平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答

1、第一節(jié)第一節(jié) 極坐標(biāo)中的平衡微分方程極坐標(biāo)中的平衡微分方程第二節(jié)第二節(jié) 極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程第三節(jié)第三節(jié) 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程第四節(jié)第四節(jié) 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式第五節(jié)第五節(jié) 軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移第六節(jié)第六節(jié) 圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫A環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Φ诎斯?jié)第八節(jié) 圓孔的孔口應(yīng)力集中圓孔的孔口應(yīng)力集中第九節(jié)第九節(jié) 半平面體在邊界上受集中力半平面體在邊界上受集中力第十節(jié)第十節(jié) 半平面體在邊界上受分布力半平面體在邊界上受分布力例題例題第七節(jié)第七節(jié) 壓力隧洞壓力隧洞區(qū)別:直角坐標(biāo)中, x和

2、y坐標(biāo)線都是直線,有 固定的方向, x 和y 的量綱均為L(zhǎng)。 極坐標(biāo)中, 坐標(biāo)線（ =常數(shù)）和 坐標(biāo)線（ =常數(shù)）在不同點(diǎn)有不同的方向;相同:兩者都是正交坐標(biāo)系。 直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)( (x, ,y) )與極坐標(biāo)與極坐標(biāo) 比較：比較：),( 坐標(biāo)線為直線, 坐標(biāo)線為圓弧曲線; 的量綱為L(zhǎng), 的量綱為1。這些區(qū)別將引起彈性力學(xué)基本方程的區(qū)別。 對(duì)于圓形，弧形，扇形及由徑向線和環(huán)向圍成的物體，宜用極坐標(biāo)求解。用極坐標(biāo)表示邊界簡(jiǎn)單，使邊界條件簡(jiǎn)化。應(yīng)用41 極坐標(biāo)中的平衡微分方程 在A內(nèi)任一點(diǎn)（ ， ）取出一個(gè)微分體，考慮其平衡條件。 微分體-由夾角為 的兩徑向線和距離 為 的兩環(huán)向線圍成。dd兩 面

3、不平行，夾角為 ；兩 面面積不等，分別為 ， 。 從原點(diǎn)出發(fā)為正， 從 x 軸向 y 軸方向 轉(zhuǎn)動(dòng)為正。dddd注意：,0F,0F。0cM平衡條件：平衡條件：平衡條件考慮通過(guò)微分體形心 C 的 向及矩的平衡，列出3個(gè)平衡條件:dcos1,2ddsin.22注意： -通過(guò)形心C的力矩為0，當(dāng) 考慮到二階微量時(shí)，得0CM()(d )dddd(d)dsindsin22dd(d)dcosdcosdd0,22f -通過(guò)形心C的 向合力為0，0F整理，略去三階微量，得10 (a)f。210 (b)f。同理，由 通過(guò)形心C的 向合力為0可得：0F極坐標(biāo)下的平衡微分方程：1402101ff 幾何方程幾何方程-

4、表示微分線段上形變和位移之間的幾何關(guān)系式 。42 幾何方程及物理方程 極坐標(biāo)系中的幾何方程可以通過(guò)微元變形分析直接推得，也可以采用坐標(biāo)變換的方法得到。下面討論后一種方法。根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的關(guān)系，有,cosxx,siny,sinxcosy注意：可求得uuuuuuxux1cossin1sincos22zzyzxyzyyxxzxyxzzyzxyzyyxxzxyxij212121212121sincosuuu根據(jù)張量的坐標(biāo)變換公式,mjkikmijll,TTTTTT對(duì)平面問(wèn)題：yyxxyxyyxxyxij2121333231232221131211lllllllllcossinsincosco

5、ssinsincosTcossinsincos2121cossinsincos2121yyxxyx241,1,。uuuuuu幾何方程由此可得比較可知cossinsincos22x 極坐標(biāo)中的物理方程極坐標(biāo)中的物理方程 直角坐標(biāo)中的物理方程是代數(shù)方程，且 x 與 y 為正交， 故物理方程形式相似。物理方程 極坐標(biāo)中的物理方程也是代數(shù)方程,且與 為正交， 平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程：平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程：。EEE)1(2),(1),(1物理方程 對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只須作如下同樣變換，,12EE。1 邊界條件邊界條件-應(yīng)用極坐標(biāo)時(shí)，彈性體的邊界面通常均為坐標(biāo)面，即：,常數(shù)常數(shù)，或邊界條件故邊界條件形式

6、簡(jiǎn)單。平面應(yīng)力問(wèn)題在極坐標(biāo)下的基本方程平面應(yīng)力問(wèn)題在極坐標(biāo)下的基本方程。EEE)1(2),(1),(1物理方程1402101ff241,1,。uuuuuu物理方程對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只須將物理方程作如下的變換即可。,12EE。1 以下建立直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系的變換關(guān)系，用于：43 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù) 與相容方程 1、 物理量的轉(zhuǎn)換; 2、從直角坐標(biāo)系中的方程導(dǎo)出極坐標(biāo) 系中的方程。函數(shù)函數(shù)的變換：將式 或 代入，坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量的變換：,cosx;siny反之,222yx 。xyarctan( , )(). x y ,(a)(b) 1. 1.從直角坐標(biāo)系到極坐標(biāo)系的變換從直角坐標(biāo)系到極坐標(biāo)系的變

7、換)(a)(b坐標(biāo)變換。cossin,sincosuuvuuu或。cossin,sincosvuuvuu(d)(c)矢量矢量的變換：位移),(),(uuvud坐標(biāo)變換將對(duì) 的導(dǎo)數(shù)，變換為對(duì) 的導(dǎo)數(shù)： yx,xxx.yyy 可看成是 ，而 又是 的函數(shù)，即 是通過(guò)中間變量 ，為 的復(fù)合函數(shù)。),(yx(,),yx,yx,有:坐標(biāo)變換導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的變換：而,cosx;siny,sinx。cosy代入，即得一階導(dǎo)數(shù)的變換公式,(e)一階導(dǎo)數(shù))sin(cossincosx)cos(sincossiny ，。 展開(kāi)即得： 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的變換公式，可以從式(e) 導(dǎo)出。例如. )sin)(cossin(c

8、os)x(xx22二階導(dǎo)數(shù)).1(sincos2)11(cos),1(sincos2)11(sin22222222)(sin)(cos2222222222yx)11(sincos222222yx。)1()sin(cos22(f)。)11(2222222222yx)(g拉普拉斯算子拉普拉斯算子的變換：由式（f）得二階導(dǎo)數(shù)3.3.極坐標(biāo)中應(yīng)力用應(yīng)力函數(shù)極坐標(biāo)中應(yīng)力用應(yīng)力函數(shù) 表示表示)64( 0224可考慮幾種導(dǎo)出方法：2.2.極坐標(biāo)中的相容方程極坐標(biāo)中的相容方程)(,(1) 從平衡微分方程直接導(dǎo)出（類似于 直角坐標(biāo)系中方法）。相容方程應(yīng)力公式)11(2222222222yx,)()(0220 x

9、y(2) 應(yīng)用特殊關(guān)系式，即當(dāng)x軸轉(zhuǎn)動(dòng)到與 軸重合時(shí)，有:(3) 應(yīng)用應(yīng)力變換公式（下節(jié)）.sincossincossincossincos2222yx2xy222222xyyx應(yīng)力公式(4) 應(yīng)用應(yīng)力變換公式（下節(jié)），,sincos2sincos22x而11y222x222222)cos(sin,sincos)(21代入式 ( f ) ，得出 的公式。比較兩式的 的系數(shù)，便得出 的公式。sincos,sincos22,應(yīng)力公式)54(1110202202202220220yxxyxyyx當(dāng)不計(jì)體力時(shí)應(yīng)力用應(yīng)力函數(shù)表示的公式應(yīng)力公式4.4.極坐標(biāo)系中按應(yīng)力函數(shù)極坐標(biāo)系中按應(yīng)力函數(shù) 求解，應(yīng)滿足

10、求解，應(yīng)滿足：(1)(1) A 內(nèi)相容方程. 04 (2) 上的應(yīng)力邊界條件（設(shè)全部為應(yīng) 力邊界條件）。ss(3)(3) 多連體中的位移單值條件。 按 求解 應(yīng)力分量不僅具有方向性，還與其作用面有關(guān)。應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換關(guān)系：44 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式1、已知 ，求 。xyyx,d ,d cos,d sin,bcsabsacs設(shè)則由 ,（含 ）的三角形微分體，厚度為1，如下圖 A，考慮其平衡條件。取出一個(gè)包含x、y面(含 )和 面xyyx,0,Fsinsincoscosdsdsdsyx, 0cossinsincosdsdsyxxy得22cossin2cossin .xyxy同理，由(a), 0F

11、22()cossin(cossin).yxxy(b)得, 0F22sincos2cossin .xyxy(c) 類似地取出包含x 面,y 面和 面的三角形微分體，厚度為1，如圖B，考慮其平衡條件，得)sin(coscossin)()74(cossin2cossincossin2sincos222222xyxyxyyxxyyx 應(yīng)用相似的方法，可得到2、已知 ，求.,xyyx,)sin(coscossin)()84(cossin2cossincossin2sincos222222xyyx3、可以用前面得到的求一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的公式推出。 .)()(22222xyxyNxyyxNmllmlmmlcos

12、sinsincoscossinsincosyyxxyxcossinsincoscossinsincosyyxxyx4、也可以用應(yīng)力坐標(biāo)變換公式得到 軸對(duì)稱軸對(duì)稱，即繞軸對(duì)稱，凡通過(guò)此軸的任何面均為對(duì)稱面。軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題：軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題：45 軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移. 0軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題應(yīng)力數(shù)值軸對(duì)稱應(yīng)力數(shù)值軸對(duì)稱- - 僅為僅為 的函數(shù)，的函數(shù)，應(yīng)力方向軸對(duì)稱應(yīng)力方向軸對(duì)稱- ,dd1,dd22.0(a)0,dddd)dddd(221122展開(kāi)并兩邊同乘 得： 相應(yīng)的應(yīng)力函數(shù) ，所以 應(yīng)力公式為： （1 1）相容方程0,dddddd2dd2223334444的通解 這是一個(gè)典型的歐拉方程，引入變

13、量 ，則 。te tetddtdtdt ddlnt tteet2222dd ttteeet3333332dd 44446116dd tet則原方程變?yōu)?0dd4dd4dd223344tttttt 此方程解的形式為解的形式為代入整理得特征方程為代入整理得特征方程為 tet0442342, 2, 0, 04321 由此可得應(yīng)力函數(shù)的通解為DCBABeCteDeAtett222200lnln （4-10）22(1 2ln)2 ,(32ln)2 , (d)0.ABCABC (2) 應(yīng)力通解應(yīng)力通解：（4-11） 將應(yīng)變代入幾何方程，對(duì)應(yīng)第一、二式分別積分，,u; )(dfu(3) 應(yīng)變通解：將應(yīng)力代入

14、物理方程，得 對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量的通解。應(yīng)變 也為軸對(duì)稱。,(4)(4)求對(duì)應(yīng)的位移：,u1u, uu()d)1uuf (。分開(kāi)變量，兩邊均應(yīng)等于同一常量F, ,dddddFffff11,0uuu1將 代入第三式，,uu由兩個(gè)常微分方程，,d)(d)(11Fff1 ( );f HF,)d(d)(dFff22d( )( )0,df f 。得：KIfsincos)( 其中1 (1)2(1)(ln1) (1 3 )2(1)cossin (e)4sincosAuBBECIKBuHIKE ，。代入 ，得軸對(duì)稱應(yīng)力對(duì)應(yīng)的位移通解，軸對(duì)稱應(yīng)力對(duì)應(yīng)的位移通解，,uuI，K為x、y向的剛體平移，H 為繞o點(diǎn)的剛體轉(zhuǎn)

15、動(dòng)角度。位移通解（4-12）說(shuō)明說(shuō)明（2）在軸對(duì)稱應(yīng)力條件下，形變也是軸對(duì)稱 的,但位移不是軸對(duì)稱的。（3）實(shí)現(xiàn)軸對(duì)稱應(yīng)力的條件是，物體形狀、 體力和面力應(yīng)為軸對(duì)稱。（1）在軸對(duì)稱應(yīng)力條件下，(4-10、11、12),為應(yīng)力函數(shù)、應(yīng)力和位移的通解，適用于任何軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題。說(shuō)明說(shuō)明(4) 軸對(duì)稱應(yīng)力及對(duì)應(yīng)的位移的通解已滿足相容方程，它們還必須滿足邊界條件及多連體中的位移單值條件，并由此求出其系數(shù)A、B及C。說(shuō)明說(shuō)明(5) 軸對(duì)稱應(yīng)力及位移的通解，可以用于求解應(yīng)力或位移邊界條件下的任何軸對(duì)稱問(wèn)題。(6) 對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只須將 換為E,。1,12E 圓環(huán)(平面應(yīng)力問(wèn)題)和圓筒(平面應(yīng)變問(wèn)題)受

16、內(nèi)外均布?jí)毫?，屬于軸對(duì)稱應(yīng)力軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題，可以引用軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題的通解。 46 圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?wèn)題問(wèn)題邊界條件是12(),()0,(b)(),()0. r r R Rqq22(12ln)2 ,1(32ln)2 ,(a)0.ABCBC 邊界條件 考察多連體中的位移單值條件多連體中的位移單值條件： 圓環(huán)或圓筒，是有兩個(gè)連續(xù)邊界的多連體。而在位移解答中， 4,(c)BuE式(b)中的 條件是自然滿足的，而其余兩個(gè)條件還不足以完全確定應(yīng)力解答(a) 。 單值條件是一個(gè)多值函數(shù)：對(duì)于 和 是同一點(diǎn)，但式(c)卻得出兩個(gè)位移值。由于同一點(diǎn)的位移只能為單值，因此 ,2B = 0。單值條件222212

17、2222222212222211,1111( d ),110 . RrqqRrrRRrqqRrrR由B=0 和邊界條件 (b) ，便可得出拉梅解答，單值條件 (4-13) 解答的應(yīng)用：（1）只有內(nèi)壓力. 0,21qq（2）只有內(nèi)壓力 且 ，成為 具有圓孔的無(wú)限大薄板（彈性體）。R （3）只有外壓力. 0,12qq0,21qq單值條件 單值條件的說(shuō)明：?jiǎn)沃禇l件的說(shuō)明：（1）多連體中的位移單值條件，實(shí)質(zhì)上就 是物體的連續(xù)性條件（即位移連續(xù)性 條件）。（2）在連續(xù)體中，應(yīng)力、形變和位移都 應(yīng)為單值。單值條件 按位移求解時(shí)：取位移為單值，求形變（幾何方程）也為單值，求應(yīng)力（物理方程）也為單值。 按應(yīng)力

18、求解時(shí)：取應(yīng)力為單值，求形變（物理方程）也為單值，求位移（由幾何方程積分），常常會(huì)出現(xiàn)多值項(xiàng)。 所以，按應(yīng)力求解時(shí)，對(duì)于多連體須要校核位移的單值條件。單值條件 對(duì)于單連體，通過(guò)校核邊界條件等，位移單值條件往往已自然滿足； 對(duì)于多連體，應(yīng)校核位移單值條件，并使之滿足。47 壓力隧洞 本題是兩個(gè)圓筒的接觸問(wèn)題接觸問(wèn)題，兩個(gè)均為軸對(duì)稱問(wèn)題（平面應(yīng)變問(wèn)題）。1.1.壓力隧洞壓力隧洞-圓筒埋在無(wú)限大彈性體中，受有均布內(nèi)壓力。圓筒和無(wú)限大彈性體的彈性常數(shù)分別為.,EE和壓力隧洞 因?yàn)椴环暇鶆蛐约俣?，必須分別采用兩個(gè)軸對(duì)稱解答：圓筒,rR , ,u ,uA B C 無(wú)限大彈性體,R , ,u ,uA B

19、C 。壓力隧洞應(yīng)考慮的條件：（1）位移單值條件：（2）圓筒內(nèi)邊界條件：（3）無(wú)限遠(yuǎn)處條件，由圣維南原理,。0,0BB。0)( ,)(rrq(,)0,0C得。壓力隧洞。uuuu,;,由（1）（4）條件，解出解答（書中式（4 -16）。（4） 的接觸條件接觸條件，當(dāng)變形后兩彈性體 保持連續(xù)時(shí)，有R壓力隧洞2.2.一般的接觸問(wèn)題。一般的接觸問(wèn)題。 (1) 完全接觸：變形后兩彈性體在s上仍然保持連續(xù)。這時(shí)的接觸條件為：在s上 ,nn,nnuu。ttuu;nns1t1n 當(dāng)兩個(gè)彈性體 ，變形前在s上互相接觸，變形后的接觸條件接觸條件可分為幾種情況：III,接觸問(wèn)題 (2) 有摩阻力的滑動(dòng)接觸：變形后在S

20、上法向保持連續(xù)，而切向產(chǎn)生有摩阻力的相對(duì)滑移，則在S上的接觸條件為 ,nn;nnuu,Cfnnn其中C為凝聚力。接觸問(wèn)題 (4) 局部脫離：變形后某一部分邊界上兩彈性體脫開(kāi)，則原接觸面成了自由面。在此部分脫開(kāi)的邊界上，有 (3) 光滑接觸：變形后法向保持連續(xù)，但切向產(chǎn)生無(wú)摩阻力的光滑移動(dòng)，則在s上的接觸條件為 ,nn;nnuu。0nn。0nnnn接觸問(wèn)題 在工程上，有許多接觸問(wèn)題的實(shí)際例子。如機(jī)械中軸與軸承的接觸，基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)與地基的接觸，壩體分縫處的接觸等等。一般在接觸邊界的各部分，常常有不同的接觸條件，難以用理論解表示。我們可以應(yīng)用有限單元法進(jìn)行仔細(xì)和深入的分析。接觸問(wèn)題3. 有限值條件有限值

21、條件orq圖（a） 設(shè)圖（a）中半徑為r的圓盤受法向均布?jí)毫作用，試求其解答。有限值條件 引用軸對(duì)稱問(wèn)題的解答，并考慮邊界 上的條件，上述問(wèn)題還是難以得出解答。這時(shí)，我們可以考慮所謂有限值條件有限值條件，即除了應(yīng)力集中點(diǎn)外，彈性體上的應(yīng)力應(yīng)為有限值。而書中式(4-11)的應(yīng)力表達(dá)式中，當(dāng) 時(shí)， 和 中的第一、二項(xiàng)均趨于無(wú)限大，這是不可能的。按照有限值條件， 當(dāng) 時(shí)，必須有A=B=0。rr 0有限值條件 在彈性力學(xué)問(wèn)題中，我們是在區(qū)域內(nèi)和邊界上分別考慮靜力條件、幾何條件和物理?xiàng)l件后，建立基本方程及其邊界條件來(lái)進(jìn)行求解的。一般地說(shuō)，單值條件和有限值條件也是應(yīng)該滿足的，但是這些條件常常是自然滿足的

22、。而在下列的情形下列的情形下須要進(jìn)行校核進(jìn)行校核： (1)按應(yīng)力求解時(shí)，多連體中的位移單按應(yīng)力求解時(shí)，多連體中的位移單值條件值條件。有限值條件 在彈性力學(xué)的復(fù)變函數(shù)解法中，首先排除不符合單值條件和有限值條件的復(fù)變函數(shù)，從而縮小求解函數(shù)的范圍，然后再根據(jù)其他條件進(jìn)行求解。 (2)無(wú)應(yīng)力集中現(xiàn)象時(shí)無(wú)應(yīng)力集中現(xiàn)象時(shí)， 和 ，或 處處的應(yīng)力的有限值條件應(yīng)力的有限值條件(因?yàn)檎⒇?fù)冪函數(shù)在這些點(diǎn)會(huì)成為無(wú)限大)。 0 , 0,yx有限值條件 工程結(jié)構(gòu)中常開(kāi)設(shè)孔口最簡(jiǎn)單的為圓孔。 本節(jié)研究小孔口問(wèn)題小孔口問(wèn)題，應(yīng)符合（1 1）孔口尺寸彈性體尺寸，）孔口尺寸彈性體尺寸，孔口引起的應(yīng)力擾動(dòng)局限于小范圍內(nèi)。48

23、圓孔的孔口應(yīng)力集中小孔口問(wèn)題（2 2）孔邊距邊界較遠(yuǎn)）孔邊距邊界較遠(yuǎn)（1.5倍孔口尺寸）孔口與邊界不相互干擾。 當(dāng)彈性體開(kāi)孔時(shí)，在小孔口附近，將發(fā)生應(yīng)力集中現(xiàn)象應(yīng)力集中現(xiàn)象。小孔口問(wèn)題1.帶小圓孔的矩形板，四邊受均布拉力四邊受均布拉力q q， 圖(a)。雙向受拉,0.Rq內(nèi)邊界條件為，,0,0.r2222(1),(1),0 (a)rrqq 。將外邊界改造成為圓邊界，作則有,rRR利用圓環(huán)的軸對(duì)稱解答，取, 01q且Rr，得應(yīng)力解答：,2qq雙向受拉（4-17）2. 帶小圓孔的矩形板， x, y向分別受拉壓向分別受拉壓力力 ，圖(b)。所以應(yīng)力集中系數(shù)為2。,cos2 ,sin2 (b)Rqq

24、。內(nèi)邊界條件為,0,0 (c)r。)( q最大應(yīng)力發(fā)生在孔邊，,2,qr作 圓，求出外邊界條件為rRR雙向受拉壓 應(yīng)用半逆解法半逆解法求解（非軸對(duì)稱問(wèn)題）:由邊界條件， 假設(shè);2sin,2cos( )cos2 .(d)f 代入相容方程，, 0dddddddd2cos32223344f9f9f2f由 關(guān)系，假設(shè) ，所以設(shè)雙向受拉壓2cos422( ).(e)Df ABC除去 ，為典型歐拉方程，通過(guò)與前面45相同的處理方式，可以得解2cos然后代回式（d),即可求出應(yīng)力。雙向受拉壓校核邊界條件 (b) , (c) ，求出 A, B, C, D，得應(yīng)力解答：2222442222cos2 (1)(13),cos2 (13),(f )sin 2 (1)(13)rrqrqrrq 。在孔邊 ， ，最大、最小應(yīng)力為 ，應(yīng)力集中系數(shù)為 。qr2cos4q44雙向受拉壓（4-18）3.帶小圓孔的矩形板，只受只受x向均布拉力向均布拉力q。單向受拉22222224242222(1)cos2 (1)(1 3),22(1)cos2 (1 3),(g)22sin2 (1)(1 3).2qrqrrqrqrqrr 應(yīng)用圖示疊加原理（此時(shí)令