2018-2019學(xué)年上海市奉賢中學(xué)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、第1 1頁共 1313 頁2018-2019 學(xué)年上海市奉賢中學(xué)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1 1 在數(shù)列a?中，已知a1,a5=3,a?=9則fa/定（）A A .是等差數(shù)列B B.是等比數(shù)列C C .不是等差數(shù)列D D .不是等比數(shù)列【答案】C C【解析】 依據(jù)等差、等比數(shù)列的定義或性質(zhì)進(jìn)行判斷?！驹斀狻恳?yàn)閍5 -a3 =2,a7 -a5= 6,a7-aJ a5 -a3，所以、an一定不是等差數(shù)列，故選C C?！军c(diǎn)睛】本題主要考查等差、等比數(shù)列定義以及性質(zhì)的應(yīng)用。22 2 .已知數(shù)列：an的前n項(xiàng)和 =，那么（）4A A.此數(shù)列一定是等差數(shù)列C C .此數(shù)列不是等差數(shù)列，就是等比數(shù)列

2、【答案】C C【解析】已知Sn求a.,由等差、等比數(shù)列定義即可判斷?！驹斀狻縩 =1n -22所以當(dāng)n“時，ai=a11，解得印=1,42 2當(dāng)n_2時，an二Sn斗二1，整理有,44an an 4an-an 4、1 =0，所以an二-an 4故此數(shù)列不是等差數(shù)列，就是等比數(shù)列，故選C C?！军c(diǎn)睛】 本題主要考查利用Sn與an的關(guān)系求an,以及等差等比數(shù)列的判定。B B.此數(shù)列一定是等比數(shù)列D D .以上說法都不正確第2 2頁共 1313 頁n下3數(shù)列油通項(xiàng)公式ancos2，其前n項(xiàng)和為Sn，則S2017等于()n = 4k k N*和，即可求出 S S2017的值?！驹斀狻縩 n = 4k(

3、 N )，兀0因?yàn)閏os-x為周期函數(shù)，周期為4，所以an=ln0 n -4k 3(k N)S S20173 34) ) (a(a6 6a a8 8) )(a(a!0 %)%) *1*1 丨 。仏，a a?。 a a?= -2 4 (-6 8) (-10 12) | (-2014 2016)=2 504 =1008，故選 B B?！军c(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列求和方法 一一并項(xiàng)求和法的應(yīng)用， 以及三角函數(shù)的周期性，分論討論思想，意在考查學(xué)生的推理論證和計算能力。4 4 設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其n項(xiàng)的積為人，并且滿足條件 印 1,的值是Tn中最大的；使Tn1成立的最大自然數(shù)n等于198. .其中正確的

4、結(jié)論是()A A .B B.C C.D D .【答案】B B【解析】 首先轉(zhuǎn)化題目條件，再依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，逐一判斷即可。【詳解】9899A A.1006【答案】B BB B.1008C C.-1006D D.-1008JC【解析】依據(jù)y =COSx為周期函數(shù),2得到an二0一n0n=4k 1(k N)，并項(xiàng)求n -4k 2(k N)n=4k 3(k N)n =4k 1(k N) n-4k 2(k N)a100 T0,a99-1ai00一10. .給出下列結(jié)論:0: q：1；a99 001 -10；T100第3 3頁共 1313 頁由a99a100-1 0,a11，得，& q a q

5、 1知，q 0，所以an0o第4 4頁共 1313 頁a00q1，而a11則有a991與其矛盾，故只有a?9月血“，因此0 q :1,a992即正確；因?yàn)? : a100：1,a99日仙一1 =a100-1：0,不正確；T100 -T99a100: T99，不正確;99199T|98=玄1日2日3川*198 =*99玄100?1，T199=a1a2| ) Ia199 =a1001，正確。綜上，正確的結(jié)論是 ，故選 B B?！军c(diǎn)睛】 本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，記牢這些基本性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵。二、填空題5 5 一個扇形的半徑是2cm，弧長是4cm，則圓心角的弧度數(shù)為 _ . .【答案】2

6、2【解析】 直接根據(jù)弧長公式，可得?！驹斀狻恳?yàn)镮 =，所以4=2，解得=2【點(diǎn)睛】本題主要考查弧長公式的應(yīng)用。6 6.已知sina =3cosa，貝y cos2a =_. .4【答案】-52 2【解析】 根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，聯(lián)立求解出sin：,cos，由二倍角公式即可算出?！驹斀狻坑傻┴? 1：0 0 得,ai00 -1a99：1,aioo 1或比91,ai00：1，若 比9：1,aioo1，則因?yàn)閟in：二3cos：, 又sin2”： 亠cos2:=1，解得cos2=,sin2：10910，故cos2：- cos2：-sin2:10 10第5 5頁共 1313 頁【點(diǎn)睛】 本題主要

7、考查同角三角函數(shù)關(guān)系式及二倍角公式的應(yīng)用。7 7.已知tanx =2，且 （兀，兀），則x =_ ,第6 6頁共 1313 頁【答案】arcta n2或-二arcta n2【解析】利用正切函數(shù)的單調(diào)性及周期性，可知在區(qū)間(-二，)與區(qū)間(0,)內(nèi)各有2 2一值，從而求出?！驹斀狻恳?yàn)楹瘮?shù)y =tanx的周期為二，而且y =tanx在k二V 22所以tanx =2有兩個解，一個在(-二，)，一個在(0,)，由反正切函數(shù)的定義有，2 2x = arctan2或x = arctan2 -二?！军c(diǎn)睛】本題主要考查正切函數(shù)的性質(zhì)及反正切函數(shù)的定義的應(yīng)用?！敬鸢浮?2：,-【解析】先利用誘導(dǎo)公式化簡，即可

8、由正弦函數(shù)的單調(diào)性求出?！驹斀狻控?JiI-+2kn, +2,Z。IL22【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)一一單調(diào)性的應(yīng)用。9 9若f (k )=k + (k+)+(k+2)+lil2k(k N*),貝y ff(k戶_【答案】3k 3【解析】觀察式子特征，直接寫出f k 1,即可求出f k 1 - f k?！驹斀狻坑^察f(k)的式子特征，明確各項(xiàng)關(guān)系，以及首末兩項(xiàng)，即可寫出f(k 1),內(nèi)單調(diào)增,8 8 函數(shù)y二cos x的單調(diào)增區(qū)間是12丿2k二,k Z因?yàn)閥=cos1_x =sinx,12丿所以y=cos】_x12的單調(diào)增區(qū)間是第7 7頁共 1313 頁所以f (k 1) =

9、k 1 (k 2) (k 3| 2k (2k 1)(2k2)，相比f (k)，增加了后兩項(xiàng)2k 1,2k2，少了第一項(xiàng)k，故第8 8頁共 1313 頁f k 1 -f k，=(2k 1) (2k 2)-k=3k 3?！军c(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，正確弄清式子特征是解題關(guān)鍵。1010.設(shè)J3sin xcosx =2sin (x +日)，其中0龍日2兀，則日的值為_.【解析】由兩角差的正弦公式以及誘導(dǎo)公式，即可求出的值?！驹斀狻縤 ii i1111 所以sin(x ) =sin(x v)，因?yàn)?： : 2二，故-2666【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角差的正弦公式的逆用以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用。111

10、1.設(shè)數(shù)列an(nW N*)是等差數(shù)列，若a2和a2018是方程4x2-8x，3=0的兩根,則數(shù)列an的前 2020 佃項(xiàng)的和S2019 =_【答案】20192019【解析】根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出a2a2018=2,再利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)得到a1a2019二a2a218，然后利用等差數(shù)列求和公式可得出答案【詳解】由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得a2- a2018二2,由等差數(shù)列的性質(zhì)得出a-i a2019= a2 a2018= 2,因此，等差數(shù)列的前2019項(xiàng)的和為S2019=20194=2019 2=2019,2 2故答案為：2019. .【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)與等差數(shù)列求和

11、公式的應(yīng)用，涉及二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，【答11二6-cosx =21sin x cosx2 2=2 sinxcoscosxsin I 66丿n=2sin（ x-一）6sin x第9 9頁共 1313 頁解題的關(guān)鍵在于等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中等題1212 .已知等比數(shù)列 玄的遞增數(shù)列，且a| =ai0,2 an an 2= 5a. 1則數(shù)列？a,的第1010頁共 1313 頁通項(xiàng)公式a* =_ . .【答案】2n【解析】利用等比數(shù)列的定義以及通項(xiàng)公式，列出關(guān)于a1, q的方程，利用單調(diào)性解出【詳解】用方法。1313 公比為q的無窮等比數(shù)列滿足：q：1, 則實(shí)數(shù)k的取值范圍為【答案】-2 U

12、0,:【解析】依據(jù)等比數(shù)列的定義以及無窮等比數(shù)列求和公式，列出方程，即可求出k的表達(dá)式，再利用求值域的方法求出其范圍?！驹斀狻?由題意有1 =k(q+q2+川)=k，即k=口 =丄一1，因?yàn)閝 cl,1 -qq q所以k =，-2 U 0，匸：?！军c(diǎn)睛】本題主要考查無窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用以及基本函數(shù)求值域的方法。1414已知函數(shù)y二sin n0的最小正周期為 二，若將該函數(shù)的圖像向左平I 3丿移m(m 0)個單位后，所得圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，則m的最小值為 _. .【答案】3【解析】先利用周期公式求出-,再利用平移法則得到新的函數(shù)表達(dá)式，依據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，求出m的表達(dá)式，即可求出m的最小值。符

13、合題意的ai,q， 即求得設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比分別是ai,q，依題意有,I-2aiq49-aiq，又等比數(shù)列牯為遞增數(shù)列，解得2(1 q2)=5q故數(shù)列:an?的通項(xiàng)公式為a*=2n(N*)。：22，【點(diǎn)本題主待定系數(shù)法是解決此類問題的常ak=k a-久2川n N，第1111頁共 1313 頁到y(tǒng) =sin2( x m) = sin(2x2m)，因?yàn)槠鋱D像關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)為33-，故m的最小值為一。623【點(diǎn)睛】斷條件。一般地 y y = = Asin(Asin( ) )為奇函數(shù)，則:=k二；為偶函數(shù)，貝yk二；2y二Acos( )為奇函數(shù)，則n n平=2；為偶函數(shù)，則 二k二?！驹斀?/p>

14、】3時，一1 1，w w 4 4化，周期為2,所以 a a20192019=耳-.3-.3 -1-1?！军c(diǎn)睛】 本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，通過取整函數(shù)得到數(shù)列，觀察數(shù)列的特征，求數(shù)列 中的某項(xiàng)值。1616 .已知線段AB上有9個確定的點(diǎn)(包括端點(diǎn)A與B). .現(xiàn)對這些點(diǎn)進(jìn)行往返標(biāo)數(shù)(從A Br A B進(jìn)行標(biāo)數(shù)，遇到同方向點(diǎn)不夠數(shù)時就調(diào)頭往回數(shù)). .如圖：在點(diǎn)A1515 .設(shè)x為實(shí)數(shù)，儀 1 1 為不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，如12661-2,I-2.661-3. .記= x -X的取值范圍為0,1,現(xiàn)定義無窮數(shù)列 1 1an n / 如下：日二：alal，當(dāng)an =0時，an 11 -；當(dāng)

15、an=0時，an 10，若a 3，則a2019 -an【答案】【解析】根據(jù)已知條件，計算數(shù)列的前幾項(xiàng)，觀察得出無窮數(shù)列Can?呈周期性變化,即可求出a2019的值?！驹?兀由T得.=2，所以y = sin i 2x 3，向左平移m m .0個單位后，得奇函數(shù)，有2m+= = kji,kZ則m =3，本題主以及 y y=Asin(=Asin(a3二丄=13 13 -1,a4=1_1，無窮數(shù)列 訂周期性變a3第1212頁共 1313 頁上標(biāo)1稱為點(diǎn)1然后從點(diǎn)1開始數(shù)到第二個數(shù)，標(biāo)上2，稱為點(diǎn)2，再從點(diǎn)2開始數(shù)到第三個數(shù)，標(biāo)上3，稱為點(diǎn)3(標(biāo)上數(shù)n的點(diǎn)稱為點(diǎn)n), ，這樣一直繼續(xù)下去，直到1，2，3

16、，2019都被標(biāo)記到點(diǎn)上，則點(diǎn)2019上的所有標(biāo)記的數(shù)中，最小的是_. .【答案】3【解析】 將線段上的點(diǎn)考慮為一圓周，所以共有1616 個位置，利用規(guī)則，可知標(biāo)記20192019的是12 | 2019 =2039190, 20391902039190 除以 1616 的余數(shù)為 6 6,即線段的第 6 6 個k(k +1)點(diǎn)標(biāo)為 20192019,則6 16n =12計1| k，令n = 0,即可得k = 3。2【詳解】依照題意知， 標(biāo)有 2 2 的是 1+21+2， 標(biāo)有 3 3 的是 1+2+31+2+3 ,， 標(biāo)有 20192019 的是 1+2+3+1+2+3+2019+2019 ,將

17、將線段上的點(diǎn)考慮為一圓周，所以共有1616 個位置，利用規(guī)則，可知標(biāo)記20192019 的是1 2 3 III 2019=2039190, 20391902039190 除以 1616 的余數(shù)為 6 6，即線段的第 6 6 個點(diǎn)標(biāo)為 20192019,6 16n胡2 3川k=坐耳，令n -0,k(k 1) = 12，解得2k= =3 3，故點(diǎn)2019上的所有標(biāo)記的數(shù)中，最小的是3.3.【點(diǎn)睛】 本題主要考查利用合情推理，分析解決問題的能力。意在考查學(xué)生的邏輯推理能力, 三、解答題1717 .在ABC中，已知a = 4,c = 5，且SABC= 6，求b. .【答案】3或-.73【解析】 首先根

18、據(jù)三角形面積公式求出角B B 的正弦值，然后利用平方關(guān)系，求出余弦值，再依據(jù)余弦定理即可求出?！驹斀狻?134由SAB1acsin24 5 sinB=6得,sin3，所以cosB1或4 4cosBcosB，由余弦定理有,5 52 2 2b =a c2accosB = 16 2540cos B = 4140cos B,故b2=9或b2= 73，即b = 3或b = 73。第1313頁共 1313 頁【點(diǎn)睛】本題主要考三角形面積公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，以及利用余弦定理解三角形。1818 三角比內(nèi)容豐富，公式很多，若仔細(xì)觀察、大膽猜想、科學(xué)求證，你也能發(fā)現(xiàn)其中 的一些奧秘. .請你完成以下

19、問題：cos 2cos88 cos5 cos85 cos12 cos78sin47sin133 sin 50sin130 sin57 sin123(2 2)根據(jù)(1 1)的計算結(jié)果，請你猜出一個一般的結(jié)論用數(shù)學(xué)式子加以表達(dá)，并證明你 的結(jié)論，寫出推理過程. .【解析】(1 1)依據(jù)誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦公式即可計算出；(2 2)觀察(1 1)中角度的關(guān)系，合情推理出一般結(jié)論，然后利用兩角和的正弦公式即可證明。【詳解】(1 1)cos2 cos88 cos2 sin 2、2(sin 45 cos2 cos45 sin 2 )2sin47cos5 cos85 sin 5 cos5 2 sin 5

20、0-T-=-=-sin 50 si n130sin50sin 50cos12 cos78 sin 12 cos12- 十-=-證明如下:cos J -45 cos 135 - v cos二-45sin)-45-+- =- +-sin二sin 180 -)sin二sin -、2sin J - 45 cos45 cos - 45 sin 45 、2 sinsin rsin -【點(diǎn)睛】(1(1)計算：，,-sin57sin123sin 57【答案】( (1 1)(2(2)由(1 1)知，可以猜出:第1414頁共 1313 頁本題主要考查學(xué)生合情推理論證能力，以及誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式的應(yīng)用，意在

21、考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和邏輯推理能力。第1515頁共 1313 頁佃.已知集合C-x,y xy -3x y 1 =0?,數(shù)列(an)的首項(xiàng)印=3,且當(dāng)n _ 2時，點(diǎn)an _j,an i -C, 數(shù)列bn滿足 6 二(1)(1) 試判斷數(shù)列 IbJIbJ 是否是等差數(shù)列，并說明理由；卄st _t(2)(2) 若lim +=1(s,t匕R)，求s的值. .5 5 已bn丿【答案】(1 1)是；(2 2)s st=1=1 . .【解析】(1 1)依據(jù)題意，寫出遞推式，由等差數(shù)列得定義即可判斷;利用極限知識，求出s，即可求得st的值。【詳解】(0當(dāng)n一2時，點(diǎn)and,aeC，所以ana.-3an，a

22、. 1 =0，將ana*4=3a*- a*-1代入，st=1?！军c(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，以及數(shù)列極限的運(yùn)算。(2)求出an,bn，即anani由bn二一二得，當(dāng)n _2時,1一an1bn- bn J.=1一an1 - an1 anan-1- an-1-anananbn- bnj.anan jan and1anan-1 -an-1 -an1 3an 4 an-1-an-1 -ananan-2(an -an)，故數(shù)列A匕堤以-1為公差的等差數(shù)列。(2(2)因?yàn)?=3=3，所以I1 1 1八2，bn2(n)二由bn二J 得,1an=12n空丄ansL_bn1-nn2，故nm

23、anbnJ第1616頁共 1313 頁2020 .已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，滿足Sn=2an，bn n，N. .(1 1)若bn=n，求數(shù)列Sn的通項(xiàng)公式；第1717頁共 1313 頁(2(2)在滿足(1 1)的條件下，求數(shù)列:anbj的前n項(xiàng)和 T Tn的表達(dá)式;【答案】（1 1）an=1-2n；（2 2）n n 1_ n-1 2n1-2. .2通項(xiàng)公式特征，采取分組求和法和錯位相減法求出Tn【詳解】（0因?yàn)閎n二n，所以Sn=2an n，當(dāng)n =1時，a2a11，所以印=1；當(dāng)n _ 2時，an二Sn- Sn=2ann2ann -1 = 2an-2an1，On _ 1即a*=2an 11，a

24、*-1 = 2 a*-1，因?yàn)閍11 = -2，所以2，an_!-1an-1 = -2 2二，即an= 1 - 2“，當(dāng)n = 1時，a -1也符合公式。綜上，數(shù)列an! 的通項(xiàng)公式為an=12n（n丟N*）。（2 2）因?yàn)閍nbn= n - n 2n，所以Tn=（1 2 3 | n） -（212 223 23I n 2n）二也D _Dn（DnM212 223 23III n 2n）2由D212 2232|n2n得，2D22223321n 2n1兩式作差得，-Dn=2 2221 2n- n 2n工21- n -2n 1，1-2即Dn =( n _1) 2n 12，故Tn=n(n- DnJ(n

25、1_ (n _1) 2n 12。2 2【點(diǎn)睛】S1n = 1本題主要考查求數(shù)列通項(xiàng)的方法一一公式法an二和構(gòu)造法的應(yīng)用，6-恥nA2以及數(shù)列的求和方法一一分組求和法和錯位相減法的應(yīng)用。2121 將邊長分別為1、2、3、n、n，1、n，N”的正方形疊放在一起，形成如圖所示的圖形，由小到大，依次記各陰影部分所在的圖形為第1個、第2個、【解析】(1)已知Sn求3n,利用anSnl即可求出；(2 2)根據(jù)數(shù)列:anbn?n _2第1818頁共 1313 頁2 2(2n)-(2故f(n)=1 2 3川2n -1 2nn=2n 1（2 2）由（1 1）知,an 1f n ,當(dāng)n為奇數(shù)fan，當(dāng)n為偶數(shù)，所以a2二f (1) = 3，第n個陰影部分圖形. .設(shè)前n個陰影部分圖形的面積的平均值為f n. .記數(shù)列aj滿足值范圍. .(3)s -3.【解析】（1 1 ）根據(jù)題意，分別求出每一個陰影部分圖形的面積，即可得到前分圖形的面積的平均值；（2 2）依據(jù)遞推式，結(jié)合分類討論