一道高考題的數(shù)學(xué)研究講解學(xué)習(xí)

1、<<<<<<精品資料»»»»解法1 :由題設(shè)知y -直線4產(chǎn)的方程為直線40的方程為聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo)為則 0 , rJ卜山，4（-屈0）, 4（屈。），則有西+飛白,了.2 廣島2金1 ,，即X ,X , L- 3 -12 .又由點(diǎn)在雙曲線 2 上一道高考題的數(shù)學(xué)研究 J 二j A題目：（2010年廣東卷理20）已知雙曲線2的左、右頂點(diǎn)分別為4,4,點(diǎn)尸卜1，兇），。（再,一為）是雙曲線上不同的兩個(gè)動點(diǎn).（I）求直線 屈與碰 交點(diǎn)的軌跡E的方程；（n）若過點(diǎn)H（0，用仇> 1）的兩條直線,1和4與軌跡E都只有一個(gè)

2、交點(diǎn)，且&U ,求力的 值.本文只討論問題（I）1.不同解法研究一個(gè)數(shù)學(xué)問題可以從多種角度去思考，并且都能得到最終想要的結(jié)果。那么這個(gè)問題就是一個(gè)好問題。上述題目問題 （I）就是這樣一個(gè)問題，下面給出幾個(gè)不同思考角度的幾種解 法：將代入上式，整理得所求軌跡 S的方程為2解法2 :由題設(shè)知 |力上，4線0), 4篇0)直線4戶的方程為y-%+肉西+6 d直線42的方程為西一 J2<<<<<<精品資料»»»»設(shè)點(diǎn)肪(x,y)是4P與AO的交點(diǎn),由x得'&-才-1又點(diǎn)在雙曲線上，因此2即才嗎1代入式整

3、理得因?yàn)辄c(diǎn)P ,。是雙曲線上的不同兩點(diǎn)，所以它們與點(diǎn)均不重合.故點(diǎn)和地均不在軌跡總上.過點(diǎn)(0)及4卜但，0)的直線的方程為解方程組得”在，"。.所以直線,與雙曲線只有唯一交點(diǎn)4 .故軌跡e不經(jīng)過點(diǎn)(o,i).同理軌跡s也不經(jīng)過點(diǎn)(a -1)綜上分析，軌跡£的方程為2 一，/。且x*士力解法3 :由題設(shè)知 出也,4"。)，4展o),設(shè)&=<<<<<<精品資料»»»»4Q）=玲卜一回）因?yàn)辄c(diǎn)尸在&F上，點(diǎn)。在4。上，所以乃=£k+"），._ 一例:a）-乃

4、=用（丹-血）.兩式相加得，0二也+內(nèi)尢+萬達(dá)-月），即1 九+ 與二后卜氣工三一血代+切_2又由L二島卜一企）得用一四，二相七二2,即V：.二 1 一，（用一月）+、巧=27 占+/J 無l+芍&+勺）+正_ - 2島.晶kh J -占.二 _1一/ 二血 _s/2y:.y ,十島、，%丁， 22則"0, kk，2.而點(diǎn)尸】）在雙曲線萬一）-1上,一為二.巴+ j將代入上式，整理得所求軌跡 £的方程為 了+, - ，1=0且了=±、行.解法4 :設(shè)點(diǎn)"（三）是直線4尸與4。的交點(diǎn),因?yàn)?、"、尸三點(diǎn)共線，所以y _ 71x +亞石+后

5、,y _ -因?yàn)?、m、。三點(diǎn)共線，所以x-J2 %一也,二 3X得-2至-2 .,pfy v,7?-/ = 1-y? = 1 y；=小；- 2）又點(diǎn)尸孫以在雙曲線2上，因此2，即 2、4.代入式- 十2_ 整理得2 一.因?yàn)辄c(diǎn)H0是雙曲線上的不同兩點(diǎn)，所以它們與點(diǎn)4,4均不重合.故點(diǎn)4與4均不在軌跡總上.過點(diǎn)（0及以近'。）的直線/的方程為1+二0.x +短y短=0解方程組萬 ,一 得x二也y=0.所以直線/與雙曲線只有唯一交點(diǎn) 4 .故軌跡月不經(jīng)過點(diǎn)（。1）同理軌跡£也不經(jīng)過點(diǎn)（0，T）綜上分析，軌跡£的方程為萬 , 一 ，工mO且口 = 1從上述的解答過程可看

6、到，由雙曲線2 丁 一的頂點(diǎn)出發(fā)，分別引出兩條動直線 4F與2_ a_40,探究兩條動直線交點(diǎn)"（x,j）的軌跡，恰是與已知雙曲線萬y一在結(jié)構(gòu)上對稱A 34y =1的橢圓2。這樣的題目與所求結(jié)果只差一個(gè)符號：" 一”變成“ + ”。2、改造題目上述方程由“ 一 ”變成“ + ”可以，由“ + ”變成“一”也可以，如下：一 + 2 -1命題1：已知橢圓萬十, 一的左、右頂點(diǎn)分別為4,4 ,點(diǎn)F（砥乃），Q儲廣為）是2=1橢圓上不同的兩個(gè)動點(diǎn).則直線必與&Q 交點(diǎn)的軌跡總的方程為：2（工H 士也。證明：以上4種解法都可以證明之， 這里只給出解法 1的證明過程：由題設(shè)知卜

7、l| <15 ,4（&叫,4（后。），則有直線4尸的方程為y 直線40的方程為聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo)為西，X + 力 _則忖 也.又由點(diǎn)在橢圓2 一上,）將代入上式，整理得所求軌跡£的方程為2一-1一CM 1X 21y I y I雙曲線2與橢圓2這兩個(gè)方程通過兩直線的軌跡問題相互之間轉(zhuǎn) 換，再推廣更一般的雙曲線與橢圓也通過上述的兩直線軌跡問題的相互轉(zhuǎn)換得: y Ir= 14 a命題2:已知雙曲線 j（或橢圓）的左、右頂點(diǎn)分別為 A ,4，點(diǎn)f（a，k）,。（七，一力）是雙曲線（或橢圓）上不同的兩個(gè)動點(diǎn).則直線AF與可。交點(diǎn)的軌跡/2121_+ y - 1*.- y = 1.&

8、#163;的方程為橢圓 /, xH Q且±a（或雙曲線, XH ±2）。證明：命題2的證明也都可以用上面的 4種解法來解決，證明過程是類似的，限于篇幅, 這里就不詳述了。3.數(shù)學(xué)對稱由題目的左、右頂點(diǎn)分別為4,4知，A和4是關(guān)于y軸對稱的，而由點(diǎn)尸（汨力）， 的坐標(biāo)知，?和。是關(guān)于x軸對稱的。若把這兩個(gè)對稱關(guān)系改變一下，即，A和 凡是關(guān)于1軸對稱，p和。是關(guān)于y軸對稱，又會出現(xiàn)什么樣的結(jié)果呢？匕一/一1 二+二命題3:已知雙曲線4?（或橢圓短）的上、下頂點(diǎn)分別為4 丸y）,。（一百書）是雙曲線（或橢圓）上不同的兩個(gè)動點(diǎn).則直線4尸與4。交點(diǎn)的軌跡匕+-=1 八匕-幺-1,&

9、#163;的方程為橢圓 儕,7 = 0且）=始（或雙曲線爐,"叱）。證明：（先證由雙曲線與-二1變成橢圓會 +，=1）由題設(shè)知K14（0上），4（08）則有直線4產(chǎn)的方程為<<<<<<精品資料»»»»直線版的方程為二T"y =聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo)為71 ,口乃二一，即 y ,bx演二一 1y ,區(qū)y * Q且1yM又由點(diǎn)出汨力）在雙曲線h1 1.將代入上式，整理得所求軌跡E的方程為b=1尸0且尸坎匕+1?=1 匕_/ = （再證由橢圓b2變成雙曲線b2一）直線40的方程為4(0時(shí),4(08)則有直線4產(chǎn)的方程為yb-xg甌b2bxy =x = 力=聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo)為A，%,即y,y,則M>3.又由點(diǎn)("J在橢圓記+工上，一記+為 一、將代入上式，整理得匕有 ,所求軌跡總的方程為以，"母 證完。匕幺=1從命題3可看到，題目中條件的對稱性可以互換， 而得到的結(jié)果是把雙曲線 b1變22i匕+ /= + =1 匕-/ =1成橢圓b2,或橢圓b2變成雙曲線短，在結(jié)構(gòu)上