第四章根軌跡ppt課件

1、第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡分析 自動控制實際的目的: 分析穩(wěn)定性動特性靜特性 問題的提出：分析系統(tǒng)特性-需求知道閉環(huán)極點即特征方程根的位置-高次方程直接求解的困難 根軌跡與系統(tǒng)特性的關(guān)系: 由于微分方程求解比較困難,經(jīng)過根軌跡的分析間接把握系統(tǒng)特性:分析穩(wěn)定性動特性 分析方法:開環(huán)時的根普通多為知，但閉環(huán)后要想分別出每個根就必需求解一元高次方程。由開環(huán)零極點的位置大致繪制出閉環(huán)后當(dāng)參數(shù)變化(如放大系數(shù)K)時,閉環(huán)極點的變化.間接求解了高次方程. 舉例闡明：假設(shè)由3個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)后引入閉環(huán)反響，組成閉環(huán)系統(tǒng)。第一節(jié) 根軌跡的根本概念 從開環(huán)零點和極點的位置分析閉環(huán)極點的位置(由于閉環(huán)極點的位置直接

2、決議了系統(tǒng)特性) 相角的0方向：以實部正方向為基準(zhǔn)； 闡明幅值條件和相角條件的幾何意義。從系統(tǒng)的根軌跡圖，可以獲得下述信息:.穩(wěn)定性：由于根軌跡全部位于左半平面，故閉環(huán)系統(tǒng)對一切的值都是穩(wěn)定的。.穩(wěn)態(tài)性能：由于開環(huán)傳函有一個位于坐標(biāo)原點的極點，所以是I型系統(tǒng)，階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為0。K=0.25K=0K=0KK-1j設(shè)有開環(huán)傳函：Gs= K s(s+1)當(dāng)K=0時，S1=0，S2=-1當(dāng)K變化時，閉環(huán)極點隨之而變，動靜態(tài)和穩(wěn)定性隨之而變當(dāng)m，所以根軌跡從n個開環(huán)極點處起始，到m個開環(huán)零點處終止，剩下的nm條根軌跡將趨于無窮遠(yuǎn)處。舉例如題，起點：，無零點，n=，m=0，nm=2，有兩條根軌跡)

3、 1()(SSKSGK=0.25K=0K=0KK-1j繪制根軌跡的根本規(guī)那么規(guī)那么三當(dāng)實軸上右側(cè)規(guī)那么三當(dāng)實軸上右側(cè)的零極點數(shù)為奇數(shù)時存在的零極點數(shù)為奇數(shù)時存在根軌跡根軌跡設(shè)系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布如下圖。為在實軸上確定屬于根軌跡的線段，首先在 和 之間任選一個實驗點 。3p1z1s繪制根軌跡的根本規(guī)那么共軛復(fù)數(shù)極點到的幅角之和為，相互抵消，因此開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點、零點對實軸上根軌跡的位置沒有影響，僅取決于實軸上的開環(huán)零、極點。假設(shè)實軸上的某一段是根軌跡，一定滿足相角條件。實驗點左側(cè)的開環(huán)零、極點提供的相角為,而右側(cè)的相角為180。S1點滿足相角條件，所以z1p3 之間是根軌跡。1s-2-4繪制根軌

4、跡的根本規(guī)那么例-2-1：)4)(2()3)(1()(1SSSSSKSG單位反響有三個極點，根軌跡有三條分支jn=3,m=2有條根軌跡，條終止于開環(huán)零點。在實軸上不同段上取實驗點oo-3-1繪制根軌跡的根本規(guī)那么規(guī)那么四根軌跡的漸近線相角規(guī)那么四根軌跡的漸近線相角根軌跡中nm條趨向無窮遠(yuǎn)處的分支的漸近線的傾角為mnqa180) 12(, 2 , 1q，n-m-1)當(dāng)時，求得的漸近線傾角最小，0qq繪制根軌跡的根本規(guī)那么mnzpnimjjia11漸近線的交點總在實軸上，即 必為實數(shù)在計算時，思索到共軛復(fù)數(shù)極點、零點的虛部總是相互抵消，只須把開環(huán)零、極點的實部代入即可a規(guī)那么五根軌跡的漸近線與實軸

5、交點規(guī)那么五根軌跡的漸近線與實軸交點實踐漸進(jìn)線分析 1階:實軸上一條線,-180 2階:垂直于實軸, 90 ,上下個一條 3階: 60 ,-180,三條 4階:45 : ,四條繪制根軌跡的根本規(guī)那么六六.分別點和會合點分別點和會合點兩條根軌跡分支在平面上某一點相遇，然后又立刻分開的點，稱根軌跡的分別點或會合點。它對應(yīng)于特征方程中的二重根如例，實軸上的根軌跡要從某一點分開，然后沿漸近線方向趨向無窮遠(yuǎn)處，把分別點所對應(yīng)的1值代入特征方程，應(yīng)求得二重根。根軌跡關(guān)于實軸對稱，分別點或會合點必然是實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)常見的分別點或或會合點位于實軸上。求方程式的根，可以確定分別點或會合點。留意: 能夠有虛根,根

6、有無意義要分析判別.01dsdK繪制根軌跡的根本規(guī)那么例-2-2系統(tǒng)的特征方程為或0) 2)(1(1)(11sssKsG)2)(1(1sssK0)263(21ssdsdK上式的根577. 1,423. 06243662, 1s由于分別點在至之間，故為分別點的坐標(biāo)，而舍棄423. 01s577. 12s用幅值條件確定分別點的增益：385.0577.1577.0423.02101sssk牛頓-拉夫遜法求根簡介 Xk+1=Xk- fXk/ f Xk繪制根軌跡的根本規(guī)那么七七.根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸的交點當(dāng)添加到一定數(shù)值時，根軌跡能夠穿過虛軸，進(jìn)入右半平面，這表示將出現(xiàn)實部為正的特征根，系統(tǒng)將

7、不穩(wěn)定。必需確定根軌跡與虛軸的焦點，并計算對應(yīng)的使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定形狀的開環(huán)增益。在根軌跡與虛軸的交點處，在系統(tǒng)中出現(xiàn)虛根。因此可以根據(jù)這一特點確定根軌跡與虛軸的交點?？梢杂?代入特征方程求解，或者利用勞斯判據(jù)確定。1K1Kjs 繪制根軌跡的根本規(guī)那么續(xù)例，將代入特征方程。js 0230)23(0)2)(1(123121KjjKjjKjjj當(dāng)時，系統(tǒng)出現(xiàn)共軛虛根，此時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定形狀。2j61K實部虛部63,2020321321KK在確定根軌跡與虛軸的交點，求出分別點，并做出漸近線以后，根軌跡的大約趨勢知道了，為了能較準(zhǔn)確的畫出根軌跡，需在分別點附近取幾個實驗點，使其滿足相角條件。然后連成

8、光滑曲線，最后逐漸接近漸近線。繪制根軌跡的根本規(guī)那么繪制根軌跡的根本規(guī)那么八八.根軌跡的出射角和入射角根軌跡的出射角和入射角當(dāng)系統(tǒng)存在共軛復(fù)數(shù)極點或零點時，為了準(zhǔn)確地做出根軌跡的起始段或終止段，必需確定根軌跡的出射角或入射角根軌跡分開開環(huán)復(fù)數(shù)極點的切線方向與實軸正方向的夾角稱為出射角出射角表示根軌跡從復(fù)數(shù)極點出發(fā)時的走向 180p開環(huán)復(fù)數(shù)零點處，根軌跡的入射角為 180z式中pz即為其它開環(huán)零、極點對出射點或入射點提供的相角開環(huán)復(fù)數(shù)極點處，根軌跡的出射角為繪制根軌跡的根本規(guī)那么求從出發(fā)根軌跡的出射角。5p35)904070130(105180)(18043215ppppzp用量角器量后，得，在

9、圖上標(biāo)出。的出射角和對稱。5p5p4p5p 例題4-2-4:p126 例題4-2-5:p127 例題4-2-7:p129 例題4-2-6:p128反響控制系統(tǒng)的根軌跡分析漸近線的相角和交點為25.14113315,225,135,454180)12(aaq求根軌跡的分別點0) 5 . 1475. 3(4)685()22)(3(0)22)(3(2312342112SSSdsdKSSSSSSSSKKSSSS系統(tǒng)的特征方程反響控制系統(tǒng)的根軌跡分析上式的根為，。只需是實踐分別點。3 . 2S對應(yīng)分別點的 值可按幅值條件確定1K11ipSK33.464.164.17.03.2111133.21sjsjs

10、ssK求根軌跡在 的出射角3p6 .431)6 .2690135(180p），為減去6 .71360(365. 0725. 0jS3 . 2S反響控制系統(tǒng)的根軌跡分析求根軌跡與虛軸的交點此處利用勞斯判據(jù)，由特征方程06851234Kssss4s3s2s1s0s5341K534552041K1K列勞斯表反響控制系統(tǒng)的根軌跡分析令，得0534552041K16. 81K根據(jù)行的系數(shù)寫出輔助方程2S0)534(12 KS將代入，得16. 8,1kjs1 . 1.作根軌跡圖在分別點附近取n個實驗點，知分別角為90,在 附近取n個實驗點3p反響控制系統(tǒng)的根軌跡分析確定閉環(huán)極點.在上例中給定一對主導(dǎo)極點的

11、阻尼比5 . 01.畫出線60arccos6012或arctg反響控制系統(tǒng)的根軌跡分析線的根軌跡交點的坐標(biāo)就是時，系統(tǒng)的一對閉環(huán)主導(dǎo)極點5 . 0主導(dǎo)極點處對應(yīng)的值用幅值條件求1K91.268.074.286.184.01K用試探法可找到另兩個閉環(huán)極點;也可以用綜合除法85. 24 . 121ss和當(dāng)時，系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為91. 21K)85. 2)(4 . 1)(7 . 04 . 0)(7 . 04 . 0(91. 2)()(ssjsjsSRsC反響控制系統(tǒng)的根軌跡分析根軌跡法分析系統(tǒng)的普通步驟：根軌跡法分析系統(tǒng)的普通步驟：繪制系統(tǒng)的根軌跡圖；繪制系統(tǒng)的根軌跡圖；分析根軌跡圖，估計系統(tǒng)增益分析

12、根軌跡圖，估計系統(tǒng)增益 對對閉環(huán)零、極點分布的影響；閉環(huán)零、極點分布的影響；根據(jù)閉環(huán)零、極點的分布估算系統(tǒng)根據(jù)閉環(huán)零、極點的分布估算系統(tǒng)暫態(tài)呼應(yīng)目的；暫態(tài)呼應(yīng)目的；對高階系統(tǒng)要盡能夠準(zhǔn)確地找出它對高階系統(tǒng)要盡能夠準(zhǔn)確地找出它的閉環(huán)主導(dǎo)極點。的閉環(huán)主導(dǎo)極點。1K常見的根軌跡 P131考研題舉例 中科院2019，四,P277第三節(jié) 廣義根軌跡根軌跡方法的靈敏運用:參數(shù)根軌跡多回路根軌跡正反響的根軌跡廣義根軌跡分析一。參數(shù)根軌跡有時需求分析某個參數(shù)對根軌跡的影響不一定是K，思緒：將該參數(shù)化為顯式方式即K的位置舉例：P133 例4-3-1討論:a變化對根軌跡的影響,P圖4-3-2闡明零點(微分)對改動

13、系統(tǒng)性能的作用 P 例4-3-2闡明:由a的顯式特征方程(P下),可以先繪制K1的內(nèi)環(huán)根軌跡例：王彤P253二例-3-3知系統(tǒng)框圖，繪制以a為參數(shù)的根軌跡.二、多回路根軌跡處理問題的思緒：由內(nèi)向外依次處理反響控制系統(tǒng)的根軌跡分析解：1系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)SSSSG)1(1)(特征方程0)(1SG012sss2以為參變量，特征方程可寫為0112sss即1)(2SSSSG繪制的根軌跡)(SG反響控制系統(tǒng)的根軌跡分析3開環(huán)極點 閉環(huán)極點023212,1zjp4實軸上的根軌跡5漸近線傾角6會合點 求 ，得 為實踐會合點，該點7出射角0,( 180a0dsd11s1, 121ss1150)90120(180p 例4-3-4 從內(nèi)環(huán)向外環(huán)依次處理 例4-3-5三、正反響的根軌跡 特征：恰與負(fù)反響根詭計互補 根本規(guī)那么：GsHs= 1 幅值條件： GsHs= 1 ；與負(fù)反響一樣 相角條件： GsHs= 360 ；與負(fù)反響不同 由此可以導(dǎo)出類似的8條規(guī)那么 例4-3-6 例4-3-7 例4-3-8: 闡明正反響極易呵斥系統(tǒng)不穩(wěn)定,而經(jīng)過負(fù)反響有能夠?qū)⒉环€(wěn)定的系統(tǒng)變?yōu)榉€(wěn)定.第4節(jié) 滯后系統(tǒng)根軌跡1. 滯后系統(tǒng)：概念，實踐中的例子2. 數(shù)學(xué)模型：e-s3. 根本方法：化為近似代數(shù)式；或直接作圖(不要求)例:4-4-2第