第3章 模糊理論

1、3 模糊理論模糊理論Fuzzy Theory第一節(jié)第一節(jié) 引言引言一、模糊控制的發(fā)展一、模糊控制的發(fā)展 1965 1965年，美國(guó)控制論專(zhuān)家年，美國(guó)控制論專(zhuān)家L.A.ZadehL.A.Zadeh在在Information Information and controland control發(fā)表的開(kāi)創(chuàng)性論文發(fā)表的開(kāi)創(chuàng)性論文Fuzzy setsFuzzy sets，首次提出，首次提出了用了用“隸屬函數(shù)隸屬函數(shù)”的概念來(lái)定量描述事物模糊性的模糊集合的概念來(lái)定量描述事物模糊性的模糊集合理論，從此奠定了模糊數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。理論，從此奠定了模糊數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。 19741974年英國(guó)學(xué)者年英國(guó)學(xué)者E.H.Mamd

2、aniE.H.Mamdani首次把模糊集合理論成功首次把模糊集合理論成功地應(yīng)用在鍋爐和蒸汽機(jī)的控制之中，在自動(dòng)控制領(lǐng)域中首開(kāi)地應(yīng)用在鍋爐和蒸汽機(jī)的控制之中，在自動(dòng)控制領(lǐng)域中首開(kāi)模糊控制在實(shí)際工程上的應(yīng)用先河。模糊控制在實(shí)際工程上的應(yīng)用先河。 之后，模糊數(shù)學(xué)獲得了長(zhǎng)足的發(fā)展，在理論和應(yīng)用上之后，模糊數(shù)學(xué)獲得了長(zhǎng)足的發(fā)展，在理論和應(yīng)用上都取得了豐碩成果。模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域以涉及到自動(dòng)控制、都取得了豐碩成果。模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域以涉及到自動(dòng)控制、圖像和文字識(shí)別、人工智能、地址、地震、醫(yī)療診斷、氣象圖像和文字識(shí)別、人工智能、地址、地震、醫(yī)療診斷、氣象分析、航空、火車(chē)汽車(chē)輪船駕駛、企業(yè)管理和社會(huì)經(jīng)濟(jì)等許分

3、析、航空、火車(chē)汽車(chē)輪船駕駛、企業(yè)管理和社會(huì)經(jīng)濟(jì)等許多放面。多放面。二、模糊控制的特點(diǎn)二、模糊控制的特點(diǎn)1、無(wú)需知道被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型、無(wú)需知道被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型2、是一種反映人類(lèi)智慧思維的智能控制、是一種反映人類(lèi)智慧思維的智能控制3、易于被人們所接受（核心：控制規(guī)則）、易于被人們所接受（核心：控制規(guī)則）4、構(gòu)造容易、構(gòu)造容易5、魯棒性好、魯棒性好 模糊控制采用人類(lèi)思維中的模糊量，如模糊控制采用人類(lèi)思維中的模糊量，如“高高”、“中中”、“低低”等，且控制量由模糊推理導(dǎo)出等，且控制量由模糊推理導(dǎo)出一、模糊集的概念一、模糊集的概念 集合集合：具有某種特定屬性的對(duì)象全體。：具有某種特定屬性的對(duì)象全體。

4、 集合中的個(gè)體通常用小寫(xiě)英文字母如：集合中的個(gè)體通常用小寫(xiě)英文字母如：u表表示；示； 集合的全體又稱(chēng)為集合的全體又稱(chēng)為論域論域。通常用大寫(xiě)英文字。通常用大寫(xiě)英文字母如：母如：U表示。表示。 u U表示表示元素元素（個(gè)體）（個(gè)體）u在集合在集合論域論域（全體）（全體） U內(nèi)。內(nèi)。第二節(jié)第二節(jié) 模糊集合論基礎(chǔ)模糊集合論基礎(chǔ)集合表示法集合表示法(經(jīng)典集合經(jīng)典集合)：(1)列舉法列舉法：將集合的元素全部列出的方法。：將集合的元素全部列出的方法。(2)定義法定義法：用集合中元素的共性來(lái)描述集合的方法。：用集合中元素的共性來(lái)描述集合的方法。(3)歸納法歸納法：通過(guò)一個(gè)遞推公式來(lái)描述一個(gè)集合的：通過(guò)一個(gè)遞推

5、公式來(lái)描述一個(gè)集合的方法。方法。(4)特征函數(shù)表示法特征函數(shù)表示法：利用經(jīng)典集合論非此即彼：利用經(jīng)典集合論非此即彼的明晰性來(lái)表示集合。的明晰性來(lái)表示集合。1( )0UuUTuuU例：設(shè)集合例：設(shè)集合U由由1到到5的五個(gè)自然數(shù)組成，用上的五個(gè)自然數(shù)組成，用上述方法寫(xiě)出該集合的表達(dá)式。述方法寫(xiě)出該集合的表達(dá)式。解：解：(1)列舉法列舉法 U=1,2,3,4,5(2)定義法定義法 U=u|u為自然數(shù)且為自然數(shù)且1 u 5(3)歸納法歸納法 U=ui+1=ui+1, i=1,2,3, 4, u1=1 經(jīng)典集合論中任意一個(gè)元素與任意一個(gè)集經(jīng)典集合論中任意一個(gè)元素與任意一個(gè)集合之間的關(guān)系，只是合之間的關(guān)系

6、，只是“屬于屬于”或或“不屬于不屬于”兩兩種，兩者必居其一而且只居其一。它描述的是種，兩者必居其一而且只居其一。它描述的是有明確分界線(xiàn)的元素的組合。有明確分界線(xiàn)的元素的組合。 用經(jīng)典集合來(lái)處理模糊性概念時(shí)，就不行。用經(jīng)典集合來(lái)處理模糊性概念時(shí)，就不行。 諸如諸如“速度的快慢速度的快慢”、“年齡的大小年齡的大小”、“溫度的高低溫度的高低”等模糊概念沒(méi)有明確的界限。等模糊概念沒(méi)有明確的界限。經(jīng)典集合對(duì)事物只用經(jīng)典集合對(duì)事物只用1、0簡(jiǎn)單地簡(jiǎn)單地表示表示“屬于屬于”或或“不屬于不屬于”的分類(lèi)；而模的分類(lèi)；而模糊集合則用糊集合則用“隸屬度隸屬度(Degree of membership)”來(lái)描述元素的

7、隸屬程度，隸來(lái)描述元素的隸屬程度，隸屬度是屬度是0到到1之間連續(xù)變化的值。之間連續(xù)變化的值。模糊集合模糊集合特征函數(shù)特征函數(shù)隸屬度函數(shù)（隸屬度函數(shù)（01連續(xù)變化連續(xù)變化值）值）例：人對(duì)溫度的感覺(jué)例：人對(duì)溫度的感覺(jué)(0 C 40 C的感覺(jué)的感覺(jué))：“舒適舒適”：15 C 25 C“熱熱”：25 C以上以上“冷冷”：15 C 以下以下經(jīng)典集合對(duì)溫度的定義經(jīng)典集合對(duì)溫度的定義0 15 25 40冷熱(T)1.0舒適溫度C0 15 25 40(T)1.0冷熱舒適溫度C模糊集合對(duì)溫度的定義模糊集合對(duì)溫度的定義經(jīng)典集合：經(jīng)典集合：14.99 C屬于屬于“冷冷”；15.01 C屬于屬于舒適。舒適。與人的感覺(jué)

8、一致嗎？與人的感覺(jué)一致嗎？模糊集合模糊集合：論域：論域U中的模糊集合中的模糊集合F用一個(gè)在區(qū)用一個(gè)在區(qū)間間0,1上的取值的隸屬函數(shù)上的取值的隸屬函數(shù) F來(lái)表示，即：來(lái)表示，即： F ：U 0,1u F （映射）（映射）（隸屬函數(shù)（隸屬函數(shù) F：u隸屬于隸屬于F的程度）的程度） F (u)=1：u完全屬于完全屬于U； F (u)= 0：u完全不屬于完全不屬于U；0 F (u)0211001u可算出可算出 F (5)=0.2, F (10)=0.5, F (20)=0.8可見(jiàn)可見(jiàn) F (u)是是U到閉區(qū)間到閉區(qū)間0,1的映射。的映射。510200.20.50.8U0,1F (u) 1、論域、論域U

9、為離散域（即論域?yàn)殡x散域（即論域U是有限集合）是有限集合）(1)查德表示法查德表示法F =1()/niiFiu u1.00.90.750.50.20.1012345F 模糊集合的表示方法模糊集合的表示方法：例：集合例：集合F表示接近于表示接近于0的整數(shù)（已知論域的整數(shù)（已知論域U=0,1,2,3,4,5）(2)序偶表示法序偶表示法F =(u1, (u1),(u2 , (u2),(un , (un)(3)向量表示法向量表示法F = (u1), (u2), (un) （元素（元素u按次序排列）按次序排列）例：例：F =(0,1.0), (1 ,0.9), (2 ,0.75), (3,0.5),(4

10、 ,0.2), (5 ,0.1) 例：例：F =1.0 ,0.9, 0.75,0.5,0.2 ,0.1 /FFu例例:以年齡為論域，取以年齡為論域，取Zadeh給出了給出了“年年輕輕”的模糊集的模糊集F，其隸屬函數(shù)為，其隸屬函數(shù)為0,100U 121025( )251251005Fuuuu02040608010012000.10.20.30.40.50.60.70.80.91X YearsDegree of membership2102525100251/1 () /5uuuFuu 模糊集合表示為：模糊集合表示為：模糊集合是用模糊集合是用隸屬度函數(shù)隸屬度函數(shù)描述的描述的。二、隸屬度函數(shù)的建立二

11、、隸屬度函數(shù)的建立隸屬度函數(shù)隸屬度函數(shù)：模糊集合的特征函數(shù)：模糊集合的特征函數(shù) （取值范圍在（取值范圍在0,1區(qū)間）區(qū)間） 確定隸屬度函數(shù)的方法具有確定隸屬度函數(shù)的方法具有主觀(guān)性主觀(guān)性，但主觀(guān)，但主觀(guān)的反映和客觀(guān)的存在有一定的聯(lián)系，是受客觀(guān)制的反映和客觀(guān)的存在有一定的聯(lián)系，是受客觀(guān)制約的。約的。 由于模糊集理論的研究對(duì)象具有由于模糊集理論的研究對(duì)象具有模糊性模糊性和和經(jīng)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)性性,因此找到一種統(tǒng)一的隸屬度計(jì)算方法是不現(xiàn)實(shí)因此找到一種統(tǒng)一的隸屬度計(jì)算方法是不現(xiàn)實(shí)的。的。確定隸屬函數(shù)應(yīng)確定隸屬函數(shù)應(yīng)遵守的一些基本原則遵守的一些基本原則：1、表示隸屬度函數(shù)的模糊集合必須是凸模糊集合、表示隸屬度函數(shù)的

12、模糊集合必須是凸模糊集合例例:適中開(kāi)車(chē)速度的集合是模糊集合。可表示為適中開(kāi)車(chē)速度的集合是模糊集合。可表示為:“適中速度適中速度”= 0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70 從最大隸屬度函數(shù)點(diǎn)向兩邊延伸時(shí)從最大隸屬度函數(shù)點(diǎn)向兩邊延伸時(shí),其隸屬函數(shù)的值是其隸屬函數(shù)的值是必須是單調(diào)遞減的必須是單調(diào)遞減的,而不允許有波浪形。而不允許有波浪形。0 x凸模糊集合非凸模糊集合203050709500.20.40.60.81速度（語(yǔ)言變量）速度（語(yǔ)言變量）Degree of membership適中適中低低高高51002、變量所取隸屬度函數(shù)通常是對(duì)稱(chēng)和平衡的。、變量所取隸屬度函數(shù)通常是對(duì)稱(chēng)和

13、平衡的。很低很低很高很高標(biāo)稱(chēng)名：語(yǔ)標(biāo)稱(chēng)名：語(yǔ)言值言值(個(gè)數(shù)適中：個(gè)數(shù)適中：39個(gè)（奇?zhèn)€（奇數(shù)）數(shù)）)語(yǔ)言值的語(yǔ)言值的個(gè)數(shù)和規(guī)個(gè)數(shù)和規(guī)則數(shù)成正則數(shù)成正比。比。00 . 1適中高很高32)/(1hkm速度3、隸屬度函數(shù)要符合人們的語(yǔ)言順序，、隸屬度函數(shù)要符合人們的語(yǔ)言順序， 避免不恰當(dāng)?shù)闹丿B避免不恰當(dāng)?shù)闹丿B注意：間隔的兩個(gè)模糊集合隸屬度函數(shù)盡量不注意：間隔的兩個(gè)模糊集合隸屬度函數(shù)盡量不相交。相交。圍附近模糊隸屬函數(shù)的范重疊范圍重疊率12()2()UAALdxUL重疊魯棒性重疊指數(shù)重疊指數(shù)：衡量隸屬度函數(shù)與模糊：衡量隸屬度函數(shù)與模糊控制器性能關(guān)系的一個(gè)重要指標(biāo)?？刂破餍阅荜P(guān)系的一個(gè)重要指標(biāo)。包括：包

14、括：重疊率、重疊魯棒性重疊率、重疊魯棒性重疊指數(shù)的定義附近隸屬函數(shù)的范圍LUA1A2x00.51.0重疊范圍LU(0.20.6為宜為宜)(0.30.7為宜為宜)5 . 01A2A2030405010)/(1hkm速度30例：例：333. 030/10重疊率40301100.52(4030)20dx重疊魯棒性 重疊率和重疊魯棒性越重疊率和重疊魯棒性越大，模糊控制模塊模糊性越大，模糊控制模塊模糊性越強(qiáng)，規(guī)則越多，越復(fù)雜，精強(qiáng)，規(guī)則越多，越復(fù)雜，精度越高。度越高。求重疊率和重疊魯棒性求重疊率和重疊魯棒性隸屬度函數(shù)確立的方法：隸屬度函數(shù)確立的方法：1、模糊統(tǒng)計(jì)法、模糊統(tǒng)計(jì)法2、例證法、例證法 3、專(zhuān)家

15、經(jīng)驗(yàn)法、專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)法4、二元對(duì)比排序法、二元對(duì)比排序法1、模糊統(tǒng)計(jì)法、模糊統(tǒng)計(jì)法 基本思想：論域基本思想：論域U上的一個(gè)確定的元素上的一個(gè)確定的元素v0是否是否屬于一個(gè)可變動(dòng)的清晰集合屬于一個(gè)可變動(dòng)的清晰集合A*作出清晰的判斷。作出清晰的判斷。 對(duì)于不同的實(shí)驗(yàn)者，清晰集合對(duì)于不同的實(shí)驗(yàn)者，清晰集合A*可以有不同可以有不同的邊界。但它們都對(duì)應(yīng)于同一個(gè)模糊集的邊界。但它們都對(duì)應(yīng)于同一個(gè)模糊集A。年輕人17-30歲20-35歲模糊集模糊集A清晰集A1*清晰集A2*所有人論論域域Uv0隸屬度函數(shù)確立的方法：00AvAvn 的次數(shù)對(duì) 的隸屬頻率試驗(yàn)總次數(shù)計(jì)算步驟：在每次統(tǒng)計(jì)中，計(jì)算步驟：在每次統(tǒng)計(jì)中，v0

16、是固定的（如某是固定的（如某一年齡），一年齡），A*的值是可變的，作的值是可變的，作n次試驗(yàn)次試驗(yàn),則則模糊統(tǒng)計(jì)公式：模糊統(tǒng)計(jì)公式：隸屬度函數(shù)確立的方法：例：求中等身材的集合例：求中等身材的集合A及及 A (1.64)選選10人，每人確定人，每人確定A*的元素，假設(shè)的元素，假設(shè)10個(gè)人所確定的個(gè)人所確定的A*分別是：分別是：1.601.69 1.631.70 1.651.75 1.561.70 1.621.73 1.651.72 1.641.73 1.601.69 1.691.75 1.691.77110A(1.56)=0.1310A(1.60)=0.3610A(1.64)=0.6110A(1

17、.77)=0.10.11.56AF0.30.610.50.1=+1.60 1.641.69 1.73 1.77610A(1.64)=0.6隨著隨著n的增大，隸屬頻率會(huì)趨向穩(wěn)定，這個(gè)的增大，隸屬頻率會(huì)趨向穩(wěn)定，這個(gè)穩(wěn)定值就是穩(wěn)定值就是v0對(duì)對(duì)A的隸屬度。的隸屬度。計(jì)算量大。計(jì)算量大。模糊統(tǒng)計(jì)法的特點(diǎn)：模糊統(tǒng)計(jì)法的特點(diǎn)：2、例證法、例證法 ：從有限個(gè)隸屬度值，來(lái)估計(jì)：從有限個(gè)隸屬度值，來(lái)估計(jì)U上的模糊上的模糊集集A 的隸屬度函數(shù)。的隸屬度函數(shù)。3、專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)法：根據(jù)專(zhuān)家的經(jīng)驗(yàn)對(duì)每一現(xiàn)象產(chǎn)生、專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)法：根據(jù)專(zhuān)家的經(jīng)驗(yàn)對(duì)每一現(xiàn)象產(chǎn)生的各種結(jié)果的可能性程度，來(lái)決定其隸屬度函數(shù)。的各種結(jié)果的可能性程度，來(lái)

18、決定其隸屬度函數(shù)。4、二元對(duì)比排序法：通過(guò)對(duì)多個(gè)事物之間的兩兩、二元對(duì)比排序法：通過(guò)對(duì)多個(gè)事物之間的兩兩對(duì)比，來(lái)確定某種特征下的順序，由此來(lái)決定這些對(duì)比，來(lái)確定某種特征下的順序，由此來(lái)決定這些事物對(duì)該特征的隸屬函數(shù)的大體形狀。事物對(duì)該特征的隸屬函數(shù)的大體形狀。模糊控制中，隸屬度函數(shù)基本圖形分為三大類(lèi)：模糊控制中，隸屬度函數(shù)基本圖形分為三大類(lèi)：1.左大右小的偏小型下降函數(shù)（左大右小的偏小型下降函數(shù)（Z函數(shù)）：適用于函數(shù)）：適用于輸入值比較小時(shí)的隸屬度函數(shù)確定。輸入值比較小時(shí)的隸屬度函數(shù)確定。0 x1.0(x)矩形分布矩形分布0 x1.0 (x)梯形分布梯形分布0 x1.0(x)曲線(xiàn)分布曲線(xiàn)分布2

19、.左小右大的偏大型上升函數(shù)（左小右大的偏大型上升函數(shù)（S函數(shù)）：適用函數(shù)）：適用于輸入值比較大時(shí)的隸屬度函數(shù)確定。于輸入值比較大時(shí)的隸屬度函數(shù)確定。01.0(x)x矩形分布0 x1.0(x)梯形分布0 x1.0曲線(xiàn)分布3.對(duì)稱(chēng)型凸函數(shù)（對(duì)稱(chēng)型凸函數(shù)（ 函數(shù)函數(shù)）：適用于輸入值位于中）：適用于輸入值位于中間時(shí)隸屬度函數(shù)確定。間時(shí)隸屬度函數(shù)確定。01.0(x)x矩形分布(x)0 x1.0三角形分布01.0(x)梯形分布x01.0(x)曲線(xiàn)分布x三、模糊關(guān)系（用于模糊推理決策）三、模糊關(guān)系（用于模糊推理決策）1.模糊關(guān)系的定義模糊關(guān)系的定義關(guān)系關(guān)系：客觀(guān)事物間的相互聯(lián)系。：客觀(guān)事物間的相互聯(lián)系。 普

20、通關(guān)系普通關(guān)系：二元關(guān)系（是、否）：二元關(guān)系（是、否）例：父子、師生、同事例：父子、師生、同事模糊關(guān)系模糊關(guān)系：父子相像。：父子相像。例：設(shè)例：設(shè)A=0,1，B=a,b,c則則AB=(0,a)，(1,a)，(0,b)，(1,b)，(0,c)，(1,c)BA=(a, 0)，(a, 1)，(b, 0)，(b, 1)，(c, 0)，(c, 1)注意：注意： AB BA A、B兩集合的兩集合的直積直積：BbAabaBA,),(, )a b序偶：序偶：例：甲、乙、丙例：甲、乙、丙3人參加考試，考試的成績(jī)?yōu)閮?yōu)、良、人參加考試，考試的成績(jī)?yōu)閮?yōu)、良、中、差，則中、差，則A=甲甲,乙乙,丙丙，B=優(yōu)優(yōu),良良,中

21、中,差差A(yù)B：12種序偶的集合。種序偶的集合。一次考試：一次考試：R=(甲甲,優(yōu)優(yōu))，(乙乙,中中)，(丙丙,差差)A、B間的關(guān)系可通過(guò)矩陣形式直觀(guān)地表示出來(lái)，間的關(guān)系可通過(guò)矩陣形式直觀(guān)地表示出來(lái)，關(guān)系之間地運(yùn)算可轉(zhuǎn)換為矩陣間運(yùn)算。關(guān)系之間地運(yùn)算可轉(zhuǎn)換為矩陣間運(yùn)算。矩陣：矩陣：100000100001RMA 甲甲 乙乙 丙丙B優(yōu)優(yōu) 良良 中中 差差關(guān)系關(guān)系對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)模糊關(guān)系模糊關(guān)系R：以：以AB為論域的一個(gè)模糊子集為論域的一個(gè)模糊子集且且(,)ab有：有：:0,1(,)(,)RRABabab( , )( )( )RABa bab定義：定義：123nB bbbb111213121222323132

22、333123()(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)RRRRnRRRRnRRRRnRmRmRmRmnm na ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba babababab123mAaaaa模糊矩陣：模糊矩陣：12, ,mAa aa有限集有限集A，B，12, ,nBb bb(,)(,)ijRijabab即序偶即序偶模糊矩陣中的元素記為模糊矩陣中的元素記為( )ijr模糊矩陣模糊矩陣R記為記為:( )ij mnR r(,)0,1Rijab其中; 3 / 2 . 02 / 7 . 01 / 1/ )(;4, 3 ,

23、2, 1;3 , 2, 1uuVUA4/2 . 03/4 . 02/6 . 01/8 . 0/ )(vvB例設(shè)例設(shè)求模糊關(guān)系求模糊關(guān)系RAB，模糊矩陣，模糊矩陣3 4()ijr)4,3/(2 . 0)3 ,3/(2 . 0)2,3/(2 . 0) 1 ,3/(2 . 0)4 , 2/(2 . 0)3 , 2/(4 . 0)2,2/(6 . 0) 1 , 2/(7 . 0)4, 1/(2 . 0)3, 1/(4 . 0)2, 1/(6 . 0) 1 , 1/(8 . 0 BA解：解：求求3 4()ijr0.80.60.40.20.70.60.40.20.20.20.20.2123U1234V3

24、4( )ijr方法方法1：方法方法2：3 4( )ijrA B10.70.80.60.40.20.2對(duì)應(yīng)元素取小對(duì)應(yīng)元素取小0.8 0.6 0.4 0.20.7 0.6 0.4 0.20.2 0.2 0.2 0.2。慢快100/080/060/040/3 . 020/7 . 00/1;100/180/160/7 . 040/3 . 020/00/0CA例：已知兩個(gè)模糊集合例：已知兩個(gè)模糊集合A、C的隸屬度函數(shù)分別為的隸屬度函數(shù)分別為求它們的模糊關(guān)系求它們的模糊關(guān)系CA其中，其中，C，A分別屬于兩個(gè)不同的論域分別屬于兩個(gè)不同的論域 U，V 課內(nèi)練習(xí)課內(nèi)練習(xí)RCA10.70.3000.30.71

25、1000000.30.711000.30.70.70.7000.30.30.30.3000000000000000000解：解：定義定義 笛卡爾積笛卡爾積 若若A1、A2分別是論域分別是論域U1、U2 中的模糊集，則中的模糊集，則A1 、A2的笛卡兒積是在積空間的笛卡兒積是在積空間U1 U2中的一個(gè)模糊子集，中的一個(gè)模糊子集，其隸屬度函數(shù)為其隸屬度函數(shù)為:直積（極小算子）：直積（極小算子）： A1 A2 (u1, u2 )=min A1 (u1), A2 (u2) 代數(shù)積代數(shù)積 ： A1 A2 (u1, u2 ) = A1 (u1) A2 (u2)對(duì)于連續(xù)情況，關(guān)系矩陣可定義為：對(duì)于連續(xù)情況，

26、關(guān)系矩陣可定義為：為了區(qū)分直積、代數(shù)積為了區(qū)分直積、代數(shù)積 ，用用 min表示直積表示直積；用；用 AP表示代數(shù)積表示代數(shù)積。記號(hào)記號(hào)t算子：表示笛卡兒積算子：表示笛卡兒積),/()()(),/(),(vuvtuvuvuBARBVUAVUR模糊關(guān)系的合成模糊關(guān)系的合成：如果：如果R和和S分別為笛卡兒空間分別為笛卡兒空間U V和和V W上的模糊關(guān)系，則上的模糊關(guān)系，則R和和S的合成是定義在空間的合成是定義在空間U W上的模糊關(guān)系，并記為上的模糊關(guān)系，并記為RS。其隸屬度函數(shù)的。其隸屬度函數(shù)的計(jì)算方法：計(jì)算方法：模糊關(guān)系的合成可用模糊矩陣的合成來(lái)表示模糊關(guān)系的合成可用模糊矩陣的合成來(lái)表示2、模糊關(guān)

27、系的合成、模糊關(guān)系的合成WwVvUuwvvuSRV,) ),(, ),(min(maxminsup( , )sup( , )( ,) ),R SRSVR Su wu vv wu U v V w W上確界（上確界（Sup)算子算子1 . 06 . 08 . 02 . 0RS祖祖父父祖祖母母父父0.50.7母母0.1001 . 07 . 05 . 0S用模糊矩陣用模糊矩陣S可表示為可表示為R父母子0.20.8女0.60.1例某家中子女與父母的長(zhǎng)像相似關(guān)系例某家中子女與父母的長(zhǎng)像相似關(guān)系R為模糊關(guān)系，為模糊關(guān)系，可表示為可表示為也可以用模糊矩陣也可以用模糊矩陣R來(lái)表示來(lái)表示該家中父母與祖父母的相似關(guān)

28、系也是模糊關(guān)系，可表示為該家中父母與祖父母的相似關(guān)系也是模糊關(guān)系，可表示為求孫子、孫女與祖父、祖母的相似程度？（即求求孫子、孫女與祖父、祖母的相似程度？（即求 ）R S0.20.80.50.70.60.10.10R S 解：解：(0.20.5)(0.80.1)(0.20.7)(0.80)(0.60.5)(0.10.1)(0.60.7)(0.10)0.20.20.50.6 此模糊關(guān)系表明：孫子與祖父、祖母的相似程度此模糊關(guān)系表明：孫子與祖父、祖母的相似程度為為0.2、0.2;孫女與祖父、祖母的相似程度為孫女與祖父、祖母的相似程度為0.5、0.6。一、模糊邏輯及其基本運(yùn)算一、模糊邏輯及其基本運(yùn)算模糊邏輯是研究模糊命題的邏輯。模糊邏輯是研究模糊命題的邏輯。模糊命題：含有模糊概念或者是帶有模糊性的模糊命題：含有模糊概念或者是帶有模糊性的 陳述句。陳述句。模糊命題的真