輔助線在中考中的應(yīng)用專題講課教案

1、輔助線在中考中的應(yīng)用專題輔助線在中考中的應(yīng)用專題人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線. . 輔助線，如何添？把握輔助線，如何添？把握定理定理和和概念概念. . 還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn). . 圖中有圖中有角平分線角平分線，可向兩邊作，可向兩邊作垂線垂線. . 也可將圖對(duì)折看，也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)以后關(guān)系現(xiàn). . 角平分線平行線，等腰三角形等腰三角形來(lái)添. 角平分線加垂線，三線合一三線合一試試看. 線段垂直平分線，常向兩端把線連. 要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn). 三角形中有中線，延長(zhǎng)延長(zhǎng)中線等中線. 1.三角形中

2、的性質(zhì)三角形中的性質(zhì): (1)(1)三角形的兩邊之和大于第三邊三角形的兩邊之和大于第三邊, ,兩邊之差小兩邊之差小于第三邊于第三邊; ; (2)(2)三角形的三內(nèi)角之和為三角形的三內(nèi)角之和為180180度度; ; (3)(3)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和角之和. .2.三角形中的線三角形中的線 :中線中線; ;高線高線; ;角平分線角平分線; ;中垂線中垂線. .(1)(1)等腰三角形等腰三角形; ;(2)(2)等邊三角形等邊三角形; ;(3)(3)直角三角形直角三角形; ;(4)(4)等腰直角三角形等腰直角三角形. .3.特殊的三角形特殊

3、的三角形 :1.中線倍長(zhǎng)法中線倍長(zhǎng)法2.截長(zhǎng)補(bǔ)短法截長(zhǎng)補(bǔ)短法3. 角平分線構(gòu)造全等法角平分線構(gòu)造全等法4.垂直平分線垂直平分線5.補(bǔ)形法補(bǔ)形法常常 用用 輔輔 助助 線線連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形典例典例1:1:如圖如圖,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求證求證:B=D.:B=D.A AC CB BD D1.1.連結(jié)連結(jié)ACAC構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形2.2.連結(jié)連結(jié)BDBD構(gòu)造兩個(gè)等腰三角形構(gòu)造兩個(gè)等腰三角形典例典例2:2:如圖如圖,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD, 求證求證: :點(diǎn)點(diǎn)M M

4、是是CDCD的中點(diǎn)的中點(diǎn). .A AC CB BD D連結(jié)連結(jié)ACAC、ADAD構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形E EM M連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形典例典例3:3:如圖如圖,AB=AC,BD=CD, M,AB=AC,BD=CD, M、N N分別是分別是BDBD、CDCD的中點(diǎn)，求證：的中點(diǎn)，求證：AMBAMB ANCANCA AC CB BD D連結(jié)連結(jié)ADAD構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形N NM M典例典例4:4:如圖如圖,AB,AB與與CDCD交于交于O, O, 且且AB=CDAB=CD，AD=BCAD=BC，OB

5、=5cmOB=5cm，求，求ODOD的長(zhǎng)的長(zhǎng). .A AC CB BD D連結(jié)連結(jié)BDBD構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形O O連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形典例典例1:1:如圖如圖, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,BC=10,BD=6,BC=10,BD=6, AD AD平分平分BAC,BAC,求點(diǎn)求點(diǎn)D D到到ABAB的距離的距離. .過點(diǎn)過點(diǎn)D D作作DEABDEAB構(gòu)造了構(gòu)造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等A AC CD DB BE E角平分線上向兩邊作垂線段角平分線上向兩邊作垂線段典例典例2:2:如圖如圖, ,ABC

6、ABC中中, C =90, C =90o o,AC=BC,AC=BC, AD AD平分平分BAC,BAC,求證求證:AB=AC+DC.:AB=AC+DC.A AC CD D過點(diǎn)過點(diǎn)D D作作DEABDEAB構(gòu)造了構(gòu)造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等B BE E角平分線上向兩邊作垂線段角平分線上向兩邊作垂線段典例典例3:3:如圖如圖, ,梯形中梯形中, A= D =90, A= D =90o o, , BE BE、CECE均是角平分線均是角平分線, ,求證求證:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.過點(diǎn)過點(diǎn)E E作作EFBCEFBC構(gòu)造了構(gòu)造了: :全等的全等的直角三

7、角形直角三角形且且距離相等距離相等 思考思考: : 你從本題中還能得到哪些結(jié)論你從本題中還能得到哪些結(jié)論? ?A AC CD DB BF FE E角平分線上向兩邊作垂線段角平分線上向兩邊作垂線段2.2.如圖如圖, ,梯形中梯形中, A= D =90, A= D =90o o, , BE BE、CECE均是角平分線均是角平分線, , 求證求證:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.延長(zhǎng)延長(zhǎng)BEBE和和CDCD交于點(diǎn)交于點(diǎn)F F構(gòu)造了構(gòu)造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形F F 思考思考: : 你從本題中還能得到哪些結(jié)論你從本題中還能得到哪些結(jié)論? ?A AC CD DB BE E角平分線上

8、向兩邊作垂線段角平分線上向兩邊作垂線段1212典例典例4:4:如圖如圖,OC ,OC 平分平分AOB, DOE +DPE =180AOB, DOE +DPE =180o o, , 求證求證: PD=PE.: PD=PE.A AC CD D過點(diǎn)過點(diǎn)P P作作PFOA,PG OBPFOA,PG OB構(gòu)造了構(gòu)造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等B BF F 思考思考: : 你從本題中還能得到哪些結(jié)論你從本題中還能得到哪些結(jié)論? ?E EP PG GO O角平分線上向兩邊作垂線段角平分線上向兩邊作垂線段1.AD1.AD是是ABCABC的中線，的中線，A AB BC CD DE

9、 E)(21ACABAD求證：延長(zhǎng)延長(zhǎng)ADAD到點(diǎn)到點(diǎn)E E，使，使DE=AEDE=AE，連結(jié)連結(jié)CE.CE.中線倍長(zhǎng)中線倍長(zhǎng) 已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是。 已知ABC中，AB=8，AC=6，連BC上的中線AD=5，求BC的長(zhǎng)如圖如圖, ,ABCABC中中,A=90,A=90o o, D, D在在ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上, ,E E在在ACAC的垂直平分線上的垂直平分線上. .若若BC=6cm,BC=6cm,求求ADEADE的周長(zhǎng)的周長(zhǎng). .B BA AC CD DE EAD+AE+DE=AD+AE+DE=BD+CE+DE=BD+CE+DE=BC

10、BC垂直平分線兩邊連垂直平分線兩邊連3.3.如圖如圖,A,A、A A1 1關(guān)于關(guān)于OMOM對(duì)稱對(duì)稱, A, A、A A2 2關(guān)于關(guān)于ONON對(duì)稱對(duì)稱. .若若A A1 1 A A2 2 =6cm, =6cm,求求ABCABC的周長(zhǎng)的周長(zhǎng). .B BA AC CO OM MAB+AC+BC=AB+AC+BC=A A1 1B+ AB+ A2 2C+BC=C+BC=A A1 1A A2 2A A1 1A A2 2N N垂直平分線兩邊連垂直平分線兩邊連4.4.如圖如圖, , ABCABC中，中，MNMN是是ACAC的垂直平分線的垂直平分線. .若若AN=3cm, AN=3cm, ABMABM周長(zhǎng)為周長(zhǎng)

11、為13cm13cm，求，求ABCABC的周長(zhǎng)的周長(zhǎng). .B BA AC CM MAB+BC+AC=AB+BC+AC=AB+BM+MC+6=AB+BM+MC+6=N NAB+BM+AM+6=AB+BM+AM+6=13+6=1913+6=19垂直平分線兩邊連垂直平分線兩邊連5.5.如圖如圖, , ABCABC中，中，BPBP、CPCP是是ABCABC的角平分線，的角平分線，MN/BC.MN/BC.若若BC=6cm, BC=6cm, AMNAMN周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為13cm13cm，求，求ABCABC的周長(zhǎng)的周長(zhǎng). .B BA AC CP PAB+AC+BC=AB+AC+BC=AM+ BM+AN+NC+6=

12、AM+ BM+AN+NC+6=N NAM+ MP+AN+NP+6=AM+ MP+AN+NP+6=13+6=1913+6=19M MAM+AN+MN+6=AM+AN+MN+6=等腰三角形性質(zhì)等腰三角形性質(zhì)例例4.如圖如圖,BCAB,BD平分平分ABC,且且AD=DC,求證求證AC=180.分析分析:我們要證我們要證AC=180.設(shè)法將設(shè)法將A和和C“搬搬”到一塊到一塊,拼成一個(gè)平角拼成一個(gè)平角,現(xiàn)有以下幾種方現(xiàn)有以下幾種方式式.又又BEDDEC=180,故故AC=180.證法證法1:如圖在如圖在BC上上截取截取BE=AB,連連DE,可證可證ABD EBD.得到得到DE=AD=DC,A=DEB,C

13、=DEC,證法證法2:如圖如圖延長(zhǎng)延長(zhǎng)BA至至F,使使BF=BC連接連接DF.則有則有BDF BDC,得得CD=DF=AD,C=F.由由BAF為平角可證結(jié)論成立為平角可證結(jié)論成立.證法證法3:如圖如圖,過過D分別作分別作ABC的兩邊的垂線的兩邊的垂線,E、F為垂足為垂足,則則DE=DF,易證易證ADF CDE,有有C=DAF,故故BADC=180.證法證法4:如圖如圖,過過A作作BD垂線交垂線交BC于于G,交交BD于于H,連連DC,易證易證ABH GBH, 則則AB=BG,AH=HG,根據(jù)等腰三角形的根據(jù)等腰三角形的“三線合一三線合一”知知DG=AD=DC.ABD GBD，BAD=BGD,故故

14、BADC=180 .點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：1.四種證法都利用了四種證法都利用了“拼拼”的方法的方法,所不同所不同的是有的是有截取截取、延長(zhǎng)延長(zhǎng)、作垂線作垂線等方法等方法.2.前三種方法是利用前三種方法是利用構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形和和等等腰三角形腰三角形作轉(zhuǎn)化作轉(zhuǎn)化,第四種方法是反復(fù)運(yùn)用等腰三第四種方法是反復(fù)運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化角形的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,這些方法具有代表性這些方法具有代表性.3.幾何證題中要學(xué)會(huì)幾何證題中要學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想,它是一種常它是一種常用的數(shù)學(xué)思想方法用的數(shù)學(xué)思想方法,必須熟練掌握必須熟練掌握.1.已知已知:BC平分平分EBD,AFBC,F是是ED的中點(diǎn)的中點(diǎn).求證求證

15、:EG=AD分析分析:有中線且證明有中線且證明兩線段相等兩線段相等,一般延一般延長(zhǎng)構(gòu)造全等三角形長(zhǎng)構(gòu)造全等三角形.延長(zhǎng)延長(zhǎng)GF到到 H使使FG=HF, 連接連接DH .證明證明:延長(zhǎng)GF到 H使FG=HF, 連接DH . EBDCFAGH,.EBCDBCEGFAAHADDHEGAD F是ED 的中點(diǎn)EF=FD EGF DHF EGFH EG=DH,EGFEBCDBCA AFBC2.在等腰三角形在等腰三角形ABC的底邊的底邊BC上取任意一點(diǎn)上取任意一點(diǎn)D,過點(diǎn)過點(diǎn)D作作DEAB, DFAC.過點(diǎn)過點(diǎn)B作作AC邊上的邊上的高高BG.求證求證:等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰的等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩

16、腰的距離之和等于一腰上的高距離之和等于一腰上的高.分析分析:如圖所示要證兩線如圖所示要證兩線段之和等于第三邊要么段之和等于第三邊要么截長(zhǎng)要么補(bǔ)短兩種方法截長(zhǎng)要么補(bǔ)短兩種方法都行都行.由題意三條線段都由題意三條線段都是高線也可用面積相等是高線也可用面積相等來(lái)做來(lái)做. DE+DF=BG方法一方法一:(截長(zhǎng)法截長(zhǎng)法)H過D做DH BG交交BG于于H.則則DF=GH, BDE DBH得得BH=DE DE+DF=BG方法二方法二:(補(bǔ)短法補(bǔ)短法)延長(zhǎng)FD,過B做BH FD交交FD于于H.則則HF=GB, BDE DBH得得DH=DEH方法三方法三:(等積法等積法)連接ADABCADCABDSSSBGDF

17、DEBGABDFDEABACABBGACDFACDEAB)(2121213.已知如下圖示已知如下圖示:D、E為為ABC內(nèi)兩點(diǎn)內(nèi)兩點(diǎn),求證求證:ABACBDDECE.ABCDENM分析分析:本題求證幾邊之和大于另外幾邊之和的問題,通常構(gòu)造三角形通常構(gòu)造三角形,利用利用兩邊之和大于第三邊兩邊之和大于第三邊,從而求解.有兩種方法.ABCDENM證明證明:(法一法一)將將DE兩邊延長(zhǎng)兩邊延長(zhǎng)分別交分別交AB、AC 于于M、N,在在AMN中中,AMAN MDDENE; (1)在在BDM中中,MBMDBD; (2)在在CEN中中,CNNECE； (3)由由(1)(2)(3)得得:AMANMBMDCNNEM

18、DDENEBDCEABACBDDEEC 法二法二:如右圖如右圖, 延長(zhǎng)延長(zhǎng)BD交交 AC于于F,延長(zhǎng)延長(zhǎng)CE交交BF于于G,在在ABF和和GFC和和GDE中有中有: ABAF BDDGGF(三角形兩邊之和大三角形兩邊之和大于第三邊于第三邊) （1）ABCDEFGGFFCGECE(同上同上)（2）DGGEDE(同上同上)（3）由由(1)(2)(3)得得:ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDEABACBDDEEC.4.如圖如圖:已知已知D為為ABC內(nèi)的任一點(diǎn)內(nèi)的任一點(diǎn),求證求證:BDCBAC.AD .CBEF分析分析:要證明兩角的大小要證明兩角的大小,盡盡量把這兩角向一個(gè)三角形中量把這兩

19、角向一個(gè)三角形中轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化,利用大角對(duì)大邊利用大角對(duì)大邊;如果如果不行可以利用三角形的外角不行可以利用三角形的外角定理定理;也可以放縮也可以放縮.同理同理DECBAC,證法一證法一:延長(zhǎng)延長(zhǎng)BD交交AC于點(diǎn)于點(diǎn)E,這時(shí)這時(shí)BDC是是EDC的外角的外角,BDCBACAD .CBEBDCDEC,即：即：BDCBAC.AD .CBF證法二證法二:連接連接AD,并延長(zhǎng)交并延長(zhǎng)交BC于于FBDF是是ABD的外角的外角BDFBAD，同理，同理，CDFCADBDFCDFBADCAD12345.已知已知ABC,AD是是BC邊上的中線邊上的中線,分別以分別以AB邊、邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形邊為直

20、角邊各向形外作等腰直角三角形,如下圖如下圖, 求證求證EF2AD. ABCDEF分析分析:本題要證倍半需延長(zhǎng)短的線段.G延長(zhǎng)AD到G 使DG=AD, 連接BG證明證明:延長(zhǎng)AD到G 使DG=AD, 連接BG.可證BGD CAD23，BG=AC,ABE和ACF是等腰直角三角形.BAE=CAF=90,AB=AE,AC=AF.EAF=360-90-90-(1+2)=180-(1+2) EF=AG=2ADGABCDEF1 23在ABG中ABG=180-(1+3)ABG=EAF,可證可證EAF ABG (SAS)6.如圖如圖:已知已知ACBD,ADAC于于A ,BCBD于于B,求證求證:ADBC分析分析

21、:要證兩線段的長(zhǎng)相等要證兩線段的長(zhǎng)相等,需需要構(gòu)造全等三角形要構(gòu)造全等三角形,利用全等利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可.可分別延長(zhǎng)可分別延長(zhǎng)DA,CB, 交于交于E點(diǎn)點(diǎn)EABCDO()()()EEDBECAEBDAC 公共角已證已知證明證明:(方法一方法一)分別延長(zhǎng)DA,CB, 交于E點(diǎn), ADAC BCBD (已知) CAEDBE 90 (垂直的定義) EDEAECEB 即:ADBC.EABCDO在DBE與CAE中 DBE CAE (AAS)EDEC EBEA (全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)證明證明:(方法二方法二)在ADC與BCD中 ADAC BCBD (已知)ABCDOBD=A

22、C,DC(共用)ADC BCD (HL)ADBC(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)CADDBC 90 (垂直的定義)7.已知已知:如圖如圖,AC、BD相交于相交于O點(diǎn)點(diǎn),且且ABDC, ACBD,求證求證:AD.BDCAO分析分析:由圖知是由圖知是“又字又字”形形軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形,要證兩角相等要證兩角相等要么構(gòu)造等腰三角形要么構(gòu)造等腰三角形;要么要么構(gòu)造全等構(gòu)造全等.DCBAOAD(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)證明證明:連接BC,在ABC和DCB中)()()(公共邊已知已知CBBCDBACDCABABC DCB (SSS)8.在在ABC中中,ADBC,CADBAD,求證求證:ACAB D A B C分析分

23、析:要證要證ACAB只需利用大只需利用大邊對(duì)大角邊對(duì)大角.E方法二方法二:在DC上截取DE=BD方法一方法一:可直接證明BC證明證明:(方法二方法二)在DC上截取DE=BD,連接AE,則可證明ABDADE, ACAB BAEDAEDC,AECB,AECCABCDE四邊形四邊形 平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)槿腔蚱剿摹?平移腰，移對(duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。 上述方法不奏效，過腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。 等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。 斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。特殊四邊形特殊四邊形1 1

24、利用一組對(duì)邊平行且相等構(gòu)造平行四邊利用一組對(duì)邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形形例例1 1 如圖，已知點(diǎn)如圖，已知點(diǎn)O O是平行四邊形是平行四邊形ABCDABCD的對(duì)的對(duì)角線角線ACAC的中點(diǎn)，四邊形的中點(diǎn)，四邊形OCDEOCDE是平行四邊形是平行四邊形. .求證求證:OE:OE與與ADAD互相平分互相平分. . 一、與平行四邊形有關(guān)的輔助線作法一、與平行四邊形有關(guān)的輔助線作法證四邊形證四邊形AODEAODE為平行四邊形為平行四邊形特殊四邊形特殊四邊形2 2利用兩組對(duì)邊平行構(gòu)造平行四邊形利用兩組對(duì)邊平行構(gòu)造平行四邊形例例2 2 如圖，在如圖，在ABCABC中，中，E E、F F為為ABAB上兩點(diǎn)，上兩

25、點(diǎn)，AE=BFAE=BF，ED/ACED/AC，F(xiàn)G/ACFG/AC交交BCBC分別為分別為D D，G.G.求證求證:ED+FG=AC.:ED+FG=AC.特殊四邊形特殊四邊形3 3利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形例例3 3 如圖，已知如圖，已知ADAD是是ABCABC的中線，的中線，BEBE交交ACAC于于E E，交，交ADAD于于F F，且，且AE=EF.AE=EF.求證：求證：BF=AC.BF=AC.1234M特殊四邊形特殊四邊形和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對(duì)角線和作高連接菱形的對(duì)角線和作高，借助菱，借助菱形的判定

26、定理或性質(zhì)定定理解決問題形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題. .例例4 4 如圖，在如圖，在ABCABC中，中，ACB=90ACB=90，BACBAC的平分線交的平分線交BCBC于點(diǎn)于點(diǎn)D D，E E是是ABAB上一點(diǎn)，且上一點(diǎn)，且AE=ACAE=AC，EF/BCEF/BC交交ADAD于點(diǎn)于點(diǎn)F F，求證：四邊形，求證：四邊形CDEFCDEF是菱形是菱形. .二、和菱形有關(guān)的輔助線的作法二、和菱形有關(guān)的輔助線的作法 對(duì)角線互相垂直且對(duì)角線互相垂直且平分平分特殊四邊形特殊四邊形例例5 5 如圖，四邊形如圖，四邊形ABCDABCD是菱形，是菱形，E E為邊為邊ABAB上一個(gè)定點(diǎn)，上一個(gè)定點(diǎn)，F(xiàn) F是

27、是ACAC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求證：上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求證：EF+BFEF+BF的最小值等于的最小值等于DEDE長(zhǎng)長(zhǎng). .二、和菱形有關(guān)的輔助線的作法二、和菱形有關(guān)的輔助線的作法 特殊四邊形特殊四邊形和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：（和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：（1）計(jì)算型計(jì)算型題題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題；（勾股定理解決問題；（2）證明或探索題證明或探索題，一，一般連結(jié)矩形的對(duì)角線借助對(duì)角線相等這一性般連結(jié)矩形的對(duì)角線借助對(duì)角線相等這一性質(zhì)解決問題質(zhì)解決問題.三、與矩形有輔助線作法三、與矩形有輔助線作法例例6 6 如圖，已知矩形如圖，已知矩形AB

28、CDABCD內(nèi)一點(diǎn)，內(nèi)一點(diǎn)，PA=3PA=3， PB=4 PB=4，PC=5.PC=5.求求 PDPD的長(zhǎng)的長(zhǎng). . 2222PAPCPBPD3 2特殊四邊形特殊四邊形作正方形作正方形對(duì)角線對(duì)角線是解決正方形問題的常用輔是解決正方形問題的常用輔助線助線. .例例7 7 如圖，過正方形如圖，過正方形ABCDABCD的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)B B作作BE/ACBE/AC，且，且AE=ACAE=AC，又，又CF/AE.CF/AE.求證：求證：BCF= BCF= AEB21四、與正方形有關(guān)輔助線的作法四、與正方形有關(guān)輔助線的作法AHBOAHBO為正方形為正方形AEB=30AEB=30O OBCF=15BCF=15

29、O O旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)例正方形例正方形ABCD中，中，E為為BC上的一點(diǎn)，上的一點(diǎn)，F(xiàn)為為CD上的一點(diǎn)，上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求，求EAF的度數(shù)的度數(shù)特殊四邊形特殊四邊形和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：主要涉及以下幾種類型：（1）作）作一腰的平行線一腰的平行線構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形；構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形；（2）作）作梯形的高梯形的高，構(gòu)造矩形和直角三角形；，構(gòu)造矩形和直角三角形；（3）作）作一對(duì)角線的平行線一對(duì)角線的平行線，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形；，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形；（4） 延長(zhǎng)兩腰延長(zhǎng)兩腰構(gòu)成三角形；構(gòu)成三角形；（

30、5）作）作兩腰的平行線兩腰的平行線等等.五、與梯形有關(guān)的輔助線的作法五、與梯形有關(guān)的輔助線的作法特殊四邊形特殊四邊形例例8 8 已知，如圖，在梯形已知，如圖，在梯形ABCDABCD中，中，AD/BCAD/BC，AB=ACAB=AC，BAC=90BAC=90，BD=BCBD=BC，BDBD交交ACAC于點(diǎn)于點(diǎn)0.0.求證：求證：CO=CD. CO=CD. 作雙高作雙高1122DFAEBCBD30OCBDBDC=COD=75BDC=COD=75O O作高作高特殊四邊形特殊四邊形例例9 9 如圖，在等腰梯形如圖，在等腰梯形ABCDABCD中，中，AD/BCAD/BC，ACBDACBD，AD+BC=10AD+BC=10， DEBCDEBC于于E.E.求求DEDE的長(zhǎng)的長(zhǎng). .平移一條對(duì)角線平移一條對(duì)角線5 5利用三角形中位線利用三角形中位線特殊四邊形特殊四邊形例例10 如圖，在四邊形如圖，在四邊形ABCD中，中，AC于于BD交交于點(diǎn)于點(diǎn)0，AC=BD，E、F分別是分別是AB、CD中中點(diǎn)，點(diǎn)，EF分別交分別交AC、BD于點(diǎn)于點(diǎn)