2018-2019學年江蘇省常州市“教學研究合作聯(lián)盟”高二下學期期中考試數(shù)學(理)試題Word版

1、江蘇省常州市“教學研究合作聯(lián)盟”2018-20192018-2019 學年高二下學期期中考試數(shù)學（理科）試題-1 -注意事項1.1. 本試卷共 4 4 頁，包括填空題（第 1 1 題第 1414 題）、解答題（第 1515 題第 2020 題）兩部分。 本試卷滿分 160160 分，考試時間 120120 分鐘。2.2.答題前，請務必將自己的姓名、考試號用 0.0.5 5 毫米黑色簽字筆填寫在答題卡指定位置。3 3答題時，必須用 0.50.5 毫米黑色簽字筆填寫在答題卡的指定位置，在其它位置作答一律無效。4.4.如有作圖需要，可用2B2B 鉛筆作答，并加黑加粗，描寫清楚。5.5. 請保持答題卡

2、卡面清潔，不要折疊、破損。一律不準使用膠帶紙、修正液及可擦寫的圓珠 筆。一、填空題：本大題共 1414 小題，每小題 5 5 分，共 7070 分. .請把答案填寫在答題卡相應位置上1.1. 若復數(shù)z滿足（1 i）2i（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z的實部是 .2.2. 已知m,n是空間兩個單位向量，它們的夾角為60，那么m-2n =.3.3. 若復數(shù)z滿足2z，z = 3-i,其中i為虛數(shù)單位，z為z的共軛復數(shù)，則z在復平面內(nèi)對應的點位于第 象限. .TT4.4. 設ei, ,e2是兩個不共線的空間向量，若AB=2u-ke2,CB二第3e2,CD二k +e2，且A,B, D三點共線，則實數(shù)k的值為

3、 .5.5. 若向量a= （2, -1,2）, ,b= （ -4,2, m），且a與b的夾角為鈍角，則實數(shù)m的取值范圍為.6.6. 著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，用反證法研究該猜想，應假設的內(nèi)容是.7.7. 如圖，在正四面體P-ABC中，M,N分別為PA, BC的中點，D是線段MNT T t T上一點，且ND =2DM，若PD二xPA yPB zPC，則x y z的值為 .8.8. 我們知道等比數(shù)列與等差數(shù)列在許多地方都有類似的性質(zhì)，請由等差數(shù)列-2 -an的前n項和公式Sn= 呃 旦.類比得到正項等比數(shù)列bn的前n項2-3 -積公式Tn = 9.9.用數(shù)

4、學歸納法證明等式：6*31 2 3 11 （ n3=巴、（n：二N ），則從n = k到2n = k 1時左邊應添加的項為10.10.如圖，在直三棱柱ABC -ABC,中，.BAC=90,啟二A.B,二AG = 4,3/2點E是棱CC,上一點，且異面直線AB與AE所成角的余弦值為，則10C,E的長為 .11.11.德國數(shù)學家萊布尼茲發(fā)現(xiàn)了如圖所示的單位分數(shù)三角形（單位分數(shù)是指分子為1、分母為正整數(shù)的分數(shù)），稱為萊布尼茲三角形. .根據(jù)前6行的規(guī)律，第7行的左起第3個數(shù)為 .-ill363丄丄丄4121241111152050205丄丄J_J_ 1630 606030 6（第 1111 題圖）1

5、2.12.在我國古代數(shù)學名著九章算術(shù)中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑（biebie naonao ）. .已知在鱉臑P - ABC中，PA_平面ABC,PA = AB = BC= 2,M為PC的中點，則點P到平面MAB的距離為.13.13.如圖，已知正三棱柱ABC -AG中，AB =AA =2,M , N分別為T（第 7 7 題圖）（第 1010 題圖）E-4 -CC1, BC的中點，點P在直線A1B1上且滿足AP= AB/ R）.若平面PMN與平面ABC所成的二面角的平面角的大小為45，則實數(shù)的值為-5 -1414 如圖所示的正方體是一個三階魔方（由 2727 個全等的棱長為 1

6、 1 的小正方體構(gòu)成），正方形ABCD是上底面正中間一個正方形，正方形A1B1C1D1是下底面則線段PQ長度的最小值為 、解答題：本大題共 6 6 小題，共計 9090 分. .請在答題卡指定區(qū)域內(nèi) 作答，解答時應寫出文字 說明、證明過程或演算步驟 15.15.（本小題滿分 1414 分）已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z1=i, ,z2=3 ai （a R）. .（1）若z-i- z2為實數(shù)，求NZ2的值；（2 2 ）若Z2為純虛數(shù)，求z2. .Zi16.16.（本小題滿分 1414 分）021 1已知矩陣M = I,N = I1.10一-1 -2一（1 1 ）求MN;2 2（2 2）若曲線Ci:x

7、-y -1在矩陣MN對應的變換作用下得到另一曲線C2,求C2的方程. .17.17.（本小題滿分 1414 分）2已知數(shù)列an滿足印= =1 1 ,an -1- an,（an-an）=2（anan）-1,n2.（1 1 ）求a2, a3,a4的值并猜想數(shù)列an的通項公式；最大的正方形，已知點P是線段AC上的動點，點Q是線段B1D上的動點,（第 1212 題圖）（第 1313 題圖）（第 1 14 4 題圖）-6 -（2 2）用數(shù)學歸納法證明你的猜想. .18.18.（本小題滿分 1616 分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PA_平面ABCD，且四邊形ABCD為1直角梯形，.ABC二.BAD

8、，PA = AB = BC AD = 2，點E, ,F分22別是AB, ,PD的中點. .（1 1）求證：EF/平面PBC；（2）若點M為棱PC上一點，且平面EFM_平面PBC，求證：EM _ PC.19.19.（本小題滿分 1616 分）如圖，在正三棱柱ABC - ABjCj中，所有棱長都等于2. .（1 1）當點M是BC的中點時，求異面直線AB1和MCj所成角的余弦值；求二面角M -AB -C的正弦值；（2）當點M在線段BC上（包括兩個端點）運動時，求直線MC1與平面AB1C所成角的正弦值的取值范圍-7 -(第 1818 題圖)20.20.(本小題滿分 1616 分)(1)是否存在實數(shù)a,

9、b,c,使得等式1 222 32 3 42 n(n 1)2n( n 1)2.(an - bn - c)對于一切正整數(shù)n都成立？若存在，12求出a，b，c的值并給出證明；若不存在，請說明理由123n 1(2)求證：對任意的nN,二22ln n. .234(n + 1)2(第 1919 題圖)p.-8 -常州市“教學研究合作聯(lián)盟”20182018 學年度第二學期期中質(zhì)量調(diào)研高二數(shù)學（理科）參考答案和評分標準、填空題：本大題共 1414 小題，每小題 5 5 分，共 7070 分. .請把答案填寫在答題卡相應位置上1.1. 1 1 2.2.J3J33.3.四 4.4. 4 4 或-1-15.5. m

10、eme5且m式一4說明、證明過程或演算步驟. .15.15.解：(1 1)因為z1z4(a -1)i，若z1z2為實數(shù)，則a=1.3 3 分此時Z2=3 i，所以Z1Z2=(1 -i)(3 i) =4 -2i.7 7 分(2 2)因為=(3ai)(1D二B+i,1010 分N 1 -i (1i)(1+i) 22若互為純虛數(shù)，則匕旦=0，得a = 3, . 12分Z12所以Z2= J32+a2=372.16.16.解：(1 1)MN（2）設曲線G上任一點坐標為（X0,y。）,在矩陣MN對應的變換作用下得到點（X, y）,則2y x3.2x y3222 y x22 x y222因為X。-y。=1,

11、所以()-()=1,整理得y -x =3，所以C?的方程為33217.17.解：(1 1)由a1=1, (an-an4) =2(anand) -1, n 26.6.存在一個大于 2 2 的偶數(shù)不可以表示為兩個素數(shù)的和.7.7. - -3339.9.(k 1) (k 2)11( (k 1)10.10. 1 111.11.110512.12.213.13.-2-2 14.14.3.3434、解答題：本大題共6 6 小題，共計 9090 分. .請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字1L1 21-2一2 1X2y=x2x0yy1010 分，解得2-9 -2 2yx=3.=3. 1414 分-10

12、 -得(a21)2(a2，1)1,解得a2 = 0或a = 4.2又am an,所以a2=4 =2 .將a?= 4代入，可得a3= 1或a3= 9.2又an 1 an,所以a3=9=3.將a3=9代入，可得a4=4或=16.2又am an,所以a4=16 =4 .3 3分故猜想數(shù)列an的通項公式為a.= n2.5 5 分(2)當n=1時，a1=1 =12，猜想成立. .假設當n =k(k _1,k N )時，猜想成立，即ak二k2.7 7 分2則當n=k1時，由得(比1-a2=2(ak 1aQ -1,2 2 2即(ak ) =2心宀k )-1,即a爲-2(k21)akk4-2k21 =0,即a

13、k&-(k21)2k4_2k21 _(k21)2=0,222即際十1) -(2k) =0,22即(ak1k 12k)(ak1k -12k)=0,解得ak 1=(k 1)2或a- =(k-1)2. . 1212 分2又an 1an,所以ak 1=(k 1),故當n二k 1時，猜想成立 綜上：由得an=n=n2 2. . 1414 分18.18. 解：丁PA_平面ABCD,AD二平面ABCD ,PAAD.PA_ 平面ABCD,AB平面ABCD ,PA_ AB.又因為BAD ,所以AB _ AD，則AB, AD, AP兩兩2建立如圖所示的空間直角坐標系A -xyz.則各點的坐標為A(0,0,

14、0), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,4,0), P(0,0,2).垂直，則以2-11 -因為點E,F分別是AB,PD的中點，所以E(1,0,0), F(0,2,1). .2 2 分T T(1)證明：設平面PBC的一個法向量為rri=(x, y,z).T TT T因為BP =(-2,0,2), BC =(0,2,0),-12 -2x 2z =0得，令x=1,所以y =0,z=1.2y =0則m =(1,0,1).5 5 分因為EF =(_1,2,1),所以EF ni=0.又EF二平面PBC,所以EF/平面PBC. . 8 8 分（注:EF二平面PBC沒交代扣 1 1 分，如果

15、不用空間向量的方法做，比如取CD的中點G證明平面EFG/平面PBC，或者延長DE和CB相交于點H ,然后證明EF /PH也可以，但如果推理過程有一步錯，則扣6 6 分）（2）證明：因為M為棱PC上一點，所以PM二PC,0乞乞1.設M(x,y,z),則(x,y,z-2)(2,2, -2),所以x = 2，y=2,z = 2-2，.即M (2 ,2 ,2 2 ),所以EM =(2 -12 ,2 - 2 J, EF =(-1,2,1).4T j T T設平面EFM的一個法向量為n2=(x,y,z),則_ EM , n2_ EF.(2j)x 2y(22)Z消去y可得(3,1)x (2_3)z-x 2y

16、 z = 019.19.解：（1 1）取AC的中點為O,建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，則A(0, -1,0),B( .3,0,0), C(0,1,0), B(.3,0,2), G(0,1,2).當M是BC的中點時，貝U M -3,1,0）.2 2所以n 2=(，一12,x = 3，- 2,z -1,y二-1由m _ BP,n _ BC,則所以31)平面EFM丄平面PBC,二厲丄怎.貝V 3人一2+3人一1=0,所以1414 分M (1,1,1)從而EM =(0,1,1),因為PC=(2,2,-2),所以EM PC = 0,3-1-2;1212 分，22-13 -:AB1十3,1,2)

17、,応十中1,2),設異面直線ABi和MCi所成角為-,則-14 -35(2)當M在BC上運動時，設CM二CB,0 _ _1.設M (x, y, z),. (x, y - 1,z)八(、,3, -1,0), x3,y=1- ,z=0,則M ( 5 ,1 -，0), . MG=(-、3; ,2).,-,0), AB=(帀,1,2),設平面MAB1的一個法向量為24T I T Hn = (x, y, z),則m _ AM , n, _ AB所以23。令一則!2令x = v3,則y = -1,z = -1,二厲=(J3, -1, -1).5 5 分；AC =(0,2,0),設平面ABiC的一個法向量為

18、n2=(x,y,z),則n2- ABi, n2- AC,2爲 I 令 20,z3,二(2,0,_3).設二面角M -ABi-C的平面角為 二，35所以sin v - ,1 -cos270設直線MC!與平面AB1C所成的角為 二則si二-23 -2、3424 .7、21,51111 分I1,0,1,設t =11,2,所以3 1020iicos日=cos -15 -11 1設u蔦匕,1, g(t)十t2. 2u-2u 1*1j* Q d/ X Qi2u2u 1【2,1,.g(t)1,一2,.sin r,7,直線MC1與平面AB“C所成的角的正弦值的取值范圍為1616 分20.20.解：(1 1)在

19、等式1 222 323 42|( n(n 1)2=吃Q(an2bn c)中1211令n =1,得4 (a b c)；令n = 2,得22(4a 2b c)；62令n =3,得70=9a 3b c；由解得a =3,b =11,c =10.對于n =1,2都有1 222 323 42|l( n(n 1)2n( n 1)2(3n11 n 10)()成立 . 3 3 分12F面用數(shù)學歸納法證明：對一切正整數(shù)n,(“)式都成立. .1當n=1時，由上所述知(“)式成立；2假設當n二k(k_1,kN )時(“)式成立，即1 222 323 42|l( k(k 1)2=坐(3k211k 10),1222222那么當n=k1時，1 22 33 4山k(k 1) (k 1)(k2)=k(kI(3k2+11k +10) +(k +1)(k + 2)2.5