誤差理論與數(shù)據(jù)處理

1、實驗課的三個環(huán)節(jié)實驗課的三個環(huán)節(jié)v 課前預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí)v 實驗操作實驗操作v 數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)處理 課前預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí) 一一. .通過預(yù)習(xí)明確通過預(yù)習(xí)明確 做什么？怎么做？為什么？ 二二. .在預(yù)習(xí)的基礎(chǔ)上書寫預(yù)習(xí)報告在預(yù)習(xí)的基礎(chǔ)上書寫預(yù)習(xí)報告 1.實驗題目實驗題目； 2.實驗?zāi)康膶嶒災(zāi)康模?3.實驗儀器實驗儀器； 4.實驗原理實驗原理（必要的定理、定律、簡單的公導(dǎo)式推、光路圖或電路圖、受力分析等原理示意圖以及相關(guān) 的文字說明）； 5.實驗內(nèi)容實驗內(nèi)容（實驗步驟簡寫）；6.數(shù)據(jù)表格數(shù)據(jù)表格（P78）。 注意：教材中的注意事項注意事項可以不寫進(jìn)實驗報告，但也必須進(jìn)行預(yù)習(xí)。實驗操作實驗操作 實驗課堂上，經(jīng)

2、教師講解后嚴(yán)格按照儀器的操作規(guī)程完成所要求的實驗內(nèi)容，采集實驗數(shù)據(jù)的過程中務(wù)必要保證數(shù)據(jù)的原始性，原始數(shù)據(jù)經(jīng)教師審核簽字后方可生效。 注意：實驗過程中不要單純追求數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，更主要的是培養(yǎng)大家動手能力、發(fā)現(xiàn)問題并解決問題的能力；如果實驗不成功，一定要分析實驗失敗的原因，總結(jié)經(jīng)驗。 數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)處理 經(jīng)教師審查簽字后的實驗數(shù)據(jù)，根據(jù)教材或教師的要求，采用計算或作圖等數(shù)據(jù)處理方法對采集到的實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得出實驗結(jié)論。 誤差理論與數(shù)據(jù)處理誤差理論v 基本概念v 隨機(jī)誤差的正態(tài)分布v 有效數(shù)字 一.基本概念 1.1.測量測量 (1）測量的定義）測量的定義 測量是指借助一定的實驗器具，通過一定的實

3、驗方法直接或間接的把待測量與選作標(biāo)準(zhǔn)單位的同類物理量進(jìn)行比較得出其倍數(shù)的過程；測量結(jié)果包括比值和單位。 例如：L=25.00cm （2 2）測量的分類）測量的分類 按照測量值獲得的方法：直接測量、間接測量按照測量值獲得的方法：直接測量、間接測量 直接測量:使用測量儀器能直接測得結(jié)果的測量。 間接測量:先直接測量一些相關(guān)的物理量，再通 過這些量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系運(yùn)算才能得到結(jié)果。 按照測量條件：等精度測量、非等精度測量按照測量條件：等精度測量、非等精度測量 等精度測量:在相同條件下進(jìn)行的測量。 非等精度測量:不同的人使用不同的儀器采用不 同的方法進(jìn)行測量，則各測量結(jié)果的可靠程度自然 也不相同。 按照

4、測量過程可重復(fù)性：單此測量、多次測量按照測量過程可重復(fù)性：單此測量、多次測量 （3 3）測量的目的：得出真值）測量的目的：得出真值 真值：我們把被測物理量在一定客觀條件下的真實大小，稱為該物理量的真值。 2 .2 .誤差誤差 （1 1）誤差的定義）誤差的定義 我們把真值記為 ；把每次對應(yīng)的測量值記為 ，那么 與 之差就稱為測得值的誤差,即 誤差是客觀存在的，并且存在于測量過程的始終。xx0 x0 x0 xx （2 2）誤差的分類）誤差的分類 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 定義：在同一條件下多次測量同一物理量時，誤差大小和符號始終保持不變，或者按照某種確定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。 分類：定值系統(tǒng)誤

5、差，變值系統(tǒng)誤差。 來源：儀器，理論，觀測者，環(huán)境。 發(fā)現(xiàn)：理論分析法，對比法，數(shù)據(jù)分析法。 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 定義：在同一條件下多次測量同一物理量時，測得值總有差異，并在消除系統(tǒng)誤差以后，差異依然存在，即誤差的絕對值和符號是變化不定、不可預(yù)知的，這種誤差稱為隨機(jī)誤差。 產(chǎn)生原因：不確定的隨機(jī)因素，難以控制，不可抗拒；如電磁場的微擾，觀測者的心理等。 特點(diǎn)：服從正態(tài)分布。 處理方法：多次測量取平均值，用最佳估計值表示結(jié)果 粗大誤差粗大誤差 由于觀測者的粗心大意或操作不當(dāng)造成的人為差錯，粗大誤差也稱為過失誤差。 （3 3） 誤差的表示方法誤差的表示方法 絕對誤差： 相對誤差：絕對誤差與真值之比，

6、常用符號E E 來表示，并表示成百分?jǐn)?shù)。 （4 4） 研究誤差的目的研究誤差的目的 在測量過程中盡量減小誤差，并對殘存誤差給出適當(dāng)?shù)墓烙嬛?，提高測量精度。0 xx 3.3.精度精度 通常用精度來反映測得值的可靠程度從而評價測量結(jié)果。按照誤差的性質(zhì)，精度可分為以下幾種： （1 1） 正確度正確度 例 正確度反映的是測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差的影響程度，即測量結(jié)果與真值的接近程度。 （2 2）精密度）精密度 例 精密度反映的是測量結(jié)果中隨機(jī)誤差的影響程度，即測量結(jié)果之間的密集程度。 （3 3） 準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度 例 （對比） 準(zhǔn)確度反映的是測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差綜合的影響程度。對于具體的測量，正確度高的

7、測量其精密度不一定高，精密度高的測量其正確度也不一定高；但準(zhǔn)確度高，則表示測量的正確度和精密度都高。 二二. .隨機(jī)誤差的正態(tài)分布隨機(jī)誤差的正態(tài)分布 1.1.正態(tài)分布規(guī)律正態(tài)分布規(guī)律 假設(shè)對某一被測量進(jìn)行多次重復(fù)測量 ,測量結(jié) 果 , , ,被測量的真值為 ，則根據(jù)誤差的定義，各次測量的誤差 大量的實驗事實和統(tǒng)計理論都證明，在絕大多數(shù)物理測量中，隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布（或稱高斯分布）規(guī)律。 xxii1x2xixx3x 2. .隨機(jī)誤差的性質(zhì)隨機(jī)誤差的性質(zhì) 單峰性單峰性 絕對值小的誤差出現(xiàn)的機(jī)會（概率）大，絕對值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會（概率）小。 對稱性對稱性 大小相等、符 號相反的誤差出現(xiàn)的概率 相

8、等。 有界性有界性 非常大的正誤差出現(xiàn)的 概率趨于零。 抵償性抵償性 當(dāng)測量次數(shù)非 常多時， 由于正負(fù)誤差抵 消，各誤 差的代數(shù)趨于零。 隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線 根據(jù)統(tǒng)計理論誤差的概率服從正態(tài)分布： 式中，是一個取決于具體測量條件的常數(shù)稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差（或稱均方誤差），反映的是一組測量數(shù)據(jù)的離散程度，常稱它為測量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差；它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 可以證明： 這就是說，如果測量次數(shù)n很大，在所測得的數(shù)據(jù)中，任一個數(shù)據(jù)的誤差落在區(qū)間之內(nèi)的概率為 68.3；區(qū)間稱為置信區(qū)間，其對應(yīng)的概率(P=68.3)稱為置信概率。2221( )2fenaxin2)(lim%3 .68683. 0

9、)(df 3.3.隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)特征隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)特征 ( (1) 1) 算術(shù)平均值算術(shù)平均值 根據(jù)隨機(jī)誤差的正態(tài)分布規(guī)律，測得值偏大或偏小的機(jī)會是相等的，即絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率是相等的,因此，各次測得值的算術(shù)平均值是真值的最佳估計值。 （2 2）標(biāo)準(zhǔn)偏差）標(biāo)準(zhǔn)偏差 算術(shù)平均值最接近真值，其本身具有離散性，為了評定算術(shù)平均值的離散性，我們引入算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差 參與對標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計。 123.inxxxxxxnn)(xS 我們常用如下的貝塞爾公式去估計測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差 ： 貝塞爾公式是用殘差去求標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計值，稱此估計值為測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差。 則算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差 為： )(xS

10、 nxSxS)(1）（)(2nxxxSi xS 3. .被測量量的結(jié)果表示被測量量的結(jié)果表示 單位 4. .異常值（粗大誤差）的剔除異常值（粗大誤差）的剔除 拉依達(dá)準(zhǔn)則拉依達(dá)準(zhǔn)則：適用于測量次數(shù)n較大的測量。 肖維涅準(zhǔn)則肖維涅準(zhǔn)則： （P16P16） 格拉布斯準(zhǔn)則格拉布斯準(zhǔn)則。)(xScxn%100)(xxSE( )xxS x 三.有效數(shù)字 1.1.有效數(shù)字的概念有效數(shù)字的概念 我們把測量結(jié)果中準(zhǔn)確數(shù)字和存疑數(shù)字的全體統(tǒng)稱為測量結(jié)果的有效數(shù)字。 2.2.運(yùn)算后的有效數(shù)字運(yùn)算后的有效數(shù)字 （1 1）一般運(yùn)算按以下原則處理）一般運(yùn)算按以下原則處理（P18）： 準(zhǔn)確數(shù)字與準(zhǔn)確數(shù)字相運(yùn)算，其結(jié)果為準(zhǔn)確

11、數(shù)準(zhǔn)確數(shù)字與準(zhǔn)確數(shù)字相運(yùn)算，其結(jié)果為準(zhǔn)確數(shù)字；字； 準(zhǔn)確數(shù)字與存疑數(shù)字或存疑數(shù)字與存疑數(shù)字相準(zhǔn)確數(shù)字與存疑數(shù)字或存疑數(shù)字與存疑數(shù)字相運(yùn)算，其結(jié)果為存疑數(shù)字；運(yùn)算，其結(jié)果為存疑數(shù)字； 存疑數(shù)字一般取一位存疑數(shù)字一般取一位。 （2 2）計算誤差時有效數(shù)字的確定）計算誤差時有效數(shù)字的確定 實驗結(jié)果位數(shù)取舍：實驗結(jié)果的末位必須與誤實驗結(jié)果位數(shù)取舍：實驗結(jié)果的末位必須與誤差所在的位對齊。差所在的位對齊。 標(biāo)準(zhǔn)偏差只取一位有效數(shù)字，相對誤差取兩位標(biāo)準(zhǔn)偏差只取一位有效數(shù)字，相對誤差取兩位有效數(shù)字，取位時一律進(jìn)位（只進(jìn)不舍）。有效數(shù)字，取位時一律進(jìn)位（只進(jìn)不舍）。 （3 3）不計算誤差時有效數(shù)字的確定）不計算

12、誤差時有效數(shù)字的確定 示例 加減運(yùn)算后結(jié)果的末位和參加運(yùn)算的各數(shù)值中最先出現(xiàn)的可疑位（小數(shù)位最少）一致。 乘除運(yùn)算后所得數(shù)值的有效數(shù)字的位數(shù)可估計為和參加運(yùn)算的各數(shù)值中有效數(shù)字最少的數(shù)值的位數(shù)相同。 函數(shù)運(yùn)算后的有效數(shù)字由誤差來決定。 3.3.使用有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則時應(yīng)注意的問題使用有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則時應(yīng)注意的問題 在運(yùn)算中，常數(shù)、無理數(shù)、常系數(shù)等他們的位數(shù)可以認(rèn)為是無限制的。計算中所取的位數(shù)應(yīng)足夠多，以免引入計算誤差。 對對數(shù)運(yùn)算時，首數(shù)不算有效數(shù)字。 首數(shù)是8或9的m位數(shù)值的有效數(shù)字可多取一位（算作m+1位） 有多個數(shù)值參加運(yùn)算時，在運(yùn)算中途各數(shù)值的位數(shù)應(yīng)比按有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則規(guī)定的位數(shù)多取一位

13、，以防止由于多次取舍引入計算誤差，但運(yùn)算最后仍應(yīng)舍去。 4.4.數(shù)值的修約規(guī)則數(shù)值的修約規(guī)則: :四舍六入五湊偶四舍六入五湊偶（P20） 要舍去的第一位數(shù)是1、2、3、4時就直接舍去。是6、7、8、9時，在舍去的同時向上一位進(jìn)1。要舍去的一位是5，而保留的最后一位為奇數(shù)時，則舍5進(jìn)1；如果要保留的最后一位是偶數(shù)，則舍去5不進(jìn)位，但5的下一位不是零時仍然要進(jìn)位。 例如，將下列數(shù)值保留三位有效數(shù)字 3.54253.54253.543.54（小于五舍去）（小于五舍去） 3.54503.54503.543.54（等于五湊偶）（等于五湊偶） 3.5466 3.54663.553.55（大于五進(jìn)位（大于五

14、進(jìn)位) ) 3.54501 3.545013.553.55（大于五進(jìn)位）（大于五進(jìn)位） 3.5350 3.53503.543.54（等于五湊偶）（等于五湊偶） 3.54493.54493.543.54（小于五舍去）（小于五舍去） 數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)處理 大學(xué)物理實驗課中常用的數(shù)據(jù)處理方法有以下幾種：v 直接測量量的數(shù)據(jù)處理；v 間接測量量的數(shù)據(jù)處理；v 列表作圖法；v 逐差法。 一一. .直接測量的數(shù)據(jù)處理步驟直接測量的數(shù)據(jù)處理步驟 示例示例1 1 1.計算被測量測量列 的算術(shù)平均值 ； 2.用貝塞爾公式計算測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差 ； 3.用肖維涅準(zhǔn)則審查實驗數(shù)據(jù)，如發(fā)現(xiàn)有異常數(shù)據(jù)應(yīng)予舍棄，舍棄該數(shù)據(jù)后再

15、重復(fù)第1、2、3步； 4.計算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差 ,將其與儀器誤差限 （可估讀儀器為半精度，不可估讀儀器為精度）進(jìn)行比較，取較大值作為此次測量的誤差； 5.如有已知的系統(tǒng)誤差，則將平均值減去修正值作為最后的測量結(jié)果； 6.計算相對誤差： 7.實驗結(jié)果表示為： 單位 )(xS%100)(xxSE( )xxS x x)(xSixE 二二. .間接測量的數(shù)據(jù)處理步驟間接測量的數(shù)據(jù)處理步驟 示例2 設(shè)待測量 ,可測得測量列 1.對已測得的各直接測量列 進(jìn)行數(shù)據(jù)處理得出其結(jié)果表達(dá)式（步驟見直接測量數(shù)據(jù)處理）； 2.將第1步算得的各測量列的平均值代入函數(shù)式計算間接測量量 的算術(shù)平均值，即 ； 3.將第1

16、步結(jié)果中各量的標(biāo)準(zhǔn)偏差或相對誤差代入誤差傳遞公式（公式表）計算間接測量量 的標(biāo)準(zhǔn)偏差 或相對誤差 ； 4.寫出間接測量量 的結(jié)果表達(dá)式 單位),(zyxfN ),(zyxfN)(NS()NNSNENNNiiizyx,Eiiizyx, 三三. . 列表與作圖法處理實驗數(shù)據(jù)列表與作圖法處理實驗數(shù)據(jù) 1.1.實驗數(shù)據(jù)計算并列表實驗數(shù)據(jù)計算并列表 在用作圖法處理實驗數(shù)據(jù)時，有些實驗要求利用實驗中采集到的數(shù)據(jù)直接作圖；而有些實驗則要求將采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行計算，利用計算后得到的數(shù)據(jù)作圖。 前者可直接利用實驗數(shù)據(jù)根據(jù)作圖步驟作圖；后者則應(yīng)先對實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行計算，再將計算后得到的數(shù)據(jù)列成數(shù)據(jù)列表，把列表中的數(shù)據(jù)作

17、為作圖依據(jù)根據(jù)作圖步驟作圖。 數(shù)據(jù)列表可以簡潔而明確地表示出有關(guān)物理量之間的對應(yīng)關(guān)系，有助于找出有關(guān)物理量之間規(guī)律性的聯(lián)系，便于及時檢查測量結(jié)果是否合理、及時發(fā)現(xiàn)問題和分析問題。 2.2.作圖步驟作圖步驟（P21) （1）選擇合適的直角坐標(biāo)紙選擇合適的直角坐標(biāo)紙； （2）確定坐標(biāo)軸和分度確定坐標(biāo)軸和分度 根據(jù)列表中的數(shù)據(jù)選取合適的坐標(biāo)原點(diǎn)及坐標(biāo)比例，畫出坐標(biāo)軸線，標(biāo)出箭頭方向并注明坐標(biāo)軸所代表的物理量符號及其單位，注明坐標(biāo)分度值； （3）描點(diǎn)描點(diǎn) 根據(jù)列表中的數(shù)據(jù)，在圖上標(biāo)出全部實驗點(diǎn)，實驗點(diǎn)可用“”“”或“”等符號標(biāo)出； （4）連線連線 根據(jù)大部分實驗點(diǎn)的分布趨勢作直線或光滑曲線，切忌逐點(diǎn)連

18、線（只有校正曲線是逐點(diǎn)連成折線），個別偏離較遠(yuǎn)的點(diǎn)連線時可不考慮； （5）圖注和說明圖注和說明 作完圖后，在圖的上方明顯位置標(biāo)明圖名、作者、作圖日期和圖注； （6）粘貼圖紙粘貼圖紙 將作好圖粘貼在實驗報告上，圖的位置要左右居中，并且圖紙方向和報告本方向一致。 3.3.用作圖法求直線的斜率、截距用作圖法求直線的斜率、截距 示例3 求方程為y=kx+b的直線的斜率、截距的步驟： （1）在直線上任選兩個非實驗點(diǎn)A、B，并將兩個點(diǎn)的坐標(biāo)A(x1,y1)和B(x2,y2)標(biāo)在圖上，兩個點(diǎn)應(yīng)相距遠(yuǎn)一些，但仍要在實驗范圍之內(nèi)。 （2）將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)值代人下式可得斜率: （3）如果橫坐標(biāo)的起點(diǎn)為零，則直線的截距可從圖中直接讀出；如果橫坐標(biāo)的起點(diǎn)不為零，可用下式計算截距：1212xxyyk211221x yx