數(shù)理統(tǒng)計答案研究生

1、12.在五塊條件基本相同的田地上種植某種農(nóng)作物，畝產(chǎn)量分別為92，94，103，105，106（單位：斤），求子樣平均數(shù)和子樣方差。解：作變換11100,100,005100iiiiyxayynxay22222222211( 8)( 6)356 0345xyiissyyn X1,X2,Xn是參數(shù)為的泊松分布的母體的一個子樣，是子樣平均數(shù)，試求E和D。解：XX111( ),()iiiixpExExExnnnn22111()iiiiiDxDxDxDxnnnnX1,X2,Xn是區(qū)間（-1，1）上均勻分布的母體的一個子樣，試求子樣平均數(shù)的均值和方差。解：21 121( 1,1),0,2123xUExD

2、x 11()0111()3iiiiiiExExExExnnDxDxDxnnnX1,X2,Xn是分布為的正態(tài)母體的一個子樣，求 的概率分布。解：2211()niiYX21( ,),(0,1),.,iinxXNNYY 則y且之間相互獨(dú)立22221()()iiiiiixYxy由 分布定義 ，Y服從自由度為n的 分布。 22( )Yn2X具有正態(tài)分布N(0,1)，從此母體中取一容量為6的子樣（x1,x2,x3,x4,x5,x6）。又設(shè)。試決定常數(shù)C,使得隨機(jī)變量CY服從分布。解：22123456()()YXXXXXX21123(0,1),(0,3),XNZXXXN22111(0,1),(1)33ZZN

3、2456ZXXX亦服從N(0,3)且與Z1相互獨(dú)立， 2222(0,1),(1)33ZZN且與 相互獨(dú)立。由 分布可加性， 22222221212111()(2),33333ZZZZYc 7.7.已知 ，求證證明：令( )Xt n2(1, )XFn2( ),(0,1)/UXt nUNn其中2222( ),nUU2且 與獨(dú)立亦與獨(dú)立2222,(1, )/UXFXFnn由 分布定義8設(shè)母體 ,從中抽取容量n的樣本 求（1）n=36時， 解： 2(40,5 )XN(3843)Px25(40,)64xN384040434038435/65/65/6xPxP 2.43.6(3.6)( 2.4)(2.4)

4、0.9918PU （2）n=64時，求 401P x25(40,)64xN解：40184015/85/8582 ( ) 10.89045xP xPp U 第二章參數(shù)估計X具有負(fù)指數(shù)分布，它的分布密度為f(x)=,00,0 xexx其中 。試用矩法求的估計量。解：f(x)=（）0( )xe,00,0 xexx001( )xExxf x dxx edx用樣本 估計Ex，則有 x11,xxX具有幾何分布,它的分布列為PX=k=(1-p)k-1p,k=1,2,先用矩法求p的估計量,再求p的最大似然估計.解:(1)矩法估計12111(1) (1) kkkkEXkppppppp1px2111(1) )()

5、1(1)iixxxxxx(2)極大似然估計11(1)(1)iiinxnxniLppppln() ln(1)lniiLxnpnpln10,1iinxdLnpdpppxX具有在區(qū)間a,b上的均勻分布,其分布密度為f(x)=1,0,axbba其他其中a,b是未知參數(shù),試用矩法求a與b的估計量.解:用 和 分別估計EX和DX得21 , ,()212abXU a b EXDXbaX2S222()12abXbaS33aXSbXSX的分布密度為f(x)=其中(1)求的最大似然估計量; (2) (2)用矩法求 的估計量. 解:1,010,xx其他0( )xf x 1,010,xx其他0( )1最大似然估計11

6、11nnniiiiLxxlnln(1)lniiLnxlnln0,lniiiidLnnxdx 2矩法估計用 估計EX 110( )1EXx f x dxxxdx X1XXX的密度為試求 的最大似然估計;并問所得估計量是否的無偏估計.解：1( ),2xf xex 1111( )()22iixxnnniiiLf xeelnln2lniixLnn 2ln0iixdLnd 得 1iixn 0( )11222ixxE xE Xx f x dxxedxxedx11()iiiiEExE xnn 是 的無偏估計.6.設(shè)母體X具有分布密度 f(x)= 其中k是已知的正整數(shù),試求未知參數(shù)的最大似然估計量. 解:似然

7、函數(shù) 1,0(1)!0,kkxxexk其他11111()()(1)!(1)!iiiknnxxknnkkiiiiLxexekk11lnln(1)!lnln()nkiiiiLnknkxx ln0,iidLnkkkxdxx或7.設(shè)母體X具有均勻分布密度 ,從中抽得容量為6的子樣數(shù)值 1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,試求母體平均數(shù)和方差的最大似然估計量的值. 解: ， 的最大似然估計 1( ),0f xx(0,)XUmax2.2ix,1.122EX22221,0.40331212DXX的分布密度為 f(x)=(),0,0 xexx試求 的最大似然估計。解：( )Xf x (),0,0

8、xexx似然函數(shù)()11( )innxiiiLf xelnln(),0iidLLxnd 無解為了使L達(dá)到最大， ，盡可能小，盡可能大，而0iixn(1)1,miniii nxxx 12設(shè)母體X服從正態(tài)分布 是從此母體中抽取的一個子樣。試驗(yàn)證下面三個估計量（1）12( ,1),(,)NXX1122133XX（2）2121344XX（3）3121122XX都是 的無偏估計，并求出每個估計量的方差。問哪一個方差最小？解：11212212121()333333EExxExEx同理： 都是 的無偏估計。23和222222123215135111( )( ),( )( ),( )( )339448222D

9、DD3方差最小為有效對形如1,1,niiiiix xxEx且時以 為最有效2DxnX1,X2,Xn是具有泊松分布 母體的一個子樣。試驗(yàn)證：子樣方差 是 的無偏估計；并且對任一值也是 的無偏估計，此處 為子樣的平均數(shù)( )P*2S*20,1,(1)XSX解：*2( ),XPEXDXEXES*2*2(1)(1)(1)EXSEXES 14 .設(shè)X1,X2,Xn為母體 的一個子樣。試選擇適當(dāng)常數(shù)C,使 為 的無偏估計。解：2( ,)N 1211()niiiCXX22211221()()()()2()()()iiiiiiiiiiiiixxxxxxxx1()()0iiE xx1122211111()()2

10、()()()nniiiiiiiiiiExxExE xxEx222(1)0(1)2(1)nnn212()1,2(1)2(1)iiixxEcnn 18.從一批電子管中抽取100只,若抽取的電子管的平均壽命為1000小時,標(biāo)準(zhǔn)差s為40小時,試求整批電子管的平均壽命的置信區(qū)間(給定置信概率為95%).解:n=100, 小時,s=40小時用 估計 ,構(gòu)造函數(shù)1000 x x(0,1)/xuNsn近似給定置信概率 ,有121P uu 即22()1ssP xuxunn 22401000 1.96992.210401000 1.961007.810sunsun置信下限 x 置信上限 x整批電子管的平均壽命置

11、信概率為95%的置信區(qū)間為(992.2,1007.8)小時.19.隨機(jī)地從一批釘子中抽取16枚,測得其長度(單位:cm)為2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11。設(shè)釘長分布為正態(tài)的，試求母體平均數(shù) 的置信概率為90%的置信區(qū)間 ：（1）若已知（2）若 未知。解：n=16,(1)若已知 ，構(gòu)造函數(shù)0.01();cm*2.125,0.017xs0.01()cm(0,1)/xuNn給定置信概率90%，有21P uu 即0022()1P xuxunn 02()(2.1250.0041

12、)xun置信區(qū)間為為（2）若 未知構(gòu)造函數(shù)*(1)/xTt nSn給定置信概率90%，查得 ，有0.05(15)1.7531t2(1)1p Ttn 母體平均數(shù) 的置信概率為90%的置信區(qū)間為 ，即（2.1250.0075）*0.05(15)sxtn21.假定每次試驗(yàn)時，出現(xiàn)事件A的概率p相同但未知。如果在60次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)15次，試求概率p的置信區(qū)間（給定置信概率為0.95）。解：n=60,m=15,x“0-1”分布，,(1)mmmxsnnn構(gòu)造函數(shù)(0,1)/xpuNsn近似給定置信概率95%，有21P uu 即2211(1)(1)1mmmmmmpupunn nnnn nn 故p的

13、置信概率為95%的置信區(qū)間為（0.250.11）22.對于方差 為已知的正態(tài)母體，問需抽取容量n為多大的子樣，才使母體平均數(shù) 的置信概率為 的置信區(qū)間的長度不大于L?解：2122( ,),XN 已知構(gòu)造函數(shù)(0,1)/xuNn給定置信概率 ，有 ，使12u21P uu 即22()1P xuxunn 置信區(qū)間長度 22uLn22224/nuLn的子樣，算得子樣標(biāo)準(zhǔn)差 的數(shù)值。設(shè)（1）n=10, =5.1(2)n=46, =14。試求母體標(biāo)準(zhǔn)差的置信概率為0.99的置信區(qū)間。解：（1）n=10,*s*s*s22( ,), ,XN 未知*25.1s用 估計 ,構(gòu)造函數(shù) 給定置信概率 =99%,查表得

14、*2s2*2222(1)(1)nsn1220.0050.995(9)23.589,(9)1.735使2220.9950.005(9)(9)0.99p*2212233(,)(9)ss即(3.150,11.62)(2)n=46, 時,所求的置信區(qū)間是*14s *2*2220.0050.995(1)(1)(,)(45)(45)nsns即(10.979,19.047)X服從正態(tài)分布 , 和 是子樣X1,X2,Xn的平均數(shù)和方差; 又設(shè) ,且與X1,X2,Xn獨(dú)立,試求統(tǒng)計量 的抽樣分布.解:2( ,)N X2nS21( ,)nXN 111nnXXnSn12221()01()(1)nnE XXD XXn

15、n,又 1,nXX服從正態(tài)分布,故 , 1(0,1)11nXXNn222(1)nnSn又2nS與1,nXX獨(dú)立根據(jù)t分布定義1122211(1)11(1)nnnnnXXXXUnnTt nnSSnnnSnnX1,X2,Xm和Y1,Y2,Yn分別是從分布為 兩個母體中抽取的獨(dú)立隨機(jī)子樣, 分別表示X和Y的子樣平均數(shù), 和 分別表示X和Y的子樣方差.對任意兩個固定實(shí)數(shù) 和 ,試求隨機(jī)變量2212(,)(,)NN 和XY和*xS*yS122222()()2xyXYYmSnSmnmn的概率分布.解: 是正態(tài)變量線性組合,仍服從正態(tài)分布.XY122221222()()()()()(0,1)EXYDXYmn

16、XYUNmn又222222(1),(1)yxnSmSmn且相互獨(dú)立由 分布可加性 ,22222(2)xymSnSmn且與XY獨(dú)立根據(jù)t分布定義122222222()()(2)(2)2xyxyXYUTt mnmSnSmSnSmnmnmnn45的大子樣,利用第一章2.2中 分布的性質(zhì)3,證明方差22的置信區(qū)間(給定置信概率為 )是1*2*222(,)221111SSuunn證明:對正態(tài)母體 的置信概率為 的置信區(qū)間是21*2*222122(1)(1)(,)(1)(1)nSnSnn當(dāng)n45時,2( )2nnnu222(1)(1)2(1)nnnu211222(1)(1)2(1)(1)2(1)nnnun

17、nu(1)代入(1)式,即*2*222(,)221111SSuunn證畢.A批導(dǎo)線中抽取4根,從B批導(dǎo)線中抽取5根,測得其電阻(單位:歐姆)并計算得:* 2* 20.1425,30.0000250.1392,40.000021AABBxsxs設(shè)測試數(shù)據(jù)分別具有分布21(,)N 和22(,)N .試求 的置信概率為95%的12置信區(qū)間.解:2212(,),(,)ABXNXN ,4,5ABnn* 2* 20.1425,30.0000250.1392,40.000021AABBxsxs121*(2)(2)11ABABXXTt nnSnn構(gòu)造函數(shù)給定置信概率95%,查得 ,使0.025(7)2.364

18、6t0.025(7)95%P Tt所求置信下限為:*0.02511(7)0.00330.004060.0007645ABxxts (-0.00076,0.00736)為 的置信概率為95%的置信區(qū)間.1231.兩臺機(jī)床加工同一種零件,分別抽取6個和9個零件,測得其長度計算得*2*2120.245,0.357ss兩個母體方差之比 的置信區(qū)間(給定置信概率為95%).2122解:*2*211226,0.245;9,0.357nsns構(gòu)造函數(shù)221221*2*212/(1,1)/FF nnSS給定置信概率 ,有195%*22*21112121*22*2122222(1,1)(1,1)1SSP Fnn

19、FnnSS 查表0.0250.02511(8,5)6.76,(5,8)4.82FF所求置信區(qū)間的置信下限為10.2450.1424.820.357置信上限為0.2456.764.640.35734.從一批某種型號電子管中抽出容量為10的子樣,計算得標(biāo)準(zhǔn)差 (小時).設(shè)整批電子管服從正態(tài)分布.試給出這批管子壽命標(biāo)準(zhǔn)差 的單側(cè)置信上限(置信概率為95%).*45s 解:n=10, (小時)*45s 構(gòu)造函數(shù)*2222(1)(1)nSn給定置信概率95%,查20.95(9)3.325,使221(1)1Pn 即*2220.95(1)0.95(9)nsP故所求 的置信概率為95%的置信上限為29 453

20、 4574.053.3251.823第三章 假設(shè)檢驗(yàn)1.從已知標(biāo)準(zhǔn)差 的正態(tài)母體中,抽取容量為n=16的子樣,由它算得子樣平均數(shù) .試在顯著水平下,檢驗(yàn)假設(shè)H0:2 . 556.27x26解:1.建立原假設(shè)H0: 2.在H0成立前提下,構(gòu)造統(tǒng)計量26) 1 , 0(/0Nnxu3.給定顯著水平 ,有 ,使05. 096. 12u2uuP即05. 096. 1/00nxP4.由樣本n=16,56.27x代入96. 12 . 14/2 . 52656.272uu接受H02.從正態(tài)母體 中取100個樣品,計算得) 1 ,(N32. 5x(1)試檢驗(yàn)H0:(2)計算上述檢驗(yàn)在 時犯第二類錯誤的概率.5

21、是否成立?)01. 0(8 . 4解 : (1)1.建立原假設(shè)H0: 2.在H0成立前提下,構(gòu)造統(tǒng)計量5) 1 , 0(/0Nnxu3.給定顯著水平 ,有 ,使01. 0575. 22u2uuP即01. 0575. 2/00nxP代入575. 22 . 310/1532. 5u拒絕H0(2)真實(shí) 時,8 . 4719. 0)575. 0()575. 0()575. 4()575. 210/18 . 45()575. 210/18 . 45()/()/(212102102)(002021ununxdenHnx接受域3.某批砂礦的5個樣品中的鎳含量經(jīng)測定為 設(shè)測定值服從正態(tài)分布。問在下 能否接受假

22、設(shè)：這批礦砂的(平均)鎳含量為。解：設(shè) ， 未知，計算 .252， 。（1）建立假設(shè) ：（2）在假設(shè)成立的前提下，構(gòu)造統(tǒng)計量 01. 0),(2Nx2x*s0H25. 3xu ) 1(/)(*0nttnsx（3）給定 ,查得 （4）由樣本計算， = =0.34 =5p414341243413434125681建立假設(shè) ：母體X的分布律為上述分布律在 成立的前提下，構(gòu)造統(tǒng)計量給定顯著水平 ，查得0H)4(25122iiiinpnpm）（0H)4(22568125681362562725627286492006492003216320016320048505056)4(2222222）（由樣本計算

23、，使p02488. 9405. 760. 026. 253. 094. 272. 0H接受）（方差分析習(xí)題1.為了對一元方差分析表作簡化計算，對測定值 作變換 ，其中b、c是常數(shù)，且 。試用 表示組內(nèi)離差和組間離差，并用他們表示F的值。i jx0b ijyijijyb xc解： 由第一章習(xí)題3可知 組內(nèi)離差 組間離差 ijijyb xc2221xyssb222211AiiAiijQni xxni yQbby22221111rniEijiijiEijijQxxyyQbb/1/1/AAEEQrQrFFQnrQnr2.有四個廠生產(chǎn)伏的3號電池?，F(xiàn)從每個工廠產(chǎn)品中各取一子樣，測量其壽命得到數(shù)值如下：生

24、產(chǎn)廠 干電池壽命（小時） A24.7 ，24.3，21.6，19.3，20.3 B30.8，19.0，18.8，29.7 C17.9，30.4，34.9，34.1，15.9 D23.1，33.0，23.0，26.4，18.1，25.1問四個廠干電池壽命有無顯著差異（ ）？5%解：1.建立假設(shè) ： 四個水平下母體 2.在 成立前提下構(gòu)造統(tǒng)計量 3.給定顯著水平 ，查 ，使 4.有樣本計算列出方差分析表 0H12342,iixN 0H/11,/AEQrFF rnrQnr1,Frnr1,p FFrnr來源離差平方和自由度均方離差F組間r-1=320.230.5366組內(nèi)n-r=1637.7總和663

25、.924160.7AiiQni xx2411603.2niEijiijQxx3,163.24F F1,接受 ，四個廠的干電池壽命無顯著差異0H3.抽查某地區(qū)三所小學(xué)五年級男學(xué)生的身高，得如下數(shù)據(jù)：小學(xué)身高數(shù)據(jù)（厘米）第一小學(xué)128.1，134.1，133.1，138.9，140.8，127.4第二小學(xué)150.3，147.9，136.8，126.0，150.7，155.8第三小學(xué)140.6，143.1，144.5，143.7，148.5，146.4試問該地區(qū)三所小學(xué)五年級男學(xué)生的平均身高是否有顯著差異（ ）？5%解： ，I=1,2,3 1.建立假設(shè) ： 2.在 成立前提下構(gòu)造統(tǒng)計量 3.給定顯著

26、水平 ，查 ，使 4.有樣本計算列出方差分析表 2,iixN 0H1230H/11,/AEQrFF rnrQnr1,Frnr1,p FFrnr來源離差平方和自由度均方離差F組間r-1=2233.084.375組內(nèi)n-r=1553.28總和21466.16rAiiQni xx2799.3EijiijQxx0.052,153.68F ， 所以拒絕 ，認(rèn)為三所小學(xué)五年級男生平均身高有顯著差異0.052,15FF0H4.在一元方差分析中， ，而 ，試求 的無偏估計量及其方差。 1,2, ;1,2,ijiijxjn ir10riiini解：在第i水平下 , 估計量為 而總的平均 的估計量為 的估計量為

27、是無偏的 1,2, ;1,2,ijiijxjn iriixxiiiixxiiiEExExi211222122222222212221111122iirriijjijjjjriijjjrjjiiiDD xxnD xn xDxDn xnnnnDxnjinnnnnnnnnnnnnn1.通過原點(diǎn)的一元回歸的線形模型為 其中各 相互獨(dú)立，并且都服從正態(tài)分布 。試由n組觀察值 ，用最小二乘法估計 ，并用矩法估計,1,2,iiiYxini20,N,1,2,iix yin2回歸分析習(xí)題解 ： ； 的矩法估計 ,1,2,iiiYxin20,iN21minniiiQyx22220,iiiiiiiiix yQyx xx 22222222212iiixyyxyxyxynx2.在考察硝酸鈉的可溶性程度時，對一系列不同溫度觀察它在100ml的水中溶解的硝酸鈉的重量，獲得觀察結(jié)果如下： 從經(jīng)驗(yàn)和理論知之間有下述關(guān)系式 其中各 相互獨(dú)立，并且都服從正態(tài)分布 。使用最小二乘法估計參數(shù)，并且用矩法估計 。溫度0410152119365168重量66.771.076.