第八講曲線積分與曲面積分ppt課件

1、222()d( ( )( ) ( )( )( )( )df x,y,zsf x t ,y t ,z txtytztt， , t 兩類曲線積分計(jì)算的公式為兩類曲線積分計(jì)算的公式為一、空間曲線的參數(shù)化一、空間曲線的參數(shù)化若積分曲線若積分曲線 的參數(shù)方程的參數(shù)方程 ,)(),(),(ttzztyytxx，：)() )(),(),(dddtxtztytxPzRyQxPdt)() )(),(),()() )(),(),(tztztytxRtytztytxQ計(jì)算的關(guān)鍵是如何將空間積分曲線計(jì)算的關(guān)鍵是如何將空間積分曲線 參數(shù)化。參數(shù)化。下面將給出積分曲線下面將給出積分曲線 參數(shù)化的一些常見方法。參數(shù)化的一些

2、常見方法。由計(jì)算公式可以看出由計(jì)算公式可以看出1.設(shè)積分曲線 ,從中消去某個自變量,例如 ，得到 在xoy平面的投影曲線，這些投影曲線常常是園或是橢圓，先利用熟知的參數(shù)方程將它們表示成參數(shù)方程 然后將它們代入到 ，解出由此得到：如下 的參數(shù)方程：( , , )0( , , )0F x y zG x y z：z( ),( ),xx t yy t( , , )0( , , )0F x y zG x y z或( )zz t( ),( ),( ) , .xx t yy t zz tt ，例例1 將曲線將曲線 ，(其中其中 )用參數(shù)方程表示。用參數(shù)方程表示。2222xyzaxy：0a2.2.假設(shè)假設(shè) 的

3、方程組中含有園、橢圓或球的的方程組中含有園、橢圓或球的方程時，可充分利用園、橢圓或球的大家所方程時，可充分利用園、橢圓或球的大家所熟知的熟知的 園的參數(shù)方程園的參數(shù)方程 x=rcost x=rcost，y=rsinty=rsint， 橢圓參數(shù)方程橢圓參數(shù)方程 x=acost x=acost， y=bsint y=bsint， 球坐標(biāo)球坐標(biāo) 先將其參數(shù)化，再代入先將其參數(shù)化，再代入 的另一方程，求的另一方程，求出另一變量的參數(shù)表達(dá)式。出另一變量的參數(shù)表達(dá)式。= sin cos= sin sin= cosx ay az a，例如：將球面上的三角形曲線參數(shù)化例如：將球面上的三角形曲線參數(shù)化2222+

4、 =(0=0=0)xyzaxyz或或利用球坐標(biāo)：利用球坐標(biāo)：= sin cos= sin sin= cosx ay az a，:= sin=0= cos ;CA x ayz a，:=0= sin= cosCB xy az a，:= cos= sin=0AB x ay az，02 ，02 ，例例2 2 將曲線將曲線 ，( (其中其中 ) )用參數(shù)方程表示。用參數(shù)方程表示。22222zxyxyay：0a2 , 0tsincos，taaytax例例3 3 將曲線將曲線 ( (其其中中 ) )用參數(shù)方程表示。用參數(shù)方程表示。2222,0 xyzaxyx：0a例例3 3 將曲線將曲線 ( (其其中中 )

5、 )用參數(shù)方程表示。用參數(shù)方程表示。2222,0 xyzaxyx：0a故故舉一反三練習(xí)舉一反三練習(xí) 1 1、將曲線、將曲線 用參數(shù)方程表用參數(shù)方程表示。示。221+1xyx z：（1 1）211xxyxzx ：（2 2）cossin1 cosxyz ：),()0 , 0 , 0(89)()(:00022221zyxAOzyxyxayxL到，從2、如何將以下的空間曲線參數(shù)化、如何將以下的空間曲線參數(shù)化,并計(jì)算它的弧長并計(jì)算它的弧長.),()0 , 0 , 0(tan:000222zyxAOczxyczyxL到，從)2,()0 , 0 , 0(:22223aaaAOaxyzyxL到，從223232

6、21)89(1)(89)(89)()()(:zayxazyxzyxyxyxayxL啟發(fā)性推導(dǎo)：啟發(fā)性推導(dǎo)：czttcztczcztcztczczxyczyxLtantancossinsincostan:22222從中解出從中解出x,y后后, 即可得到以即可得到以z為參數(shù)的參數(shù)方程為參數(shù)的參數(shù)方程.czt 令令即得以即得以z為參數(shù)的為參數(shù)的L2的參數(shù)方程的參數(shù)方程.以以y為參數(shù)為參數(shù),得得yyayyzayx,2422(1)(2)(3)1. 注意到曲線積分的被積函數(shù) 是定義在積分曲線上的，因此它的自變量應(yīng)滿足積分曲線方程， 所以計(jì)算曲線積分之前，首先要用積分曲線方程 去化簡被積函數(shù) 。 二、曲線積

7、分的計(jì)算二、曲線積分的計(jì)算( , )f x y( , )0,Lx y：( , )f x y（1積分曲線 關(guān)于x軸對稱，是指 換句話說，假設(shè) 則它的對稱點(diǎn) ；（2積分曲線 關(guān)于y軸對稱，是指 換句話說，假設(shè) 則它的對稱點(diǎn) ； 2.積分曲線的對稱性: ( , )0 x y( , )(, )=0,x yx y( , ),x yL( ,)xyL( , )( ,)=0,x yxy( , ),x yL(, )x yL: ( , )0 x y（3積分曲線 關(guān)于原點(diǎn)對稱，是指 換句話說，假設(shè) 則它的對稱點(diǎn) ；（4曲線 關(guān)于直線 對稱(或 對稱)，是指 (或 ),換句話說， 互為對稱點(diǎn) ， 互為對稱點(diǎn)。 ( ,

8、 )( , )=0 x yy x( , ),x yL(,)xyL( , )(,)=0,x yxy( , )( , )x yy x與( , )(,)x yyx與yxyx( , )(,)=0 x yyx 第一類曲線積分對稱性的應(yīng)用若曲線積分 的被積函數(shù) 在任意的對稱點(diǎn)處的函數(shù)值互為相反數(shù)，那么 ； 在任意的對稱點(diǎn)處函數(shù)值都相等，那么其中 是相應(yīng)對稱積分曲線的一半。 ( , )dLf x y s1L( , )d0Lf x y s 1( , )d2( , )dLLf x y sf x y s，( , )f x y 第二類曲線積分對稱性的應(yīng)用當(dāng)曲線積分關(guān)于x軸對稱,且被積函數(shù) 在任意的對稱點(diǎn)處的函數(shù)值互

9、為相反數(shù) 若在任意的對稱點(diǎn)處函數(shù)值都相等那么 ( , )d0LP x y x 11( , )d2( , )d0,LLP x y xP x y x LLy，( ,)=( , ), ( ,)=( , )P xyP x y Q xyQ x y,P Q( , )d0LQ x y y ( ,)= ( , ),( ,)= ( , )P xyP x y Q xyQ x y1( , )d2( , )dLLQ x y yQ x y y， 第二類曲線積分對稱性的應(yīng)用當(dāng)曲線積分關(guān)于y軸對稱,且被積函數(shù) 在任意的對稱點(diǎn)處的函數(shù)值互為相反數(shù) 若在任意的對稱點(diǎn)處函數(shù)值都相等那么 ( , )d0LQ x y y 11( ,

10、 )d2( , )d0,LLQ x y yQ x y y LLx，(, )=( , ), (, )=( , )Px yP x y Qx yQ x y,P Q( , )d0LP x y x(, )= ( , ),(, )= ( , )Px yP x y Qx yQ x y1( , )d2( , )dLLP x y xP x y x， 第二類曲線積分對稱性的應(yīng)用當(dāng)曲線積分關(guān)于y=x對稱，即x換作y，y換作x，L方程不變，那么 當(dāng)空間曲線積分具有輪換對稱性，即x換作y，y換作Z， Z換作x, L方程不變，那么 ( , )( , )d( , )( , )dLLP x y dxQ x y yP y x

11、dyQ y x x( , , )( , , )d( , , )LP x y z dx Q x y z yR x y z dz( , , )( , , )d( , , )LP z x y dzQ z x y xR z x y dy( , , )( , , )d( , , )LP y z x dyQ y z x zR y z x dx例例1 計(jì)算計(jì)算 (1) ,其中其中 ;(2) 其中其中 ,周長為周長為a。24()dsLxxy222(0)xya a2222234sin ()ds43Lxyxyxy，22143xyL：解：解：(1)(1)由于由于L L關(guān)于關(guān)于y y軸對稱，被積函數(shù)軸對稱，被積函數(shù)x

12、 x在在對對稱點(diǎn)處的函數(shù)值互為相反數(shù)，所稱點(diǎn)處的函數(shù)值互為相反數(shù)，所以以 。由于由于L L關(guān)于直線關(guān)于直線 y=x y=x對稱，函數(shù)對稱，函數(shù) 在對稱在對稱點(diǎn)處互為相反數(shù)點(diǎn)處互為相反數(shù), ,所以所以 . .即即 . .從而有從而有0dsLx22yx 0)ds(22LyxLLyxdsds2232222ds21)ds(21dsaayxxLLL由于由于L L的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為所以所以2 , 0sincos，yax202222444dsincossindsaaayL0452045dsin2dsinaa204522-45dsin4dsin2aa5543224134aaLyxyxxyds)34(si

13、n4322222LLyxyxxyds)34(sin121)34(12ds22222aL12ds)sin1211 (120(2)(2)由于由于L L關(guān)于關(guān)于x x軸對稱，且軸對稱，且2xy2xy在對稱點(diǎn)處的在對稱點(diǎn)處的值互值互為相反數(shù)，所以為相反數(shù)，所以0ds2Lxy例例2 2 設(shè)設(shè) ，求對，求對弧長弧長的曲線積分的曲線積分 ，其中，其中 為正方為正方形形 的邊界。的邊界。解：如圖解：如圖 , ,由于折由于折線線ABEFG ABEFG 對關(guān)于直線對關(guān)于直線 y=-x y=-x對稱對稱, ,且在對且在對稱稱點(diǎn)上有點(diǎn)上有 , ,所以所以e02( , )0y xyxf x y 其它( , )dLf x

14、 y sL| | | | 1x yABEFGy-xLssyxfde)d,(),(),(xyfyxf原式原式)dede( 2de2)d,(BEy-xABy-xABEy-xLssssyxf,210,1:xxyxxAB，) 1e (22d2ede21021xsx-ABy-x,0 ,21-1:xxyxxBE，e,22d2ede021xsBEy-x) 1e2(2)dede( 2de2BEy-xABy-xABEy-xsss例例3 3 計(jì)算計(jì)算 其其中中 。222( 2)dyzys，2222(0)xyzaayx：，解：由于在解：由于在 上上y=x,y=x,所以所以syzyxsyzyd)(d)2(222222

15、2syasysad2dd222由例由例1 1 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 那么那么 所以所以2 , 0,sin,cos2,cos2ttaztaytax：2022222dt)sint()cost2()cost2()cost2(daaaasy2tdtcos232023aa3222222d)2(aasyzy定理定理( , , )0:, ,( , )F x y zP,Q R Fzx y設(shè)且都具有一階 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則其中其中是是在在xoy平面上的投影曲線，其方向平面上的投影曲線，其方向與與的方向一致。的方向一致。*( , , )( , , )( , , ) ( , , ( , )( , , ( , )(

16、, ) ( , , ( , )( , , ( , )( , )xyIP x y z dxQ x y z dyR x y z dzP x yx yR x yx yx ydxQ x yx yR x yx yx ydy一類特殊的空間曲線積分的計(jì)算方法一類特殊的空間曲線積分的計(jì)算方法*xoy其中是 在平面上的投影曲線.例例4 4222222()d(2)d(3)d ,Iyzxzxyxyz計(jì)算 =其中解解:由由x y zxyz是平面 + + =2與柱面| |+| |=1的交線,從 軸正向看22,xzyzxydzdxdy 知從而1,xy其中是平面曲線：| |+| |逆時針方向,再利用格林公式2222 424

17、44d 234888dxyxyxyxxyxyxyy 是依逆時針方向。222222=(2) d2(2)d(3)(dd )IyxyxxyxyxyxyDD=2(6)d d12d d24Ixyx yx y ()d d0Dxyx y上式應(yīng)用了對稱性（1若積分曲線不是封閉，則可添加若干條直線(或曲線)使之構(gòu)成封閉曲線，再應(yīng)用格林公式； 3. 格林公式的應(yīng)用( , )d( , )d()d dLDPQP x y x Q x y yx yxy（2若封閉曲線L所圍成的區(qū)域D內(nèi)有“奇點(diǎn)”,則在 奇點(diǎn)外成立 等式的條件下，有 成立，其中L是圍繞奇點(diǎn)且同L具有相向方向的簡單閉曲線，通常是園或橢圓等。 PQyx( , )

18、d( , )d( , )d( , )dLLP x yxQ x yyP x yxQ x yy例例1 設(shè)設(shè) ，記，記 為它為它 的正向邊界曲線。證明：的正向邊界曲線。證明：sin-sinx-sinsinxedededed2yyLLxyyxxyyxL, 10 , 10),( yxyxD解：由格林公式得解：由格林公式得DyLyyxyyxxxyyxdd)e()e(dedesinx-sinsinxsin-Dyyxd)dee(sinx-sin2ddee2d)dee(sinx-sinxsinx-sinxDDyxyxsinsinxeded2yLxyyx類似可證類似可證DDyxyxddedde-siny-sinx

19、其中其中 是由于是由于 是關(guān)于是關(guān)于直線直線 y=xy=x對稱對稱. . 由第二類曲線積分的對稱性也可證由第二類曲線積分的對稱性也可證明。明。例例2 計(jì)算計(jì)算 ，其中，其中 是以是以(1,0)為為中心中心 R(R1)為半徑的正向圓周。為半徑的正向圓周。22dd4Lx yy xxyL,( , )(0,0)QPx yxy由于由于所以所以22222dddd1244Lllx yy xx yy xxdyydxxyxy例例3 3 已知關(guān)于坐標(biāo)的曲線積分已知關(guān)于坐標(biāo)的曲線積分 ( (常數(shù)常數(shù)) )，其中函數(shù)其中函數(shù) 可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且 是圍繞是圍繞(0,0)(0,0)的的任一分段光滑正向閉曲線，求任一分段光滑

20、正向閉曲線，求1 1函數(shù)函數(shù) 的的表表達(dá)式；（達(dá)式；（2 2A A的值。的值。2dd( )Lx yy xAxy( ) x(1)1 L ，( ) x解：（解：（1 1為了應(yīng)用格林公式求出為了應(yīng)用格林公式求出 ，首，首先證明對于任一不包含原點(diǎn)的分段光滑的先證明對于任一不包含原點(diǎn)的分段光滑的正向閉正向閉曲線曲線C C，都有，都有 . . 因?yàn)橐驗(yàn)?未知，所以原點(diǎn)有可能是被積函未知，所以原點(diǎn)有可能是被積函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)，故數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)，故x( )0)(dd2Cyxxyyxx( )BAABCyxxyyxyxxyyxyxxyyxm2n22)(dd)(dd)(dd0)(dd)(ddmAl2nl2AAyxxyy

21、xyxxyyxBAABA由此可知對由此可知對 有：有：成立，整理即得成立，整理即得)0 , 0(),(yxyyxyxyxx)()(2222)()()(yxxxyx解此微分方程得解此微分方程得 . . 2)(Cxx 由于由于，1) 1 (所以所以C=1，所求的，所求的 .2)(xx (2)(2)取取L1L1為正向圓周為正向圓周, ,那么那么122 yx2dxdy2dd11)(dd1x22211yLLxyyxyxxyyxA（1柱面 被曲面 截下部分的面積。 計(jì)算公式為 ，其中 在xoy面上的投影曲線. 4利用曲線積分來計(jì)算曲面的面積利用曲線積分來計(jì)算曲面的面積( , )0F x y ( , )ds

22、CSz x yzz( , )x y：1( , )0F x y：s：L( , )0F x y 的交線與0),(),(yxFyxzz例例1 求柱面求柱面 位于球面位于球面 之內(nèi)的側(cè)面之內(nèi)的側(cè)面 的面積的面積 。22331xy2221xyzS解：由于解：由于 關(guān)于三個坐標(biāo)面都對稱關(guān)于三個坐標(biāo)面都對稱, ,所以所以 (S0(S0是是S S位于第一卦限部分的面積位于第一卦限部分的面積) )。由對弧。由對弧長的曲線積分的幾何意義，曉得長的曲線積分的幾何意義，曉得08SS CyxSds12202023232323dt) tsin() tcos() tsin() tcos(1所以所以 20222022tdtt

23、sincos33costsintdt3ttsincos31633t)dtsin- t(sin33204223380 SS舉一反三練習(xí)舉一反三練習(xí) 計(jì)算圓柱面計(jì)算圓柱面 被球面被球面截下的那部分的面積。截下的那部分的面積。22xyax2222xyza2(4)a（2由坐標(biāo)面上的平面曲線繞某軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn) 曲面的面積。 例如yoz平面上的曲線 繞y軸 旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積.計(jì)算公式為 2| ( )|ds.CSf yC:( )()zf y ayb例例2 2 設(shè)設(shè) ， ，求求 的表面位于的表面位于 內(nèi)部分的內(nèi)部分的 的面積。的面積。22211xyz：2222xyzz：1解：解： 的表面位于

24、的表面位于 內(nèi)部分的曲面內(nèi)部分的曲面 , ,可以看可以看成是由成是由ABAB繞繞z z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)的側(cè)面，軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)的側(cè)面，其中其中 , ,所以所以11)21(1:2zzyABdzy112ds12ds| )(|21212z21212zzyfSC121121222dz2dz1112zzz 三、曲面積分的計(jì)算三、曲面積分的計(jì)算（1曲面 關(guān)于xoy平面對稱，是指若 則它關(guān)于xoy平面的對稱點(diǎn) ；（2曲面 關(guān)于原點(diǎn)對稱，是指 則它的對稱點(diǎn) ； (3) 曲面 關(guān)于平面 對稱，是指 則它的對稱點(diǎn) ； ( , ,)x yzyx(,)xyz( , , ),x y z ( , , )y x z

25、 ( , , ),x y z ( , , ),x y z ( , , )dSf x y z1. 第一類曲面積分第一類曲面積分 的對稱的對稱性性 若被積函數(shù) 的在對稱點(diǎn)處的函數(shù)值互為相反 數(shù)，那么 ；在對稱點(diǎn)處函數(shù)值相等，那么 其中 是相應(yīng)對稱積分曲面的一半。與曲線積分類似，可用邊界曲面方程來簡化被積函數(shù)，以達(dá)到化簡曲面積分計(jì)算的目的。( , , )f x y z11( , , )dS2( , , )dSf x y zf x y z，( , , )dS0f x y z例例1 求下列曲面積分求下列曲面積分（1） ， 其中其中 ；（2） ， 其中其中 .1222()dSxyz22212 zxyzR：

26、22(1) dSxyz 22222(z0)xyzR：解：解：(1)(1)1111dS2dS)(2dS2)dS(222RRRzRRzzyx由于由于 關(guān)于平面關(guān)于平面 z=R z=R 對稱對稱, ,且函數(shù)且函數(shù) z-R z-R在在對稱點(diǎn)處的值互為相反數(shù)對稱點(diǎn)處的值互為相反數(shù), ,故故10dS)(1Rz4222222842dS2)dS(11RRRRzyx解：解：(2)(2)故故2dS1)(2zyx21)dS(222zyx21)dS(2zyx21)dS(2zy2dS2z1)(221)(1)dS(1)dS(2222222222RRRRRzyx01)dS(2zyx01)dS(2zy32y2x2222222

27、222dxdydxdy1dSRRzzyxRzRyxRyx32222) 1(2dS1)(2RRRzyx（1設(shè)曲面 關(guān)于xoy平面對稱，若被積函數(shù) 在對稱點(diǎn)處的函數(shù)值互為相反數(shù)，那么 ；在對稱點(diǎn)處函數(shù)值相等，那么 ，其中 是相應(yīng)對稱積分曲面的一半。 1( , , )dxdy2( , , )dxdyR x y zR x y z( , , )R x y z( , , )dxdy0R x y z( , , )dxdyR x y z2. 第二類曲面積分 的對稱性及高斯公式1( , , )dydz,( , , )dzdxP x y zQ x y z的對稱性類似。的對稱性類似。若x與y互換， 的方程及側(cè)不變，

28、那么 若x與z互換， 的方程及側(cè)不變，那么( , , )dydz( , , )dzdx.P x y zP y x z( , , )dzdx( , , )dydz,Q x y zQ y x z( , , )dzdx( , , )dzdx.Q x y zQ z y x( , , )dydz( , , )dxdy,P x y zP z y x（2當(dāng) 不是閉曲面時，適當(dāng)添上一塊外側(cè)曲面 ,使得 組成閉曲面(所圍成的閉區(qū)域?yàn)?)，于是高斯公式為 1dydzdzdxdxdy()ddydzdzdxdxdyxyzPQRPQRvPQR11（3當(dāng) 是外側(cè)閉曲面， 是它所圍的閉區(qū)域， 在 的內(nèi)部 有不連續(xù)點(diǎn) 時，可

29、以作位于 內(nèi)部的外側(cè)閉曲面 ,將點(diǎn) 包圍起來，這個閉曲面 常常是小球面、小橢球面，于是高斯公式為 11dydzdzdxdxdydydzdzdxdxdydydzdzdxdxdyPQRPQRPQRxyzPQR， ，000(,)P xyz1000(,)P xyz11()ddydzdzdxdxdyxyzPQRvPQR000(,)P xyz當(dāng)在當(dāng)在 上除點(diǎn)上除點(diǎn) 外處處有外處處有 時，時，0 xyzPQR1dydzdzdxdxdydydzdzdxdxdy.PQRPQR11dydzdzdxdxdydydzdzdxdxdydydzdzdxdxdyPQRPQRPQR 例例2 其中其中 是上半橢球面是上半橢球面

30、 的外側(cè)。的外側(cè)。32222dydzdzdxdxdy,(44)xyzIxyz22214zxydxdydzdxdydz81)44(dxdydzdxdydz23222zyxzyxzyxI解：解：由于由于x x與與y y互換，互換， 的方程及側(cè)不變，且的方程及側(cè)不變，且 關(guān)于關(guān)于yozyoz平面對稱，且被積函數(shù)在對稱點(diǎn)處的值平面對稱，且被積函數(shù)在對稱點(diǎn)處的值互為相反數(shù)，所以互為相反數(shù)，所以dxdydzdxdydzzyx1dxdydydz4dxdydydz2zxzx其中其中 是是 的的 部分，前側(cè)，部分，前側(cè)， 是是 在在yozyoz平面上的投影平面上的投影. .10 xyzD138414dydz41

31、4dydz41yzD22橢球Vzyx故原式故原式其中其中 是橢球是橢球 的體積的體積. .橢球V14222zyxxydxdy12dxdy22Dyxz34)1(2222的體積上半球體zyx2)3438(81I例例3. 3. 計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分 其中其中 是球面是球面 的外側(cè)。的外側(cè)。222211dydzdzdxdxdy,coscoscosIxxyzz2221xyz解：由于解：由于 關(guān)于關(guān)于zoxzox平面對稱平面對稱, ,函數(shù)函數(shù) 在對在對稱點(diǎn)稱點(diǎn)處的值相等，所以處的值相等，所以 。當(dāng)。當(dāng)x x與與z z互換互換時，時， 的方程及側(cè)不變，所以的方程及側(cè)不變，所以21cos y21dzdx=

32、0cos y2221=dydzdxdycoscosIxxzz222211dxdydxdy=dxdyzcos zcoszcos zzz其中其中 是是 的的 的部分的部分, ,且且222211dxdydxdy=dxdyzcos zcoszcos zzz1xy22xy2222221dxdy=2dxdy=2(+1)zcos z1cos1DDxyxyxy：2122200rdr=2d=4 tan11 r cos1 r221z= 1 xy：z021zcos z在對稱點(diǎn)處的值互為相反數(shù)，所以在對稱點(diǎn)處的值互為相反數(shù)，所以有有12211dxdy=2dxdyzcos zzcos z例例4 4 計(jì)算計(jì)算 其中其中 是柱面是柱面 及兩平面及兩平面 所圍立體所圍立體 表面的外側(cè)。表面