xLJ或或 )t (xJf )N(xJ 或或 dtt ,tu,txL)t(xJfttf 0 10Nkkk),k(u),k(xL)N(xJ 或或 tu tx J00ttdtJfttf 0tx ftx 01ftmjjtJut dtju dttutuJft0tT tutuT dttuQ)t(utxQtxtxQtxJfttTTffT 02102121 dttuQtutxQt

3、xJtTT 02121 txtxd tytyd dttuQ)t(utxQtxtxQtxJfttTTffT 02102121 ft dttuQtutxQtx21J0t2T1T 變變分分法法無無約約束束極極值值原原理理、動動態(tài)態(tài)規(guī)規(guī)則則有有約約束束區(qū)區(qū)間間消消去去法法爬山法爬山法梯度法梯度法 b,a)u(fJ 為極小值的充要條件為極小值的充要條件 u0| )u(f0| )u(fuuuu為極大值的充要條件為極大值的充要條件 u0| )u(f0| )u(fuuuu )u(fmin)u(fJvu b,a 維向量維向量這里這里nuuuu),u(fJTn21 00121 Tnuufufuffuf)u(fJ或

4、或）必要條件：）必要條件：取極值的充要條件為：取極值的充要條件為：則則正定）正定）充分條件：）充分條件：(uf0222 u22n22n21n2n22222122n1221221222fufuufuufuufufuufuufuufufuf 其中其中)u,x(fJ 0)u,x(g Tn21xxxx 維矢量函數(shù)。維矢量函數(shù)。維列矢量；維列矢量；ngru 同維列向量。同維列向量。乘子矢量，與乘子矢量，與式中，式中，g)u,x(g)u,x(f)u,x(gJHTT nn11n11Tn1Txgnxgxgxgxgxg)xg(其中其中)u ,x(g)u ,x(f)u ,x(gJHTT 000 )u,x(gH)u

5、g(ufuH)xg(xfxHTT )1N, 1 ,0k(x)0(xk),k(u),k(xf)1k(x0 初始值初始值)k(x)k(u)k(u 1N0kk),k(u),k(xL)N(xJ),(),()(ttutxftx 倍倍Nnt),t (u),t (xf)t (xkkk1k 1N0kk),k(u),k(xL)N(xJ)1N, 1 ,0k(0)1k(xk),k(u),k(xf 1011NkT)k(xk),k(u),k(xf)k(k),k(u),k(xL)N(xV 1N0kk),k(u),k(xL)N(xJ)N,k()k(xk),k(u),k(xf11001 kLkfkH 乘乘子子矢矢量量式式中中

6、，Tn)k()k()k()k( 21 fJVT 1N1kTk0T)k(x)k(HH)N(x)N()N(xV 則則0 VVV 的的線線性性主主部部的的增增量量求求)k()1k()k(xf)k(xL)1N,1k(),k()k(xH).1Tkkk 即即 1N1kTk0T)k(x)k(HH)N(x)N()N(xV 則則0)1()()()1, 1 , 0( , 0)().2 kkufkuLNkkuHTkkk 即即) 1, 1 , 0(),(),() 1().3 Nkkkukxfkx0)0().4xx 初初始始值值 )()()().5NNxNx 終值條件終值條件)N,k(x)(x),k(Hu)k(Gx)k

7、(x110010 初始值初始值尋求輸入矢量尋求輸入矢量)k(u目標函數(shù)目標函數(shù)J J最小最小 10210102121NkTTTNk)k(u)k(Q)k(u)k(x)k(Q)k(x)N(x)N(Q)N(xk),k(u),k(xL)N(xJ二次型性能指標二次型性能指標可可逆逆。正正定定對對稱稱陣陣，且且、式式中中GQQQ210 )()()1()()()()()()(2121kHukGxkkukQkukxkQkxHTTTk 則則)()1()()()1, 1(),()().11kkGkxkQNkkkxHTk 即即01110022 )k(H)k(u)k(Q)N,k( ,)k(uH).Tk 即即)N,k(

8、)k(Hu)k(Gx)k(x).11013 0 x)0(x).4 初始值初始值 )N()N(x)N(Q)N()N(x)N(x). 05即即終值條件終值條件邊界條件邊界條件 證明略）證明略）其中：其中：（令令()()()()1()()1()()()()01112NQNPkQGkPHkHQIkPGkPkxkPkTT )k(Gx)k(PHH)k(PH)k(Q)k(uTT1112 則求得則求得),(),()(ttutxftx 0)0(xx 初始值初始值)(tu dtt ,tu,txL)t(xJft0tf )1, 1 , 0(),(),()()1( Nktkkukxfkxkx tkkukxLNxJNk

9、10),(),()(。時，即為連續(xù)系統(tǒng)的解時，即為連續(xù)系統(tǒng)的解采樣周期。當采樣周期。當式中式中0 tt kkukxfkkkukxLHTk),(),()1(),(),( 令令 0)0()5),(),()()1()4)()()()30)()2)()1()()1xxtkkukxfkxkxNNxNxtkuHkktkxHkk 得連續(xù)系統(tǒng)的解：得連續(xù)系統(tǒng)的解：令令0 t 0)0()5)()()(),(),()(),(),()()1()4)()()()()()()30)()(0)()2)()()()()1()()1xxtxttHttutxftxtkkukxfkxkxttxtxNNxNxtutHtkuHttx

10、tHkktkxHfffkk 或或 xyJx xy xyJx xy xyJJ)x(y tmv21E2 )x(y0 上達到極小值。上達到極小值。在在)x(yJ0)x(yJ)x( yJJ00 dttxJt0 tx 221txJ ttx tcostx tsinxJ 上達到極大值。上達到極大值。在在若若)x(yJ0)x(yJ)x(yJJ00 0 dy)x(fy dx)x(fdy )x(y),x(yR)x(y),x(yL)x(yJ)x(y)x(yJJ )x( yJ)x(y )x( y),x( yLJ dttxdtxtxxJ 102102 則則 dtxxdttx210210 dttxxJ 102 xdttx

11、2J10 )x(y )x(y),x(yR)x(y),x(yL)x(yJ)x(y)x(yJJ )(),()(),()(),()()()(xyxyRJxyxyRxyxyLxyJxyxyJJ dttxxJ102 dt)t (x)t (x2dt)t (xa)t (xa)x(ya)x(yJaJ100a2100a 則則 0)()( axyaxyJaJ )x( y)x( yJy )x(ya),x(yR)x(ya),x(yL )x(yJ)x(ya)x(yJJ )x(ya )x(ya )x(y),x(yaL)x(ya),x(yL 00 a)x(ya),x(yRlima a)x(yJ)x(ya)x(yJlim)x

12、(ya)x(yJaaa 00 a)x(ya),x(yR)x(ya),x(yLlima 0 J)x(y),x(yL 02211 annyay ,yay ,yayJaJ 0J )x(yxyJ0在在 00 )x(yJ)x(yJJ 00 )x(yJ)x(yJJ xyxyxyJn，210J nnyyJyyJyyJ 2211 iyJ minJtx* dtt ,tx ,txL)x(Jftt 0 00 xtx ffxtx txxL, ft ,t00J 00 dtxxLxxLJftt )JJJ(xx xdtxLdtdxxLdtxxLffftttttt 000000 xdtxLdtdxLxxLJfftttt dx

13、uvuvdxvu分部積分：分部積分：00 dtxxLxxLJftt J txx 0 xLdtdxL)1 000 xdtxLdtdxLxxLJfftttt xtLxxxLxxL 2222dtdtxLtdtdxxLxdtxdxLxxLdtd)t ,x,x(LL 020 fttxxL) ff000fx)t (xx)t (x0)t (x0)t (x.a 固定端點：固定端點：fft0fx)t (x0 xL0)t (x0)t (x. b0 始端自由：始端自由：自由端點：自由端點：00t0fx)t (x0 xL0)t (x0)t (xf 終端自由：終端自由： 000 )t (xxL)t (xxLtftf 0

14、 xL0 xL0)t (x0)t (xf0tt0f 兩端自由：兩端自由： 222dtdxds 22dtdxds dtx1)dt()dx(dsJf0tt222 則則 tx1L2 令令0tftt txx0 xLdtdxL tx1L2 令令0CxL Cx1xxL2 即即 atx battx b ,a0tftt tx1x2x3x xfffx)t (xx)t (x)t (x)t (x 00000 000000 fttfxLxL)t (x)t (x 01002 CxxxLttk)t (xxt 000k)t (xxftf 00tftt tx1x2x3x xt1x tx0tft2x3xfftfx)t (xxL

15、)t (x)t (x 00000 t tx0tft3x2x1x x0000000 x)t (xxL)t (x)t (xtf xJ向量形式向量形式 0 xLdtdxL Tn21n21n21x,x,xx,t ;xx,x;x,x,xL 其中：其中：nRx 維維向向量量nx minJtx* dtt ,tx ,txL)x(Jftt 0 00 xtx ffxtx txxL, ft ,t00002211 nnxLdtdxLxLdtdxLxLdtdxL0 xxLf0ttT 0 xLdtdxL展展開開： minJtx* dtt ,tx ,txL)x(Jftt 0 00 xtx txxL, ft ,t0 tC0t

16、ftt txx fftx ,t)t(C)t(CJ minJtx* xdtxLdtdxLxxLJJffttttxx 000 ftxxJJJJ fttt)t ,x,x(LJff dtt ,tx,txL)x(Jftt 0ftttttt)t ,x,x(LxdtxLdtdxLxxLJfff 000 xLdtdxL00 x)t (x 000 ftttttt)t ,x ,x(LxdtxLdtdxLxxLJfff 00 ftttt)t ,x ,x(LxxLff fttftt)t ,x ,x(L)t (xxL)t (xxLff 000 ftftt)t ,x ,x(L)t (xxLff )(ftx 0t)t(c

17、txtx tx ftfftt fft)t (C fft)t (x fffft)t (xx)t (x 0 ftftt)t ,x ,x(L)t (xxLff fx fffft)t (xt)t (C 0 fttxL)t (x)t (CL 0 fttxL)t (x)t (CL0 )t(C)t (C0 fttxL)t (xL )t(C)t (C0 fttfffxL)t (x)t (C)t (L0 ftxL 00 ttxL)t (D)t (xL0 )t(D00 ttxL)t (xL )t(D00 txL0 xLdtdxL 0 fttTxL)t(x)t(CL10 )(xt)t (x 20ftt ffttx

18、2x x122dtx)dt()dx(dsJfftt 020221解：解： tx1L2 令令 atx battx 0 xLdtdxLCxxxL 1 101112 xxxxxftt battx 1 b10 )(x1 a1 t)t(x21 ft 0 fttxL)t (x)t (CLt)t (C 2 dtt ,tx,txL)t(xJfttf 0J0 J 00 x)t (x ftt fxt1x tx0tft2x3x minJtx* xdtxLdtdxxLdtxxLfffttTttTttT 000 dtxxLxxLJJfttTTxx 0 dtt ,tx,txL)t(xJfttf 0 xdtxLdtdxLx

19、xLJJffttTttTxx 00 dxuvuvdxvu分分部部積積分分：J0 J 0 xLdtdxL00 x)t (x )t(x)t(xxLffttf xdtxLdtdxLxxLJJffttTttTxx 00 )t (x)t (x)t (xJfTffxf dtt ,tx,txL)t(xJfttf 0 t ,u ,xftx nRx rRu t ,u ,xf dtt ,u ,xLJftt 0*u maxminJ 00 xtx ftx 0 )t (xt ,u ,xf dtxt ,u,xft ,u,xLJfttT 0 dtxt ,u,xft ,u,xLJfttT 0 dtt ,u ,x,xHdtxt

20、 ,u ,xHJffttttT 00 t ,u ,xft ,u ,xL)t ,u ,xHT （ Tn)t ( 21 00 dtxuuHxxHJTTttTf 0 J dtxt ,u ,xHJfttT 0 xdtxdtxfffttTttTttT 000 000 dtuuHxxHxJTttTttTff 000 dtuuHxxHxJTttTttTff t ,u ,xft ,u ,xL)t ,u ,xHT （ t ,u ,xHx xt ,u ,xH 0 ut ,u ,xH fffx)t (xx)t (x)t (x)t (x 00000 000000 )t (x)t (x)t (x)t (xff 000

21、tTtTttTxxxff 00 ftt ;,xu) 帶入哈密頓正則方程將將3 dtxt ,u ,xHJfttT 0 t ,u ,xft ,u ,xL)t ,u ,xHT （ );,x(uut ,u ,xH 0 t ,u,xftx nRx rRu t ,u,xf*u maxminJ 綜合型綜合型 dtt ,u,xLt),t (xJf0ttffL, 固定始端）固定始端）(xtx00 0 ffft),t(xN:tx滿滿足足終終端端狀狀態(tài)態(tài))nq(qN ft dtxtuxftuxLttxNttxJfttTffTff 0,),(),( Tq 21 Tn)t ( 21 t ,u ,xft ,u ,xL)t

22、 ,u ,xHT （ dtxt ,u ,xHt),t(xNt),t(xJfttTffTff 0 0 J dtxt ,u,xHt),t(xNt),t(xJfttTffTff 0 0 ffxtxxuJJJJJJ dtxuuHxxHJJJTTttTuxxf 0 dtuuHxxHxTttTttTff 00 dtuuHxxH)t()t(xTttTfTff 0 fttttTTfttdtxt ,u ,xHNtJfff 0 fttTfTftxHtNtf dtxt ,u,xHt),t(xNt),t(xJfttTffTff 0 fffTfttfTft)t (x)t (tHtNtf )t (xxt)t (xffff

23、 )t (x)t (x)t (tHtNtffTffTfttfTff ffttTfTfxNxxJ fttTfTfxxNxf 0 ffxtxxuJJJJJJ dtuuHxxH)t()t(xTttTfTff 0)t (x)t (x)t (tHtNtfTffTffttfTff fttTfTfxxNxf 0 0 ut ,u ,xH t ,u ,xHx xt ,u ,xH 0 ftxN fttTfxxNxt 00 xtx 固固定定時時不不存存在在fx 0 fttTfffftxNtt),t (),t (u),t (xH 給給定定，終終端端約約束束ftuxx 101010 00 x 且且初初始始狀狀態(tài)態(tài) dt

24、tuxxJ 20222212122215221 1525221 xxminJ *u*x ,固固定定時時不不存存在在ft給給定定，終終端端約約束束ft uxxfx22其中其中 ,21令令 uxut ,u ,xft ,u ,xL)t ,u ,xHT2221221 （則則 dtxt ,u,xHt),t(xNt),t(xJfttTffTff 0 222122215221 xxt ,txff 01525221 )(x)(xN 11ct 122cectt 0ut ,u,xH 控控制制方方程程)202 u 122cecttut uxxxx 2221 t ,u ,xHx1222110 xHxH xt ,u ,

25、xH uxuH2221221 4123121ctcecectxtt 123221cecectxtt 0txNf fttTfxxNxt fttTfxxNxt 2222 fttTfxxNxt 1111 00 xtx 00021 xx 122cecttut 7301.c 1302.c 730130.e.t 122cecttut uHuuu0uH 實際中很難實現(xiàn)實際中很難實現(xiàn)連續(xù)可微，連續(xù)可微，對對另外另外utuxftuxLHT, fL,*u maxminJ 綜合型性能指標綜合型性能指標 dttuxLttxJfttff0,),(L, ft有有界界閉閉集集 )(tu ttutxftx),(, nRx 受

26、受下下列列不不等等式式約約束束：控控制制rRtu )( 固定始端）固定始端）(00 xtx 0),(: fffttxNtx)nq(qN 0),(, ttutxg)rl( lg )(tw 0)(),()(0 twtutw 令令為分段光滑連續(xù)函數(shù)。為分段光滑連續(xù)函數(shù)。則則分段連續(xù)分段連續(xù)如如連續(xù)；連續(xù)；但但不連續(xù)不連續(xù)如如)(,)()2)(,)()1twtutwtu 0)(,),(),()(02 tzttutxgz 令令)(tzl0)(2 z 則有則有 dtz)t ,w,x(gxt ,w,xft ,w,xLt),t(xNt),t(xJfttTTffTff 021 twxftwxLtwxHT,),

27、（令令 TlTqTn)t( 212121 twxftwxLtwxHT,), （令令 dtz)t ,w,x(gxt ,w,xHt),t(xNt),t(xfttTTffTff 02 dtz)t ,w,x(gxt ,w,xft ,w,xLt),t(xNt),t(xJfttTTffTff 021 2),(,),(ztwxgxtwxHtzwxxTT 令令 2z)t ,w,x(gxt ,w,xH)t , z ,w,x ,x(TT 令令 dt)t ,z ,w,x,x(t),t(xNt),t(xJfttffTff 01 則則zwxtJJJJJf 11J1Jztxwuf ftfJt. 1fttttTfttdtN

28、tJfff 0 dttzwxxttxNttxJfttffTff 0),(),(),(1 fttfTft)tNt(f fxxxxJJJJx. 12 fttTTxxdtxxxxJJ01 ffttTTfxNxxJ fffft)t (x)t (xx tx fft ),t (xN0ttx txftfftt fx )(ftx fttxf )( ffttTTfffxNxt)t (x)t (xJ ffttTTttTTfffxdtxxxxNxt)t (x)t (xJ0 zwJ,Ju. 3 dttzwxxttxNttxJf0ttffTff1 ),(),(),( fffttTtTttTw)w(d)t (ww)t (

29、wdtw)w(J00 fffttTtTttTz)z(d)t (zz)t (zdtz)z(J00 1JzwxtJJJJJf 1 dttzwxttxNttxJfttffTff 0),(),(),(:1 增增廣廣泛泛函函01 J 令令0).1 xdtdx1J xgxHxT xdtdx xgxHT 2z)t ,w,x(gxt ,w,xH)t , z ,w,x ,x(TT 02 wdtd). wgwHwT 0 )wgwH(dtdwdtdT 03 zdtd).zzT 2 0 )z(dtdzdtdT 01 fttfTfTtNtxx). 2z)t ,w,x(gxt ,w,xH)t , z ,w,x ,x(TT

30、 ffttttTTHxxx x02 fttTxxNx). 0 fttTxNx 03 fttw). 0 ffttTttwgwHw 00 ffttfTfttfTfTHtNttNtxx 01 fttfTfTtNtxx). 04 fttz). zzT 2 0 fttTz xgxHT 時時不不含含只只有有xttutxg),(,xH （伴伴隨隨方方程程）0 wdtd（常數(shù)）（常數(shù)）Cw 0 zdtd（常數(shù)）（常數(shù)）Cz 0 fttz 0 fttw 又又0 w 0 z 0 zw0 wgwHT0 w 0 uguHT即即0 uH t),t (u,txftx nRx 固定始端）固定始端）(xtx00 0t),t(

31、xN:txfff 滿滿足足終終端端狀狀態(tài)態(tài))nm(mN 綜合型性能指標綜合型性能指標 dtt ,u,xLt),t (xJfttff0L, ft受受下下列列不不等等式式約約束束：控控制制Utu )( 0 t),t (u,txg)rl( lg 有有界界閉閉集集 )(tu)t ,u ,x(fHx xgxHT 時時有有中中不不含含當當xgxH （伴伴隨隨方方程程） t ,u ,xft ,u ,xLHT H0 fttfTftNtH *uH t ,u ,xHt ,u ,xHminUu t ,u ,xHt ,u ,xH uguHT fttfTfftxNtxt )()( 0txNf 00 xtx ),t ,u

32、 ,x(fHx xgxHT 0 uHft0 fttfTftNtH Hff00 x)t (xx)t (x 固固定定端端點點：個）個）終端自由：終端自由：n(x)t (x00 fttfTff)t (xN)t (xt 0 ftxN個個）n(極極大大值值原原理理的的符符號號取取反反和和若若將將H t ,u,xHt ,u,xHminUu Hu t ,u ,xft ,u ,xL)t ,u ,xHT （ Tn)t ( 21 )t ,u ,x(fHx xgxHT 時時有有中中不不含含當當xgxH *uH t ,u ,xHt ,u ,xHminUu u ,x ,u tutxtx 50 x 150 tu. min

33、dttutxJ 10,u*xftfxu tuxftuxLtuxHt1TTn21,),(,)()( 引入哈密頓函數(shù)：引入哈密頓函數(shù)：設(shè)設(shè) )()()()()(tutxttutxH 故故有有：)()( 1u1xxHxgxHT )t ,u ,x(fHx uxx )( 1(3(3） tuxHtuxHminUu, )(u)(xHmin 11最最小小)1(u （下界）（下界）上界）上界）5 . 0(1tu*11xg中中不不含含,u x 的的切切換換點點為為u1 )1( 1cett 0111 ce 固定固定1tfec 11tte 111 stset 3070.ts 501.tu*13070 t.30700.

34、t 0 fttfTff)t (xN)t (xt 00 x)t (x uxx 501.txtxtx 50121.ecectxtt1t307. 0 307. 0t0 1t307. 0 307. 0t0 50 x41 c 1e4txt* 307. 0t0 44630703070.x.ts 時：時：3742.c 5037414.e.extt*最終：最終：13070 t.30700.t 501.tu*13070 t.30700.t 11tte5 . 01307. 01t*u0 tx*t1307. 0044. 653 .12 t 1307. 00t tutxtx11 101x txtx12 002x mi

35、n1xJ2 1tu ftx tu*ftfxu t ,u ,xf)t ,u ,x(H,)t ()(TT 引入哈密爾頓函數(shù)：引入哈密爾頓函數(shù)：設(shè)設(shè)211 12111121x)ux(txtutx 22ct 211cectt 12111xuxH 即即xHxgxHT )t ,u ,x(fHx 022 xH 2111 xH tutxtx 11 txtx12 t ,u ,xHt ,u ,xHminUu xg中中不不含含12111xuxH 111 sgntu*01 01 1 tfttfTff)t (x)t (xN)t (xtf 12x 011111 t)(x 111122 t)(x ,u x t ,u ,xH

36、t ,u ,xHminUu 12 c 22ct 11 ec 211cectt 12 t 111 tet 的的切切換換點點為為u01 0111 stset tu11t1 11 st得得 01tu*1 t10 tft ft0fdtJtJ或或 iu0)t (xx)0(xf0 狀狀態(tài)態(tài)即即在在最最短短時時間間內(nèi)內(nèi)將將系系統(tǒng)統(tǒng)r ,2 , 1i1)t (u1)t (u1ii 或或控制約束為：控制約束為：)t(Bu)t(Ax)t(x 待待求求其其中中：ff0t ,0)t (x,x)0(x ft0utdtJminf 性能指標：性能指標：*uminJ )BuAx(1)t ,u,x(HT TTBumin TTT

37、TBuAx1 t ,u,xHt ,u,xHminUu 由由HminUu )B(SGN)t (uT r ,i ,)B(sgn)t (uiTi21 表示。表示。時用時用為向量為向量其中函數(shù)其中函數(shù)SGNa0a0a0a101asgn TAxHBuAxx 由由正正則則方方程程組組：0tAtATTe)0(e)t ( )B(SGN)t (uT )eB(SGN0tATT u, )C,B,A( ,u r ,2 ,1i),t (ui u, )C,B,A( )t (ui )r ,2 , 1i (,1)t (ui txtx21 tutx2 2x1xus1s1u10 xx0010 xx2121 矩陣形式：矩陣形式：待

38、待求求其其中中：ff00t ,0)t (x,x)t (x )ttt (,1)t (u1f0 控控制制約約束束為為：0ttdtJmin0ft0uf 令令性能指標：性能指標：*uminJ )BuAx(1)t ,u,x(HT ux1221 TAxH 10 21210010 T)t ,u ,x(fHx uxxxx 1000102121 ux1*uHumin2 HminUu t ,u ,xHt ,u ,xHminUu )t (sgn)t (u2 t010202121011 )t (sgn)t (u2 )tsgn(1020 1102 02 的的對對應(yīng)應(yīng)關(guān)關(guān)系系：與與)t(u)t(. 4t02,u 02 1

39、 ut02,u 02 1 ut02,u 2 1 u1st1t02,u 2 1 ust切換一次切換一次1020st ,txtx21 tutx2 有有時時,u .11 202xttx 10202121xtxttx C) t (xtx 2212101x2x 2xt有有時時,u .12 202xttx C) t (xtx 22121 2xt開開關(guān)關(guān)曲曲線線. 3時時1 u ) t (xtx22121 02x時時1 u ) t (xtx22121_x 0201x2x ) t (x) t (xtx22121 R R ) t (x) t (xtx22121 ) t (x) t (xtx22121 R R 1

40、 u1 u000 )t (xx)t (xf將將uftmintdtJf 0使使:u*目的求目的求不不同同位位置置不不同同由由圖圖知知： ux0 11 u.上：上：在在 112，內(nèi)：內(nèi)：在在 uR. 114 ，內(nèi)：內(nèi)：在在uR. 13 u.上：上：在在 05 u.到達原點：到達原點：0 x01x2x R R 011212 )x,x(h)t (xsgn)t (u當當021 )x,x(h當當021 )x,x(h當當2212121xxx)x ,x(h 令令1 u1 u ) t (x) t (xtx22121 R R ) t (x) t (xtx22121 ) t (x) t (xtx22121 u2xh

41、1x 1 s1s11 1 1x 2221xx 011212 )x,x(h)t (xsgn)t (u當當021 )x,x(h當當021 )x,x(h當當2212121xxx)x ,x(h )x,x()t (x20100設(shè)設(shè) R)x,x(xxxR)x,x(xxxttt212212212212212424當當當當01x2x R Rt1t20 x 10222121NK)k(u)N(CxJ)k(u*)k(x*1101 N,k),k(u)k(x)k(x00 x)(x )(u),(u*10 )(x),(x*21 )x(J02 xJ*02*u0 xJ*11*u1)(Cx)(u)(xJ2211211221 22

42、1121121)(u)(xcu ）（ 10222121NK)k(u)N(CxJ)(u)(x)(x112 )(xJ)(u11 c)(cx)(u* 111c)(xc)(xJ* 112121c)(x)(x* 112 22111211211)(u)(xcu)(xJ ）（ )(xJ)(u11 0111111 )(u)(xc)(u)(u)(xJ)(x 1 )(xJ)(u002 c)(xc)(u)(xJ)(u)(xJ* 1120211021022122220012021)(u)(x)c(c)(u 00010002 )(u)(xcc)(u)(u)(xJc)(xc)(u)(xJ)(u)(xJ* 11202110

43、21022122)(u)(x)(x001 J)(xJ)(u002)(xcc)(x)c()(cx)(xJ)(xcc)(u*0211121200021022 )(x)c(c)(xJJ*0212022 )(xcc)(u*0210 )(xcc)(xcc)(u*021111 )(xc)(xc)(x*02111112 )(xcc)(x*02111 00 x)(x* u ,xfxkkk 1)k(uuk )k(xxk11 f00 x)(x 0 )u ,x(gkk 10Nkkku,xL)N(xJ 10Nkkku,xL)N(xJ )N(x)N(xxN )N,k)(k(u110Nxx 0 )N,k()k(u121

44、1111NkkkNu,xL)N(xminmin)x(J 1111NkkkNu,xL)N(xminmin)x(J )x(J)u ,x(Lmin)x(JNuN110000 u ,xfx001 )x(JN0 )x(JN11 0 x )x(J)u ,x(Lmin)x(JNuN2211111 u ,xfx001 )x(J)u ,x(Lmin)x(JNuN110000 )x(JN22 2xu ,xfx112 )(u1 )(u0 )x(J)u ,x(Lmin)x(Jk)k(NkkukkNk11 )x(J)u ,x(Lmin)x(Jk)k(NkkukkNk11 u ,xfxkkk 1)x(JkkN )x(Jk

45、)k(N11 kx)k(u )x(J)u ,x(Lmin)x(JNNNuN1122222 u ,xfxNNN221 )N(u2 )x(J)u ,x(Lmin)x(JNNNuNN1122222 u ,xfxNNN221 )N(u2 )x(J)u ,x(Lmin)x(JNNNuNN 011111u ,xfxNNN11 )N(u1 0 )x(N 00 )x(JN)x()x(JNN 0 xJ*N0*u0 xJ*N11 *u1xJk*kN *kuxJN*11 *Nu1 ftdt)ux(J022 )t (x ,x)(xf00 ft ,01 TsK)(u),(u),(u*210uTKxTx 1t ,u ,x

46、fx 任任意意或或uU)t (u *u maxminJ dtt ,u ,xL)t(xJfttf 0 00 xtx 0 fft ),t (xN)t (x*o)t (x )t (xf2x1x)t (x0 )ttt (ttf 0)t (x tt t , tt 0 dtt ,u ,xL)t(xmin)t ,x(JfttfUu dtt ,u ,xLdtt ,u ,xL)t(xminfttttttfUu J ,ttfftttt 0 tt),tt (xJ ,tttf J ,ttfftttt 0 tt),tt (xJ ,tttf dtt ,u ,xL)t(xmin)tt),tt(xJftttfUu t tt

47、,u ,xLdtt ,u ,xLttt )tt),tt(xJtt ,u ,xLmin)t ,x(JUu t ,x )t ,u ,x(fxt ,xJt ,u ,xLtt ,xJT*Uu*min ffff*t),t (xt),t (xJ t ,u ,xft ,u ,xLT )t ,u ,x(fxt ,xJt ,u ,xL)t ,u ,x(HT* )t ,u ,x(Htt ,xJminUu* )t ,u ,x(Htt ,xJminUu* )t ,u ,x(Htt ,xJminu* t ,u, xfxJ t ,u, xL t ,u, xHT* t , u , xHu0 ut ,u,xHut ,u,xHminUu Uu t ,xJ,x* uut),t (xJ*t),t (xJ*u t),t ( xu*)t (x* t),t (xu*)t (xJ*)t (x* )()(21)(210210ffTttT