高等數(shù)學第二章-極限與連續(xù)課件

1、1第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 2.1 數(shù)列的極限數(shù)列的極限 2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 2.3 變量的極限變量的極限 2.4 無窮大量與無窮小量無窮大量與無窮小量 2.5 極限的運算法則極限的運算法則 2.6 兩個重要的極限兩個重要的極限 2.7 利用等價無窮小量代換求極限利用等價無窮小量代換求極限 2.8 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 2 第二章 2.1 數(shù)列的極限定義定義：由無窮多個數(shù)，構成的有序的一列數(shù)：由無窮多個數(shù)，構成的有序的一列數(shù)： 123,na a aa稱為無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列，稱為無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列， 簡記為簡記為 na數(shù)列中的各個數(shù)稱為數(shù)列的項，數(shù)列中的各個數(shù)稱為數(shù)列的項

2、， na稱為通項。稱為通項。 數(shù)列數(shù)列 na可以看成以正整數(shù)可以看成以正整數(shù) n為自變量的函數(shù)。為自變量的函數(shù)。 ( (一一) )數(shù)列數(shù)列3例例1 11111, , , , , , ;248162n例例2 1325 40, , , , , 1+, ;234 5nn例例3 1, 1, 1, ,1, 1, ;這種數(shù)列稱為常數(shù)數(shù)列。這種數(shù)列稱為常數(shù)數(shù)列。 例例4 1, 1, 1, ,1 , ;n例例5 2, 4, 6, , 2 , n41.1.數(shù)列極限的定性描述數(shù)列極限的定性描述r引例引例1.設有半徑為設有半徑為 r 的圓的圓 ,nA逼近圓面積逼近圓面積 S .n如圖所示如圖所示 , 可知可知nAn

3、nnrcossin2),5,4,3(n當當 n 無限增大時無限增大時, nA無限逼近無限逼近 S (劉徽割圓術劉徽割圓術) , 用其內接正用其內接正 n 邊形的面積邊形的面積r( (二二) ) 數(shù)列極限數(shù)列極限5“ 割之彌細割之彌細 , 所失彌小，割之又割所失彌小，割之又割 , 以至于不可以至于不可割割 , 則與圓合體而無所失矣則與圓合體而無所失矣 ”它包含了它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知 , 用近似逼近精確用近似逼近精確”的重要極限思想的重要極限思想我國古代魏末晉初杰出數(shù)學家劉徽指出：我國古代魏末晉初杰出數(shù)學家劉徽指出：6引例引例 例例1中的數(shù)列來源于我國一篇古典名著中的數(shù)列來源于我

4、國一篇古典名著.公元公元前四世紀，我國春秋時期的哲學家莊子（約公元前前四世紀，我國春秋時期的哲學家莊子（約公元前369前前286）在）在莊子莊子天下篇天下篇一書中有一段一書中有一段富有哲理的名句：富有哲理的名句：“一尺之棰，日取其半，萬世不一尺之棰，日取其半，萬世不竭竭”.我們把逐日取下的棰的長度順次列出來我們把逐日取下的棰的長度順次列出來. 便得到數(shù)列便得到數(shù)列 12n當當 n 無限增大時無限增大時, 12n無限逼近無限逼近0 7定義定義設設 naa數(shù)列數(shù)列,實數(shù)。實數(shù)。 如果如果n無限增大時，無限增大時，na無限趨近于常數(shù)無限趨近于常數(shù)a則稱數(shù)列則稱數(shù)列 na以以a為極限，記作為極限，記作

5、 limnnaa或或 ()naan 此時，稱數(shù)列此時，稱數(shù)列 na收斂收斂. . 否則（即否則（即n 時，時，na不以任何常數(shù)為極限）不以任何常數(shù)為極限）, ,稱數(shù)列稱數(shù)列 na發(fā)散。發(fā)散。 8說明說明：(1). 引例引例1中，圓的面積中，圓的面積 limnnSA(2). 引例引例2中，剩余棒頭的長度中，剩余棒頭的長度 10, ()2nn 9觀察上例中，數(shù)列的極限：觀察上例中，數(shù)列的極限： 例例2中中,1lim1+1 ;nnn例例3中中,lim11 ;n例例4中中,lim1nn不存在；不存在；n 時時,數(shù)列數(shù)列1n沒有固定變化趨勢，發(fā)散。沒有固定變化趨勢，發(fā)散。當當例例5 5中，中，lim2

6、nn不存在。當不存在。當n 時時, ,數(shù)列數(shù)列2n的變化趨勢為無限增大，發(fā)散。記的變化趨勢為無限增大，發(fā)散。記lim2nn 102 2、數(shù)列極限的定量描述、數(shù)列極限的定量描述逐次加入定量成分，把極限定性描述轉為定量描述。逐次加入定量成分，把極限定性描述轉為定量描述。 (1) 如果如果n無限增大時，無限增大時，na無限趨近于常數(shù)無限趨近于常數(shù)a則稱數(shù)列則稱數(shù)列 na以以a為極限為極限. (2) 當當n充分大時，充分大時，naa任意小，則稱數(shù)列任意小，則稱數(shù)列 na以以a為極限為極限. (3) 0, ,當當n充分大時，充分大時，naa則稱數(shù)列則稱數(shù)列 na以以a為極限為極限. . (4) 0,N正

7、整數(shù)當當 n N 時時, 總有總有 naa則稱數(shù)列則稱數(shù)列 na以以a為極限為極限.11定義定義: 若數(shù)列若數(shù)列nx及常數(shù)及常數(shù) a 有下列關系有下列關系 :,0,N正整數(shù)當當 n N 時時, 總有總有記作記作此時也稱數(shù)列此時也稱數(shù)列收斂收斂 , 否則稱數(shù)列否則稱數(shù)列發(fā)散發(fā)散 .幾何解釋幾何解釋(動態(tài)地看定義動態(tài)地看定義) :axan)(Nn 即即),(axn)(Nn axnnlim或或)(naxnaxn則稱該數(shù)列則稱該數(shù)列nx的極限為的極限為 a ,aaa)(1Nx2Nx,(),aaa的鄰域不論多么小,N總 正數(shù)當當 n N 時時, 所有的點所有的點nx都落在都落在(,)aa內。內。只有有限

8、個點只有有限個點nx(,)aaa落在落在的的鄰域鄰域之外。之外。12幾點注意幾點注意 1314例例6. 已知已知,) 1(nnxnn證明數(shù)列證明數(shù)列nx的極限為的極限為1. 證證: ,0因此因此 , 取取1 1,N則當則當Nn 時時, 就有就有1nx故故1) 1(limlimnnxnnnn由定義來證，由定義來證，,N想要找到一自然數(shù)當當Nn 時時, 就有就有1nx,N希望找到當當Nn 時時, 有有1)1(nnn,N只要找到當當Nn 時時, 有有1n,N希望找到當當Nn 時時, 有有1n對問題進行等對問題進行等價的轉化價的轉化15例例6. 已知,) 1(nnxnn證明數(shù)列證明數(shù)列nx的極限為的極

9、限為1. 證證2: 1nx1) 1(nnn1,n,0欲使欲使只要只要1n因此因此 , 取取, 1N則當則當Nn 時時, 就有就有1) 1(nnn故故1) 1(limlimnnxnnnn1 1,N取也可16“N”定義證明定義證明 的步驟，的步驟， limnnaa分三步：分三步： 第一步，給定任意正數(shù)第一步，給定任意正數(shù)；第二步，由第二步，由 naa尋找正整數(shù)尋找正整數(shù)N ，這是關鍵的一步；，這是關鍵的一步； 第三步，按照定義的模式寫出結論第三步，按照定義的模式寫出結論.17例例7. 已知已知,) 1() 1(2nxnn證明證明.0limnnx證證:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11

10、n0,欲使欲使只要只要n取取11 1,N則當則當Nn 時時, 就有就有,0nx11.故故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取故也可取1 1N也可由也可由2) 1(10nnxN 與與 有關有關, 但不唯一但不唯一.不一定取最小的不一定取最小的 N .說明說明: 取取111N放大！放大！18例例8. 設設,1q證明等比數(shù)列證明等比數(shù)列,112nqqq證證:0nx01nq0,欲使欲使只要只要,1nq即即,lnln) 1(qn亦即亦即因此因此 , 取取ln11lnNq則當則當 n N 時時,就有就有01nq故故0lim1nnq.lnln1qn的極限為的極限為 0 .

11、1nq為什么限制，為什么限制，可以限制嗎？可以限制嗎？, ) 1 ,0(19(三三) 收斂數(shù)列的性質收斂數(shù)列的性質(補充內容補充內容)證明思想證明思想: 用反證法用反證法.1. 收斂數(shù)列的極限唯一收斂數(shù)列的極限唯一.axnnlim及及,limbxnn且且. ba 假設假設()1N1,x2,x3,x4,x 5,x,11,Nx12,Nx,nx,a2ba()b2N21,Nx22,Nxnxnx2ab2ab選選,使使a的的鄰域與鄰域與b的的鄰域不相交鄰域不相交,當當n max(N1, N2)時時,xn同同時在這兩鄰域內時在這兩鄰域內,矛盾矛盾2023baab22abnabax證證: 用反證法用反證法.a

12、xnnlim及及,limbxnn且且. ba 取取,2ab因因,limaxnn故存在故存在 N1 , ,2abnax從而從而2banx同理同理, 因因,limbxnn故存在故存在 N2 , 使當使當 n N2 時時, 有有2banx使當使當 n N1 時時, 2ba2ab2ab假設假設22abnabbxnbax223ab,2abnbx從而從而2banx矛盾矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當則當 n N 時時, ,max21NNN 取故假設不真故假設不真 !nx滿足的不等式滿足的不等式21例例4. 證明數(shù)列證明數(shù)列),2, 1() 1(1nxnn是發(fā)散的是發(fā)散的. 證證

13、: 用反證法用反證法.假設數(shù)列假設數(shù)列nx收斂收斂 , 則有唯一極限則有唯一極限 a 存在存在 .取取,21則存在則存在 N ,2121axan但因但因nx交替取值交替取值 1 與與1 , ),(2121aa內內,而此二數(shù)不可能同時落在而此二數(shù)不可能同時落在21a21aa長度為 1 的開區(qū)間 使當使當 n N 時時 , 有有因此該數(shù)列發(fā)散因此該數(shù)列發(fā)散 .222. 收斂數(shù)列一定有界收斂數(shù)列一定有界.lim,0,:nnxaMn N 有nxM即如果1x2xnx3x4x 5xaoMM直觀直觀nxoMM1x2x3x4x 5xa證明思想證明思想(1a )1a 鄰域內有幾鄰域內有幾乎所有的乎所有的xn鄰域

14、內外只鄰域內外只有有限個有有限個xn說明說明: 此性質反過來不一定成立 .23證證: lim,nnxa取取,1,N則則當當Nn 時時, 從而有從而有nxmax1,1 ,aa取取 12max, NMxxx1,1aa則有則有. ),2,1(nMxn由此證明收斂數(shù)列必有界由此證明收斂數(shù)列必有界., 1axn有有l(wèi)im,0,:nnxaMn N 有nxM說明說明: 此性質反過來不一定成立 . 例如,1)1(n雖有界但不收斂 .數(shù)列11,naxa 243. 收斂數(shù)列的保號性收斂數(shù)列的保號性.若若lim,nnxa且且0a,NN則Nn 當時時, 有有0nx, )0(. )0(直觀直觀:N1,x2,xnx3,x

15、4,x 5,xao1x2x3x4x5x,1,Nx2,Nx,nx,0 a 為例25(2a)32a證明思想證明思想:N1,x2,xnx3,x4,x 5,xao1x2x3x4x5x,1,Nx2,Nx,nx,0 a 為例若若lim,nnxa 且且0a,N N則Nn 當時時, 有有0nx證證: 對對 a 0 , 取取,2a,NN則,時當Nn axn2anx02aa問問: ab時時,會有什么結論會有什么結論?26推論推論2:若數(shù)列從某項起若數(shù)列從某項起0nx,limaxnn且0a則)0(. )0(推論推論1:若若,limaxnn且且ab,NN則Nn 當時時, 有有nxb(),b().b27 第二章 2.2

16、 函數(shù)的極限函數(shù)極限問題是研究當自變量函數(shù)極限問題是研究當自變量x趨向于趨向于0 x)x(f的變化趨勢的變化趨勢或趨向于無窮大時，函數(shù)或趨向于無窮大時，函數(shù), )(xfy 對自變量變化自變量變化過程有六種形式過程有六種形式: 趨向于一點趨向于一點xO x x0 x0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6( 趨向于無窮趨向于無窮xO x x28(一一) 自變量趨于有限值時函數(shù)的極限自變量趨于有限值時函數(shù)的極限0 xx 時函數(shù)極限的定義時函數(shù)極限的定義仿數(shù)列極限定義仿數(shù)列極限定義0(不論多么小不論多么小)，( )f xA,有：有：描述描述( )f xA任意地接近任意地接近表示表

17、示x0 x接近接近00, 0 xxx適合:時,的過程的過程x 0 x 0 x 0 xx.0程度程度接近接近體現(xiàn)體現(xiàn)xx 29定義定義 . 設函數(shù)設函數(shù))(xf在點在點0 x的某去心鄰域內有定義的某去心鄰域內有定義 ,0,0當當00 xx時時, 有有 Axf)(則稱常數(shù)則稱常數(shù) A 為函數(shù)為函數(shù))(xf當當0 xx 時的極限時的極限,Axfxx)(lim0或或)()(0 xxAxf當若若記作記作0 x0 xA0 xxy)(xfy Ax( )f xA30注意注意 31例例9. 證明證明)(lim0為常數(shù)CCCxx證證:Axf)(CC 0故故,0對任意的對任意的,0當當00 xx時時 , 0CC因此

18、因此CCxx0lim總有總有32例例10. 證明證明1)12(lim1xx證證:( )f xA1) 12(x12x欲使欲使,0取取,2則當則當10 x時時 , 必有必有1) 12()(xAxf因此因此,)( Axf只要只要,21x1)12(lim1xx33例例11. 證明證明211lim21xxx證證:Axf)(2112xx21 x故故,0取取,當當10 x時時 , 必有必有2112xx因此因此211lim21xxx1 x欲使欲使,)( Axf34例例12. 證明證明: 當當00 x證證:Axf)(0 xx 001xxx欲使欲使,0且且. 0 x而而0 x可用可用0 xx因此因此,)( Axf

19、只要只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx時時00 xxxx故取故取,min00 xx則當則當00 xx時時,00 xxx保證保證 .必有必有ox0 xx放大放大只要只要“大的大的”則則“小的小的”必必 0 ,),(0時使當xx. 0)(xf) 0)(xf則存在則存在( A 0 時時, 取正數(shù)取正數(shù),A則在對應的鄰域則在對應的鄰域上上. 0)(xf( 0 ,),(0時使當xx. 0)(xf則存在則存在),(0 x),(0 xx),(0 x0 x0 xAAAx0 xy)(xfy )0(以以A 0為例為例51定理定理3 . 若在若在0 x的某去心鄰域內的某去心鄰域內0)(xf)

20、0)(xf, 且且 ,)(lim0Axfxx則則. 0A)0(A證證: 用反證法用反證法.則由定理則由定理 2,0 x的某去心鄰域的某去心鄰域 , 使在該鄰域內使在該鄰域內,0)(xf與已知與已知所以假設不真所以假設不真, .0A(同樣可證同樣可證0)(xf的情形的情形)存在存在假設假設 A 0 ,000 xx當時,總有總有則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf當當0 xx 時為無窮大時為無窮大,.)(lim0 xfxx)(Xx )(x)(lim(xfx(正數(shù)正數(shù) X ) ,記作記作總存在總存在( )f xx0 xxyM yM57又如又如 0lim( )xxf x 0( lim( )xxf x ( )f x

21、x0 xxyM( )f xx0 xxyM 0lim( )xxf x 0lim( )xxf x 鉛直漸近線。鉛直漸近線。 58比如，比如， 11lim1xx lim 2xx 11xy漸近線1xyo直線1x 為曲線11yx的鉛直漸近線 .1. 無窮大是變量無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;注注 59(二二) 無窮小無窮小定義定義 . 若若0 xx 時時 , 函數(shù)函數(shù),0)(xf則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf0 xx )x(或為為時的時的無窮小無窮小 .)x(或極限為零的變量極限為零的變量, ,稱為稱為無窮小無窮小. .1、無窮小量的概念、無窮小量的概念 60當當例如例如 : :,0)1

22、(lim1xx函數(shù)函數(shù) 1x當當1x時為無窮小時為無窮小; ;,01limxx函數(shù)函數(shù) x1x時為無窮小時為無窮小; ;,011limxx函數(shù)函數(shù) x11當當x時為無窮小時為無窮小. .( 1)lim0,nnn( 1).nnn 數(shù)列是當時的無窮小說明說明: : 2.2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)! ! 1.1.無窮小是變量無窮小是變量, ,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆; ;61其中其中 (x) 為為0 xx 時的無窮小量時的無窮小量 . 定理定理 . ( 無窮小與函數(shù)極限的關系無窮小與函數(shù)極限的關系 )Axfxx)(lim0 Axf)( ) ,x意義意義

23、1.1.將一般極限問題轉化為特殊極限問題將一般極限問題轉化為特殊極限問題 ( (無窮小無窮小););02. ( ) ( ), ( ).f xxf xAx給出了函數(shù)在 附近的近似表達式誤差為0 xx為例62證證: :Axfxx)(lim0,0,0當當00 xx時時, ,有有 Axf)(Axf)(0lim0 xx對自變量的其它變化過程類似可證對自變量的其它變化過程類似可證 .其中其中 為為0 xx 時的無窮小量時的無窮小量 . 定理定理 1Axfxx)(lim0 Axf)( ) ,x632 2、無窮小量的性質、無窮小量的性質 性質性質1. 有限個無窮小的代數(shù)和還是無窮小有限個無窮小的代數(shù)和還是無窮

24、小 .由此可證由此可證: 有限個有限個無窮小之和仍為無窮小無窮小之和仍為無窮小 . 以三個無窮小的和為例！以三個無窮小的和為例！設設,0lim0 xx,0lim0 xx0lim0,xx0limxx0lim xx0無窮小無窮小無窮小無窮小只需只需證明，兩個無窮小的和證明，兩個無窮小的和 ，仍為無窮小。，仍為無窮小。分析：分析：64時時, 有有,min21證證:0 lim0 ,xx,0lim0 xx,0,01當當100 xx時時 , 有有2, 02當當200 xx時時 , 有有2取取則當則當00 xx22因此因此.0)(lim0 xx000lim0, lim0 lim0.xxxxxx來證來證65說

25、明說明: 無限個無窮小之和不一定是無窮小無限個無窮小之和不一定是無窮小 !例如，例如，1,nn 當時是無窮小，1 1 .nn但 個之和為不是無窮小性質性質2 . 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . 即即001lim ( )0, (,),( )xxxxxu xM 且0 lim ( ) ( )0,xxu xx66證證:0 lim( )0,xxx,02 0, 當當),(20 xx時時, 有有( )Mx取取,min21則當則當),(0 xx時時 , 就有就有( ) ( )u xxuMM故故0lim ( ) ( )0 xxu xx001lim( )0, (,),( )xxx

26、xxu xM 且0 lim ( ) ( )0,xxu xx67推論推論 2 . 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 .推論推論 2 . 有限個無窮小的乘積是無窮小有限個無窮小的乘積是無窮小 .001lim( )0, (,),( )xxxxxu xM 且0 lim ( ) ( )0,xxu xx推論推論 1. 有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.xxxxx1arctan,1sin,0,2時時當當例如例如都是無窮小都是無窮小68oyx例例14. 求求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用利用性質性質 2 可知可知.0sinlim

27、xxxxxysin說明說明 : y = 0 是是xxysin的漸近線的漸近線 .0sinlim1xxx注意，有重要公式：注意，有重要公式：函數(shù)極限與自函數(shù)極限與自變量的變化過變量的變化過程有關。程有關。69(三三)無窮小與無窮大的關系無窮小與無窮大的關系 若)(xf為無窮大,)(1xf為無窮小 ;若)(xf為無窮小, 且,0)(xf則)(1xf為無窮大.則據(jù)此定理 , 關于無窮大的問題都可轉化為 無窮小來討論.性質性質3. 說明說明:70( (四四) ) 無窮小量階的比較無窮小量階的比較 ,0時xxxxsin,32都是無窮小都是無窮小,引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,

28、xxx3sinlim0,31但但 可見無窮小趨于可見無窮小趨于 0 的速度是多樣的的速度是多樣的 . 觀察各極限觀察各極限2 3 ;xx比要快得多sin 3 ;xx與大致相同2sin ;xx比要慢得多71定義定義.,0lim若若則稱則稱 是比是比 高階高階的無窮小的無窮小,)(o,lim若若若若, 1lim若若,0limC或或,設設是自變量同一變化過程中的無窮小是自變量同一變化過程中的無窮小,記作記作則稱則稱 是比是比 低階低階的無窮小的無窮小;則稱則稱 是是 的的同階同階無窮小無窮小;則稱則稱 是是 的的等價等價無窮小無窮小, 記作記作例如例如 , 當當)(o0 x時時3x26xxsin;x

29、72例例15. 證明證明: 當當0 x時時,11nxxn1證證: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0時當 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb73 第二章 2.5 極限的運算法則,)(lim,)(limBxgAxf則有則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證證: 因因,)(lim,)(limBxgAxf則有則有BxgAxf)(,)(其中其中,為無窮小為無窮小) 于是于是)()()()(BAxgxf)()(BA由性質由性質 1 可知可知也是無窮小也是無窮小, 再利用極限與無窮小再利用極限與無窮小BA的關系定理的關

30、系定理 , 知定理結論成立知定理結論成立 .定理定理. 若若74說明說明: 此定理可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形此定理可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形 .定理定理 . 若若,)(lim,)(limBxgAxf則有則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證明略證明略 .說明說明: 此定理此定理 可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形 .推論推論 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 為常數(shù)為常數(shù) )推論推論 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 為正整數(shù)為正整數(shù) )BA75例例16. 設設 n 次多項式次多項式,)(10nnnxaxaaxP試證

31、試證).()(lim00 xPxPnnxx證證:0lim( )nxxP x0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPn001limnnxxaa xa x76定理定理. 若若,)(lim,)(limBxgAxf且且 B0 , 則有則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證明略證明略BA例例17. 設有分式函數(shù)設有分式函數(shù),)()()(xQxPxR其中其中)(, )(xQxP都是都是多項式多項式 ,0)(0 xQ試證試證: . )()(lim00 xRxRxx證證: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR說明說明

32、: 若若,0)(0 xQ不能直接用商的運算法則不能直接用商的運算法則 . 若若77 x = 3 時分母為時分母為 0 !31lim3xxx例例18.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231練習求練習求 211lim2xxx78例例19 . 求求.4532lim21xxxx解解: x = 1 時時3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母分母 = 0 , 分子分子0 ,但因但因79例例20 . 求求.125934lim22xxxxx解解: x時時,分子分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以分子分母同除以,2

33、x則則54分母分母“ 抓大頭抓大頭”原式原式80一般有如下結果：一般有如下結果：為非負常數(shù)為非負常數(shù) )nmba,0(00mn 當mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 當mn 當81例例21求求 lim2xxx解解 lim2xxx22lim2xxxxxxx2lim2xxx0注意兩個同號的無窮大量之和是無窮大量，注意兩個同號的無窮大量之和是無窮大量，兩個異號的無窮大量之和是兩個異號的無窮大量之和是“”型不定式型不定式.本例求極限的方法稱為有理化法本例求極限的方法稱為有理化法.82 第二章 2.6 兩個重要的極限(一一) 極限存在準則極限存在準則夾逼準則夾逼準則

34、; 單調有界準則單調有界準則; 柯西審斂準則柯西審斂準則(略略) .v1. 夾逼準則夾逼準則 (準則準則1-數(shù)列數(shù)列)azynnnnlimlim)2(),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlimnzanynx直觀直觀:83azynnnnlimlim)2(),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim,0,N當當Nn 時時, 有有 naxa即,axn想想證證nzanynx證明直觀證明直觀:()nznynxnN2時時nN1時時nmax(N1,N2)時時84azynnnnlimlim)2(),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim證證: 由條件由條件 (2) ,0,1N當當1

35、Nn 時時,ayn當當2Nn 時時,azn取取,max21NNN 則當則當Nn 時時, 有有,ayan,azan由條件由條件 (1)nnnzxya a即即,axn故故 .limaxnn,2N85v 夾逼準則夾逼準則 (準則準則1-變量變量)(2) limlimyza(1)()yxz在某個變化過程中l(wèi)imxazayx直觀直觀:0limsin0 xx例例1. 證明證明證明：證明：0,2x當時0sin,xx00limlim00 xxx而 0limsin0 xx860limcos1xx例例2. 證明證明證明：證明：0,2x當時222101cos2sin2,222xxxx 2001limlim002xx

36、x而 0lim(1cos )0 xx0 limcos1xx87例例3. 證明證明11211lim222nnnnnn證證: 利用夾逼準則利用夾逼準則 .nnnnn2221211nnn2222nn且且nnnn22limnn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由由882. 單調有界數(shù)列必有極限單調有界數(shù)列必有極限 ( 準則準則2 ) Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 證明略證明略 )ab89例例. 設設, ),2, 1()1 (1nxnnn證明數(shù)列證明數(shù)列nx極限

37、存在極限存在 . 證證: 利用二項式公式利用二項式公式 , 有有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n9011nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx!21!31!1n又又比較可知比較可知91根據(jù)準則根據(jù)準

38、則 2 可知數(shù)列可知數(shù)列nx記此極限為記此極限為 e ,ennn)1 (lim1 e 為無理數(shù)為無理數(shù) , 其值為其值為2.718281828459045e 即即有極限有極限 .11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又又32121111n1213n921sincosxxx圓扇形圓扇形AOB的面積的面積(二二) 兩個重要極限兩個重要極限 1sinlim. 10 xxx證證: 當當即即xsin21x21xtan21亦即亦即)0(tansin2xxxx),0(2x時，時，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx顯然有顯然有AOB 的面積的面積AOD的面積

39、的面積DCBAx1oxxxcos1sin1故有故有93例例4. 求求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例5. 求求0sinlim.xkxx解解: 令令,tkx則則,xt k因此因此原式原式0sinlimttt k0limtkttsink00sinsinlimlim.orxkxkxkxkkkkxkx94nnnRcossinlim2Rn例例6. 求求.cos1lim20 xxx解解: 原式原式 =2220sin2limxxx212121例例. 已知圓內接正已知圓內接正 n 邊形面積為邊形面積為證明證明

40、: .lim2RAnn證證: nnAlimnnnnRnAcossin22R說明說明: 計算中注意利用計算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx20sinlimx2x2x21952.exxx)1(lim1證證: 當當0 x時時, 設設, 1nxn則則xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim196當當x, ) 1( tx則則,t從而有從而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1

41、()1(lim11tttte故故exxx)1 (lim1說明說明: 此極限也可寫為此極限也可寫為ezzz1)1 (lim0時時, 令令97例例. 求求.)1 (lim1xxx解解: 令令,xt則則xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1說明說明 ：若利用若利用,)1 (lim)()(1)(exxx則則 原式原式111)1 (limexxx98例例7. 求求2lim 1.xxx解解:2lim 1xxx221lim12xxx2e例例8. 求求22lim.1xxxx解解:22lim1xxxxlim11xxxxxx11e e11lim 1111xxxxx 99例例.

42、 計算復利息問題：計算復利息問題：每期結算一次，本利和為每期結算一次，本利和為 設本金為設本金為 ，利率為利率為 ，期數(shù)為期數(shù)為 。0Art01tAAr每期結算每期結算 次，次， 期本利和為期本利和為tm01mtmrAAm如果立即產生，立即結算，即如果立即產生，立即結算，即m t期本利和為期本利和為0lim1mtmrAm0lim1rtmrmrAm0rtA e100 第二章 2.7 利用等價無窮小量代換求極限定理定理1.)(o證證:1lim, 0)1lim(0lim即即, )(o即即)(o101定理定理2 2 . . 設設,且且lim存在存在 , 則則lim lim證證:limlim limli

43、mlim lim等價無窮小替換定理等價無窮小替換定理例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052在極限的在極限的乘除乘除運算中，等價運算中，等價無窮小可以相無窮小可以相互替換！互替換！102設對同一變化過程設對同一變化過程 , , 為無窮小為無窮小 ,說明說明:無無窮小性質窮小性質Th12, (1) 和差取大規(guī)則和差取大規(guī)則: 由等價由等價得簡化某些極限運算的下述規(guī)則得簡化某些極限運算的下述規(guī)則. 若若 = o( ) , 例如例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031則(2) 因式代替規(guī)則因式代替規(guī)則:極限存在或有且若)(,x界界, 則則)(limx)(limx

44、例如例如, 01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx10320tan ln(1)lim.sinxxxx例例1. 求求解解: tan (0),xxx 又ln(1) (0),xxxsin (0),xxx 22sin (0),xxx20limxx xx1原式原式 1043201sin1lim.arctanxxxx例例2. 求求解解: 3 11 (0),3xxx又3sin1sin1 (0),3xxxxxarctan (0),xxx 22arctan (0),xxx20sin3limxxxx13原式原式 0sinlim3xxx10530tansinlim.sinxxxx30limxx

45、xx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例3. 求求解解: 原式原式 不能濫用等價無窮小代換不能濫用等價無窮小代換. .對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換. .注意注意106例例4. 證明證明證明證明:,0時當xsinsinxln(1) xsin (0),xxx sinsinsin (0),xxx ln(1) (0),xxx又sinsin xln(1) x0limx10sinlimxxxsinsinxln(1) x107 第二章 2.8 函數(shù)的連續(xù)性可見 , 函數(shù))(xf在點0 x（一）、（一）、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定

46、義定義定義:)(xfy 在0 x的某鄰域內有定義 , , )()(lim00 xfxfxx則稱函數(shù).)(0連續(xù)在xxf(1) )(xf在點0 x即)(0 xf(2) 極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx設函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在 ;且有定義 ,存在 ;108continue)()(lim, ),(000 xPxPxxx若)(xf在某區(qū)間上每一點都連續(xù) , 則稱它在該區(qū)間上連續(xù) , 或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) . ,baC例例1nnxaxaaxP10)(在),(上連續(xù) .( 有理整函數(shù) )例例2 有理分式函數(shù))()()(xQxPxR在其定義域內連續(xù)在

47、閉區(qū)間,ba上的連續(xù)函數(shù)的集合記作只要,0)(0 xQ都有)()(lim00 xRxRxx連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.109對自變量的增量,0 xxx有函數(shù)的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù),0,0當xxx0時, 有yxfxf)()(0函數(shù)0 x)(xf在點連續(xù)有下列等價命題:110例例3. 證明函數(shù)xysin在),(內連續(xù) .證證: ),(xxxxysin)sin()cos

48、(sin222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即0lim0yx這說明xysin在),(內連續(xù) .同樣可證: 函數(shù)xycos在),(內連續(xù) .0111例例4. 證明函數(shù)xye在),(內連續(xù) .證證: ),(x00limlimxxxxxyee 0lim1xxxee 即0lim0yx這說明xye在),(內連續(xù) .00lim1tte0,來證來證01, 要使要使1,te只要只要11,te 即即ln 1ln 1,t 取取minln 1,ln 1,即可即可112例例5.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx,

49、 0)0( f又又由定義知由定義知.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 113例例6.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點故函數(shù)故函數(shù) xxf114在在（二）、（二）、 函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點(1) 函數(shù))(xf0 x(2) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx存在 ,但)(

50、)(lim00 xfxfxx 不連續(xù) :0 x設0 x在點)(xf的某去心鄰域內有定義 , 則下列情形這樣的點0 x之一函數(shù) f (x) 在點雖有定義 , 但雖有定義 , 且稱為間斷點間斷點 . 在無定義 ;115間斷點分類間斷點分類: :第一類間斷點第一類間斷點:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若稱0 x, )()(00 xfxf若稱0 x第二類間斷點第二類間斷點:)(0 xf及)(0 xf中至少一個不存在 ,稱0 x若其中有一個為振蕩 ,稱0 x若其中有一個為,為可去間斷點 .為跳躍間斷點 .為無窮間斷點無窮間斷點 .為振蕩間斷點振蕩間斷點 .116xytan)

51、 1 (2x為其無窮間斷點 .0 x為其振蕩間斷點 .xy1sin) 2(1x為可去間斷點 .11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin01171) 1 (1)(lim1fxfx顯然1x為其可去間斷點 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點 .118例例7 7.0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時取何值時當當 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(a

52、f ),0()00()00(fff 要使要使,1時時故當且僅當故當且僅當 a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a119小結小結)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù))(. 2xf0 x第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在 第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在在點間斷的類型)(. 1xf0 x在點連續(xù)的等價形式120可去型可去型第一類間斷點第一類間斷點oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 xoyx0 x121（三）、連續(xù)函數(shù)的運算

53、法則（三）、連續(xù)函數(shù)的運算法則0( ),( ),f xg xx在點處連續(xù)0( )( ).f xg xx在點處也連續(xù)0000lim( )(), lim( )()xxxxf xf xg xg x轉化000 lim( )( )()()xxf xg xf xg x轉化極限性質極限性質容易把極限性質轉化為連續(xù)函數(shù)性質容易把極限性質轉化為連續(xù)函數(shù)性質, 如如122定理定理1. 在某點連續(xù)的在某點連續(xù)的有限個有限個函數(shù)經函數(shù)經有限次有限次和和 , 差差 , 積積 ,( 利用極限的四則運算法則證明利用極限的四則運算法則證明)商商(分母不為分母不為 0) 運算運算, 結果仍是一個在該點連續(xù)的函數(shù)結果仍是一個在該

54、點連續(xù)的函數(shù) .tan , cot , sec , cscxxxx在其定義域內連續(xù)在其定義域內連續(xù)連續(xù)xx cos,sin例如例如,123定理定理2. 連續(xù)單調遞增連續(xù)單調遞增 函數(shù)的反函數(shù)函數(shù)的反函數(shù)例如例如,xysin在在,22上連續(xù)單調遞增，上連續(xù)單調遞增，其反函數(shù)其反函數(shù)xyarcsin(遞減遞減).(證明略證明略)在在 1 , 1 上也連續(xù)單調遞增上也連續(xù)單調遞增.遞增遞增(遞減遞減)也連續(xù)單調也連續(xù)單調;1 , 1arccos上單調減少且連續(xù)上單調減少且連續(xù)在在同理同理 xyoxysinyxarcsinyx2211arctan ,cot(,).yx yarcx 在上單調且連續(xù)反三角

55、函數(shù)在其定義域內皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內皆連續(xù).124xey 在在),(上連續(xù)上連續(xù) 單調單調 遞增遞增,其反函數(shù)其反函數(shù)xyln在在),0(上也連續(xù)單調遞增上也連續(xù)單調遞增.又如又如, 125定理定理3000lim ( ),( ), lim ( )( )lim ( ).xxxxxxxaf uafxf afx若函數(shù)在點 連續(xù)則有定理定理4. 連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)是連續(xù)的連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)是連續(xù)的.即即: 設函數(shù)設函數(shù))(xu,0連續(xù)在點 x.)(00ux,)(0連續(xù)在點函數(shù)uxfy . )()(lim00ufufuu則復合函數(shù)則復合函數(shù))(xf.0連續(xù)在點 x且且即即加強條件有加強條件有:注

56、意定理注意定理4是定理是定理3的特殊情況的特殊情況.(證明略證明略)126意義意義 極限符號可以與函數(shù)符號互換極限符號可以與函數(shù)符號互換;例例8. 求求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式原式xxax1)1 (loglim0ealogaln110log lim(1)xaxx127例例9.xy1sin是由連續(xù)函數(shù)鏈是由連續(xù)函數(shù)鏈),(,sinuuy,1xu *Rx因此因此xy1sin在在*Rx上連續(xù)上連續(xù) .復合而成復合而成 ,xyoxy1sin128三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內是連續(xù)的三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內是連續(xù)的.)1, 0( aaayx指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù);),

57、(內單調且連續(xù)內單調且連續(xù)在在)1, 0(log aaxya對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù);), 0(內單調且連續(xù)內單調且連續(xù)在在基本初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)的連續(xù)性 xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(內連續(xù)內連續(xù)在在 ,不同值不同值討論討論 (均在其定義域內連續(xù)均在其定義域內連續(xù) )（四）、初等函數(shù)的連續(xù)性（四）、初等函數(shù)的連續(xù)性Ex129基本初等函數(shù)在定義域內連續(xù)基本初等函數(shù)在定義域內連續(xù)連續(xù)函數(shù)經四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)一切初等函數(shù)在在定義區(qū)間內定義區(qū)間內連續(xù)連續(xù)例如例如,21xy的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間

58、為1, 1(端點為單側連續(xù)端點為單側連續(xù))xysinln的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定義域為的定義域為Znnx,2因此它無連續(xù)點因此它無連續(xù)點而而定義區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間.130例例10. 討論討論 221 , 10( )4, 122xxxf xxxxx且且的連續(xù)性。的連續(xù)性。解解:10,xx當且時21( )f xx,初等函數(shù) 連續(xù).12,xx當且時24( )2xf xx,初等函數(shù) 連續(xù).0,x 當時(0),f無定義0lim( )xf x201limxx 0( ),xf x點是的第二類間斷點.且為無窮間斷點1312

59、21 , 10( )4, 122xxxf xxxxx且且的連續(xù)性。的連續(xù)性。例例10. 討論討論1,x 當時(1)1,f1lim( )xf x211lim1,xx1lim( )xf x214lim2xxx3,11lim( )lim( ),xxf xf x1( ),.xf x點是的第一類間斷點 且為跳躍間斷點2,(2),xf當時無定義22224lim( )lim( )lim4,2xxxxf xf xx2( ),.xf x點是的第一類間斷點 且為可去間斷點132(五五) 利用函數(shù)連續(xù)性求函數(shù)極限利用函數(shù)連續(xù)性求函數(shù)極限 1.利用初等函數(shù)連續(xù)性求函數(shù)極限利用初等函數(shù)連續(xù)性求函數(shù)極限lim( )( )

60、xaf xf a例例11. 求求22lim sin(4)lg(8) .xxx解解: 初等函數(shù)初等函數(shù)2sin(4)lg(8),xx在在2,x 連續(xù)22lim sin(4)lg(8)xxx2sin(24)lg(28)1.例例12 求求20coslim.arcsin(1)xxexx解解:20coslimarcsin(1)xxexx20cos0arcsin(10)e122133例例13. 求求.1lim0 xaxx解解: 令令, 1xat則則, )1 (logtxa原式原式)1 (loglim0ttataln說明說明: 當當, ea 時時, 有有0 x)1ln(x1xexx101log lim(1)