第1章函數(shù)與極限-3-連續(xù)ppt課件

1、第三節(jié)連續(xù)函數(shù) 設(shè)變量u 從它的一個初值u1變到終值u2，終值與初值的差u2-u1就叫做變量u 的增量，記作Du ，即Du =u2-u1 1.3.1 函數(shù)的連續(xù)性f(x0)f(x0+Dx)DxDyx0+Dxy=f(x)x0 xyO 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某一個鄰域內(nèi)是有定義的當(dāng)自變量x 在這鄰域內(nèi)從x0變到x0+Dx時，函數(shù)y相應(yīng)地從f(x0)變到f(x0+Dx)，因此函數(shù)y的對應(yīng)增量為 Dy = f(x0+Dx)- f(x0)一、函數(shù)連續(xù)的概念一、函數(shù)連續(xù)的概念變量的增量變量的增量: 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某一個鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的增量Dx =x-x0趨于零時，對應(yīng)的函數(shù)

2、的增量Dy = f(x0+Dx)- f(x0)也趨于零，即那么就稱函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù)函數(shù)連續(xù)的定義函數(shù)連續(xù)的定義: :等價關(guān)系：等價關(guān)系：0limDx f(x0+Dx)- f(x0)=0，0limDx f(x0+Dx)- f(x0)=00limxx f(x)=f(x0) 用用e-de-d語言敘述的函數(shù)的連續(xù)性定義：語言敘述的函數(shù)的連續(xù)性定義： 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在點在點x0 x0的某一個鄰域內(nèi)有定義，如的某一個鄰域內(nèi)有定義，如果對于任意給定義的正數(shù)果對于任意給定義的正數(shù)e e ，總存在著正數(shù)，總存在著正數(shù)d d ，使得對于適，使得對于適合不等式合不等式|x-x0|

3、d |x-x0|d 的一切的一切x x ，對應(yīng)的函數(shù)值，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)f(x)都滿足不等都滿足不等式式|f(x)-f(x0)|e |f(x)-f(x0)|0，a 1)；對數(shù)函數(shù)：log ax (a0，a 1)； 證明 指數(shù)函數(shù)ax (a0，a1)對于一切實數(shù)x 都有定義，且在區(qū)間(-，+)內(nèi)是單調(diào)的和連續(xù)的，它的值域為(0，+)由定理4，對數(shù)函數(shù)logax (a0，a1)作為指數(shù)函數(shù)ax的反函數(shù)在區(qū)間(0，+)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)4初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性冪函數(shù)：xm 因而，冪函數(shù)xm可看作是由y=au ，u=m logax 復(fù)合而成的，由此，根據(jù)定理6，它在(0，+)內(nèi)連續(xù)如果對于m取

4、各種不同值加以分別討論，可以證明冪函數(shù)在它的定義域內(nèi)是連續(xù)的冪函數(shù)連續(xù)性的證明： 冪函數(shù)y=x m 的定義域隨m 的值而異，但無論m 為何值，在區(qū)間(0，+)內(nèi)冪函數(shù)總是有定義的可以證明，在區(qū)間(0，+)內(nèi)冪函數(shù)是連續(xù)的事實上，設(shè)x0，那么y=x =xaalog， 結(jié)論1：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的結(jié)論2：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的注：所謂定義區(qū)間，就是包含在定義域內(nèi)的區(qū)間 如果f(x)是初等函數(shù),且x0是f(x)的定義區(qū)間內(nèi)的點,那么初等函數(shù)的連續(xù)性在求函數(shù)極限中的應(yīng)用：0limxxf(x)=f(x 0) 例如 點x0=0是初等函數(shù)f(x)=21 x-的定義區(qū)間-1，1

5、上的點，所以0limx21 x-=1=1； 又如 點x 0=2 是初等函數(shù)f(x)=ln sin x 的一個定義區(qū)間（0，）內(nèi)的點，所以2limx ln sin x=ln sin2 =0 舉例舉例 : 解 解 例 5 求0limxxx112-+0limxxx112-+0limxxx112-+=0limx) 11() 11)(11(222+-+xxxx=0limx112+ xx=20=0 例 6 求0limxxxa)1 (log+0limxxxa)1 (log+0limxxxa)1 (log+=0limxxax1)1 (log+0limxxax1)1 (log+=log a e =aln1 解

6、令a x -1= t， 則x=log a (1+t)， 當(dāng)x 0時t 0，于是=lna . 例 7 求0limxxax1-0limxxax1-0limxxax1-=)1 (loglim0ttat+ 1.3.3 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、有界性與最大值最小值定理舉例 ： 最大值與最小值： 對于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x)，如果有x 0I，使得對于任一x I都有f(x)f(x 0) (f(x)f(x 0)，則稱f(x 0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值最小值） 函數(shù)f(x)=1+sin x在區(qū)間0，2p上有最大值2和最小值086420246801222.85361e-0061sin ()x6

7、.27681-6.28319x012 xyO1-1 函數(shù)f(x)=sgn x 在區(qū)間(-，+)內(nèi)有最大值 1和最小值-1又如 ： 在開區(qū)間(0，+)內(nèi)，sgn x的最大值和最小值都是1 但函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(a，b)內(nèi)既無最大值又無最小值xyOy=xab又如 ： 注1 ： 定理1說明，如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，那么至少有一點x1a，b，使f(x1)是f(x)在a，b上的最大值，又至少有一點x2a，b，使f(x2)是f(x)在a，b上的最小值abxyf(x1)xx1Of(x2)x2y=f(x) 定理1 （最大值和最小值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值 和最小值 注

8、2： 如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點，那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值 在開區(qū)間(a，b) 考察函數(shù)y=x 函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(a，b)內(nèi)既無最大值又無最小值xyOy=xab 在閉區(qū)間0，2 考察函數(shù)yx2112O 函數(shù) y=f(x)在開區(qū)間0，2內(nèi)既無最大值又無最小值 y=f(x)= +-=+-. 21 , 3, 1 , 1, 10 , 1xxxxx 證明 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)由定理1，函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上有最大值M 和最小值m ，使任一x a，b滿足 mf(x)M上式表明，f(x)在a，b上有上界M和下界m ，因此函數(shù)f(x)在a，b上

9、有界 定理2有界性定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界 二、零點定理與介值定理零點： 如果x0使f(x0)=0，則x0稱為函數(shù)f(x)的零點abOxyx1x2xx3y=f(x)f(a)f(b) 定理2零點定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)， 且f(a)與f(b)異號即f(a)f(b)0），那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個零點，即至少有一點x (ax0， f(1)=-20根據(jù)零點定理，在(0，1)內(nèi)至少有一點x ，使得f(x)=0，即 x 3-4x 2+1=0 (0 x1)這等式說明方程x 3-4x 2+1=0在區(qū)間(0，1)內(nèi)至少有一個根是x 定理4介值定理設(shè)函數(shù)f(

10、x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值 f(a)=A及f(b)=B，那么，對于A與B之間的任意一個數(shù)C，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點x ，使得f(x)=C (axb) 連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧y=f(x)與水平直線與水平直線y=C至少交于一點至少交于一點.abOxyy=f(x)f(a)f(b)x1xx2y= CC 介值定理的幾何意義： 介值定理的證明 設(shè)j(x)=f(x)-C，則j(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，j(a)=A-C與j(b)=B-C異號根據(jù)零點定理，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點x 使得j(x)=0 (axb)但j(x)=f(x)-C，因此由上式即得f(x)=C (axb) abOxyy=f(x)mMx1xx2y= CmCMC推論的幾何意義： 推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值本節(jié)總結(jié) 9. 理解函數(shù)連續(xù)性的概念含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型 10. 了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)一的連續(xù)性，理解閉區(qū)