第2講數(shù)學物理方程的分類和行波法

1、第2講數(shù)學物理方程的分類和行波法三類方程：n反映波動過程的波動方程波動方程n反映擴散過程的熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程n反映穩(wěn)定狀態(tài)的PoissonLaplacePoissonLaplaceHarbin Engineering University定解條件： 初始條件 ：&初始條件的個數(shù)初始條件的個數(shù)：等于于方程中關(guān)于時間偏導(dǎo)數(shù) 的階數(shù)。&必須給出全系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而不是系統(tǒng)中個別點必須給出全系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而不是系統(tǒng)中個別點的初始狀態(tài)。的初始狀態(tài)。 三類邊界條件：&邊界條件的個數(shù)：邊界條件的個數(shù)：等于方程中關(guān)于空間變量偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。 &只需給出恰當說明邊界上的物理狀況

2、即可，而非整只需給出恰當說明邊界上的物理狀況即可，而非整個系統(tǒng)個系統(tǒng) Harbin Engineering University練習： Harbin Engineering University第二講：數(shù)學物理方程的分類和行波法2.1 2.1 數(shù)學物理方程的分類數(shù)學物理方程的分類一、一、 線性二階偏微分方程線性二階偏微分方程 Harbin Engineering University1110ijinnnijx xixjiia ubucuF（1）0F 齊次性： 時，無源物理場， 例子，不含點源所在位置的點源場 0F 非齊次： 時，有源物理場。 例如含點源的整個聲場線性二階偏微分方程：疊加原理 n

3、線性： Harbin Engineering UniversityijiabcF、 、 、 12,nx xx只是的 函數(shù)，而不是u, F ，或更復(fù)雜變量的函數(shù)，否則是非線性的。例1，理想、均勻介質(zhì)，小振幅波動方程為線性的2( , )ttxxua uf x t線性的主要特征線性的主要特征：滿足疊加原理疊加原理 燈泡、手榴彈聲源特性時域波形 例2, 非線性的：非線性的：大振幅平面波波動方程，(非線性聲學),波動方程的解不滿足疊加原理 Harbin Engineering University()0uuuctx應(yīng)用：燈泡聲源、聲彈 激波第一氣泡脈沖激波海底反射波激波海面反射波激波第一氣泡脈沖激波海底

4、反射波激波海面反射波激 波第 一 氣 泡 脈 沖激 波 海 底 反 射 波激 波 海 面 反 射 波激 波第 一 氣 泡 脈 沖激 波 海 底 反 射 波激 波 海 面 反 射 波二、疊加原理把線性偏微分方程統(tǒng)一寫成算符形式： Harbin Engineering University L uf定義：n如果函數(shù) 使方程 恒成立，則稱 是方程 的解。 Harbin Engineering Universityu L ufu L uf性質(zhì)1 若1u和2u都是齊次方程 0L u 的解，即，10L u20L u，則它們的線性組合1 122cuc u也是齊次方程 的解。1 1220L cuc u性質(zhì)2

5、若1u和2u都是非齊次方程 L uf的差12uu一定是相應(yīng)齊次方程 的解。120L uc的解則它們線性偏微分方程性質(zhì)：Harbin Engineering University性質(zhì)3 若1u和2u分別滿足非 齊次方程11L uf22L uf，則它們的線性組合1 122cuc u非齊次方程1 1221 122L cuc uc fc f和滿足數(shù)理方程中的疊加原理n如果泛定方程和定解條件都是線性的，可以把定解問題的解看作是幾部分的線性疊加，只要這些部分各自所滿足的泛定方程和定解條件的相應(yīng)的線性疊加正好是原來的泛定方程就行。n 包含源的疊加和邊界條件的疊加包含源的疊加和邊界條件的疊加Harbin En

6、gineering University源的疊加源的疊加 如果：則：其中： 如下方程的解： 物理解釋物理解釋：N個聲源輻射的總聲場，就是單個聲源源輻射聲場的疊加 Harbin Engineering University12.NFFFF12.Nuuuu1110ijinnnijx xixkjiia ubucuFku邊界條件的疊加 邊界條件的疊加：（以第一類邊界條件為例）如果則),(| ),(000,000tzyxftzyxuzyx邊界),(.),(),(00000020001tzyxftzyxftzyxfNNuuuu.21Harbin Engineering University邊界條件的疊加續(xù)

7、邊界條件的疊加續(xù)n其中：uk (k=1,N)為下面方程的解 邊界條件為： 0111Fcuubuanixinjnixxijiji),(| ),(000,000tzyxftzyxukzyx邊界Harbin Engineering University疊加原理(續(xù)) *注意注意：邊界條件和源可以同時分解，并可以進行組合 :),(| ),(000,000tzyxftzyxukzyx邊界0111knixinjnixxijFcuubuaijiNuuuu.21Harbin Engineering University三、兩個自變數(shù)方程的分類 n雙曲型：波動方程n拋物型：擴散方程、熱傳導(dǎo)方程n橢圓型：穩(wěn)定場方

8、程，如穩(wěn)定濃度分布，穩(wěn)定溫度分布場方程Harbin Engineering University2.2 2.2 行波法行波法 數(shù)理方程的解法：n行波法n分離變量法n格林函數(shù)法n積分變換法變分法 Harbin Engineering University行波法DAlembert公式 DAlembertDAlembert&法國著名的物理學家、數(shù)學家和天文學家，最著名的有八卷巨著數(shù)學手冊、力學專著動力學、23卷的文集、百科全書的序言等等。他的很多研究成果記載于宇宙體系的幾個要點研究中。Harbin Engineering University行波法達朗貝爾公式(續(xù))&難能可貴的是，在

9、宗教學校里受到了許多神學思想的熏陶以后，達朗貝爾仍然堅信真理、一生探求科學的真諦、不盲從于宗教的認識論。后來他自學了一些科學家的著作，并且完成了一些學術(shù)論文。 &達朗貝爾生前為人類的進步與文明做出了巨大的貢獻，也得到了許多榮譽。但在他臨終時，卻因教會的阻撓沒有舉行任何形式的葬禮。 DAlembertDAlembertHarbin Engineering University一、定解問題：222220,uuaxtx 泛定方程泛定方程: 定解條件定解條件: 00|( ),|( )tttuxxux （2）（3）Harbin Engineering University求通解求通解 0aaut

10、xtx（4）（2）式算符分解坐標變換：坐標變換： ()xat則：則： uutuxuuatxtx uutuxuuuuaatxtxtx （5）（6）Harbin Engineering University求通解續(xù)求通解續(xù):20u （4）（5）（6）（7）0( )udf（8）212( )( )( )( )ufdfff（9）通解通解Harbin Engineering University求通解續(xù)求通解續(xù):()xat() 2() 2xataxata選擇：選擇： xatxat1()212xta1212( )( )()()ufff xatfxat通解：通解： （10）進而進而 Harbin Engine

11、ering University解的物理意義討論： 2():fxat代表以速度代表以速度 a沿沿x軸正向傳播的波軸正向傳播的波 t ： 0 T（單位時間） 2:f2( )fx2()fxaT2():fxat代表以速度代表以速度 a沿沿x軸負向傳播的波軸負向傳播的波 Harbin Engineering University求特解：把通解把通解（10）代入定解條件代入定解條件（3）00|( ),|( )tttuxxux 定解條件：定解條件：（3）012012|( )( )( )|( )( )( )tttuf xfxxuafxafxx（11）Harbin Engineering University

12、求特解續(xù)：01210201( )( )( )()()xxf xfxdf xfxa （12）012121020( )( )( )1( )( )( )()()xxf xfxxf xfxdf xfxa （13）001102021020111( )( )( )()()222111( )( )( )()()222xxxxf xxdf xfxafxxdf xfxa （14）Harbin Engineering University求特解續(xù)：代入通解代入通解（10）12()()uf xatfxat00111()()( )( )222x atx atxxxatxatddaa （10）11()()( )22x

13、atx atuxatxatda DAlembert DAlembert 公式公式 Harbin Engineering University例題：例例 1初始速度為零，初始位移如下（教材172頁） ： 圖1 初始位移分布圖 ( )0 xHarbin Engineering University例題：代入達朗貝爾公式： 11( , )()()22u x txatxatHarbin Engineering University例題：例2 求定解問題：220( ,0)sin( ,0)ttxxtua uu xxu xx解：由達朗貝爾公式：211sin()sin()22x atx atuxatxatda

14、22 2sincos(3)3txatxa t駐波形式Harbin Engineering University行波法小結(jié)： 它基于波動的特點。它基于波動的特點。引入了坐標變換來簡化方程引入了坐標變換來簡化方程優(yōu)點：求解方式易于理解，求解波動優(yōu)點：求解方式易于理解，求解波動方程十分方便方程十分方便缺點：通解不易求，是之有局限性缺點：通解不易求，是之有局限性%現(xiàn)實中，無限長的弦根本不存在，所謂無限長的弦當然只是一個理想化的抽象。它恰恰就是表示：在我們所考察的時間和空間范圍內(nèi)，端點的影響可以忽略不計的情況 。Harbin Engineering University端點的反射 _半無限長弦的自由振動Harbin Engineering University參見教參參見教參174頁頁端點固定時，端點固定時，端點的影響