第五章根軌跡法ppt課件

1、第五章第五章 根軌跡法根軌跡法 5.1 根軌跡法的根本概念根軌跡法的根本概念 根軌跡定義：根軌跡定義： 以系統(tǒng)中某一參數(shù)通常為開環(huán)增益以系統(tǒng)中某一參數(shù)通常為開環(huán)增益K為為變量，當(dāng)變量由變量，當(dāng)變量由0變化到無窮時(shí)，在變化到無窮時(shí)，在S復(fù)平面復(fù)平面上描畫的系統(tǒng)閉環(huán)特征方程根的分布曲線。上描畫的系統(tǒng)閉環(huán)特征方程根的分布曲線。 根軌跡分析法的特點(diǎn)：根軌跡分析法的特點(diǎn)： 利用系統(tǒng)開環(huán)傳送函數(shù)的零、極點(diǎn)信息，根利用系統(tǒng)開環(huán)傳送函數(shù)的零、極點(diǎn)信息，根據(jù)一些簡(jiǎn)單規(guī)那么，繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡據(jù)一些簡(jiǎn)單規(guī)那么，繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡圖閉環(huán)極點(diǎn)分布圖，間接研討閉環(huán)系統(tǒng)圖閉環(huán)極點(diǎn)分布圖，間接研討閉環(huán)系統(tǒng)的性質(zhì)。它可防

2、止求解閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的性質(zhì)。它可防止求解閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的復(fù)雜運(yùn)算，是求解閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的的復(fù)雜運(yùn)算，是求解閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的一種簡(jiǎn)便圖解法。一種簡(jiǎn)便圖解法。 基于根軌跡法的系統(tǒng)設(shè)計(jì)思想：基于根軌跡法的系統(tǒng)設(shè)計(jì)思想： 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的分布可決議系統(tǒng)的穩(wěn)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的分布可決議系統(tǒng)的穩(wěn)定性、靜態(tài)和動(dòng)態(tài)性能，是綜合表達(dá)系統(tǒng)設(shè)定性、靜態(tài)和動(dòng)態(tài)性能，是綜合表達(dá)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的性能目的。工程設(shè)計(jì)中通常是提出希望計(jì)的性能目的。工程設(shè)計(jì)中通常是提出希望的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)特征根分布目的要求，的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)特征根分布目的要求，經(jīng)過根軌跡圖，確定滿足目的要求的系統(tǒng)參經(jīng)過根軌跡圖，確定滿足目的要求的系統(tǒng)

3、參數(shù)，完成控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)?；诟壽E的設(shè)數(shù)，完成控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。基于根軌跡的設(shè)計(jì)方法是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的一種有效簡(jiǎn)便的圖計(jì)方法是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的一種有效簡(jiǎn)便的圖解方法。解方法。-0.5-10jsK=0K=0K=0.25閉環(huán)特征方程：閉環(huán)特征方程：闡明：該圖為閉環(huán)特征方程關(guān)于開環(huán)增益參數(shù)闡明：該圖為閉環(huán)特征方程關(guān)于開環(huán)增益參數(shù)K0，的根軌跡圖。一個(gè)的根軌跡圖。一個(gè)K值對(duì)應(yīng)根軌跡上一值對(duì)應(yīng)根軌跡上一組根，箭頭表示組根，箭頭表示K增大時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)特征根挪動(dòng)增大時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)特征根挪動(dòng)的方向。由根軌跡圖可直觀分析系統(tǒng)穩(wěn)定性和動(dòng)的方向。由根軌跡圖可直觀分析系統(tǒng)穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能：態(tài)性能：K取任何值，閉環(huán)極點(diǎn)總分布于左

4、半平面，取任何值，閉環(huán)極點(diǎn)總分布于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定；給定系統(tǒng)穩(wěn)定；給定K值可確定閉極點(diǎn)位置特性。值可確定閉極點(diǎn)位置特性。 本例是經(jīng)過計(jì)算特征根描畫根軌跡的，普通復(fù)本例是經(jīng)過計(jì)算特征根描畫根軌跡的，普通復(fù)雜系統(tǒng)根軌跡繪制不采用復(fù)雜的計(jì)算法，是根據(jù)雜系統(tǒng)根軌跡繪制不采用復(fù)雜的計(jì)算法，是根據(jù)一定簡(jiǎn)單規(guī)那么繪制的，例如根軌跡起點(diǎn)于開環(huán)一定簡(jiǎn)單規(guī)那么繪制的，例如根軌跡起點(diǎn)于開環(huán)極點(diǎn)等。極點(diǎn)等。Ks(s+1)K:0 S2+s+K=0特征根：特征根：s1,2= 1/21/214kK=0時(shí)，時(shí)， s1=0,s2=10K0.25 時(shí)，有兩個(gè)負(fù)實(shí)根時(shí)，有兩個(gè)負(fù)實(shí)根 ； K=0.1時(shí)，時(shí)，s1=0.113, s2

5、=0.887K=0.25時(shí)，時(shí)，s1=s2=0.5 0.25K時(shí)，時(shí)，s1，2=0.50.5j4K1根軌跡概念舉例分析根軌跡概念舉例分析 5.2.1 模條件與角條件模條件與角條件 1、根軌跡應(yīng)滿足的根本條件、根軌跡應(yīng)滿足的根本條件 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳送函數(shù)普通方式為：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳送函數(shù)普通方式為：G0(S)=KN(S)/D(s) 閉環(huán)特征方程為：閉環(huán)特征方程為： G0(S)+1=0，或，或G0(S) =-1 當(dāng)當(dāng)s取某一復(fù)數(shù)值時(shí)，方程左端是一個(gè)復(fù)取某一復(fù)數(shù)值時(shí)，方程左端是一個(gè)復(fù)數(shù)，可用極坐標(biāo)摸角方式表示為：數(shù)，可用極坐標(biāo)摸角方式表示為： G0(S)= G0(S) ejargG(s)= -1ejarc

6、tg(0/-1=0) 根據(jù)方程兩端摸角相等，可得到特征根根據(jù)方程兩端摸角相等，可得到特征根應(yīng)滿足的摸角特征方程表達(dá)式：應(yīng)滿足的摸角特征方程表達(dá)式： 摸值摸值G0(S)= KN(s)/D(S)= 1 摸值條摸值條件件 相角相角 arg G0(S)=(2k+1)，k=0,1,2, 相角條件相角條件 這就是特征根這就是特征根s*應(yīng)滿足的摸角條件。應(yīng)滿足的摸角條件。 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)K:0 的取值，在的取值，在s平面上滿足摸角條件的平面上滿足摸角條件的特征根軌跡，稱為關(guān)于增益參數(shù)特征根軌跡，稱為關(guān)于增益參數(shù)K的根軌跡的根軌跡-簡(jiǎn)稱根軌跡。摸角條件也稱為關(guān)于增益參數(shù)簡(jiǎn)稱根軌跡。摸角條件也稱為關(guān)于增益參數(shù)K的根軌

7、跡方程。根軌跡上一切點(diǎn)都應(yīng)滿足的根軌跡方程。根軌跡上一切點(diǎn)都應(yīng)滿足摸角條件，反之，凡是滿足摸角條件的點(diǎn)摸角條件，反之，凡是滿足摸角條件的點(diǎn)s都都屬于根軌跡。屬于根軌跡。5.2 根軌跡的根本特性及繪制規(guī)那根軌跡的根本特性及繪制規(guī)那么么mn-(i=1j=11+K*= 0(sszipj)pi開環(huán)極點(diǎn)開環(huán)極點(diǎn)“, 也是常數(shù)！也是常數(shù)！開環(huán)零點(diǎn)開環(huán)零點(diǎn)“,是常數(shù)！是常數(shù)！Zj根軌跡增益根軌跡增益K* ，不是定數(shù)，從，不是定數(shù)，從0 變化變化這種以參數(shù)增益這種以參數(shù)增益K*為參變量的特征方程就是根軌跡方程為參變量的特征方程就是根軌跡方程 s是什么？是什么？ 請(qǐng)問；請(qǐng)問；閉環(huán)特征方程閉環(huán)特征方程 為：為：1

8、+G0 = 0，即：，即：2 2、摸角條件更詳細(xì)的方式、摸角條件更詳細(xì)的方式 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳送函數(shù)用零極點(diǎn)表示為：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳送函數(shù)用零極點(diǎn)表示為：G0(S)= KG0(S)= K* *N(S)/D(s) =KN(S)/D(s) =K* *(s-Z1) (s-Zm) / (s-p1) (s-pn)(s-Z1) (s-Zm) / (s-p1) (s-pn)根軌跡的模值條件與相角條件根軌跡的模值條件與相角條件j=1mn1+K*= 0(ss-zjpi)i=1j=1mnK*= 1 ss-zjpii=1-1K*=mnj=1 s-zj s-pii=1arg(s-zj) arg(s-pi) = (2k+1)

9、, k=0, 1, 2, j=1 i=1m n相角條件相角條件:模值條件模值條件:K*=mnj=1 s-zj s-pii=14、基于模條件與角條件可得到如下的根軌跡性質(zhì)：、基于模條件與角條件可得到如下的根軌跡性質(zhì)： 1、系統(tǒng)閉環(huán)特征根、系統(tǒng)閉環(huán)特征根s*的根軌跡與開環(huán)傳送函數(shù)的根軌跡與開環(huán)傳送函數(shù)G0(S) 的的零點(diǎn)零點(diǎn)Zj和極點(diǎn)和極點(diǎn)pj的分布有關(guān)，即由開環(huán)傳送函數(shù)的分布有關(guān)，即由開環(huán)傳送函數(shù)G0(S) 的零的零極點(diǎn)分布情況可確定系統(tǒng)閉環(huán)特征根極點(diǎn)分布情況可確定系統(tǒng)閉環(huán)特征根s*的分布。的分布。 2、角條件與開環(huán)增益參數(shù)、角條件與開環(huán)增益參數(shù)K*無關(guān)。闡明一切滿足角條件無關(guān)。闡明一切滿足角條

10、件方程的根方程的根s*一定位于根軌跡上，角相條件是繪制根軌跡的充一定位于根軌跡上，角相條件是繪制根軌跡的充分必要條件。分必要條件。 3、恣意特征根、恣意特征根s*對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的K值，可根據(jù)摸值條件來確定。值，可根據(jù)摸值條件來確定。 3、模角條件的幾何意義、模角條件的幾何意義角條件：各開環(huán)零點(diǎn)角條件：各開環(huán)零點(diǎn)Zj指向軌跡點(diǎn)指向軌跡點(diǎn)s方向角總方向角總和和-各開環(huán)極點(diǎn)各開環(huán)極點(diǎn)pj指向軌跡點(diǎn)指向軌跡點(diǎn)s方向角總和方向角總和=2k+1)指向正左方指向正左方)，s屬于根軌跡。屬于根軌跡。摸條件：各開環(huán)極點(diǎn)摸條件：各開環(huán)極點(diǎn)pj指向軌跡點(diǎn)指向軌跡點(diǎn)s的矢量長(zhǎng)的矢量長(zhǎng)度的乘積，除以各開環(huán)零點(diǎn)度的乘積，除以

11、各開環(huán)零點(diǎn)Zj指向軌跡點(diǎn)指向軌跡點(diǎn)s的的矢量長(zhǎng)度的乘積，所得的商就是點(diǎn)矢量長(zhǎng)度的乘積，所得的商就是點(diǎn)s對(duì)應(yīng)的根對(duì)應(yīng)的根軌跡增益系數(shù)軌跡增益系數(shù)K的值。的值。) 12()arg()arg(1111*kpszszspsKniimjjmjjnii角條件：摸條件：規(guī)那么規(guī)那么1 根軌跡的對(duì)稱性坐標(biāo)位置規(guī)那么根軌跡的對(duì)稱性坐標(biāo)位置規(guī)那么 -關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。 由于特征根由于特征根s*只能是兩種類型：實(shí)數(shù)根只能是兩種類型：實(shí)數(shù)根位于實(shí)軸上或一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根實(shí)部一位于實(shí)軸上或一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根實(shí)部一樣，虛部關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，樣，虛部關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，只繪制一半軌跡只繪制一半軌跡即可即可 5.2.2 繪制根軌跡的

12、根本規(guī)那么繪制根軌跡的根本規(guī)那么 繪制根軌跡有繪制根軌跡有2種方法：描點(diǎn)法和基于種方法：描點(diǎn)法和基于規(guī)那么的簡(jiǎn)便近似法。規(guī)那么的簡(jiǎn)便近似法。 描點(diǎn)法：根據(jù)參數(shù)變量描點(diǎn)法：根據(jù)參數(shù)變量K的不同取值，的不同取值，解析求解根軌跡方程的解或試探確定滿解析求解根軌跡方程的解或試探確定滿足根軌跡方程的解，然后逐一描點(diǎn)獲得足根軌跡方程的解，然后逐一描點(diǎn)獲得根軌跡。這種方法對(duì)于高階系統(tǒng)普通是根軌跡。這種方法對(duì)于高階系統(tǒng)普通是很困難的。很困難的。 基于規(guī)那么的簡(jiǎn)便近似法：把摸相條基于規(guī)那么的簡(jiǎn)便近似法：把摸相條件根軌跡方程近似為某些規(guī)那么，件根軌跡方程近似為某些規(guī)那么，這些規(guī)那么能近似反映根軌跡的主要特這些規(guī)那

13、么能近似反映根軌跡的主要特征，按照這些規(guī)那么步驟繪制獲得滿足征，按照這些規(guī)那么步驟繪制獲得滿足摸相條件根軌跡方程的近似根軌跡。摸相條件根軌跡方程的近似根軌跡。 ) 12()arg()arg(1111*kpszszspsKniimjjmjjnii角條件：摸條件：) 2)(1()(0sssKsG規(guī)那么規(guī)那么2、根軌跡的起點(diǎn)，終點(diǎn)及分支數(shù)條數(shù)確定根軌跡的起點(diǎn)，終點(diǎn)及分支數(shù)條數(shù)確定規(guī)那么。規(guī)那么。 起點(diǎn)規(guī)那么：起點(diǎn)規(guī)那么：K=0時(shí)根軌跡位置時(shí)根軌跡位置=開環(huán)傳送開環(huán)傳送函數(shù)函數(shù)G0(S) 的的n個(gè)極點(diǎn)位置。個(gè)極點(diǎn)位置。 由摸條件可知，由摸條件可知，K=0時(shí)有時(shí)有s-pi=0,根軌跡起根軌跡起始于一切開

14、環(huán)極點(diǎn)處始于一切開環(huán)極點(diǎn)處 終點(diǎn)規(guī)那么：終點(diǎn)規(guī)那么：K=時(shí)根軌跡位置時(shí)根軌跡位置-m個(gè)有限個(gè)有限開環(huán)零點(diǎn)位置和開環(huán)零點(diǎn)位置和n-m個(gè)無窮開環(huán)零點(diǎn)位置。個(gè)無窮開環(huán)零點(diǎn)位置。 由摸條件可知，由摸條件可知，K=時(shí)有時(shí)有s-zj=0,根軌跡終根軌跡終止于止于m個(gè)有限開環(huán)零點(diǎn)處，個(gè)有限開環(huán)零點(diǎn)處，n-m個(gè)無窮開環(huán)個(gè)無窮開環(huán)零點(diǎn)零點(diǎn)(闡明見闡明見P243 分支數(shù)規(guī)那么：根軌跡條數(shù)分支數(shù)規(guī)那么：根軌跡條數(shù)=開環(huán)極點(diǎn)數(shù)開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n。 由于，根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)終止于開環(huán)由于，根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)終止于開環(huán)零點(diǎn)。對(duì)應(yīng)一個(gè)參數(shù)變量零點(diǎn)。對(duì)應(yīng)一個(gè)參數(shù)變量K值摸值條件方程值摸值條件方程有有n個(gè)根，所以有個(gè)根，所以有n

15、條條 ) 12()arg()arg(1111*kpszszspsKniimjjmjjnii角條件：摸條件：) 2)(1()(0sssKsG規(guī)那么規(guī)那么3 3 根軌跡在實(shí)軸上的分布規(guī)那么根軌跡在實(shí)軸上的分布規(guī)那么 假設(shè)實(shí)軸上某點(diǎn)假設(shè)實(shí)軸上某點(diǎn)s1s1右側(cè)開環(huán)零極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為右側(cè)開環(huán)零極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，奇數(shù)， 那么該點(diǎn)所在實(shí)軸段為根軌跡。那么該點(diǎn)所在實(shí)軸段為根軌跡。 假設(shè)右側(cè)開環(huán)零極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)或假設(shè)右側(cè)開環(huán)零極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)或0 0，那，那么該點(diǎn)么該點(diǎn) 所在實(shí)軸段不是根軌跡。所在實(shí)軸段不是根軌跡。 證明見證明見P243P243圖圖5.5,5.5,結(jié)論：一切共軛復(fù)數(shù)型開環(huán)結(jié)論：一切共軛復(fù)數(shù)

16、型開環(huán)零極點(diǎn)指向零極點(diǎn)指向s1s1的方向角之和的方向角之和=0=0或或2k2k, ,一切一切位于位于s1s1左側(cè)的實(shí)數(shù)型開環(huán)零極點(diǎn)指向左側(cè)的實(shí)數(shù)型開環(huán)零極點(diǎn)指向s1s1的方向角的方向角=0=0，一切位于，一切位于s1s1右側(cè)的實(shí)數(shù)型開環(huán)零極點(diǎn)指向右側(cè)的實(shí)數(shù)型開環(huán)零極點(diǎn)指向s1s1的方向角的方向角=，所以，只需，所以，只需s1s1右側(cè)開環(huán)零極點(diǎn)個(gè)右側(cè)開環(huán)零極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，才干滿足角條件數(shù)之和為奇數(shù)，才干滿足角條件=(2k+1).=(2k+1).規(guī)那么規(guī)那么4 4 根軌跡根軌跡( (終止于無窮零點(diǎn)終止于無窮零點(diǎn)) )的漸進(jìn)線繪制規(guī)那么的漸進(jìn)線繪制規(guī)那么 根軌跡有根軌跡有n-mn-m條漸進(jìn)線條漸

17、進(jìn)線 終止于無窮零點(diǎn)終止于無窮零點(diǎn)- -終點(diǎn)規(guī)那么；終點(diǎn)規(guī)那么； 漸進(jìn)線與實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)漸進(jìn)線與實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo) =( =(極點(diǎn)坐標(biāo)極點(diǎn)坐標(biāo))-()-(零點(diǎn)坐標(biāo)零點(diǎn)坐標(biāo))/(n-m);)/(n-m); 漸進(jìn)線方向角漸進(jìn)線方向角=2k+1)/(n-m).2k+1)/(n-m). s s，角條件變?yōu)椋菞l件變?yōu)閙-n=m-n=2k+1),2k+1),根根據(jù)規(guī)那么據(jù)規(guī)那么1 1關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱- -與實(shí)軸相交，證明與實(shí)軸相交，證明見見P244-245P244-245 本例本例:3:3條漸進(jìn)線條漸進(jìn)線, ,方向角為方向角為/3,-/3,/3,-/3,坐標(biāo)坐標(biāo)=0-1-2-0/(3-0)=-1=0-1

18、-2-0/(3-0)=-1) 2)(1()(0sssKsG) 12()arg()arg(1111*kpszszspsKniimjjmjjnii角條件：摸條件：規(guī)那么規(guī)那么5 5 根軌跡分別點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)確定規(guī)那么根軌跡分別點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)確定規(guī)那么 由于根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)終止于開環(huán)零由于根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)終止于開環(huán)零點(diǎn)。所以，實(shí)軸上相鄰極點(diǎn)間線段為根軌跡，那點(diǎn)。所以，實(shí)軸上相鄰極點(diǎn)間線段為根軌跡，那么必存在根軌跡分別點(diǎn)。么必存在根軌跡分別點(diǎn)。 分別點(diǎn)確定：分別點(diǎn)確定：dG0(S)/ds=0,(dG0(S)/ds=0,(重根計(jì)算法：重根計(jì)算法：分別點(diǎn)為重根點(diǎn)分別點(diǎn)為重根點(diǎn)) ) 實(shí)軸上相鄰零點(diǎn)間線段為

19、根軌跡，那么必實(shí)軸上相鄰零點(diǎn)間線段為根軌跡，那么必存在根軌跡會(huì)合點(diǎn)。存在根軌跡會(huì)合點(diǎn)。 會(huì)合點(diǎn)確定：會(huì)合點(diǎn)確定： dG0(S)/ds=0,( dG0(S)/ds=0,(重根計(jì)算法：重根計(jì)算法：會(huì)合點(diǎn)為重根點(diǎn)會(huì)合點(diǎn)為重根點(diǎn)) ) 重根計(jì)算法根據(jù)：重根計(jì)算法根據(jù)：S1S1是是2 2重根，必有重根，必有f(S1)=0f(S1)=0和和f f(S1)=0(S1)=0同時(shí)成立。根據(jù)相角條件的試同時(shí)成立。根據(jù)相角條件的試探法略，見探法略，見P247P247 本例本例: dG0(S)/ds=3s2+6s+2=0, S1 =-0.423: dG0(S)/ds=3s2+6s+2=0, S1 =-0.423，分別

20、點(diǎn)分別點(diǎn) 規(guī)那么規(guī)那么6 6 實(shí)軸上分別點(diǎn)分別角和會(huì)合點(diǎn)會(huì)合角確實(shí)定實(shí)軸上分別點(diǎn)分別角和會(huì)合點(diǎn)會(huì)合角確實(shí)定 分別角和會(huì)合角分開分別點(diǎn)和進(jìn)入會(huì)合點(diǎn)分別角和會(huì)合角分開分別點(diǎn)和進(jìn)入會(huì)合點(diǎn)時(shí)根軌跡切線方向角：恒時(shí)根軌跡切線方向角：恒= =900900。 根據(jù)相角條件，證明見根據(jù)相角條件，證明見P247-248P247-248) 2)(1()(0sssKsG) 12()arg()arg(1111*kpszszspsKniimjjmjjnii角條件：摸條件：規(guī)那么規(guī)那么7 7 根軌跡在開環(huán)復(fù)極點(diǎn)或復(fù)零點(diǎn)處的根軌跡在開環(huán)復(fù)極點(diǎn)或復(fù)零點(diǎn)處的切線方向角切線方向角, ,為根軌跡的出射角為根軌跡的出射角( (或入射

21、角或入射角).). 出射角出射角=(=(各零點(diǎn)指向該極點(diǎn)的方向各零點(diǎn)指向該極點(diǎn)的方向角角)-()-(其他極點(diǎn)指向該極點(diǎn)的方向角其他極點(diǎn)指向該極點(diǎn)的方向角)-)-(2k+1)(2k+1)根據(jù)相角條件，證明見根據(jù)相角條件，證明見P249P249 入射角入射角=(=(各極點(diǎn)指向該零點(diǎn)的方向各極點(diǎn)指向該零點(diǎn)的方向角角)-()-(其他零點(diǎn)指向該零點(diǎn)的方向其他零點(diǎn)指向該零點(diǎn)的方向角角)+(2k+1)+(2k+1) 本例本例:p1=-1+j1,p2=-1-j1,p3=0,p4=-:p1=-1+j1,p2=-1-j1,p3=0,p4=-3,z1=-2, p1-z1=1-j1, arctg(p1-z1)=-3,

22、z1=-2, p1-z1=1-j1, arctg(p1-z1)=-450,1=-450-(-0-900-26.60)-1800=-450,1=-450-(-0-900-26.60)-1800=-26.6026.60規(guī)那么規(guī)那么8 8 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)及臨界根軌跡增益根軌跡與虛軸的交點(diǎn)及臨界根軌跡增益K K值確定規(guī)那么值確定規(guī)那么 根軌跡與虛軸有交點(diǎn)闡明特征方程有共根軌跡與虛軸有交點(diǎn)闡明特征方程有共軛虛根軛虛根s=s=jj。 解特征方程：解特征方程： 1+ G0(j)=1+K 1+ G0(j)=1+K* *N(j)/D(j) =0N(j)/D(j) =0， 即解方程組：即解方程組： Re1+

23、K Re1+ K* *N(j)/D(j) =0N(j)/D(j) =0 Im1+ K Im1+ K* *N(j)/D(j) =0N(j)/D(j) =0 可得到虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可得到虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)的臨和對(duì)應(yīng)的臨界根軌跡增益值界根軌跡增益值K K* * 試探法闡明見試探法闡明見P249P249) 12()arg()arg(1111*kpszszspsKniimjjmjjnii角條件：摸條件：) 22)(3() 2()(20sssssKsG1p規(guī)那么規(guī)那么9 9 閉環(huán)極點(diǎn)的和與積閉環(huán)極點(diǎn)的和與積 基于代數(shù)方程根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)以下閉環(huán)特征方基于代數(shù)方程根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)以下閉環(huán)特征方程的根程的

24、根SiSi與系數(shù)與系數(shù)aiai之間有以下和與積的關(guān)系。之間有以下和與積的關(guān)系。 利用該關(guān)系可在知某些根時(shí)求解另外的根。利用該關(guān)系可在知某些根時(shí)求解另外的根。niininiasas1011)(,0012211asasasasnnnnn*對(duì)給定的開環(huán)傳送函數(shù)根據(jù)各規(guī)那么繪制根軌跡的根本步驟：對(duì)給定的開環(huán)傳送函數(shù)根據(jù)各規(guī)那么繪制根軌跡的根本步驟：1、標(biāo)注根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)在復(fù)平面上分別用符號(hào)、標(biāo)注根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)在復(fù)平面上分別用符號(hào)“和和“O ； 起始于起始于n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，終止于個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，終止于m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)和個(gè)開環(huán)零點(diǎn)和n-m個(gè)無窮零點(diǎn)個(gè)無窮零點(diǎn)2、繪制實(shí)軸上部分的根軌跡用粗箭頭線、繪制實(shí)軸上部

25、分的根軌跡用粗箭頭線“ 和和“O 實(shí)軸上右側(cè)開環(huán)零極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)的區(qū)段實(shí)軸上右側(cè)開環(huán)零極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)的區(qū)段 3 3、繪制非實(shí)軸部分的根軌跡、繪制非實(shí)軸部分的根軌跡: : (1) (1)繪制無窮零點(diǎn)的漸進(jìn)線繪制無窮零點(diǎn)的漸進(jìn)線n-mn-m條條 實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)=Pj-Zi/(n-m);=Pj-Zi/(n-m); 方向角方向角=2k+1)/(n-m)2k+1)/(n-m) (2) (2)確定實(shí)軸上相鄰極點(diǎn)間分別點(diǎn)確定實(shí)軸上相鄰極點(diǎn)間分別點(diǎn) 相鄰零點(diǎn)間會(huì)合點(diǎn)相鄰零點(diǎn)間會(huì)合點(diǎn) 分別分別( (會(huì)合會(huì)合) )點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)S1S1：求解方程：求解方程dG0(S1)/ds=0dG0(S1)/d

26、s=0， 分別分別( (會(huì)合會(huì)合) )角角= =900900 (3) (3)確定復(fù)數(shù)極點(diǎn)起點(diǎn)的出射角確定復(fù)數(shù)極點(diǎn)起點(diǎn)的出射角 復(fù)數(shù)零點(diǎn)終點(diǎn)的入射角復(fù)數(shù)零點(diǎn)終點(diǎn)的入射角 出射角出射角=(=(零點(diǎn)指向該極點(diǎn)方向角零點(diǎn)指向該極點(diǎn)方向角)-)-(其他極點(diǎn)指向該極點(diǎn)方向角其他極點(diǎn)指向該極點(diǎn)方向角)-(2k+1)-(2k+1) (4) (4)確定根軌跡與虛軸交點(diǎn)確定根軌跡與虛軸交點(diǎn)( (臨界根軌跡增益臨界根軌跡增益K K值值) ) 另另s=s=jj，代入閉環(huán)特征方程，代入閉環(huán)特征方程, ,求解求解 Re1+G0(j)=0 Re1+G0(j)=0和和Im1+G0(j)=0Im1+G0(j)=0方程方程組組

27、(5) (5)基于漸進(jìn)線、分別點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)、出射角、基于漸進(jìn)線、分別點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)、出射角、入射角、虛軸交點(diǎn)，繪制非實(shí)軸部分的根軌跡。入射角、虛軸交點(diǎn)，繪制非實(shí)軸部分的根軌跡。 )22)(3()2()(20sssssKsG1p)2)(1()(0sssKsGj0-1)()(10ssKsG(1) 正實(shí)軸上的點(diǎn)正實(shí)軸上的點(diǎn)s1， arg(s1-0) = 0,arg(s1-(-1) = 0,不屬于根軌跡；不屬于根軌跡；(2) 實(shí)軸上原點(diǎn)與實(shí)軸上原點(diǎn)與-1點(diǎn)之間的點(diǎn)點(diǎn)之間的點(diǎn)s2，arg(s2) = ; arg(s2+1) = 0;屬于根軌跡；屬于根軌跡；(3) 實(shí)軸上實(shí)軸上-1點(diǎn)左邊的點(diǎn)點(diǎn)左邊的點(diǎn)s3，ar

28、gs3=, arg(s3+1)=不屬于根軌跡；不屬于根軌跡；(4) 實(shí)軸以外的點(diǎn)實(shí)軸以外的點(diǎn)s4， 2 1 3 2+ 1= 或或 2 3屬于根軌跡；屬于根軌跡；0j-1) 12()arg()arg(1111*kpszszspsKniimjjmjjnii角條件：摸條件：)()()(223220sssssKsG開環(huán)零點(diǎn)開環(huán)零點(diǎn)-2，0Im-1Re-3-2 開環(huán)極點(diǎn)開環(huán)極點(diǎn)0、-3、 -1+j1、-1-j11. 根軌跡關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱；根軌跡關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱；2. 根軌跡有根軌跡有n條條(n =4)分支分支, 起點(diǎn)是開環(huán)起點(diǎn)是開環(huán)極點(diǎn)，極點(diǎn)， 有有m條條(m =1)的終點(diǎn)是開環(huán)零的終點(diǎn)是開環(huán)零點(diǎn)，其他的終點(diǎn)

29、在點(diǎn)，其他的終點(diǎn)在 無窮遠(yuǎn)無窮遠(yuǎn)3. 試探點(diǎn)右側(cè)實(shí)零點(diǎn)與實(shí)極點(diǎn)數(shù)試探點(diǎn)右側(cè)實(shí)零點(diǎn)與實(shí)極點(diǎn)數(shù)目之和是奇數(shù)，那么該段實(shí)軸屬目之和是奇數(shù)，那么該段實(shí)軸屬于根軌跡；于根軌跡；4. 根軌跡漸近線根軌跡漸近線 其角度為：其角度為：), ,()(11012mnkmnk與實(shí)軸交點(diǎn)與實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：坐標(biāo)為：零點(diǎn)數(shù)極點(diǎn)數(shù)零點(diǎn)坐標(biāo)極點(diǎn)坐標(biāo)-60。60。180。141801221418011214180)(,)(,1142111130)()()()(jj5. 根軌跡在負(fù)極點(diǎn)根軌跡在負(fù)極點(diǎn)pa處的出射處的出射角角反向的方向角其它極點(diǎn)指向的方向角各零點(diǎn)指向aapp6266269013545.).(反向6. 根軌跡與虛根軌

30、跡與虛軸的交點(diǎn)及臨軸的交點(diǎn)及臨界根軌跡增益界根軌跡增益02685234)()()()()(jwKjwjwjwjw7611Kw,.1.61-1.61-26.6。) 12()arg()arg(1111*kpszszspsKniimjjmjjnii角條件：摸條件：) 52()() 1 (20sssKsG習(xí)題習(xí)題5.4 5.4 試畫出以下系統(tǒng)的根軌跡圖試畫出以下系統(tǒng)的根軌跡圖 解：解：1 1、開環(huán)零極點(diǎn)分布、開環(huán)零極點(diǎn)分布 極點(diǎn)極點(diǎn)p1=0,p2=-1+j2,p3=-1-j2,p1=0,p2=-1+j2,p3=-1-j2,無零點(diǎn)無零點(diǎn), , 2 2、實(shí)軸上部分的根軌跡、實(shí)軸上部分的根軌跡 (0,+)

31、(0,+) 3 3、漸進(jìn)線、漸進(jìn)線n-m=3-0=3n-m=3-0=3條條 實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)=Pj-Zi/(n-m)=Pj-Zi/(n-m) =(0-1+j2-1-j2-0)/3=-2/3=-0.667; =(0-1+j2-1-j2-0)/3=-2/3=-0.667; 方向角方向角=2k+1)/(n-m)=/3,-/3,2k+1)/(n-m)=/3,-/3, 4 4、實(shí)軸上無分別點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)、實(shí)軸上無分別點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn) 5 5、復(fù)數(shù)極點(diǎn)起點(diǎn)的出射角、復(fù)數(shù)極點(diǎn)起點(diǎn)的出射角 出射角出射角=(=(零點(diǎn)指向該極點(diǎn)方向角零點(diǎn)指向該極點(diǎn)方向角)-()-(其他其他極點(diǎn)指向該極點(diǎn)方向角極點(diǎn)指向該極點(diǎn)方向角)

32、-(2k+1)-(2k+1) 2=-arctg(p1-p2)+arctg(p3-p2)-(2k+1) 2=-arctg(p1-p2)+arctg(p3-p2)-(2k+1) =-arctg(1-j2)+arctg(-j4)-(2k+1) =-arctg(1-j2)+arctg(-j4)-(2k+1) =-(-630-900)-(2k+1)=1530-1800=-270 =-(-630-900)-(2k+1)=1530-1800=-270 3=-arctg(p1-p3)+arctg(p2-p3)-(2k+1) 3=-arctg(p1-p3)+arctg(p2-p3)-(2k+1) =-arctg

33、(1+j2)+arctg(j4)-(2k+1) =-arctg(1+j2)+arctg(j4)-(2k+1) =-(630+900)-(2k+1)=-1530+1800=270 =-(630+900)-(2k+1)=-1530+1800=270 6 6、根軌跡與虛軸交點(diǎn)、根軌跡與虛軸交點(diǎn)s=j)s=j) 1+G0(j)=0, (j)3+2(j)2+5(j)+K=0 1+G0(j)=0, (j)3+2(j)2+5(j)+K=0 -j3-22+j5+K=0 -j3-22+j5+K=0 Re1+G0(j)=-22+K= 0 Re1+G0(j)=-22+K= 0 Im1+G0(j)= -3+5= 0

34、Im1+G0(j)= -3+5= 0 =0, =0,51/251/2，K=0,10K=0,10Re0Im-1-3-2-0.6676001800p2=-1+j2p2=-1+j2p3=-1-j2p3=-1-j2-27027055習(xí)題習(xí)題5.4 5.4 試畫出以下系統(tǒng)的根軌跡圖試畫出以下系統(tǒng)的根軌跡圖 解：解：1 1、開環(huán)零極點(diǎn)分布、開環(huán)零極點(diǎn)分布 極點(diǎn)極點(diǎn)p1=0,p2=-1,p3=-2,p4=-3,p1=0,p2=-1,p3=-2,p4=-3,無零點(diǎn)無零點(diǎn), , 2 2、實(shí)軸上部分的根軌跡、實(shí)軸上部分的根軌跡 (0,-1),(-2,-3) (0,-1),(-2,-3) 3 3、漸進(jìn)線、漸進(jìn)線n-

35、m=4-0=4n-m=4-0=4條條 實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)=Pj-Zi/(n-m)=Pj-Zi/(n-m) =(0-1-2-3-0)/4=-6/4=-1.5; =(0-1-2-3-0)/4=-6/4=-1.5; 方向角方向角=2k+1)/(n-m)2k+1)/(n-m) =/4,-/4,3/4,-3/4 =/4,-/4,3/4,-3/4 4 4、實(shí)軸上相鄰極點(diǎn)間分別點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸上相鄰極點(diǎn)間分別點(diǎn)坐標(biāo)( (解方程解方程) ) dG0(S)/ds=0 dG0(S)/ds=0，ds(s+1)(s+2)(s+3)/ds=0ds(s+1)(s+2)(s+3)/ds=0 ds4+6s3+11s2+6s

36、/ds=0 ds4+6s3+11s2+6s/ds=0 4s3+18s2+22s+6=(4s+6)(s2+3s+1)=0 4s3+18s2+22s+6=(4s+6)(s2+3s+1)=0 s1=-0.382,s2=-2.618,s3=-1.5( s1=-0.382,s2=-2.618,s3=-1.5(不在軌跡上不在軌跡上) ) 分別角分別角= =900900 5 5、根軌跡與虛軸交點(diǎn)、根軌跡與虛軸交點(diǎn)s=j)s=j) 1+G0(j)=0 1+G0(j)=0 (j)4+6(j)3+11(j)2+6(j)+K=0 (j)4+6(j)3+11(j)2+6(j)+K=0 4-j63-112+j6+K=0

37、 4-j63-112+j6+K=0 Re1+G0(j)=4-112+K= 0 Re1+G0(j)=4-112+K= 0 Im1+G0(j)= -63+6= 0 Im1+G0(j)= -63+6= 0 =0, =0,1 1， K=0,10 K=0,10) 3)(2)(1()() 3 (0ssssKsGRe45o45o-1-1-3-30 0Im- +1- +1-2-2-45o-45o- -1- -1 5.4 閉環(huán)零極點(diǎn)的分布與系統(tǒng)性能目的的關(guān)系閉環(huán)零極點(diǎn)的分布與系統(tǒng)性能目的的關(guān)系 意義：為了基于根軌跡圖分析閉環(huán)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性穩(wěn)定性、意義：為了基于根軌跡圖分析閉環(huán)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性穩(wěn)定性、靜動(dòng)態(tài)性能，必

38、需了解閉環(huán)零極點(diǎn)的分布與系統(tǒng)性能目的的靜動(dòng)態(tài)性能，必需了解閉環(huán)零極點(diǎn)的分布與系統(tǒng)性能目的的關(guān)系。根軌跡以直觀的圖形方式間接表示了閉環(huán)系統(tǒng)零極點(diǎn)隨關(guān)系。根軌跡以直觀的圖形方式間接表示了閉環(huán)系統(tǒng)零極點(diǎn)隨參數(shù)參數(shù)K變化的分布情況，正確把握閉環(huán)零極點(diǎn)的分布與系統(tǒng)性變化的分布情況，正確把握閉環(huán)零極點(diǎn)的分布與系統(tǒng)性能目的的關(guān)系，是利用根軌跡分析設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的根底。能目的的關(guān)系，是利用根軌跡分析設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的根底。 1 1、閉環(huán)極點(diǎn)分布與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的關(guān)系、閉環(huán)極點(diǎn)分布與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的關(guān)系 ( (閉環(huán)極點(diǎn)決議階躍呼應(yīng)的類型閉環(huán)極點(diǎn)決議階躍呼應(yīng)的類型) ) 根本關(guān)系根本關(guān)系: :階躍呼應(yīng)階躍呼應(yīng)y(t)y(t

39、)由多個(gè)分量疊加由多個(gè)分量疊加而成，每個(gè)分量的大小而成，每個(gè)分量的大小( (系數(shù)系數(shù)AK)AK)和摸態(tài)和摸態(tài)eptept都與一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。閉環(huán)極點(diǎn)決議都與一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。閉環(huán)極點(diǎn)決議著階躍呼應(yīng)的運(yùn)動(dòng)類型和主要?jiǎng)討B(tài)特征。著階躍呼應(yīng)的運(yùn)動(dòng)類型和主要?jiǎng)討B(tài)特征。 閉環(huán)極點(diǎn)均分布在閉環(huán)極點(diǎn)均分布在s s平面的根軌跡圖上。平面的根軌跡圖上。 * *極點(diǎn)分布在左半平面實(shí)軸上極點(diǎn)分布在左半平面實(shí)軸上: : pj= pj=負(fù)實(shí)數(shù)根負(fù)實(shí)數(shù)根 y(t)y(t)動(dòng)態(tài)特性為單調(diào)衰減動(dòng)態(tài)特性為單調(diào)衰減, ,極點(diǎn)離虛軸越極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)衰減越快遠(yuǎn)衰減越快 * *極點(diǎn)分布在左半平面非實(shí)軸上極點(diǎn)分布在左半平面非實(shí)軸上:

40、 : pj= pj=負(fù)實(shí)部共軛復(fù)數(shù)對(duì)根負(fù)實(shí)部共軛復(fù)數(shù)對(duì)根 y(t)y(t)動(dòng)態(tài)特性為振蕩衰減動(dòng)態(tài)特性為振蕩衰減, ,極點(diǎn)離虛軸越極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)衰減越快遠(yuǎn)衰減越快 * *極點(diǎn)分布在虛軸上極點(diǎn)分布在虛軸上: : pj= pj=實(shí)部為零的共軛復(fù)數(shù)對(duì)根實(shí)部為零的共軛復(fù)數(shù)對(duì)根 y(t)y(t)動(dòng)態(tài)特性為等幅振蕩動(dòng)態(tài)特性為等幅振蕩, ,臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定 * *極點(diǎn)分布在右半平面上極點(diǎn)分布在右半平面上: : pj= pj=正實(shí)部根實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)對(duì)根正實(shí)部根實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)對(duì)根 y(t)y(t)動(dòng)態(tài)特性為發(fā)散振蕩動(dòng)態(tài)特性為發(fā)散振蕩, ,系統(tǒng)不穩(wěn)定；系統(tǒng)不穩(wěn)定； )cos()(,)()()()()()()()(2

41、202, 1, 111101011arctgteKAtyjppppzpKApzKAeAAtypszsKsGtenkjjjkkmiikeknjjmiienKtpknjjmiiek：設(shè)只有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根，式中系數(shù)：為：?jiǎn)挝浑A躍輸入時(shí)域響應(yīng)遞函數(shù)為：設(shè)單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)傳閉2 2、閉環(huán)零點(diǎn)分布與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的關(guān)系、閉環(huán)零點(diǎn)分布與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的關(guān)系 閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)階躍呼應(yīng)的影響閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)階躍呼應(yīng)的影響 根本關(guān)系根本關(guān)系: :階躍呼應(yīng)每個(gè)分量的大小階躍呼應(yīng)每個(gè)分量的大小( (系系數(shù)數(shù)AK)AK)都與閉環(huán)零點(diǎn)有關(guān)。閉環(huán)零點(diǎn)將對(duì)階都與閉環(huán)零點(diǎn)有關(guān)。閉環(huán)零點(diǎn)將對(duì)階躍呼應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能質(zhì)量目的躍呼應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能質(zhì)量目的(

42、(幅值強(qiáng)度幅值強(qiáng)度) )產(chǎn)產(chǎn)生一定影響。生一定影響。 閉環(huán)零點(diǎn)一定是開環(huán)零點(diǎn)，單位反響系閉環(huán)零點(diǎn)一定是開環(huán)零點(diǎn)，單位反響系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)完全統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)完全一樣。閉環(huán)零點(diǎn)假設(shè)存在，那么對(duì)應(yīng)于一樣。閉環(huán)零點(diǎn)假設(shè)存在，那么對(duì)應(yīng)于閉環(huán)根軌跡圖的終點(diǎn)閉環(huán)根軌跡圖的終點(diǎn)( (位置位置) )坐標(biāo)。坐標(biāo)。 )cos()(,)()()()()()()()(2202, 1, 111101011arctgteKAtyjppppzpKApzKAeAAtypszsKsGtenkjjjkkmiikeknjjmiienKtpknjjmiiek：設(shè)只有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根，式中系數(shù)：為：?jiǎn)挝浑A躍

43、輸入時(shí)域響應(yīng)遞函數(shù)為：設(shè)單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)傳閉)()()(),() 1()(/ ) 1)()(,/ )()(/1111tydttdytysyssysssGsyssGsyLz單位階躍響應(yīng)：，則有如下關(guān)系成立：氏變換分別為：前后系統(tǒng)階躍響應(yīng)的設(shè)加入閉環(huán)零點(diǎn)閉閉 上式上式y(tǒng)1(t)y1(t)的第一項(xiàng)反映了閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)階躍的第一項(xiàng)反映了閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)階躍呼應(yīng)時(shí)域動(dòng)態(tài)性能產(chǎn)生的影響。該影響與呼應(yīng)時(shí)域動(dòng)態(tài)性能產(chǎn)生的影響。該影響與y(t)y(t)的變化率及時(shí)間常數(shù)的變化率及時(shí)間常數(shù)成正比，其效果是使系成正比，其效果是使系統(tǒng)的呼應(yīng)加快統(tǒng)的呼應(yīng)加快( (上升時(shí)間縮短上升時(shí)間縮短) )、超調(diào)量增大、超調(diào)量增大、調(diào)理時(shí)間縮

44、短。這就是復(fù)數(shù)域的零點(diǎn)調(diào)理時(shí)間縮短。這就是復(fù)數(shù)域的零點(diǎn)( (單元單元) )對(duì)對(duì)應(yīng)時(shí)間域的微分應(yīng)時(shí)間域的微分( (單元單元) )效應(yīng)。效應(yīng)。 由于由于z=-1/(z=-1/(負(fù)實(shí)數(shù)負(fù)實(shí)數(shù)) )就是就是s s平面上零點(diǎn)分開平面上零點(diǎn)分開虛軸的間隔虛軸的間隔, ,零點(diǎn)的微分效應(yīng)與該間隔成反比，零點(diǎn)的微分效應(yīng)與該間隔成反比，所以可得到一結(jié)論：閉環(huán)零點(diǎn)分布在所以可得到一結(jié)論：閉環(huán)零點(diǎn)分布在s s左半平左半平面時(shí)面時(shí), ,間隔虛軸越近間隔虛軸越近, ,其零點(diǎn)微分效應(yīng)其零點(diǎn)微分效應(yīng)( (對(duì)動(dòng)態(tài)對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響性能的影響) )越明顯，反之那么不明顯見圖越明顯，反之那么不明顯見圖5.265.26。)22)(3(

45、)2()(20sssssKsG1p3 3、非閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)階躍呼應(yīng)的影響、非閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)階躍呼應(yīng)的影響 由閉環(huán)極點(diǎn)分布與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的關(guān)系可由閉環(huán)極點(diǎn)分布與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的關(guān)系可知：知： 階躍呼應(yīng)階躍呼應(yīng)y(t)y(t)由閉環(huán)極點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的多個(gè)分由閉環(huán)極點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的多個(gè)分量疊加而成量疊加而成, ,假設(shè)一切極點(diǎn)都分布在左半平面假設(shè)一切極點(diǎn)都分布在左半平面( (具有負(fù)實(shí)部具有負(fù)實(shí)部),),那么系統(tǒng)呼應(yīng)將呈現(xiàn)單調(diào)衰減那么系統(tǒng)呼應(yīng)將呈現(xiàn)單調(diào)衰減或振蕩衰減的動(dòng)態(tài)特性或振蕩衰減的動(dòng)態(tài)特性, ,并且各分量衰減的快并且各分量衰減的快慢主要取決于所對(duì)應(yīng)極點(diǎn)離虛軸的間隔慢主要取決于所對(duì)應(yīng)極點(diǎn)離虛軸的間隔( (負(fù)實(shí)負(fù)實(shí)

46、部絕對(duì)值的大小部絕對(duì)值的大小),),極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn), ,相應(yīng)的分相應(yīng)的分量過度過程衰減越快、幅度越小，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)量過度過程衰減越快、幅度越小，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響越小態(tài)特性影響越小, ,反之反之, ,極點(diǎn)離虛軸越近極點(diǎn)離虛軸越近, ,相應(yīng)相應(yīng)的分量過度過程衰減越慢、幅度越大，對(duì)系的分量過度過程衰減越慢、幅度越大，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響越大。統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響越大。 閉環(huán)極點(diǎn)的這種影響作用閉環(huán)極點(diǎn)的這種影響作用, ,是由于每個(gè)閉環(huán)是由于每個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)極點(diǎn)p p實(shí)踐上是對(duì)應(yīng)著一個(gè)時(shí)間常數(shù)為實(shí)踐上是對(duì)應(yīng)著一個(gè)時(shí)間常數(shù)為T=-1/pT=-1/p的惰性單元的惰性單元, ,極點(diǎn)極點(diǎn)p p離虛軸越近離虛軸越

47、近, ,惰性環(huán)節(jié)的時(shí)惰性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)間常數(shù)T=-1/pT=-1/p越大，系統(tǒng)呼應(yīng)速度越慢、超越大，系統(tǒng)呼應(yīng)速度越慢、超調(diào)量越大、調(diào)理時(shí)間越長(zhǎng)，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性調(diào)量越大、調(diào)理時(shí)間越長(zhǎng)，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響越大。反之，極點(diǎn)影響越大。反之，極點(diǎn)p p離虛軸越遠(yuǎn)離虛軸越遠(yuǎn), ,影響越影響越小詳細(xì)見圖小詳細(xì)見圖5.275.27。 普通稱對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響大的極點(diǎn)普通稱對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響大的極點(diǎn)( (離虛離虛軸較近的極點(diǎn)軸較近的極點(diǎn)) )為主導(dǎo)極點(diǎn)為主導(dǎo)極點(diǎn), ,影響小的極點(diǎn)影響小的極點(diǎn)( (離離虛軸較遠(yuǎn)的極點(diǎn)虛軸較遠(yuǎn)的極點(diǎn)) )為非主導(dǎo)極點(diǎn)。假設(shè)某極點(diǎn)為非主導(dǎo)極點(diǎn)。假設(shè)某極點(diǎn)較其他極點(diǎn)原離虛軸較其他極點(diǎn)原

48、離虛軸4-64-6倍，那么稱其為非主倍，那么稱其為非主導(dǎo)極點(diǎn)導(dǎo)極點(diǎn), ,工程上對(duì)其影響往往可忽略不計(jì)。工程上對(duì)其影響往往可忽略不計(jì)。4 4、閉環(huán)偶極子對(duì)階躍呼應(yīng)的影響、閉環(huán)偶極子對(duì)階躍呼應(yīng)的影響 稱在稱在s s平面相距很近的閉環(huán)零極點(diǎn)對(duì)為閉環(huán)平面相距很近的閉環(huán)零極點(diǎn)對(duì)為閉環(huán)偶極子。偶極子。 數(shù)學(xué)上分別位于傳送函數(shù)的分子和分母，數(shù)學(xué)上分別位于傳送函數(shù)的分子和分母，可近似相消?？山葡嘞?。 從呼應(yīng)分量看：從呼應(yīng)分量看：AkAk值很小，微分和惰性作值很小，微分和惰性作用相互抵消。用相互抵消。 普通兩零極點(diǎn)間距較其他零極點(diǎn)間隔為普通兩零極點(diǎn)間距較其他零極點(diǎn)間隔為1/101/10或更小時(shí)，可視為偶極子，

49、忽略不計(jì)其或更小時(shí)，可視為偶極子，忽略不計(jì)其對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響。對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響。)cos()(,)()()()()()()()(2202, 1, 111101011arctgteKAtyjppppzpKApzKAeAAtypszsKsGtenkjjjkkmiikeknjjmiienKtpknjjmiiek：設(shè)只有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根，式中系數(shù)：為：?jiǎn)挝浑A躍輸入時(shí)域響應(yīng)遞函數(shù)為：設(shè)單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)傳閉)2)(1()(0sssKsG5.5 根軌跡在控制系統(tǒng)校正中的運(yùn)用非重點(diǎn)根軌跡在控制系統(tǒng)校正中的運(yùn)用非重點(diǎn)意義：掌握利用根軌跡圖分析設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的方法：當(dāng)系統(tǒng)設(shè)意義：掌握利用根軌跡圖分析設(shè)計(jì)控制系

50、統(tǒng)的方法：當(dāng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)要求的希望閉環(huán)極點(diǎn)不在根軌跡上時(shí)，如何經(jīng)過選擇適宜的計(jì)要求的希望閉環(huán)極點(diǎn)不在根軌跡上時(shí)，如何經(jīng)過選擇適宜的校正安裝控制器，改造根軌跡，使其希望閉環(huán)極點(diǎn)位于根校正安裝控制器，改造根軌跡，使其希望閉環(huán)極點(diǎn)位于根軌跡上，以滿足設(shè)計(jì)要求。軌跡上，以滿足設(shè)計(jì)要求。5.5.1 根軌跡的改造經(jīng)過添加開環(huán)零極點(diǎn)和偶極子改造根軌根軌跡的改造經(jīng)過添加開環(huán)零極點(diǎn)和偶極子改造根軌跡跡1、添加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響、添加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響 添加開環(huán)零點(diǎn)：可以使根軌跡左移，有利于改善系統(tǒng)穩(wěn)定性添加開環(huán)零點(diǎn)：可以使根軌跡左移，有利于改善系統(tǒng)穩(wěn)定性及動(dòng)態(tài)性能；及動(dòng)態(tài)性能； 添加零點(diǎn)離虛軸越近，左移越顯

51、著，微分作用越強(qiáng)。添加零點(diǎn)離虛軸越近，左移越顯著，微分作用越強(qiáng)。 G(s)=K/s2(s-p) K=1 p=-2Real AxisImag Axis-3-2-1012-4-3-2-101234 G(s)=K(s+0.5)/s2(s-p) K=1 p=-2Real AxisImag Axis-3-2-1012-4-3-2-101234 G(s)=K(s+1)/s2(s-p) K=1 p=-2Real AxisImag Axis-3-2-1012-4-3-2-101234)()()(psssKsG201)().()(psssKsG2050),()()(0020pKpssKsG G(s)=K/s(s-p) K=1 p=-1Real AxisImag Axis-3-2-1012-4-3-2-101234 G(s)=K/s(s-p)(s+3) K=1 p=-1Real AxisImag Axis-4-202-4-3-2-101234G(s)=K/s(s-p)(s+2) K=1 p=-1Real AxisImag Axis-4-202-4-3-2-1012342、添加開環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響、添加