時間序列建模預(yù)測移動平均_指數(shù)平滑趨勢外推__garch的matlab程序

1、第二十四章時間序列模型時間序列是按時間順序排列的、隨時間變化且相互關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)序列。分析時間序列的方法構(gòu)成數(shù)據(jù)分析的一個重要領(lǐng)域，即時間序列分析。時間序列根據(jù)所研究的依據(jù)不同，可有不同的分類。1. 按所研究的對象的多少分，有一元時間序列和多元時間序列。2. 按時間的連續(xù)性可將時間序列分為離散時間序列和連續(xù)時間序列兩種。3. 按序列的統(tǒng)計特性分，有平穩(wěn)時間序列和非平穩(wěn)時間序列。如果一個時間序列的概率分布與時間t 無關(guān)，則稱該序列為嚴(yán)格的（狹義的）平穩(wěn)時間序列。如果序列的一、二階矩存在，而且對任意時刻t 滿足：（1） 均值為常數(shù)（2） 協(xié)方差為時間間隔 的函數(shù)。則稱該序列為寬平穩(wěn)時間序列，也叫廣義平

2、穩(wěn)時間序列。我們以后所研究的時間序列主要是寬平穩(wěn)時間序列。4按時間序列的分布規(guī)律來分，有高斯型時間序列和非高斯型時間序列。§1時間序列分析方法概述時間序列技術(shù)就是通過對目標(biāo)自身時間序列的處理，來研究其變化趨勢的。一個時間序列往往是以下幾類變化形式的疊加或耦合。（1） 長期趨勢變動。它是指時間序列朝著一定的方向持續(xù)上升或下降，或停留在某一水平上的傾向，它反映了客觀事物的主要變化趨勢。（2） 季節(jié)變動。（3） 循環(huán)變動。通常是指周期為一年以上，由非季節(jié)因素引起的漲落起伏波形相似的波動。（4）不規(guī)則變動。通常它分為突然變動和隨動。通常用Tt 表示長期趨勢項，St 表示季節(jié)變動趨勢項，Ct

3、表示循環(huán)變動趨勢項，Rt 表示隨機(jī)干擾項。常見的時間序列模型有以下幾種類型：（1） 加法模型yt = Tt + St + Ct + Rt（2） 乘法模型yt = Tt × St × Ct × Rt（3） 混合模型yt = Tt × St + Rtyt = St + Tt × Ct × RtE(R ) = s 。， E(R ) = 0 ，22其中 y 是觀測目標(biāo)的觀測t如果在tt時間范圍以內(nèi)，無突然變動且隨動的方差s 2 較小，并且有理由認(rèn)為過去和現(xiàn)在的演變趨勢將繼續(xù)發(fā)展到未來時，可用一些經(jīng)驗方法進(jìn)行。§2移動平均法移動平均法

4、是根據(jù)時間序列資料逐漸推移，依次計算包含一定項數(shù)的時序平均數(shù)， 以反映長期趨勢的方法。當(dāng)時間序列的數(shù)值由于受周期變動和不規(guī)則變動的影響，起伏較大，不易顯示出發(fā)展趨勢時，可用移動平均法，消除這些因素的影響，分析、序-475-列的長期趨勢。移動平均法有簡單移動平均法，2.1簡單移動平均法移動平均法，趨勢移動平均法等。設(shè)觀列為 y1 ,L, yT ，取移動平均的項數(shù) N < T 。一次簡單移動平均值計算公式為：1=( y + y+L + yM (1)tt -1t - N +1tN111=( y+L+ y- y+ ( y - y(1)-1)（1）t -1tt - NNN當(dāng)目標(biāo)的基本趨勢是在某一水

5、平上下波動時，可用一次簡單移動平均方法建立模型：= 1y= M (1)( y +L+ y) ，t = N , N + 1,L,T ，（2）t+1ttt -N +1N其標(biāo)準(zhǔn)誤差為：Tå( y - y)2ttS =t = N +1，（3）T - N最近 N 期序列值的平均值作為未來各期的結(jié)果。一般 N 取值范圍： 5 £ N £ 200 。當(dāng)歷史序列的基本趨勢變化不大且序列中隨動成分較多時， N 的取值應(yīng)較大一些。否則 N 的取值應(yīng)小一些。在有確定的季節(jié)變動周期的資料中，移動平均的項數(shù)應(yīng)取周期長度。選擇最佳 N 值的一個有效方法是，比較若干模型的誤差。標(biāo)準(zhǔn)誤差最小者為

6、好。例 1某企業(yè) 1 月11 月份的銷售收入時間序列如表 1 示。試用一次簡單滑動平第 12 月份的銷售收入。表 1 企業(yè)銷售收入均法解： 分別取 N = 4, N = 5 的公式=+ yt -1 + yt -2 + yt-3 ， t = 4,5,L,11yty(1)t+14+ yt -1 + yt -2 + yt-3 + yt -4yty(2)=， t = 5,L,11t+15= 993.6 ，當(dāng) N = 4 時，值 y(1)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為12S1 = 150.5當(dāng) N = 5 時，-476-值 y(2)= 182.4 ，的標(biāo)準(zhǔn)誤差為1211å( y(1) - y )2tt t =5

7、11 - 4月份t123456銷售收入 yt533.8574.6606.9649.8705.1772.0月份t7891011銷售收入 yt816.4892.7963.91015.11102.7S2 = 958.2計算結(jié)果表明， N = 4 時，的標(biāo)準(zhǔn)誤差較小，所以選取 N = 4 。銷售收入為 993.6。第 12 月份的計算的clc,clear y=533.81102.7;程序如下：574.6606.9649.8705.1772.0816.4892.7963.91015.1m=length(y);n=4,5;%n 為移動平均的項數(shù)for i=1:length(n)%由于 n 的取值不同，yh

8、at 的長度不一致，下面使用了細(xì)胞數(shù)組for j=1:m-n(i)+1yhati(j)=sum(y(j:j+n(i)-1)/n(i);end y12(i)=yhati(end);s(i)=sqrt(mean(y(n(i)+1:m)-yhati(1:end-1).2);end y12,s簡單移動平均法只適合做近期，而且是目標(biāo)的發(fā)展趨勢變化不大的情況。如果目標(biāo)的發(fā)展趨勢存在其它的變化，采用簡單移動平均法就會產(chǎn)生較大的滯后。偏差和2.2移動平均法在簡單移動平均公式中，每期數(shù)據(jù)在求平均時的作用是等同的。但是，每期數(shù)據(jù)所包含的信息量不一樣，近期數(shù)據(jù)包含著關(guān)于未來情況的信息。因此，把各期數(shù)據(jù)等同是不盡合理

9、的，應(yīng)考慮各期數(shù)據(jù)的重要性，對近期數(shù)據(jù)給予較大的權(quán)重，這就是移動平均法的基本思想。設(shè)時間序列為 y1, y2 ,L, yt ,L；移動平均公式為= w1 y-N +1 ，t ³ NM（4）tww + w +L+ w12N式中 Mtw 為t 期中的重要性。移動平均數(shù)；wi 為 yt -i+1 的權(quán)數(shù)，它體現(xiàn)了相應(yīng)的 yt 在平均數(shù)利用移動平均數(shù)來做yt+1 = Mtw，其公式為（5）移動平均數(shù)作為第t + 1 期的即以第t 期值。例 2我國 19791988 年原煤產(chǎn)量如表 2 所示，試用的產(chǎn)量。移動平均法表 2 我國原煤產(chǎn)量統(tǒng)計數(shù)據(jù)及移動平均值表-477-年份197919801981

10、1982198319841985198619871988原煤產(chǎn)量 yt6.356.206.226.667.157.898.728.949.289.8三年移動平均值6.2356.43676.83177.43838.18178.69179.073311å( y(2) - y )2tt t=611 - 5解 取 w1 = 3, w2 = 2, w3 = 1，按公式+ 2 yt-1 + yt -2= 3ytyt+13 + 2 + 1計算三年值為（億噸）移動平均值，其結(jié)果列于表 2 中。我國原煤產(chǎn)量的= 3 ´ 9.8 + 2 ´ 9.28 + 8.94 = 9.48y19

11、896這個值偏低，可以修正。其方法是：先計算各年值與實際值的相對誤差，例如1982 年為6.66 - 6.235 = 6.38%6.66將相對誤差列于表 2 中，再計算總的平均相對誤差。å yt öæ52.89ç1 -÷ ´100% = (1 -) ´100% = 9.5%çå t÷y58.44èø由于總值的平均值比實際值低9.5% ，所以可將的值修正為9.481 - 9.5%= 10.4788程序如下：計算的y=6.35 6.209.8;6.226.667.157.898.

12、728.949.28w=1/6;2/6;3/6;m=length(y);n=3; for i=1:m-n+1yhat(i)=y(i:i+n-1)*w;end yhaterr=abs(y(n+1:m)-yhat(1:end-1)./y(n+1:m) T_err=1-sum(yhat(1:end-1)/sum(y(n+1:m) y1989=yhat(end)/(1-T_err)在 移動平均法中， wt 的選擇，同樣具有一定的經(jīng)驗性。一般的原則是：近期數(shù)據(jù)的權(quán)數(shù)大，遠(yuǎn)期數(shù)據(jù)的權(quán)數(shù)小。至于大到什么程度和小到什么程度，則需要按照預(yù)測者對序列的了解和分析來確定。2.3趨勢移動平均法簡單移動平均法和移動平均

13、法，在時間序列沒有明顯的趨勢變動時，能夠準(zhǔn)確反映實際情況。但當(dāng)時間序列出現(xiàn)直線增加或減少的變動趨勢時，用簡單移動平均法和移動平均法來就會出現(xiàn)滯后偏差。因此，需要進(jìn)行修正，修正的方法是作二次移動平均，利用移動平均滯后偏差的規(guī)律來建立直線趨勢的平均法。一次移動的平均數(shù)為模型。這就是趨勢移動-478-相對誤差（）6.389.9813.4114.78.486.347.411M (1)=( y + y+L + y)ttt -1t - N +1N在一次移動平均的基礎(chǔ)上再進(jìn)行一次移動平均就是二次移動平均，其計算公式為1N1N=+L+ M (1)+(M (1) - M (1)M ( 2)(M (1)(2)-1

14、)（6）t - Nttt下面討論如何利用移動平均的滯后偏差建立直線趨勢模型。設(shè)時間序列yt 從某時期開始具有直線趨勢，且認(rèn)為未來時期也按此直線趨勢變化，則可設(shè)此直線趨勢模型為= at + bt m ，m = 1,2,Lyt+m（7）其中t 為當(dāng)前時期數(shù)； m 為由t 至平滑系數(shù)。期的時期數(shù)； at 為截距；bt 為斜率。兩者又稱為現(xiàn)在，我們根據(jù)移動平均值來確定平滑系數(shù)。由模型（7）可知at = ytyt-1 = yt- bt= yt - 2bt- (N -1)btyt-2y所以yt + yt -1 +L+ y+ ( yt - bt ) +L+ yt - (N -1)bt M (1)=tNNNy

15、t -1 + 2 +L+ (N -1)bt- N -1 b= yttN2因此N -1 b- M (1)=y（8）ttt2由式（7），類似式（8）的推導(dǎo)，可得N -1 b- M (1)=y（9）t-1t-1t2所以y - y= M (1) - M (1)= b（10）tt -1tt -1t類似式（8）的推導(dǎo)，可得N -1 bM (1) - M (2)=（11）ttt2于是，由式（8）和式（11）可得平滑系數(shù)的計算公式為ìa= 2M (1) - M (2)ïtttí（12）2=(1)- M)( 2)ïbtN -1 (Mtît例 3我國 196519

16、85 年的發(fā)電總量如表 3 所示，試電總量。1986 年和 1987 年的發(fā)-479-表 3我國發(fā)電量及一、二次移動平均值計算表解 由散點圖 1 可以看出，發(fā)電總量基本呈直線上升趨勢，可用趨勢移動平均法。來450040003500300025002000150010005000510152025圖 1 原始數(shù)據(jù)散點圖取 N = 6 ，分別計算一次和二次移動平均值并列于表 3 中。M (1)= 3461.2 ， M (2) = 2941.22121再由公式（12），得= 2M (1) - M (2)= 3981.1a2121212b=(M (1) - M (2) ) = 208216 - 121

17、21于是，得t = 21 時直線趨勢模型為= 3981.1 + 208my21+m1986 年和 1987 年的發(fā)電總量為= y22 = y21+1 = 4192.1y1986-480-年份t發(fā)電總量 yt一次移動平均，N6二次移動平均，N61965167619662825196737741968471619695940197061159848.3197171384966.31972815241082.81973916681231.819741016881393.819751119581563.51181.119761220311708.81324.519771322341850.51471.

18、919781425662024.21628.819791528202216.21792.819801630062435.81966.5198117309326252143.419821832772832.72330.719831935143046253019842037703246.72733.719852141073461.22941.2y1987計算的clc,clear= y23 = y21+2 = 4397.1程序如下：load y.txt%把原始數(shù)據(jù)保存在純文本文件 y.txt 中m1=length(y);n=6;%n 為移動平均的項數(shù)for i=1:m1-n+1yhat1(i)=su

19、m(y(i:i+n-1)/n;end yhat1m2=length(yhat1); for i=1:m2-n+1yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1)/n;end yhat2plot(1:21,y,'*') a21=2*yhat1(end)-yhat2(end)b21=2*(yhat1(end)-yhat2(end)/(n-1) y1986=a21+b21y1987=a21+2*b21趨勢移動平均法對于同時存在直線趨勢與周期波動的序列，是一種既能反映趨勢變化，又可以有效地分離出來周期變動的方法。§3指數(shù)平滑法一次移動平均實際上認(rèn)為最近 N 期數(shù)據(jù)對未來

20、值影響相同，都1N；而 N 期以前的數(shù)據(jù)對未來值沒有影響，為 0。但是，二次及更高次移動平均數(shù)的權(quán)數(shù)卻不1是，且次數(shù)越高，權(quán)數(shù)的結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，但永遠(yuǎn)保持對稱的權(quán)數(shù)，即兩端項權(quán)數(shù)小，N中間項權(quán)數(shù)大，不符合一般系統(tǒng)的動態(tài)性。一般說來歷史數(shù)據(jù)對未來值的影響是隨時間間隔的增長而遞減的。所以，更切合實際的方法應(yīng)是對各期觀測值依時間順序進(jìn)行平均作為值。指數(shù)平滑法可滿足這一要求，而且具有簡單的遞推形式。指數(shù)平滑法根據(jù)平滑次數(shù)的不同，又分為一次指數(shù)平滑法、二次指數(shù)平滑法和三次指數(shù)平滑法等，分別介紹如下。3.11一次指數(shù)平滑法模型設(shè)時間序列為 y1, y2 ,L, yt ,L ， 為系數(shù)，0 < a <

21、; 1，一次指數(shù)平滑公式為：= ay + (1 - a )S(1) = S (1)+ a ( y- S (1) )S (1)（13）ttt -1t -1tt -1式（13）是由移動平均公式改進(jìn)而來的。由式（1）知，移動平均數(shù)的遞推公式為- yt -NytM (1) = M (1) +t -1tN以 M (1) 作為 y的最佳估計，則有t -1t -N-481- M (1)yyæ1 öMt= M+(1)(1) tt-1N= t + ç1 -M(1)t-1÷t -1NèN ø1令a =，以 S 代替 M (1) ，即得式（13）ttN=

22、ay + (1 - a )SS (1)(1)ttt-1為進(jìn)一步理解指數(shù)平滑的實質(zhì)，把式（13）依次展開，有¥å= ay + (1 - a )ay+ (1 - a )S = L = a(1 - a ) yS (1)(1)j（14）t -1t -2t - jttj =0平均， （ 14 ）式 表明 S (1) 是全 部歷史數(shù) 據(jù)的 系數(shù)分 別為 ta ,a (1 - a ),a (1 - a )2 ,L；顯然有a (1 - a ) j =a= 1¥å1 - (1 - a )j =0由于系數(shù)符合指數(shù)規(guī)律，又具有平滑數(shù)據(jù)的功能，故稱為指數(shù)平滑。以這種平滑值進(jìn)行，

23、就是一次指數(shù)平滑法。模型為y= S (1)t+1t即yt+1 = ayt + (1 - a ) yt（15）也就是以第t 期指數(shù)平滑值作為t + 1 期值。2系數(shù)的選擇在進(jìn)行指數(shù)平滑時，系數(shù)的選擇是很重要的。由式（15）可以看出，的大小規(guī)定了在新值中新數(shù)據(jù)和原值所占的比重。值越大，新數(shù)據(jù)所占的比重就愈大，原值所占的比重就愈小，反之亦然。若把式（15）改寫為yt+1 = yt + a ( yt - yt )（16）的大小則從上式可看出，新值是根據(jù)誤差對原值進(jìn)行修正而得到的。則體現(xiàn)了修正的幅度， 值愈大，修正幅度愈大； 值愈小，修正幅度也愈小。若選取a = 0 ，則 yt+1 = yt ，即下期值

24、就等于本期值，在過程中不考慮任何新信息；若選取a = 1 ，則 yt+1 = yt ，即下期值就等于本期觀測值，完全不相信過去的信息。這兩種情況很難的。因此，值應(yīng)根據(jù)時間序列的具體性質(zhì)在 01 之間選擇。具體如何選擇一般可遵循下列原則：如果時間序列波動不大，比較平穩(wěn)，則應(yīng)取小一點，如（0.10.5）。以減少修正幅度，使模型能包含較長時間序列的信息；如果時間序列具有迅速且明顯的變動傾向，則 應(yīng)取大一點，如（0.60.8）。使模型靈敏度高一些，以便迅速跟上數(shù)據(jù)的變化。在實用上，類似移動平均法，多取幾個用哪個。3初始值的確定值進(jìn)行試算，看哪個誤差小，就采，除了選擇合適的 外，還要確定初始值 s(1)

25、 。初始值用一次指數(shù)平滑法進(jìn)行0是由后的者估計或指定的。當(dāng)時間序列的數(shù)據(jù)較多，比如在 20 個以上時，初始值對以值影響很少，可選用第一期數(shù)據(jù)為初始值。如果時間序列的數(shù)據(jù)較少，在 20個以下時，初始值對以后的值影響很大，這時，就必須認(rèn)真研究如何正確確定初始-482-值。一般以最初幾期實際值的平均值作為初始值。例 4某市 19761987 年某種電器銷售額如表 4 所示。試1988 年該電器銷售額。解 采用指數(shù)平滑法，并分別取a = 0.2, 0.5 和0.8 進(jìn)行計算，初始值y1 + y2S (1)= 5102即= S (1)= 51y10按模型yt +1 = a yt + (1-a ) yt值

26、，列于表 4 中。表 4 某種電器銷售額及指數(shù)平滑計算各期值計算表 （：萬元）從表 4 可以看出，a = 0.2, 0.5 和0.8 時，值是很不相同的。究竟 取何值為好，可通過計算它們的標(biāo)準(zhǔn)誤差 S ，選取使 S 較小的那個 值的標(biāo)準(zhǔn)誤差見表 5。表 5的標(biāo)準(zhǔn)誤差計算結(jié)果表明：a = 0.2 時，S 較小，故選取a = 0.2 ，1988 年該電器銷售額= 51.1754 。為 y1988計算的clc,clearload dianqi.txt程序如下：%原始數(shù)據(jù)以列向量的方式存放在純文本文件中yt=dianqi; n=length(yt);alpha=0.2 0.5 0.8;m=length

27、(alpha); yhat(1,1:m)=(yt(1)+yt(2)/2;for i=2:nyhat(i,:)=alpha*yt(i-1)+(1-alpha).*yhat(i-1,:);end-483-a0.20.50.8S4.50294.59084.8426年份t實際銷售額 yt值 yta = 0.2值 yta = 0.5值 yta = 0.851197725250.850.550.2197834751.0451.2551.64197945150.2349.1347.93198054950.3950.0650.39198164850.1149.5349.28198275149.6948.774

28、8.26198384049.9549.8850.45198494847.9644.9442.091985105247.9746.4746.821986115148.7749.2450.961987125949.2250.1250.99yhaterr=sqrt(mean(repmat(yt,1,m)-yhat).2) xlswrite('dianqi.xls',yhat) yhat1988=alpha*yt(n)+(1-alpha).*yhat(n,:)3.2二次指數(shù)平滑法一次指數(shù)平滑法雖然克服了移動平均法的缺點。但當(dāng)時間序列的變動出現(xiàn)直線趨勢時，用一次指數(shù)平滑法進(jìn)行，仍存在明顯

29、的滯后偏差。因此，也必須加以修正。修正的方法與趨勢移動平均法相同，即再作二次指數(shù)平滑，利用滯后偏差的規(guī)律建立直線趨勢模型。這就是二次指數(shù)平滑法。其計算公式為= ay + (1 - a )SS (1)(1)t -1tt= aS+ (1 - a )SS (2)(1)( 2)（17）t -1tt式中 S (1) 為一次指數(shù)的平滑值； S (2) 為二次指數(shù)的平滑值。當(dāng)時間序列y ，從某時ttt期開始具有直線趨勢時，類似趨勢移動平均法，可用直線趨勢模型= at + bt m ，m = 1,2,Lyt+m（18）ìa= 2S (1) - S (2)ïtttía（19）=(S

30、- S) 1 - at(1)(2)ïbttî。進(jìn)行例 5仍以例 3 我國 19651985 年的發(fā)電總量資料為例，試用二次指數(shù)平滑法預(yù)測 1986 年和 1987 年的發(fā)電總量。表 6我國發(fā)電總量及一、二次指數(shù)平滑值計算表（：億度）-484-年份t發(fā)電總量 yt一次平滑值二次平滑值yt+1 的估計值676.7689.4676.7703.6765.4.5711.7784.0.3736.2757.4197061159903.0786.2875.01971713841047.3864.61069.91972815241190.3962.31308.41973916681333.6

31、1073.71516.119741016881439.91183.61705.019751119581595.41307.11806.119761220311726.11432.82007.219771322341878.41566.52145.019781425662084.71722.02324.119791528202305.31897.02602.919801630062515.52082.52888.619811730932688.82264.43134.119821832772865.22444.63295.019831935143059.92629.23466.119842037

32、703272.92822.33675.119852141073523.13032.63916.6解 取a = 0.3 ，初始值 S (1) 和 S (2) 都取序列的首項數(shù)值，即 S (1)= S ( 2)= 676 。0000計算 S (1) , S (2) ，列于表 6。得到ttS (1)= 3523.1 ， S (2) = 3032.62121由公式（19），可得t = 21 時= 2S (1) - S ( 2)= 4013.7 ，a212121a b=(S- S) = 210.24(1)(2)1 - a212121于是，得t = 21 時直線趨勢方程為y21+m= 4013.7 + 2

33、10.24m1986 年和 1987 年的發(fā)電總量為（：億度）= y22 = y21+1 = 4223.95y1986y= y= y= 4434.為了求各期的模擬值?？蓪⑹剑?9）代入直線趨勢模型（18），并令m = 1，則得 a 1- ay= (2S- S) +(S- S)(1)(2)(1)(2)t+1tttt即y= æ1 +ö111 - aS-(1)S ( 2)ç1 - a ÷（20）t+1ttèø令t = 1,2,L,20 ，由公式（20）可求出各期的模擬值。計算結(jié)果見表 6。計算的clc,clearload fadian.tx

34、t程序如下：%原始數(shù)據(jù)以列向量的方式存放在純文本文件中yt=fadian; n=length(yt);alpha=0.3; st1(1)=yt(1); st2(1)=yt(1); for i=2:nst1(i)=alpha*yt(i)+(1-alpha)*st1(i-1); st2(i)=alpha*st1(i)+(1-alpha)*st2(i-1);end xlswrite('fadian.xls',st1',st2') a=2*st1-st2b=alpha/(1-alpha)*(st1-st2) yhat=a+b;xlswrite('fadian.x

35、ls',yhat','Sheet1','C2')str=char('C',int2str(n+2); xlswrite('fadian.xls',a(n)+2*b(n),'Sheet1',str)3.3三次指數(shù)平滑法當(dāng)時間序列的變動表現(xiàn)為二次曲線趨勢時，則需要用三次指數(shù)平滑法。三次指數(shù)平滑是在二次指數(shù)平滑的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行一次平滑，其計算公式為-485-ìS (1)= ay + (1 - a )S(1)t -1t(2)t(3)ttïíïî= aS+ (

36、1 - a )S(1)(2)S（21）tt -1= aS+ (1 - a )S( 2)(3)St -1t式中 S (3) 為三次指數(shù)平滑值。t三次指數(shù)平滑法的模型為y= a + b m + C m ，m = 1,2,L2（22）t+mttt其中ìïa= 3S (1) - 3S (2) + S (3)ïttttïaa )S- 2(5 - 4a )S+ (4 - 3a )S=(6 - 5(1)( 2)(3)íbtïï（23）2(1 - a )a 2ttt2ïct=S- 2S+ St (1)(2)(3)ï

37、38;2(1 - a )tt2例 6某省 19781988 年全民所有制和 1990 年固定資產(chǎn)投資總額。固定資產(chǎn)投資總額如表 7 所示，試表 7某省全民所有制固定資產(chǎn)投資總額及一、二、三次指數(shù)平滑值計算表（：億元）解從圖 2 可以看出，投資總額呈二次曲線上升，可用三次指數(shù)平滑法進(jìn)行。250實際值 值2001501005001234567891011圖 2 某省固定資產(chǎn)投資總額趨勢圖-486-年份t投資總額 yt一次平滑值二次平滑值三次平滑值yt+1 的估計值1978120.0421.3721.7721.8921.941979220.0620.9821.5321.7820.231980325.

38、7222.4021.7921.7819.561981434.6126.0623.0722.1724.491982551.7733.7826.2823.4034.591983655.9240.4230.5225.5453.891984780.6552.4937.1129.0164.5819858131.1176.0748.8034.9589.3019869148.5897.8363.5143.52142.42198710162.67117.2879.6454.35176.09198811232.26151.77101.2868.43196.26y1 + y2 + y3取a = 0.3 ，初始值

39、S (0)= S (0) = S (0)= 21.94 。計算 S (1) , S (2) , S (3)123ttt3列于表 7 中。得到= 151.77 ， S (2) = 101.28 ， S (3) = 68.43S (1)111111由公式（23），可得到當(dāng)t = 11 時a11 = 219.91 ， b11 = 38.38 ， c11 = 1.62于是，得t = 11 時模型為= 219.91 + 38.38m + 1.62m2y11+m和 1990 年的固定資產(chǎn)投資總額為（：億元）= y= y從= y= y11+2= a + b11 + c11 = 259.91= a11 + 2

40、b11 + 2 c= 303.yy因為開始對固定資產(chǎn)投資采取壓縮政策，這些值顯然偏高，應(yīng)作適當(dāng)?shù)男拚韵咭蛩氐挠绊?。與二次指數(shù)平滑法一樣，為了計算各期的模擬值，可將式（23）代入并令m = 1，則得模型（22），3 - 3a + a 2(1 - a )23 - a1yt+1 =(1)-+(1 - a )2(1 - a )2( 2)(3)StStSt（24）令t = 0,1,2,L,10 ，公式（24）可求出各期的模擬值，見表 7。計算的clc,clear load touzi.txt程序如下：%原始數(shù)據(jù)以列向量的方式存放在純文本文件中yt=touzi; n=length(yt);alp

41、ha=0.3; st1_0=mean(yt(1:3); st2_0=st1_0;st3_0=st1_0; st1(1)=alpha*yt(1)+(1-alpha)*st1_0; st2(1)=alpha*st1(1)+(1-alpha)*st2_0; st3(1)=alpha*st2(1)+(1-alpha)*st3_0;for i=2:nst1(i)=alpha*yt(i)+(1-alpha)*st1(i-1); st2(i)=alpha*st1(i)+(1-alpha)*st2(i-1); st3(i)=alpha*st2(i)+(1-alpha)*st3(i-1);end xlswrit

42、e('touzi.xls',st1',st2',st3')st1=st1_0,st1;st2=st2_0,st2;st3=st3_0,st3; a=3*st1-3*st2+st3;b=0.5*alpha/(1-alpha)2*(6-5*alpha)*st1-2*(5-4*alpha)*st2+(4-3*alpha)*st3); c=0.5*alpha2/(1-alpha)2*(st1-2*st2+st3);yhat=a+b+c; xlswrite('touzi.xls',yhat','Sheet1','D1

43、')plot(1:n,yt,'*',1:n,yhat(1:n),'O')legend('實際值','值',2)xishu=c(n+1),b(n+1),a(n+1); yhat1990=polyval(xishu,2)-487-指數(shù)平滑模型是以時刻t 為起點，綜合歷史序列的信息，對未來進(jìn)行的。選擇合適的系數(shù) 是提高精度的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。根據(jù)實踐經(jīng)驗，的取值范圍一般以 0.10.3 為宜。 值愈大，系數(shù)序列衰度，所以實際上 取值大小起著控制參加平均的歷史數(shù)據(jù)的個數(shù)的作用。 值愈大意味著采用的數(shù)據(jù)愈少。因此， 可以得到選擇 值的一些基

44、本準(zhǔn)則。（1）如果序列的基本趨勢比較穩(wěn)，偏差由隨機(jī)因素造成，則 值應(yīng)取小一些，以減少修正幅度，使模型能包含歷史數(shù)據(jù)的信息。（2）如果目標(biāo)的基本趨勢已發(fā)生系統(tǒng)的變化，則 值應(yīng)取得大一些。這樣，可以偏重新數(shù)據(jù)的信息對原模型進(jìn)行大幅度修正，以使化。模型適應(yīng)目標(biāo)的新變另外，由于指數(shù)平滑公式是遞推計算公式，所以必須確定初始值 S (1) , S (2) , S (3) 。000可以取前 35 個數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值作為初始值。§4差分指數(shù)平滑法在上節(jié)我們已經(jīng)講過，當(dāng)時間序列的變動具有直線趨勢時，用一次指數(shù)平滑出現(xiàn)滯后偏差，其原因在于數(shù)據(jù)不滿足模型要求。因此，我們也可以從數(shù)據(jù)變換的角度來考慮改進(jìn)措施

45、，即在運用指數(shù)平滑法以前先對數(shù)據(jù)作一些技術(shù)上的處理，使之能適合于一次指數(shù)平滑模型，以后再對輸出結(jié)果作技術(shù)上的返回處理，使之恢復(fù)為原變量的形態(tài)。差分方法是改變數(shù)據(jù)變動趨勢的簡易方法。下面我們討論如何用差分方法來改進(jìn)指數(shù)平滑法。4.1一階差分指數(shù)平滑法當(dāng)時間序列呈直線增加時，可運用一階差分指數(shù)平滑模型來。其公式如下：（25）（26）（27）Ñyt = yt- yt-1Ñyt +1 = aÑyt + (1 - a )Ñytyt+1 = Ñyt +1 + yt其中的Ñ 為差分記號。式（25）表示對呈現(xiàn)直線增加的序列作一階差分，構(gòu)成一個平穩(wěn)的新

46、序列；式（27）表示把經(jīng)過一階差分后的新序列的指數(shù)平滑值與變量當(dāng)前的實際值迭加，作為變量下一期的因為值。對于這個公式的數(shù)學(xué)意義可作如下的解釋。yt+1 = yt +1 - yt+ yt = Ñyt +1 + yt（28）當(dāng)我們采用按式（26）計算的值去估計式（28）中的 yt +1 ，從而式（28）等號左邊的 yt +1 也要改為值，亦即成為式（27）。在前面我們已分析過，指數(shù)平滑值實際上是一種平均數(shù)（指數(shù)平滑值）加上當(dāng)前值的實際數(shù)進(jìn)行平均數(shù)。因此把序列中逐期增，比一次指數(shù)平滑法只用量的變量以往取值的平均數(shù)作為下一期的更合理。從而使值始終實際值上下波動，從根本上解決了在有直線增長趨勢

47、的情況下，用一次指數(shù)平滑法所得出的結(jié)果始終落后于實際值的問題。例 7某工業(yè)企業(yè) 19771986 年鍋爐消耗量。消耗量資料如表 8 所示，試1987 年的表 8 某企業(yè)鍋爐消耗量的差分指數(shù)平滑法計算表（ a = 0.4 ）（：百噸）-488-年份t消耗量 yt差分差分指數(shù)平滑值值1977124消耗量，除個別年份外，逐期增長量大體在 200 噸左解 由資料可以看出，。我們?nèi) = 0.4 ，初始值消耗量為右，即呈直線增長，因此可用一階差分指數(shù)平滑模型來為差分序列首項值，計算結(jié)果列于表 8 中。1987 年= 2.49 + 44 = 46.49 （百噸）。y19874.2二階差分指數(shù)平滑模型當(dāng)時間

48、序列呈現(xiàn)二次曲線增長時，可用二階差分指數(shù)平滑模型來下：，計算公式如Ñyt = yt- yt-1（29）（30）（31）（32）Ñ2 y = Ñy - Ñyttt-1Ñ2 y= aÑ2 y + (1 - a )Ñ2 yt +1ttyt+1 = Ñ y+ Ñy + y2t+1tt其中Ñ2 表示二階差分。因為yt+1 = yt +1 - yt+ yt = Ñyt +1 + yt = (Ñyt+1 - Ñyt ) + Ñyt + yt = Ñ y+ &#

49、209;y + y2t+1tt同樣，用Ñ2 y的估計值代替Ñ2 y得到式（32）。t +1t +1差分方法和指數(shù)平滑法的運用，除了能克服一次指數(shù)平滑法的滯后偏差之外，對初始值的問題也有顯著的改進(jìn)。因為數(shù)據(jù)經(jīng)過差分處理后，所產(chǎn)生的新序列基本上是平穩(wěn)的。這時，初始值取新序列的第一期數(shù)據(jù)對于未來值有多大影響。其次，它拓展了指數(shù)平滑法的適用范圍，使一些原來需要運用配合直線趨勢模型處理的情況可用這種組合模型來取代。但是，對于指數(shù)平滑法存在的系數(shù)的選擇問題，以及只能逐期問題，差分指數(shù)平滑模型也沒有改進(jìn)。§5自適應(yīng)濾波法5.1自適應(yīng)濾波法的基本過程自適應(yīng)濾波法與移動平均法、指數(shù)平滑法一樣，也是以時間序列的歷史觀測值進(jìn)行某種平均來的，它要尋找一組“最佳”的權(quán)數(shù)，其辦法是先用一組給定的權(quán)數(shù)來計算一個值，然后計算誤差，再根據(jù)誤差調(diào)整權(quán)數(shù)以減少誤差。這樣反復(fù)進(jìn)行，直至找出一組“最佳”權(quán)數(shù)，使誤差減少到最低限度。由于這種調(diào)整權(quán)數(shù)的過程與通訊工程中的傳輸噪聲過濾過程極為接近，故稱為自適應(yīng)濾波法。自適應(yīng)濾波法的基本公式為-489-19782262198043031.628.6198153222.1632.1034.10198373631.6