中考幾何證明經(jīng)典題型

1、幾何證明經(jīng)典題型（提高）1.如圖10-1,四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合）,以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG,連結(jié)BG,DE.我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系:（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出圖10-1中線段BG、線段DE的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系;將圖10-1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順日針（或逆日針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度豆，得到如圖10-2、如圖10-3情形.請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量等方法判斷中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖10-2證明你的判斷.（2）將原題中正方形改為矩形（如圖10-410-6），且AB=a,BC=b,CE=

2、ka,CG=kb（a#b,kM0），試判斷（1）中得到的結(jié)論哪個(gè)成立，哪個(gè)不成立？并寫(xiě)出你的判斷，不必證明.（圖10-4）（圖10-5）（圖10-6）1（3）在圖10-5中，連結(jié)DG、BE,且a=4,b=2,k=一，則BE2+DG2=2答案：BG=DE;BG±DE;中得到的結(jié)論仍然成立BGLDE成立;DEBG丫四邊形力RCZ)和四邊形幼仃汾別是正方形,CG=CE.BC=CD./£CG=N6CO=90。ZECGZDCG=ZBCD+ZDCG即/口CE=ABCGbBCG=ADCEDE=BG£C£E)二£BGC-CQEADQG/CQW+/CEO=90。

3、,ZDQG+2BGC=舒£GOK=90°:DE_LBG.BE2+DG2=25_CE±BD于點(diǎn)E,交AB于2.如圖1,GABC中，/ACB=90°,AC=BC,BD是中線,點(diǎn)F。求證：/ADF=ZCDEo簡(jiǎn)證：過(guò)點(diǎn)A作AG，AC交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Go因?yàn)?I=90°/3=/2,AC=BC,所以Rt3AG用區(qū)CD(ASA)。所以AG=CD=AD,ZG=ZCDEo因?yàn)閆4=45°=Z5,AF=AF,所以ADFzAGF(SAS)。3.如圖，四邊形ABCD中，AC平分/BAD,CEXAB于點(diǎn)E,AE=1(AD+AB)。2求證：/ADC+/ABC

4、=180°。簡(jiǎn)證：過(guò)點(diǎn)C作CFAD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Fo所以/ADF=/G=/CDE。因?yàn)?2=/3,AC=AC,所以RtMCF不t"CE(AAS)。所以CF=CE,AF=AEo因?yàn)锳D+AB=2AE,AB=AE+EB,所以EB=AE-AD。因?yàn)镕D=AF-AD,所以EB=FD。所以RtzCEBRtz2CFD(SAS)。所以/ABC=/5。所以/ADC+/ABC=/ADC+/5=180°。4,已知：NMAN,AC平分/MAN.在圖1中，若/MAN=120°/ABC=ADC=90°,AB+ADAC.（填寫(xiě)“>”，“<”，“=”）在圖2

5、中，若/MAN=120°/ABC+jADC=180°,則中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.在圖3中：若/MAN=60°/ABC+ADC=180°,判8AB+AD與AC的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;若/MAN=a(0。180°,)/ABC+2ADC=180則AB+AD=ACa的三角函數(shù)表示，直接寫(xiě)出結(jié)果，不必證明）（用含圖123.解:AB圖2圖3AD=AC.(2)仍然成立.證明：如圖2過(guò)C作CELAM于E,CF±ANTF,則/CEA=/CFA=90°. AC平分/MAN,/MAN=120°,Z

6、MAC=/NAC=60°.又AC=AC,AECAAFC,AE=AF,CE=CF. 在RtCEA3,/EAC=60°,/ECA=30°,AC=2AE.AE+AF=2AE=AC,ED+DA+AF=AC ZABC+ZADC=180°,CDE+/ADC=180ZCDE=ZCBF.又CE=CF,ZCED=ZCFB,CEDACFB.ED=FB,FB+DA+AF=AC.AB+AD=ACAB+AD=73AC.證明：如圖3,方法同(2)可證AGCAAHC.AG=AH. /MAN=60°,zGAC=/HAC=30°. -ag=ah=13ac-ag+ah=

7、mac-GD+DA+AH=V3aC.方法同(2)可證GDCHBC.GD=HB,.HB+DA+AH=V3AC.AD+AB=.3AC.AB+AD=2cosAC.25.如圖所示，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的正方形紙片，點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，OC=4,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,0),過(guò)點(diǎn)N且平行于y軸的直線MN與EB交于點(diǎn)M,現(xiàn)將紙片折疊，使頂點(diǎn)C落在MN上,并與MN上的點(diǎn)G重合，折痕為EF,點(diǎn)F為折痕與y軸的交點(diǎn)。(1)求點(diǎn)G的坐標(biāo)；(2)求折痕EF所在直線的解析式；(3)設(shè)點(diǎn)P為直線EF上的點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P,使得以P、F、G為頂點(diǎn)的三角形為等

8、腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。答案：(1)二.四邊形ABCO是正方形.BC=OA=41 .E為CB中點(diǎn)，EB=2.MNy軸，N(3,0).MN±EB,且MB=NA=1.EM=1EG=EC=2,sinZEGM=-而_一2 .zEGM=30°,MG=EGcos30=£.G(3,4-萬(wàn))(2) ,./EGM=30°JMEG=ZFEG=/CEF=60°.CF=CEtan60°=比.FO=4T比o/.F(0,47N3),E(2,4)設(shè)直線ef的解析式為y=b+b(k*。)2k十b=4力=4-2后1rB折痕ef所在

9、直線解析式為y二松+4-2黃（3）如圖所示,雙一胞1-2幣）P"聯(lián)國(guó)-2通汽34+而。6.如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,ZB=90",AD=AB=2,點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)ED,過(guò)ED的中點(diǎn)F作ED的垂線，交AD于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)K作KMXAD于M.t、，DM-（1）當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，求的值；DG（2）若純=1,則皿的值等于；AB3DG.AE1（3）若遍=一（n為正整數(shù)），則DM的值等于（用含n的式子表示）DG答案：（1）連接GE.-.KM±AD,KG是DE的垂直平分線ZKMG=ZDFG=90，/GKM=ZGDF1 .MK

10、=AB=AD,ZKMG=/DAE=902 .AKMG任DAE.MG=AE.E是AB中點(diǎn)，且AB=AD=2.AE=MG=1,KG是DE的垂直平分線.GE=GD設(shè)GE=GD=x則AG=2-x在RtAAEG中,/EAG=90(3)(n-1)2由勾股定理得（2-x）2+12=x251DM12.x=-.-.DM=GD-GM=一=(2)一44DG557.如圖所示，等腰RtABC的直角邊AB=2，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同速度做直線運(yùn)動(dòng)。已知點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿邊BC的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，PQ與直線AC相交于點(diǎn)D。（1）設(shè)AP的長(zhǎng)為x,APCQ的面積為S,求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)ap的

11、長(zhǎng)為何值時(shí)，,地W=力恥c?（3）作PEXAC于E,當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度是否改變？證明你的結(jié)論。答案：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如圖（1）所示'iPCQPB.AP=CQ=x,PB=2-xJU：S=-l鏟+x(0<x<2)即二當(dāng)點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖（2）所示=,CQ-pb,.AP=CQ=x,PB=x-2二八PCQ=Q4-4subc=-x2x2=22/+乂=2令,即x1-2x+4=0,此方程無(wú)實(shí)根;令解得2-x2-x=22，即x'-3x-4=(I。八1±5舍去負(fù)值。.X=l+6故當(dāng)AP的長(zhǎng)為1+店時(shí)，£翅W=$AAKAE=EF(3

12、)作PF/BC交AC的延長(zhǎng)線于F,貝UAP=PF=CQ,APFDsAQCD.DF=CD當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí),de=ef+fd=1af+1cf=1ac=72_J二當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，=Laf-1cf=1ac=72de=effd222故當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度保持不變，始終等于色8.我們知道三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.經(jīng)過(guò)證明我們可得三角形重心具備2：1.請(qǐng)你用卜面的性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到該頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為此性質(zhì)解決下面的問(wèn)題已知：如圖，點(diǎn)O為等腰直角三角形ABC的重心，NCAB=90=,直線m過(guò)點(diǎn)O,過(guò)A、B、C三點(diǎn)分別作直線m的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E、F

13、.(1)當(dāng)直線m與BC平行時(shí)(如圖1),請(qǐng)你猜想線段BE、CF和AD三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明；(2)當(dāng)直線m繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到與BC不平行時(shí)，分別探究在圖2、圖3這兩種情況下，上答案：(1)猜想：BE+CF=AD證明：如圖，延長(zhǎng)AO交BC于M點(diǎn),點(diǎn)O為等腰直角三角形ABC的重心MCAO=2OM且AM±BC又EF/ZBC.-.AM±EF.BEXEF,CFJ_EF.EB/ZOM/OF.EB=OM=CF.EB+CF=2OM=AD(2)圖2結(jié)論：BE+OF=AD證明：聯(lián)結(jié)AO并延長(zhǎng)交BO于點(diǎn)G,過(guò)G做GH，EF于H由重心性質(zhì)可得AO=2OG.,"DO=ZOHG=90°

14、,ZAOD=/HOG.AODs&OH圖2.AD=2HG,.O為重心 .G為BO中點(diǎn) .GH±EF,BE±EF,OF±EF.EB/7HG/OF .H為EF中點(diǎn)1.HG=(EB+OF)2.EB+OF=AD(3)OFBE=AD9.已知：如圖所示，梯形ABOD中，AB/OD,ZO=90,AB=BO=4,OD=6。(1)點(diǎn)E為BO邊上一點(diǎn),EF/AD,交OD邊于點(diǎn)F,FG/EA,交AD邊于點(diǎn)G,若四邊形AEFG為矩形，求BE的長(zhǎng);且：為x,BD(2)如圖所示，將(1)中的/AEF繞E點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為/A'EF,EF交CD邊于F點(diǎn),點(diǎn)與D點(diǎn)不重合，射線EA!交A

15、B邊于點(diǎn)M,作FN/EA'交AD邊于點(diǎn)N,設(shè)BMANF'D中，F(xiàn)D邊上的高為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及自變量x的取值范圍。四邊形AEFG為矩形.zAEF=90./+Z3=90£=90,.,.2+Z3=90./=Z2.EF/AD。Z2=ZD./=ZD.AB=BC=CH=4.HD=CDCH=2.nAH40Dm=2. HD2竺=2. tanZ1=. BE=2，即E為BC的中點(diǎn)。(2)如圖所示，作NPXCD于點(diǎn)P,則PN=y可得/4=Z5=Z6,它們的正切值相等。BMCEFFBECPPNx2PF即：1©tanDyPN2,PDy-6-x0CD=CF'+PF&

16、#39;+PD,<4xyyy整理，得二.當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)（如圖所示）BECEItan/EDC=-=-ZBEM=/EDC,CD3BE2BMx1.tan/BEM23.x的取值范圍為-<x<4310.在ABC中，AC=BC,/ACB=90,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn).(1)如圖1,E為線段DC上任意一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段DF,連結(jié)CF,過(guò)點(diǎn)F作FH-LFC,交直線AB于點(diǎn)H.判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明.（2）如圖2,若E為線段DC的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，（1）中的其他條件不變，你在（1）中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變，直接寫(xiě)出你的結(jié)論，不必證明.答案:FH與FC的數(shù)量

17、關(guān)系是：FH=FC.證明：延長(zhǎng)DF交AB于點(diǎn)G,由題意，知ZEDF=ZACB=90,DE=DF.DG/CB. 點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，1 點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，且DC=AC.2 .DG為ABC的中位線.-1-DG=BC.2AC=BC,.DC=DG.DC-DE=DG-DF.即EC=FG.ZEDF=90,FH-LFC,/+/CFD=90°,N+/CFD=90/=/2.11如圖1,在CABCD中，AEXBCTE,E恰為BC的中點(diǎn)，tanB=2.(1)求證：AD=AE;(2)如圖2,點(diǎn)P在BE上，作EF±DP于點(diǎn)F,連結(jié)AF.求證：DF-EF=*15aF;請(qǐng)你在圖3中畫(huà)圖探究：當(dāng)P為射線EC

18、上任意一點(diǎn)（P不與點(diǎn)E重合）時(shí)，作EF，DP于點(diǎn)F,連結(jié)AF,線段DF、EF與AF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫(xiě)B(tài)出你的結(jié)論.圖1圖2圖3答案:1）在Rt必BE中，ZAEB=90cAEtanB=2BE，AE=2BE.E為BC的中點(diǎn)，.BC=2BE.AE=BC.ABCD是平行四邊形,.AD=BC.AE=AD.AD=AE,圖9.ZADHAEF.ZHAD=ZFAE,AH=AF.zFAH=90.在RtAFAH中，AH=AF,.FH=&AF.FH=FD-HD=FD-EF=&AF.即DF-EF=、.2AF.(3)按題目要求所畫(huà)圖形見(jiàn)圖9,線段DF、EF、AF之間的數(shù)量關(guān)系為：DF+EF=*2

19、AF.12.小華用兩塊不全等的等腰直角三角形的三角板擺放圖形(1)如圖所示ABC,ADBE,兩直角邊交于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作FG/BC交AB于點(diǎn)G,連結(jié)BF、AD,則線段BF與線段AD的數(shù)量關(guān)系是;直線BF與直線AD的位置關(guān)系是,并求證：FG+DC=AC;(2)如果小華將兩塊三角板4ABC,4DBE如圖所示擺放，使D、B、C三點(diǎn)在一條直線上，AC、DE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作FG/BC,交直線AE于點(diǎn)G,連結(jié)AD,FB,則FG、DC、AC之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是;(3)在(2)的條件下，若AG=7s/2,DC=5,將一個(gè)45°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)B重合，并繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，這個(gè)角的兩邊分別交線段FG于

20、P、Q兩點(diǎn)(如圖)，線段DF分別與線段BQ、BP相交于M、N兩點(diǎn)，若FF12-112-2，G=2,求線段MN的長(zhǎng).12-3(1)結(jié)論:則線段BF于線段AC的數(shù)量關(guān)系是:相等；直線BF于直線AC的位置關(guān)系是：互相垂直;證明：:Aabc、BDE是等腰直角三角形'/ABC=/BAC=BDE=45°,AD_BCCFD=45CD=CFFG/BC.AGF"ABC=45FG=AFAD=AFFCAD=FGDC(2)FG、DC、AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是FG=AD+DC;(3)過(guò)點(diǎn)B作BHIFG垂足為H,過(guò)點(diǎn)P作PK_LAG垂足為K丁FG/BC,C、D、B在一條直線上，可證MFG、A

21、DCF是等腰直角三角形，AG=72,CD=5,根據(jù)勾股定理得：AF=FG=7,FD=5%,2AC=BC=2BD=3丁BH_LFG,BH/CF,BHF=90FG/BC二四邊形CFHB是矩形BH=5,FH=2:，F(xiàn)G/BC-G=45-HG=BH=5,BG=572PK_AG,PG=2PK=KG=2BK=52-2=4.2.PBQ=45,.HGB=45.GBH=45.1=/2丁PK_LAG,BH_LFG.BHQ=.BKP=90:.ABQHsABPKPKBKQH-BHQH=4FQ=34FG/BC.D=.MFQ,.DBM=.FQM二AFQMsADBMDM=4.2BDNsPFNDN15-28D"MF

22、Q,DNB二FNPDNBD-=FNPF15.217、2MN=4,2-=8813.(1)已知：如圖1,AABC中，分別以AB、AC為一邊向ABC外作正方形ABGE和ACHF，直線AN_LBC于N,若EP_LAN于P,FQ_LAN于Q.判斷線段EP、FQ的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖2,梯形ABCD中，AD/BC,分別以兩腰AB、CD為一邊向梯形ABCD外作正方形ABGE和DCHF,線段AD的垂直平分線交線段AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N,若EP,MN于P,FQ，MN于Q.(1)中結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由EPEPQFFGADHHCBNB1PEABFGHBEPA辿ANBKPNEPNRQFGDMA作JK，A

23、D交EP于AD/BC3=/2P=ANBEP=ANAE=AB12.9013=90NCEP二FQNC同理可證FQ=AND作RT，AD交FQ于REP-LAN,AN-LBCA.-MJ-PE1GHB圖2KNTC四邊形AKNM為平行四邊形.AK=MN.同理可得DT=MN.AK=DT.又EP1MN,JK/PN,AD/BC,.JK-LEP,JK-LBC,同(1)的證明可得EJ=AK,FR=DT.EJ=FR.由平行四邊形JAMP和QMDR可知JP=AM,QR=MD.又.AM=MD,.JP=QR.，EJ+JP=QR+RF，EP=FQ.DEF與AADG都是等腰直角三角形，ZDEF=ZDGA=45.XEF=/FGH=

24、135.HEFzFGH.CF=FH.(2)FH與FC仍然相等.14如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)M,正方形MNPQ與正方形ABCD全等，射線MN與MQ不過(guò)A、B、C、D四點(diǎn)且分別交ABCD的邊于E、F兩點(diǎn).(1)求證：ME=MF;(2)若將原題中的正方形改為矩形，且BC=2AB=4,其他條件不變，探索線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系.答案：過(guò)點(diǎn)M作MG，BC于點(diǎn)G,MH，CD于點(diǎn)H.dMGE=ZMHF=900.,.M為正方形對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，MG=MH0X/Z1+ZGMQ=Z2+ZGMQ=90,./=Z2.在HIGE和內(nèi)MHF中"Z1=Z2,彳MG=MH,ZMGE=

25、ZMHF.dMGEWIHF.ME=MF.(2)解：當(dāng)MN交BC于點(diǎn)E,MQ交CD于點(diǎn)F時(shí).過(guò)點(diǎn)M作MG,BC于點(diǎn)G,MH,CD于點(diǎn)H.5GE=ZMHF=900.AM2QFDBEGCHN.M為矩形對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn),/+/GMQ=Z2+ZGMQ=900./=Z2.在dMGE和dMHF中,Z1=Z2ZMGE=ZMHFZMGEs/mhF.ME_MG.MFMH.M為矩形對(duì)角線AB、AC的交點(diǎn)，MB=MD=MC又;MG±BC,MH±CD,.點(diǎn)G、H分別是BC、DC的中點(diǎn).BC=2AB=4,i11八.MG=AB,MH=BC.22ME1=一.MF2當(dāng)MN的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)E,MQ交BC于點(diǎn)F時(shí).過(guò)點(diǎn)M作MG±AB于點(diǎn)G,MHI±BC于點(diǎn)H.5GE=ZMHF=900.M為矩形對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)， /+/GMQ=Z2+ZGMQ=900. ./=/2.在dMGE和WHF中，Z1=Z2,<ZMGE=ZMHF. ZMGEs/mhF.MEMG=.MFMH,.M為矩形對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，MB=MA=MC又MGSAB,MH，BC,點(diǎn)G、H分別是AB、BC的中點(diǎn).BC=2AB=4,/.MG1-=BC,MH2=