高二數(shù)學(xué)選修4-5_絕對(duì)值三角不等式1

1、書 山 有 路 勤 為 徑，學(xué) 海 無(wú) 崖 苦 作 舟少 小 不 學(xué) 習(xí)，老 來(lái) 徒 傷 悲 成功=艱苦的勞動(dòng)+正確的方法+少談空話天才就是百分之一的靈感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奮，努 力 才 能 成 功！2022年4月15日星期五（一）絕對(duì)值的定義：絕對(duì)值的定義： 對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)a， 時(shí)）（當(dāng)時(shí)）（當(dāng)時(shí)當(dāng)000)0(aaaaaa復(fù)習(xí)問(wèn)題問(wèn)題我們已學(xué)過(guò)積商絕對(duì)值的性質(zhì)，我們已學(xué)過(guò)積商絕對(duì)值的性質(zhì)，哪位同學(xué)能回答哪位同學(xué)能回答？.0bbababaab，或.當(dāng)時(shí)，有：當(dāng)時(shí)，有：0aaxaxax22ax （二）絕對(duì)值的幾何意義：絕對(duì)值的幾何意義： 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值的絕對(duì)值

2、|a|，表示數(shù)軸上坐標(biāo)為，表示數(shù)軸上坐標(biāo)為a的點(diǎn)的點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離（圖到原點(diǎn)的距離（圖1）。）。 如：如：|-3|或或|3|在數(shù)軸上分別等于點(diǎn)在數(shù)軸上分別等于點(diǎn)A或點(diǎn)或點(diǎn)B到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離。到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離。|a|OAx 由絕對(duì)值的幾何意義可知，由絕對(duì)值的幾何意義可知，A、B之間的點(diǎn)之間的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離小于與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離小于3，可表示為：，可表示為： 3x即實(shí)數(shù)即實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離小于對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離小于3 同理，與原點(diǎn)距離大于同理，與原點(diǎn)距離大于3的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)可表示為：可表示為： 如圖如圖3x 設(shè)設(shè)a,b是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，那么是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，那么|a-

3、b| 的幾的幾何意義是什么？何意義是什么？x|a-b|abAB探究探究 用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔ跀?shù)軸上把用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔ跀?shù)軸上把|a| ， |b| ，|a+b|表示出來(lái)，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有何關(guān)系？表示出來(lái)，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有何關(guān)系？ 定理定理1 如果如果a,b是實(shí)數(shù)，則是實(shí)數(shù)，則 |a+b| |a| +|b| ，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號(hào)成立。時(shí)，等號(hào)成立。絕對(duì)值三角絕對(duì)值三角不等式不等式 如果把定理如果把定理1中的實(shí)數(shù)中的實(shí)數(shù)a,b分別換為向量分別換為向量 ，能得出什么結(jié)論？你能解釋其幾何意，能得出什么結(jié)論？你能解釋其幾何意義嗎？義嗎？,a b 探究？探究？abab(1) 當(dāng)當(dāng) 不共線時(shí)有不共線時(shí)有

4、,a b (2) 當(dāng)當(dāng) 共線且同向時(shí)有共線且同向時(shí)有abab,a b 絕對(duì)值三角絕對(duì)值三角不等式不等式如何證明定理如何證明定理1?探究探究 你能根據(jù)定理你能根據(jù)定理1的研究思路的研究思路,探究一下探究一下|a| ， |b| ，|a+b|, |a-b|之間的其它關(guān)系嗎之間的其它關(guān)系嗎?|a|-|b| |a|a|-|b| |ab|a|+|bb|a|+|b| |結(jié)論結(jié)論:注意：注意：1 左邊可以左邊可以“加強(qiáng)加強(qiáng)”同樣成立，即同樣成立，即 |bababa 2 這個(gè)不等式俗稱這個(gè)不等式俗稱“三角不等式三角不等式”三角形中三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三

5、邊 3 同號(hào)時(shí)右邊取同號(hào)時(shí)右邊取“=”， 異號(hào)時(shí)左邊取異號(hào)時(shí)左邊取“=”, a b, a b推論推論1： 123123| |aaaaaa推論推論2：|bababa 證明：在定理中以 ,bb 代得：| |() | |ababab 即： |bababannaaaaaa2121 Nnn定理探索定理探索當(dāng)時(shí)，顯然成立，0 ba當(dāng)時(shí)，要證0 ba.baba只要證，222222bababbaa.abab 即證而顯然成立 abab 從而證得. bababa定理探索定理探索還有別的證法嗎？還有別的證法嗎？ 由與，aaabbb得.bababa.baba用可得什么結(jié)論？當(dāng)我們把看作一個(gè)整體時(shí)，當(dāng)我們把看作一個(gè)整體

6、時(shí)，ba axaax上式逆上式逆定理探索定理探索證明嗎？babababa能用已學(xué)過(guò)得的可以表示為 a. bbaa.bbabbaa.baba即即 .就是含有絕對(duì)值不等式的重要定理， bababa例題例題求證.例2 已知，MyabyMax, 0,20 ,2abxy證明：byaaxyabyayaxyabxy.22aaMMbyaaxy,5yb例1 已知0,x-a求 2x+3y-2a-3b例題例題例3 求證. bbaababa111證明：在時(shí)，顯然成立.0ba當(dāng)時(shí)，左邊 0ba111ba1111ababab .11bbaa練習(xí)練習(xí)已知求證. 1已知，求證. 0, 0arxraax11, 1lan1 la

7、n.；2已知 ，求證：2,2bBaA baBA baBA.|, |, |369例2已知 xyz|23 |xyz求證：|23 | | 2 | 3 |xyzxyz 證明：| 2| 3|xyz | 2| 3|xyz|,|,|369xyz23| 2| 3|369xyz|23 |xyz.3.| 1,| 1,11ababab例 已知求證22()111(1)abababab證明：2222212aabbaba b 222210aba b 22(1)(1)0ab| 1,|1,ab由可知22(1)(1)0ab成立，11abab所以., , ,04a b c dabcdbcda例 4 設(shè)都 是 不 等 于的 實(shí) 數(shù) ， 求 證0,0,0,0abcdbcda證 明 ：22abababbcbcbc2ac2cdcddada22cdcdaa由，得，22abcdacbcdaca2acca42acaccaca又422acca課堂練習(xí)：1.(1),|(0),|khk 已知|h|求證(2)|,|(0,0),hhcxc cx已知求證0 |,0 |,hk解：0| |hk|hk即110|0|cxxc