專題12四邊形的幾何綜合問題(解析版)【蘇科版】

1、2020年中考數(shù)學(xué)必考經(jīng)典題講練案【蘇科版】專題12四邊形的幾何綜合問題【方法指導(dǎo)】1平行四邊形的判定與性質(zhì)的作用平行四邊形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、 角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分 別置于一個四邊形的對邊或?qū)堑奈恢蒙?，通過證明四邊形是平行四邊形達到上述目的.2. 菱形的性質(zhì)與判定：菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法菱形的四條邊都相等，菱形的兩條對角

2、線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線.3. 矩形的性質(zhì)與判定：關(guān)于矩形，應(yīng)從平行四邊形的內(nèi)角的變化上認識其特殊性：一個內(nèi)角是直角的平行四邊形，進一步研究其 特有的性質(zhì)：是軸對稱圖形、內(nèi)角都是直角、對角線相等同時平行四邊形的性質(zhì)矩形也都具有.在處理許多幾何問題中，若能靈活運用矩形的這些性質(zhì)，則可以簡捷地解決與角、線段等有關(guān)的問題.4. 正方形：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰

3、直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸.【題型剖析】【類型1】平行四邊形的計算與證明【例1】(2019?宿豫區(qū)模擬)如圖，在 ？ABCD中，對角線 AC、BD相交于點O,過點O的直線分別交BC、AD于點E、F, G、H分別是OB、OD的中點.求證：(1) OE= OF ;(2) 四邊形GEHF是平行四邊形.【分析】(1)由“ AAS”證明 AOE COF，可得0E = OF;(2)由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可證四邊形GEHF是平行四邊形.【解答】證明：(1)四邊形ABCD是平行四邊形 AD / BC, 0A = 0C , 0B= 0D/DAC = Z BCA，且 0A=

4、 0C,Z A0E = Z C0F A0E C0F (ASA) 0E = 0F(2)v 0B= 0D , G、H分別是 0B、0D的中點G0 = 0H，且 0E = 0F四邊形GEHF是平行四邊形.【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用平行四邊形的判定 和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.【變式1-1】(2019?亭湖區(qū)二模)已知點 E、F分別是？ABCD的邊BC、AD的中點.(1) 求證：四邊形 AECF是平行四邊形；(2) 若 BC = 10,/ BAC = 90°，求？AECF 的周長.BEC【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；(2)根據(jù)直

5、角三角形的性質(zhì)得到 AE = CEfBC= 5，推出四邊形 AECF是菱形，于是得到結(jié)論.【解答】(1)證明：四邊形 ABCD是平行四邊形， AD / BC, AD = BC, 點E、F分別是？ABCD的邊BC、AD的中點， AF AD , Ce£ bC,2盤 AF = CE, AF / CE,四邊形AECF是平行四邊形；（2）解：T BC = 10,/ BAC = 90°, E 是 BC 的中點. - AE= CE二BC= 5,四邊形AECF是菱形， ?AECF 的周長=4X 5= 20.【變式1-2】（2019?海門市一模）如圖，？ABCD中，點E是BC邊的一點，延長

6、AD至點F，使/ DFC = /DEC .求證：四邊形 DECF是平行四邊形.【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AD / BC,可得/ ADE = / DEC，可證DE / CF，可得結(jié)論.【解析】四邊形 ABCD是平行四邊形 AD / BC/ ADE = / DEC，且/ DFC =/ DEC / ADE = / DFC DE / CF，且 DF / BC四邊形DECF是平行四邊形.【變式1-3】（2019?建鄴區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，分別以AB, CD為邊向外作等邊厶 ABE和厶CDF，連接AF , CE.求證：四邊形 AECF為平行四邊形.【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AB

7、= CD , AD = BC，/ ABC =/ ADC，由等邊三角形的性質(zhì)可得BE=EA= AB= CD = CF = DF , / EBA =/ CDF = 60°，由“ SAS'可證 ADF CBE，可得 EC = AF，由兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形可證四邊形AECF為平行四邊形.【解答】證明：四邊形 ABCD是平行四邊形 AB= CD , AD = BC,Z ABC = Z ADC/ ABE和厶CDF是等邊三角形be= EA= AB= CD = CF = DF，/ EBA =Z CDF = 60°/ADF =Z EBC, 且 AD = BC, BE =

8、DF ADF CBE ( SAS) EC= AF，且 AE = CF四邊形AECF為平行四邊形【類型2】菱形的計算與證明【例2】(2019?海門市二模)如圖，在 Rt ABC中，/ ACB = 90°, D、E分別是 AB、AC的中點，過 C作CF / AB交DE延長線于點F，連接AF、DC .求證：(1) DE= FE;(2) 四邊形ADCF是菱形.【分析】(1)由“ AAS”可證 AEDCEF，可得DE = EF;(2)由直角三角形的性質(zhì)可得CD = AD，由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可證四邊形ADCF是平行四邊形，即可證四邊形 ADCF是菱形.【解答】(1)證明：T C

9、F / AB, / DAC = Z ACF ,又 AE = EC,/ AED =Z CEF , AED 也厶 CEF (AAS), DE = EF .(2)vZ ACB = 90°, D 是 AB 的中點, CD = AD DE = EF , AE = EC四邊形ADCF是平行四邊形又 AD = CD四邊形ADCF是菱形.【點評】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵.【變式2-1】(2019?興化市二模)已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，/ BAD的平分線交BC于點E,/ABC的平分線交 AD于點F.(1) 求證

10、：四邊形ABEF是菱形；(2) 若AE = 6, BF = 8,平行四邊形 ABCD的面積是36,求AD的長.【分析】(1 )由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可證BA= BE = AF，即可證四邊形 ABEF是菱形;(2)由菱形的性質(zhì)和勾股定理可求BE= 5，由菱形的面積公式可求 AH，由平行四邊形的面積公式可求AD的長.【解答】證明：(1)四邊形ABCD是平行四邊形， AD / BC, / DAE = Z AEB,/ BAD的平分線交 BC于點E, / DAE = Z BAE, / BAE = Z BEA, BA= BE,同理：AB = AF AF = BE,又 AF / BE,四邊形AB

11、EF是平行四邊形,/ AB= AF,四邊形ABEF是菱形(2)如圖，過A作AH丄BE,B H E C四邊形ABEF是菱形，AO = E0昱AE = 3, BO = FO=,BF = 4, AE丄 BF , BE牯：亠 H - -5,t S 菱形 ABEF AE?BF 6X 8 = 24, BE?AH = 24,AH=學(xué) s 平行四邊形 ABCD = AD X AH = 36,AD-【變式2-2】(2019?江都區(qū)二模)如圖，在四邊形ABCD 中，/ BAC = 90°, E 是 BC 的中點，AD / BC,AE / DC , EF 丄 CD 于點 F .(1) 求證：四邊形 AEC

12、D是菱形；(2) 若 AB = 5, AC = 12,求 EF 的長.BEC【分析】(1)根據(jù)平行四邊形和菱形的判定證明即可;(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)和三角形的面積公式解答即可.【解答】(1)證明：T AD / BC, AE / DC , 四邊形AECD是平行四邊形,/ BAC = 90 ° , E 是 BC 的中點, AE= CE=匚 BC,四邊形AECD是菱形;(2)解：過A作AH丄BC于點H，如圖所示/BAC = 90 ° , AB = 5, AC = 12, BC13,/ ABC 的面積=BCX AH= ABX AC,點E是BC的中點，四邊形 AECD是菱形, CD =

13、 CE,/ S?AECD= CE?AH= CD?EF , EF = AH .C& HE【變式2-3】(2019?宿遷模擬)如圖，在四邊形 ABCD中，AB / DC , AB = AD，對角線AC . BD交于點OAC平分/ BAD，過點C作CE丄AB交AB的延長線于點 E.連接OE .(1)求證：四邊形 ABCD是菱形;(2)若AB-' . OE = 2，求線段CE的長.【分析】(1)先判斷出/ OAB = Z DCA，進而判斷出/ DAC = Z DAC ,得出CD = AD = AB ,即可得出結(jié)論;(2)先判斷出OE= OA = OC ,再求出OB = 1，根據(jù)相似三角

14、形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.【解析】(1 ) AB / CD ,/ OAB = Z DCA ,/ AC為/ DAB的平分線，/ OAB = Z DAC ,/ DCA = Z DAC ,CD = AD = AB,/ AB/ CD,四邊形ABCD是平行四邊形，/ AD = AB, ?ABCD是菱形；(2)v四邊形 ABCD是菱形， OA = OC, BD 丄 AC,/ CE丄 AB, OE = OA= OC = 2, OB=ARn -£0 二=1 ,/ AOB = Z AEC= 90°,/ OAB=Z EAC, AOBAEC,AB QB CE，匹_L斗 _ CE， CE= -【點評】

15、此題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，勾股定理，判斷出OE = OA = OC是解本題的關(guān)鍵.【類型3】矩形的計算與證明【例3】(2019?丹陽市一模)已知：如圖，在菱形 ABCD中，對角線 AC、BD相交于點 O, DE / AC, AE/ BD .(1) 求證：四邊形 AODE是矩形；(2) 若AB = 2,Z BCD = 120°,求四邊形 AODE的面積.【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出 AC丄BD，再根據(jù)平行四邊形的判定定理得四邊形AODE為平行四邊形，由矩形的判定定理得出四邊形AODE是矩形；(2)證明 ABC是等

16、邊三角形，得出OA = 1,由勾股定理得出 OB二詣，由菱形的性質(zhì)得出 OD = O吐需' 即可求出四邊形 AODE的面積.【解答】(1)證明：T DE / AC, AE/ BD ,四邊形AODE是平行四邊形，在菱形ABCD中，AC丄BD,/ AOD = 90°,四邊形AODE是矩形；(2)解：/ BCD = 120°, AB/ CD ,/ ABC = 180° - 120° = 60° ,AB= BC= 2, ABC是等邊三角形， 0A=扌衣2 = 1 ,在菱形ABCD中，AC丄BD由勾股定理OB二VT四邊形ABCD是菱形，OD =

17、OB二歯，四邊形AODE的面積=OA?OD-府.【變式3-1】(2019?建湖縣二模)如圖，在四邊形ABCD中，AD / BC,Z ABC=Z ADC，對角線 AC、BD交于點O, AO= BO, DE平分/ ADC交BC于點E,連接OE.(1) 求證：四邊形ABCD是矩形；(2) 若AB = 2,求厶OEC的面積.【分析】(1)證出/ BAD = Z BCD，得出四邊形 ABCD是平行四邊形，得出 OA = OC , OB= OD，證出AC= BD，即可解決問題；(2)作OF丄BC于F.求出EC、OF即可解決問題；【解答】(1)證明：T AD / BC,/ABC+ / BAD = 180。，

18、/ ADC+ / BCD = 180°,/ ABC = Z ADC ,/ BAD = Z BCD,四邊形ABCD是平行四邊形， OA = OC, OB = OD ,/ OA = OB, AC= BD,四邊形ABCD是矩形.(2)解：作OF丄BC于F，如圖所示.四邊形ABCD是矩形， CD = AB = 2，/ BCD = 90°, AO = CO, BO = DO , AC= BD, AO = BO= CO = DO , BF= FC, OFCD = 1 ,/ DE 平分/ ADC，/ ADC = 90° , / EDC = 45° ,在 Rt EDC

19、中，EC = CD = 2 ,1 OEC 的面積* 殳？EC?OF = 1 .【變式3-2】(2019?延邊州二模)如圖，在平行四邊形 ABCD中，過點D做DE丄AB于E,點F在邊CD上,DF = BE,連接 AF、BF .(1)求證：四邊形 BFDE是矩形；(2)若CF = 3, BE = 5, AF平分/ DAB ,求平行四邊形 ABCD的面積.【分析】(1)先求出四邊形 BFDE是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定推出即可；(2)根據(jù)勾股定理求出 DE長，即可得出答案.【解答】證明：(1)四邊形ABCD是平行四邊形， AB/ DC,/ DF = BE,四邊形BFDE是平行四邊形，/ DE 丄

20、AB,/ DEB = 90°,四邊形BFDE是矩形；(2)v AF 平分/ DAB ,/ DAF =Z FAB,平行四邊形ABCD , AB / CD,/ FAB=Z DFA,/ DFA =Z DAF , - AD = DF = 5 ,在 Rt ADE 中，DE一 J.；.一J 一 二；平行四邊形 ABCD的面積=AB?DE = 4X 8 = 32 ,【類型4】四邊形綜合問題【例4】.(2019?桓臺縣二模)已知，正方形 ABCD , / EAF = 45° ,(1) 如圖1,當(dāng)點E , F分別在邊BC , CD上,連接EF ,求證：EF = BE+DF ;(2) 如圖2,

21、點M , N分別在邊 AB , CD上,且BN= DM ,當(dāng)點E , F分別在BM , DN上,連接 EF , 請?zhí)骄烤€段EF , BE , DF之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3) 如圖3,當(dāng)點E , F分別在對角線 BD ,邊CD上,若FC = 2,則BE的長為 _.【分析】(1)如圖1中，將厶ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90° :(2)結(jié)論：EF2= BE2+DF2,將厶ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得厶ABG ,想辦法證明 EAGA EAF ( SAS90°，得 ABH ,(如圖2)證明過程跟(1)BN = DM證明四邊形 BMDN為平行四邊形得類似，證得 EAHEAF，把EF

22、轉(zhuǎn)化到EH，然后利用2 2 2 2/ ABE =Z FDM，得/ EBH =Z ABH+ / ABE =Z ADF+ / MDN = 90°，由 EH2 = BE2+BH 得 EF2 =2 2be2+df2.(3)作厶ADF的外接圓O O,連接EF、EC,過點E分別作EM丄CD于M , EN丄BC于N (如圖3).想 辦法證明EF = FC,即可推出封門村嗎，證明EN= CM即可.【解析】(1)證明：如圖1中，將 ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90 °,得厶ABG , ADFABG, AF = AG, DF = BG,Z DAF = Z BAG ,正方形ABCD ,/ D = Z

23、BAD = Z ABE = 90°, AB = AD ,/ABG = Z D = 90°, 即卩 G、B、C 在同一直線上,/ EAF = 45 ° ,/DAF + / BAE = 90° - 45°= 45°,/EAG = Z BAG+ / BAE = Z DAF + / BAE = 45° ,即/ EAG = Z EAF, EAG也厶 EAF ( SAS), EG = EF ,/ BE+DF = BE+BG= EG , EF = BE+DF .(2)結(jié)論：EF2= BE2+DF2,理由：將厶ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90&#

24、176;,得厶ABH ,(如圖2)AU ADF ABH , AF = AH , DF = BH，/ DAF = Z BAH，/ ADF = Z ABH ,/ EAF = 45 ° , /DAF + / BAE = 90° - 45°= 45°, / EAH = Z BAH+ / BAE = Z DAF + / BAE = 45 ° ,即/ EAH = Z EAF, EAH EAF ( SAS), EH = EF,/ BN= DM , BN/ DM ,四邊形BMDN是平行四邊形， / ABE = Z MDN , / EBH = Z ABH+ /

25、ABE = Z ADF + / MDN = Z ADM = 90° , eh2= be2+bh2 , ef2= be2+df2 ,(3)作厶ADF的外接圓O O ,連接EF、EC ,過點E分別作EM丄CD于M , EN丄BC于N (如圖3)./ ADF = 90°, AF為OO直徑， BD為正方形 ABCD對角線，/ EDF =Z EAF = 45°,點 E 在 OO 上,/ AEF = 90 ° , AEF為等腰直角三角形， AE= EF, ABE CBE (SAS), AE= CE, CE= EF,/ EM 丄 CF, CF = 2, CM牙CF =

26、 1 ,/ EN 丄 BC , / NCM = 90° ,四邊形CMEN是矩形EN= CM= 1 ,/ EBN = 45 ° , BE- CENl 就故答案為：棹【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，其中(1) (2)里運用轉(zhuǎn)化思想是解題關(guān)鍵，為半角模型的常規(guī)題型第(3)問作為填空題可用特殊位置得到答案，證明過程關(guān)鍵條件是正方形對角線，利用兩個45角聯(lián)想到四點共圓，再利用圓周角定理得到AEF為等腰直角三角形.【變式4-1】（2019?灌南縣二模）正方形ABCD的邊長為1,點O是BC邊上的一

27、個動點（與B, C不重合），以O(shè)為頂點在BC所在直線的上方作/ MON = 90°（1）當(dāng)OM經(jīng)過點A時， 請直接填空：ON （可能，不可能）過 D點：（圖1僅供分析） 如圖2,在ON上截取OE = OA，過E點作EF垂直于直線 BC ,垂足為點F,作EH丄CD于H，求證： 四邊形EFCH為正方形； 如圖2,將中的已知與結(jié)論互換，即在 ON上取點E （ E點在正方形ABCD外部），過E點作EF垂 直于直線BC,垂足為點F，作EH丄CD于H，若四邊形EFCH為正方形，那么 OE與OA是否相等？請 說明理由；（2）當(dāng)點O在射線BC上且OM不過點A時，設(shè)OM交邊BA的延長線于 G,且OG

28、= 2 .在ON上存在點P,過P點作PK垂直于直線BC,垂足為點K，使得SAobg,連接GP，則當(dāng)BO為何值時， 四邊形PKBG的面積最大？最大面積為多少？圖1圖丄備用圖【分析】（1）若ON過點D時，則在 OAD中不滿足勾股定理，可知不可能過D點； 由條件可先判斷四邊形 EFCH為矩形，再證明厶 OFE ABO，可證得結(jié)論； 結(jié)論：OA= OE .如圖2- 1中，連接EC,在BA上取一點 Q,使得BQ = BO,連接OQ.證明 AQOOCE （ ASA）即可.（2）由條件可證明 PKOOBG，禾U用相似三角形的性質(zhì)可求得OP = 2,可求得 POG面積為定值及厶PKO和厶OBG的關(guān)系，只要 C

29、GB的面積有最大值時， 則四邊形PKBG的面積就最大，設(shè)OB= a BG= b,由勾股定理可用 b表示出a，則可用a表示出 OBG的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最 大值，則可求得四邊形 PKBG面積的最大值.【解析】（1）若ON過點D，則OA > AB, OD > CD , oa2>ad2, od2>ad2, OA2+OD2>2AD2m ad2,/ AOD 工 90°，這與/ MON = 90° 矛盾, ON不可能過D點，故答案為：不可能； 如圖2中，T EH丄CD , EF丄BC,/ EHC = Z EFC = 90°,且/ H

30、CF = 90°,四邊形EFCH為矩形，/ MON = 90°,/ EOF = 90°-/ AOB,在正方形 ABCD 中，/ BAO = 90°-/ AOB ,/ EOF = / BAO,在厶OFE和厶ABO中，- ，WE = A0 OFE ABO (AAS), EF = OB, OF = AB,又 OF = CF +OC = AB= BC = BO+OC = EF + OC, CF= EF,四邊形EFCH為正方形； 結(jié)論：OA= OE .理由：如圖2- 1中，連接EC,在BA上取一點 Q,使得BQ = BO,連接OQ . - AQ = OC,/ QA

31、O = / EOC，/ AQO = / ECO = 135°, AQO OCE (ASA), AO = OE.(2)如備用圖，/ POK = Z OGB ,Z PKO =Z OBG , PKOs OBG ,T S/KO= 2OBG, 二()2 OP = 1, Spog= 2OG?OP；：.1 X 2 = 1,2 2 2設(shè) OB = a, BG = b,貝V a +b = OG = 4, b，-.： Sobg g abr * a據(jù)-當(dāng) a2= 2 時， OBG 有最大值 1，此時 SapkoSobg ,四邊形PKBG的最大面積為1+1 二二=- 日當(dāng)BO為曲?時，四邊形PKBG的面積最

32、大，最大面積為.斗備用團【達標檢測】1 . （ 2019?無錫）下列結(jié)論中，矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（A .內(nèi)角和為360°B 對角線互相平分ABCD，其中/ C = 120°.若新建墻 BC)A. 18m2B. 18 : m2C. 24覇 m2D .一 m2C.對角線相等D .對角線互相垂直【解析】矩形和菱形的內(nèi)角和都為360。，矩形的對角線互相平分且相等，菱形的對角線垂直且平分,矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)為對角線相等，故選：C.2 . （ 2019?連云港）如圖，利用一個直角墻角修建一個梯形儲料場與CD總長為12m，則該梯形儲料場 ABCD的最大面積是（(x【解

33、析】如圖，過點 C作CE丄AB于E,則四邊形 ADCE 為矩形，CD = AE = x,Z DCE = Z CEB = 90則/ BCE = Z BCD -Z DCE = 30°, BC = 12 - x,在 Rt CBE 中，tZ CEB = 90°,CL c 1-BE BC = 6 x, AD = CE-勺目BE = 6x, AB = AE+ BE = x+6gx運x+6,梯形ABCD面積-4) 2+24就,s=(CD+AB)?CE二二(X ：x+6)?(6 x)當(dāng)x= 4時，S最大=24冒習(xí).即CD長為4m時，使梯形儲料場 ABCD的面積最大為24曲m2;故選：C.3

34、. （ 2019?蘇州）如圖，菱形 ABCD的對角線 AC, BD交于點O, AC= 4, BD = 16,將厶ABO沿點A到點C的方向平移，得到 A'B'O'.當(dāng)點A與點C重合時，點A與點B'之間的距離為（）A. 6B. 8C. 10D. 12【解析】四邊形 ABCD是菱形， AC丄 BD, AO = OC二 瓠C = 2, OB= OD#BD = 8, ABO沿點A到點C的方向平移，得到 A'B'O',點A'與點C重合，O'C= OA= 2, O'B'= OB = 8，/ CO'B'=

35、90°, AO'= AC+O'C = 6,. AB'= 0©序圧 + 盤0圧=V82 + 6- =10；故選：C.4. （ 2019?淮安）若一個多邊形的內(nèi)角和是540 °,則該多邊形的邊數(shù)是 .【解析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n,則（n- 2）?180°= 540 °,解得n= 5,故答案為：5.5. （ 2019?南通）如圖，？ABCD 中，/ DAB = 60°, AB = 6, BC = 2, P 為邊 CD 上的一動點，貝 U PPD的最小值等于二'【解析】如圖，過點 P作PE丄AD，交AD的延長

36、線于點 E,/ AB / CD/ EDP = Z DAB = 60°, EP PD PB=PB+PE當(dāng)點B,點P,點E三點共線且BE丄AD時，PB+PE有最小值，即最小值為 BE, BE= 3或故答案為36. （ 2019?徐州）如圖，A、B、C、D為一個外角為40°的正多邊形的頂點.若 O為正多邊形的中心，則/【解析】連接OB、OC,多邊形的每個外角相等，且其和為360 ° ,據(jù)此可得多邊形的邊數(shù)為：,/ AOD = 40°X 3 = 120°/ OAD 二二' -故答案為：30°7. （ 2019?徐州）如圖，矩形 ABC

37、D中，AC、BD交于點O, M、N分別為BC、OC的中點.若 MN = 4,則AC的長為.【解析】 M、N分別為BC、OC的中點， BO = 2MN = 8.四邊形ABCD是矩形，AC= BD = 2BO= 16.故答案為16.8. （ 2019?常州）如圖，在矩形 ABCD中，AD = 3AB =務(wù)麗,點P是AD的中點，點E在BC上，CE = 2BE點M、N在線段BD上.若 PMN是等腰三角形且底角與/ DEC相等，則MN =.【解析】分兩種情況：MN為等腰 PMN的底邊時，作 PF丄MN于F，如圖1所示:則/ PFM =Z PFN = 90°,四邊形ABCD是矩形， AB= CD

38、 , BC = AD = 3AB = 3切，/ A=Z C= 90°, AB= CD借，BD -10,點P是AD的中點,PD AD/ PDF =Z BDA, PDF s BDA,時J.®即亡二解得：PF=,/ CE= 2BE ,BC= AD = 3BE, BE= CD, CE= 2CD , PMN是等腰三角形且底角與/ DEC相等，PF丄MN , MF = NF，/ PNF = Z DEC ,/ PFN = Z C= 90°, PNF DEC ,W CE2， MF = NF = 2PF = 3, MN = 2NF = 6;MN為等腰 PMN的腰時，作PF丄BD于F

39、，如圖2所示: 由得：PF二 MF = 3,設(shè) MN = PN = x,貝U FN = 3 - x,在 Rt PNF 中，()2+ (3-x) 2= x2,解得：x ,1卩MN-話15：綜上所述，MN的長為6或；15故答案為：6或.S9. （ 2019?無錫）如圖，在 ABC中，AB = AC = 5, BC =條石,D為邊AB上一動點一邊作正方形 CDEF，連接BE，則 BDE面積的最大值為 .B點除外），以CD為【解析】過點 C作CG丄BA于點G,作EH丄AB于點H，作AM丄BC于點M . AB= AC= 5, BC= 4皿,BM = CM = 2：必，易證 AMBCGB ,BM ABGB

40、 2S5GB .GB = 8,設(shè) BD = x,貝V DG = 8 x,易證 EDH DCG ( AAS),. EH = DG = 8 - x, SaBDE：_-.-當(dāng)x = 4時， BDE面積的最大值為&故答案為&E10. （2019?揚州）如圖，已知點 E在正方形 ABCD的邊AB上，以BE為邊向正方形 ABCD外部作正方形BEFG，連接DF，M、N分別是 DC、DF的中點，連接 MN .若AB= 7, BE = 5,貝U MN =.ADG【解析】連接CCF,AD5、JAdG SC正方形 ABCD和正方形 BEFG中，AB = 7, BE = 5,GF = GB= 5, B

41、C = 7,GC = GB+ BC= 5+7 = 12,.d召尸 +£口 二 5a + 12-二 13./ M、N分別是DC、DF的中點，MN工扌仔 =!琴.13故答案為：；.11. （2019?淮安）已知：如圖，在 ？ABCD中，點E、F分別是邊 AD、BC的中點.求證： BE = DF .【解答】證明：四邊形 ABCD是平行四邊形， AD / BC, AD = BC,點E、F分別是？ABCD邊AD、BC的中點， DE#AD , BPBC, DE = BF ,四邊形BFDE是平行四邊形， BE= DF .312. (2019?宿遷)如圖，矩形 ABCD中，AB = 4, BC =

42、2，點E、F分別在 AB、CD上，且 BE= DL殳.(1) 求證：四邊形 AECF是菱形；(2) 求線段EF的長.【解答】(1)證明：在矩形 ABCD中，AB = 4, BC= 2, CD = AB = 4, AD = BC= 2, CD / AB,/ D = Z B= 90 ° ,BE= DF 二,生 5 CF = AE= 4, AF = CE 訂二5 AF = CF = CE = AE,四邊形AECF是菱形；(2)解：過F作FH丄AB于H ,則四邊形AHFD是矩形, AH = DF , FH = AD = 2, EH；. 1，- EF 嚴二亠 F一、亠:-弓nFc7AHE*B1

43、3. (2019?揚州)如圖，在平行四邊形 ABCD中，AE平分/ DAB ,已知 CE= 6, BE = 8, DE = 10.(1)求證：/ BEC = 90°【解答】(1)證明：四邊形 ABCD是平行四邊形,DC = AB =, AD = BC, DC / AB ,/ DEA = Z EAB,/ AE 平分/ DAB , / DAE = Z EAB, / DAE = Z DEA AD = DE = 10, BC= 10, AB= CD = DE+CE = 16,CE2+BE2= 62+82= 100 = BC2, BCE是直角三角形，/ BEC = 90°(2)解：T

44、 AB / CD , / ABE = Z BEC = 90°, AE對宣刖十斤b -罰護十阱8酣, cos / DAE = cos/ EAB-14. (2019?連云港)如圖，在 ABC中，AB =人0將厶ABC沿著BC方向平移得到 DEF，其中點 E在邊BC上，DE與AC相交于點O.(1)求證： OEC為等腰三角形;當(dāng)點E在什么位置時，四邊形 AECD為矩形，并說明理由.【解答】(1)證明：T AB = AC,/ B =Z ACB,/ ABC平移得到厶DEF , AB/ DE,/ B =Z DEC,/ ACB = Z DEC , - OE = OC,即厶OEC為等腰三角形；(2)解

45、：當(dāng)E為BC的中點時，四邊形 AECD是矩形,理由是： AB= AC, E為BC的中點, AE丄 BC, BE = EC,/ ABC平移得到厶DEF , BE / AD, BE = AD , AD / EC, AD = EC,四邊形AECD是平行四邊形,/ AE丄 BC,四邊形AECD是矩形.15I AP為邊作正方形 APCD, 直線CE與線段AB相交于點(2019?泰州)如圖，線段 AB= 8，射線BG丄AB , P為射線BG上一點，I 且點C、D與點B在AP兩側(cè)，在線段 DP上取一點 E,使/ EAP = Z BAP, F (點F與點A、B不重合).(1) 求證： AEP CEP;(3)求

46、厶AEF的周長.【解析】(1)證明：四邊形(2) 判斷CF與AB的位置關(guān)系，并說明理由；APCD正方形, DP 平分/ APC, PC = PA,/ APD = Z CPD = 45°, AEP也厶 CEP (SAS);(2) CF丄AB,理由如下：/ AEP CEP ,/ EAP = Z ECP ,/ EAP = Z BAP,/ BAP = Z FCP ,/ FCP+ / CMP = 90°,/ AMF =Z CMP ,/ AMF +/ PAB= 90 ° ,/ AFM = 90°, CF 丄 AB;(3) 過點C作CN丄PB./ CF 丄 AB, B

47、G 丄AB, FC / BN,/ CPN = Z PCF = Z EAP = Z FAB,又 AP = CP, PCN APB (AAS),CN = PB = BF , PN = AB ,/ AEP CEP , AE= CE, AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+CN+AF=AB+BF+AF=2AB=16.16. (2019?連云港)問題情境：如圖 1,在正方形ABCD中，E為邊BC上一點(不與點 B、C重合)，垂直 于AE的一條直線 MN分別交AB、AE、CD于點M、P、N .判斷線段 DN、MB、EC之間的數(shù)量關(guān)系， 并說明理由.問題探究：在“問題情境”

48、的基礎(chǔ)上.(1) 如圖2，若垂足P恰好為AE的中點，連接BD，交MN于點Q,連接EQ ,并延長交邊AD于點F .求/ AEF的度數(shù)；(2) 如圖3，當(dāng)垂足P在正方形ABCD的對角線BD上時，連接 AN,將厶APN沿著AN翻折，點P落 在點P'處，若正方形 ABCD的邊長為4, AD的中點為S,求P'S的最小值.問題拓展：如圖4，在邊長為4的正方形ABCD中，點M、N分別為邊AB、CD上的點，將正方形ABCD 沿著MN翻折，使得BC的對應(yīng)邊B'C'恰好經(jīng)過點 A, C'N交AD于點F .分別過點 A、F作AG丄MN,_ 5FH丄MN，垂足分別為 G、H .

49、若AG二豆，請直接寫出FH的長.到郎郎圖4【解答】問題情境：解：線段DN、MB、EC之間的數(shù)量關(guān)系為：DN + MB= EC;理由如下：四邊形ABCD是正方形，/ABE = Z BCD = 90°, AB = BC= CD , AB / CD ,過點B作BF / MN分別交AE、CD于點G、F，如圖1所示：四邊形MBFN為平行四邊形， NF = MB, BF丄 AE, / BGE = 90°, / CBF + / AEB = 90°,/ BAE+ / AEB = 90°, / CBF = Z BAE,=如F在厶ABE和厶BCF中，1aBE = Z9CF

50、= ABE BCF (ASA), BE= CF,/ DN+NF+CF = BE+EC, DN+MB = EC;問題探究：解：(1)連接AQ,過點Q作HI / AB，分別交AD、BC于點H、丨，如圖2所示:四邊形ABCD是正方形，四邊形ABIH為矩形， HI 丄 AD , HI 丄 BC, HI = AB = AD,/ BD是正方形 ABCD的對角線,/ BDA = 45 DHQ是等腰直角三角形， HD = HQ , AH = QI ,/ MN是AE的垂直平分線， - AQ = QE,(AO = OE在 Rt AHQ 和 Rt QIE 中，, Rt AHQ 也 Rt QIE ( HL),/ AQ

51、H =Z QEI ,/ AQH+Z EQI = 90°,:丄 AQE = 90°, AQE是等腰直角三角形，/EAQ = Z AEQ= 45°，即/ AEF = 45°(2)連接AC交BD于點O,如圖3所示：則厶APN的直角頂點P在OB上運動，設(shè)點P與點B重合時，則點P '與點D重合；設(shè)點P與點O重合時，則點P'的落點為O',/ AO = OD，/ AOD = 90°,/ ODA = / ADO ' = 45 ° ,當(dāng)點P在線段BO上運動時，過點 P作PG丄CD于點G,過點P '作P'

52、H丄CD交CD延長線于點 H , 連接PC,點 P 在 BD 上, AP= PC,ft在厶APB和厶CPB中，：.一護UB = EC APB CPB (SSS,/ BAP = Z BCP ,/ BCD = Z MPA = 90°,/ PCN = Z AMP,/ AB/ CD,/ AMP =Z PNC,/ PCN = Z PNC, PC= PN, AP= PN,./ PNA = 45 ° ,/ PNP '= 90°,/ P ' NH+PNG = 90°,/P ' NH + Z NP ' H = 90°,/ PNG+

53、 / NPG= 90°, /NPG = / P' NH , / PNG = / NP' H ,由翻折性質(zhì)得：PN= P ' N ,在厶 PGN 和厶 NHP'中，py =,上P陽=也卯訊 PGN NHP' (ASA), PG = NH , GN = P'H ,/ BD是正方形 ABCD的對角線， Z PDG = 45°,易得PG = GD , GN = DH , DH = P'H , Z P'DH = 45°，故Z P'DA = 45°,點P'在線段DO'上運動；過點S作SK± DO',垂足為 K,點S為AD的中點， DS= 2,貝U P'S的最小值為點；問題拓展：解：