322立體幾何中的向量方法(二)

1、ZPZ空間空間“距離距離”問題問題一、復(fù)習(xí)引入一、復(fù)習(xí)引入用空間向量解決立體幾何問題的用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲三步曲”。（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（3）把向量的運算結(jié)果）把向量的運算結(jié)果“翻譯翻譯”成相應(yīng)的幾何意成相應(yīng)的幾何意義。義。（化為向

2、量問題）（化為向量問題）（進(jìn)行向量運算）（進(jìn)行向量運算）（回到圖形）（回到圖形）空間空間“距離距離”問題問題1. 空間兩點之間的距離空間兩點之間的距離 根據(jù)兩向量數(shù)量積的性質(zhì)和坐標(biāo)運算，根據(jù)兩向量數(shù)量積的性質(zhì)和坐標(biāo)運算，利用公式利用公式 或或 (其中其中 ) ，可將兩點距離問題，可將兩點距離問題轉(zhuǎn)化為求向量模長問題轉(zhuǎn)化為求向量模長問題2aa222zyxa),(zyxa 例例1：如圖如圖1：一個結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點：一個結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點A為端點為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60，那么以這個頂點，那么以這個頂點為端

3、點的晶體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系？為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系？ A1B1C1D1ABCD圖圖1解：解：如圖如圖1，設(shè)，設(shè) BADADAAAB， 11 6011DAABAA化為向量問題化為向量問題依據(jù)向量的加法法則，依據(jù)向量的加法法則，11AAADABAC 進(jìn)行向量運算進(jìn)行向量運算2121)(AAADABAC )(2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以所以6|1 AC回到圖形問題回到圖形問題這個晶體的對角線這個晶體的對角線 的長是棱長的的長是棱長的 倍。倍。1AC6思考：思考：（1）本題中四棱柱的對角線）本題中四

4、棱柱的對角線BD1的長與棱長有什么關(guān)系？的長與棱長有什么關(guān)系？ （2 2）如果一個四棱柱的各條棱長都相等，）如果一個四棱柱的各條棱長都相等，并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于于 , , 那么有這個四棱柱的對角線的長可以那么有這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長嗎確定棱長嗎? ? A1B1C1D1ABCD11BBBCBABD 60 120 11BCBABBABC，其中其中分析分析:分析分析: 1111 DAABAABADxAAADABaAC，設(shè)設(shè)11 AAADABAC 則由則由)(211212221AAADAAABADABAAADABAC )cos3(2

5、3 222 xxa 即即ax cos631 這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長。這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長。（3 3）本題的晶體中相對的兩個平面之間的距離是多少？）本題的晶體中相對的兩個平面之間的距離是多少？ 設(shè)設(shè)AB=1 AB=1 （提示：求兩個平行平面的距離，通常歸結(jié)為求兩點間的距離）（提示：求兩個平行平面的距離，通常歸結(jié)為求兩點間的距離）A1B1C1D1ABCDH 分析：分析：面面距離面面距離點面距離點面距離. 11HACHAA于點于點平面平面點作點作過過 解：解：. 1的的距距離離為為所所求求相相對對兩兩個個面面之之間間則則HA111 AAADABBADADAABA 且且由由.

6、 上上在在 ACH3 360cos211)(22 ACBCABAC. 160cos60cos)(1111 BCAAABAABCABAAACAA31|cos 111 ACAAACAAACA36sin 1 ACA36sin 111 ACAAAHA 所求的距離是所求的距離是。 36問題：如何求直線問題：如何求直線A1B1到平面到平面ABCD的距離？的距離？ n A P O 2、向量法求點到平面的距離、向量法求點到平面的距離：例例 2:2: 如圖，已知正方形如圖，已知正方形 ABCD 的邊長為的邊長為 4，E、F 分分別是別是 AB、AD 的中點，的中點，GC平面平面 ABCD，且，且 GC2，求點求

7、點 B 到平面到平面 EFG 的距離的距離. DABCGFExyzDABCGFExyz(2, 2,0),( 2, 4,2),EFEG nEF nEG ，|BE|2 11.11ndn 2202420 xyxyZ 1 1(,1),3 3n B(2,0,0)E 例例 2 2: : 如圖，已知正方形如圖，已知正方形 ABCD 的邊長為的邊長為 4，E、F 分分別是別是 AB、AD 的中點，的中點，GC平面平面 ABCD，且，且 GC2，求點求點 B 到平面到平面 EFG 的距離的距離. APDCBMN解：如圖解：如圖, ,以以D D為原點建立空間直角坐標(biāo)系為原點建立空間直角坐標(biāo)系D Dxyzxyz 則

8、則D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )a2aaAPDCBMNzxy2.(2.(課本第課本第107107頁練習(xí)頁練習(xí)2)2)如圖，如圖，6060的二面角的棱上有的二面角的棱上有A A、B B兩點，兩點，直線直線ACAC、BDBD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直ABAB，已，已知知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的長的長. . BACD 3如圖 3-5，已知兩條異面直線所成的角為，

9、在直線 a、b 上分別取 E、F，已知 AE=m，AF=n， EF=l，求公垂線 A A的長 d. EFEAA AAF 解：22()EFEAA AAF 2222()EAA AAFEA A AEA AFA A AF 當(dāng)當(dāng)E,F在公垂線同一側(cè)時取負(fù)號在公垂線同一側(cè)時取負(fù)號當(dāng)當(dāng)d等于等于0是即為是即為“余弦定理余弦定理”,AAEA AAAF =（或（或），），AFEA, 22222lEAA AAFEA AF 2222cosmdnmn 2222cosdlmnmn 1111013.4,2,90 ,ABCABCAAABCACBCBCAEABCEAB例 已知：直三棱柱的側(cè)棱底面中為的中點。求與的距離。zxyABCC1).4 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(,1BAECxyzC則解：如圖建立坐標(biāo)系),4 , 2 , 2(),0 , 1 , 1 (1BAEC則的公垂線的方向向量為設(shè)).,(,1zyxnBAEC001BAnECn即即04220zyxyx取x=1,則y=-1,z=1,所以) 1 , 1, 1 ( n).0,0, 1 (,ACAC在兩直線上各取點.332|1nACndBAEC的距離與EA1B1 小結(jié)小結(jié) 1、E為