XXXX秋季第8講垂直機(jī)械制圖北京航空航天大學(xué)出版社

1、13.3 垂直問題垂直問題 Perpendicularity 如果直線垂直于平面內(nèi)的任意兩條相如果直線垂直于平面內(nèi)的任意兩條相交直線，則與該平面垂直。反之，如果直交直線，則與該平面垂直。反之，如果直線與平面垂直，則與平面內(nèi)的任意直線垂線與平面垂直，則與平面內(nèi)的任意直線垂直。直。A line is perpendicular to a plane if it is perpendicular to at least two nonparallel lines in a plane. Also, a line perpendicular to all lines in a plane if it

2、is perpendicular to that plane.要討論的問題要討論的問題Problems to be solved： 過點作直線與平面垂直。過點作直線與平面垂直。Construct line through a given point perpendicular to a plane. 過點作平面與直線垂直。過點作平面與直線垂直。 Construct plane through a given point perpendicular to a line.一、直線與平面垂直一、直線與平面垂直 Perpendicularity of line and plane2直線與平面垂直直線與

3、平面垂直Line perpendicular to plane直線垂直于平面內(nèi)的直線垂直于平面內(nèi)的一對相交直線一對相交直線（一切直線）（一切直線）Line is perpendicular to two intersecting lines in plane (all lines in that plane)Pp p相交主直線相交主直線3N N P PL1L1 N (N (相交相交 intersectingintersecting) )L2L2 N (N (交叉交叉 SkewSkew) )N-N-法線法線 Normal of the planeNormal of the plane性質(zhì)性質(zhì)Ch

4、aracteristics: :P P面所有直線垂直于面所有直線垂直于N N All lines in P are perpendicular to N過過N N的所有平的所有平面垂直于面垂直于P AllP All Planes containing N are perpendicular to P 平面的坡角與法線的傾角互余平面的坡角與法線的傾角互余 (p + N=90 )O OX XY YZ ZH HV VL L1 1W WP PL L2 2L L3 3N N4主直線平面主直線平面 Main lines plane平面用一對相交主直線表示平面用一對相交主直線表示Plane defined

5、by a pair of intersecting linesl1 l1l2 l2a an nn 正平線的正平線的V投影投影n l1 n 水平線的水平線的H投影投影n l2平面以其他形式表示平面以其他形式表示Plane defined by other methods5p pl ll1 l1L L與與P P平面不垂直平面不垂直L is not perpendicular to PL1L1與與P P平面垂直平面垂直L is perpendicular to P例例1 :L,L11 :L,L1與平面與平面P P垂直嗎？垂直嗎？ L P? L1 P? 用一對相交主直線來判斷用一對相交主直線來判斷De

6、termine by a pair intersecting main lines6例例2：過點：過點A作直線垂直于作直線垂直于DEF。Construct line through point A perpendicular to DEFd e f defaa 1 1b b2 2注意：不是垂注意：不是垂足的正面投影足的正面投影 This is not the frontal projection of perpendicular foot.注意：不是垂足的注意：不是垂足的平面投影平面投影This is not the Horizontal projection of perpendicular

7、 foot.求出直線求出直線AB對對DEF的穿點才是垂的穿點才是垂足足The piercing point of line AB and DEF is the perpendicular foot.7例例3 過定點過定點A作直線作直線L的垂面的垂面PConstruct plane P through given point A perpendicular to line L.p pl lLPa aA8應(yīng)用應(yīng)用: 求距離問題求距離問題Application : Problems of distance 1) 點到平面的距離點到平面的距離 distance between point and pl

8、ane 2) 平行面間的距離平行面間的距離distance between two planes 步驟步驟Steps: 1. 過定點作面的垂線過定點作面的垂線 (Construct line through given point perpendicular to plane) 2. 求垂線對面的穿點求垂線對面的穿點-積聚性法或輔助積聚性法或輔助平面法平面法 (Find piercing point of perpendicular line and plane -Collecting method or Auxiliary plane method) 3. 求定點到穿點的實長求定點到穿點的實

9、長-直角三角形法直角三角形法 (True length of distance between given point and piercing point.-Right triangle method)AAKKPPQ9二、兩平面垂直二、兩平面垂直 Perpendicularity of two planes定理一：定理一：Theorem one 如果一個平面過另一個平面的任意一條如果一個平面過另一個平面的任意一條垂線，則這兩個平面垂直。垂線，則這兩個平面垂直。 Two planes are perpendicular if one contains a perpendicular line

10、of the other one.定理二：定理二：Theorem two 如果兩平面垂直，那么過第一個平面內(nèi)如果兩平面垂直，那么過第一個平面內(nèi)一點作第二個平面的垂線必在第一個平面內(nèi)。一點作第二個平面的垂線必在第一個平面內(nèi)。 If two planes are perpendicular , line through a point of one plane and perpendicular to another plane must lies in the first plane.10(1) 幾何條件幾何條件 Geometry condition(2) 投影作圖投影作圖 Projection

11、NQ1Q2Q3P 兩平面互相垂直兩平面互相垂直, 則其中一個平則其中一個平面必經(jīng)過面必經(jīng)過(或平行于或平行于)另一個平面的垂另一個平面的垂線。線。If two planes are perpendicular, one plane must contain line perpendicular to another the other plane. 過過A點作平面點作平面Q垂直垂直于平面于平面P 。 Construct plane Q through point A perpendicular to plane PAa ap pnn q q11例例4：過點：過點A作平面垂直于作平面垂直于DEF

12、。Construct plane through point A perpendicular to DEFd e f defaa 解法一：解法一：Solution method one: 過點過點A作作DEF的垂線。的垂線。Construct line perpendicular to DEF 過垂線任作一平面即為所過垂線任作一平面即為所求。求。Construct a plane containing that perpendicular line.1 1b bc c2 212d e f defaa 解法二：解法二：Solution method two: 在在DEF上任取一上任取一直線，比如

13、直線，比如DF。 Select a line in DEF arbitrarily such as DF. 過過A點作點作DF的垂面的垂面即為所求。即為所求。 Construct plane through point A perpendicular to DFb bc c13 三、三、 直線與直線垂直直線與直線垂直 Perpendicularity between lines(1) 幾何條件幾何條件Geometry condition(2) 投影作圖投影作圖ProjectionNP 兩直線互相垂直兩直線互相垂直, 則必有則必有一線在另一直線的垂面上一線在另一直線的垂面上(或或平行于另一直線的

14、垂面）平行于另一直線的垂面） It two lines are perpendicular , one must lie in the perpendicular plane of the other one.過直線過直線L上上A點作垂線點作垂線 Construct line through point A perpendicular to LL2與與L是是什么位置什么位置關(guān)系？關(guān)系？The relative position of L2 and L ?a KQPL1L2NP L1 L1 P 或或 L2/Pal lp pl1 l1l2 l2 14作業(yè)作業(yè)Homework：P24P24P25P2

15、5-7,8,9-7,8,9復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)refer to textbook：P152-P157P152-P157153.4 3.4 綜合問題綜合問題Synthetical Problems 綜合作圖題綜合作圖題是指點、線、面等幾何元素及其是指點、線、面等幾何元素及其相互關(guān)系同時出現(xiàn)于問題之中，并且對問題的解相互關(guān)系同時出現(xiàn)于問題之中，并且對問題的解答，要求滿足的條件較多，需要進(jìn)行綜合分析。答，要求滿足的條件較多，需要進(jìn)行綜合分析。 常用的求解方法有：常用的求解方法有： 正推法：正推法：從正面入手進(jìn)行分析推理。從正面入手進(jìn)行分析推理。 反推法：反推法：假定問題已解，再反推回去，找假定問題已解，再反推回

16、去，找出問題的相互聯(lián)系或條件，從而得到解題的途徑。出問題的相互聯(lián)系或條件，從而得到解題的途徑。 交軌法：交軌法：分析滿足條件的幾何元素各自的分析滿足條件的幾何元素各自的空間軌跡，然后求得可以同時滿足所求條件的幾空間軌跡，然后求得可以同時滿足所求條件的幾何元素或關(guān)系，從而得到解題的途徑。何元素或關(guān)系，從而得到解題的途徑。一、點線面綜合作圖題一、點線面綜合作圖題16例例1：過點：過點A作一條直線，使其與直線作一條直線，使其與直線BC垂直相交。垂直相交。 Construct a line through point A, required to be perpendicular to and int

17、ersecting with line BCa ac b cbe ef fk k 過點過點A作一主直線平面作一主直線平面 AEF與直線與直線BC垂直。垂直。Construct main lines AE and AF perpendicular to line BC1 12 2 作出直線作出直線BC對平面對平面AEF的穿點的穿點K。Find piercing point K of line BC and AEF 直線直線AK在直線在直線BC的垂的垂面上，故面上，故AKBC，又，又K點在直線點在直線BC上，故直線上，故直線AK為所求。為所求。Line AK meets the requireme

18、nts17例例2：已知等腰三角形：已知等腰三角形ABC的底邊的底邊AB的的V投影投影a b 平行于平行于X軸，軸，AC邊的邊的V、H投影投影a c 、ac已知，試完成該等腰三角形的已知，試完成該等腰三角形的H面投影。面投影。Given: AB is the bottom edge of isoceles triangle ABC , a b XX. Reqd: Complete the H projection of ABCcac a b b分析：分析： 假設(shè)等腰三角形假設(shè)等腰三角形ABC的底邊的底邊AB上的高為上的高為CD，因為，因為AB為水平線為水平線，故故cdab，又，又H為為AB的中點

19、，根據(jù)的中點，根據(jù)定比性可知定比性可知ad=bd，因此，因此adc bdc。結(jié)論：結(jié)論：ac=bcCD Supposed to be the height line of AB, and AB H cdabAD=BD ad=bd adc bdcConclusion: ac=ab 18例例3：在平面：在平面DEF上求一點上求一點K與已知三點與已知三點A、B、C等距，其中等距，其中A點點和和C點的點的Z坐標(biāo)相等。坐標(biāo)相等。 Find a point K in plane DEF, required to be equidistant from points A, B and C (AC H)bb

20、aa fedf e d cc qq p1 12 2k k19例例4：已知三條直線：已知三條直線CD、EF、GH，要求作一直線，要求作一直線AB平行于平行于CD，且與，且與EF、GH相交。相交。Given: Three lines CD, EF and GH.Reqd: Construct a line AB, let ABCD, and intersecting EF and GH.c d e f g h cdefghaa bb pp 20例例5：已知一直角：已知一直角ABC，其中，其中AB為一直角邊，為一直角邊，另一直角邊另一直角邊AC平行于正垂面平行于正垂面P，且，且C點距離點距離V面面2

21、0mm，試完成該三角形的，試完成該三角形的V、H投影。投影。Given: Right angle edge AB of ABC, other right angle edge AC is parallel to V-perpendicular plane P, point C is 20mm from V plane.Reqd: complete the V and H projections of ABC20mmcc k kp b ba a21例例6：過已知點：過已知點A求作一直線求作一直線AB，使與已，使與已知二交叉直線知二交叉直線L1、L2相交（相交（P26-1）。）。Through g

22、iven point A construct a line AB to be intersecting with two skew lines L1 and L2.aa l1 l2 l1l2交軌法交軌法intersection of tracks：過過A A點與點與L L1 1相交的直線相交的直線的軌跡；的軌跡； The track of lines through point A and intersecting with L12 .2 .過過A A點與點與L2L2相交的直相交的直線的軌跡線的軌跡; ;The track of lines through point A and inters

23、ecting with L23.3.兩軌跡的交集；兩軌跡的交集；The intersection of two tracks22aa l1 l2 l1l2b bp p反推法反推法Reverse inference： 假設(shè)此直線假設(shè)此直線AB已作出，已作出，只限與只限與L1相交，組成平面相交，組成平面P即即A點與點與L1組成的平組成的平面面P。 Assuming that line AB intersecting with line L1 had been found, then the plane which AB and L1 define should be the plane which L1 and point A define. AB在在P面內(nèi)，同時又面內(nèi)，同時又與與L2相交，交點必為相交，交點必為P面面與與L2 的公共點的公共點穿點。穿點。 ABP and int