自動控制原理簡明教程第五章

1、第五章第五章 線性系統(tǒng)的頻域分析法線性系統(tǒng)的頻域分析法自動控制原理課程的任務(wù)與體系結(jié)構(gòu)自動控制原理課程的任務(wù)與體系結(jié)構(gòu) 頻域分析頻域分析是在正弦輸入信號作用下，考察系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸是在正弦輸入信號作用下，考察系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入量之間的出與輸入量之間的振幅比振幅比和和相位差相位差的變化規(guī)律，其基本思想是的變化規(guī)律，其基本思想是把控制系統(tǒng)中的各個變量看成一些由不同頻率正弦信號組合而把控制系統(tǒng)中的各個變量看成一些由不同頻率正弦信號組合而成的信號，系統(tǒng)響應(yīng)為對不同頻率信號的響應(yīng)的總和。成的信號，系統(tǒng)響應(yīng)為對不同頻率信號的響應(yīng)的總和。 控制系統(tǒng)及其元部件的頻率特性可運(yùn)用分析法和實(shí)驗(yàn)控制系統(tǒng)及其元部件的頻率特性

2、可運(yùn)用分析法和實(shí)驗(yàn)方法獲得，并可用多種形式的曲線表示，故系統(tǒng)分析和控制方法獲得，并可用多種形式的曲線表示，故系統(tǒng)分析和控制器設(shè)計(jì)可應(yīng)用器設(shè)計(jì)可應(yīng)用圖解法圖解法進(jìn)行，在工程上獲得了廣泛應(yīng)用。進(jìn)行，在工程上獲得了廣泛應(yīng)用。 頻率特性物理意義明確。對于一階和二階系統(tǒng)，頻域頻率特性物理意義明確。對于一階和二階系統(tǒng)，頻域性能指標(biāo)和時域性能指標(biāo)有確定的對應(yīng)關(guān)系；對于高階系統(tǒng)，性能指標(biāo)和時域性能指標(biāo)有確定的對應(yīng)關(guān)系；對于高階系統(tǒng)，可建立可建立近似近似的對應(yīng)關(guān)系。的對應(yīng)關(guān)系。 控制系統(tǒng)的頻域設(shè)計(jì)可兼顧動態(tài)響應(yīng)和噪聲抑制兩方控制系統(tǒng)的頻域設(shè)計(jì)可兼顧動態(tài)響應(yīng)和噪聲抑制兩方面的要求。面的要求。 頻域分析法不僅適用于

3、線性定常系統(tǒng)，還可推廣應(yīng)用頻域分析法不僅適用于線性定常系統(tǒng)，還可推廣應(yīng)用于某些非線性控制系統(tǒng)。于某些非線性控制系統(tǒng)。特點(diǎn)特點(diǎn)例：例：RC 電路如圖所示，電路如圖所示，ui(t)=Asinwt, 求求uo(t)=?建模建模RiouiuCoiuCRioouuuCR1ioUsUT CR( )111 T( )( )CR1T11 ToiUsG sU ssss0122222CCC1 T( )1 T1 TosAUsssssT2222A T( )sinT coscosT sin1T1TtoAu te T22T1TAte T)arctan-Tsin(T122 A0 tui tuo 22sin iiu ttUss

4、.1.1 .1.1 頻率特性的基本概念頻率特性的基本概念RC tui tuoi解：解：暫態(tài)分量暫態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量22( )sin(-arctanT)1TsoAutt( )sin( )A At 系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)。 A() 稱稱幅頻特性幅頻特性，()稱稱相頻特性相頻特性。 二者統(tǒng)稱為二者統(tǒng)稱為頻率特性頻率特性。幅頻特性幅頻特性相頻特性相頻特性 一個穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，一個穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，輸入正弦信號時輸入正弦信號時，輸，輸出穩(wěn)定后也是同頻正弦信號，并且輸出信號的振幅和出穩(wěn)定后也是同頻正弦信號，并且輸出信號的振幅和相位均為輸入信號

5、頻率的函數(shù)。相位均為輸入信號頻率的函數(shù)。 R s C s sG sinc tAt sinr tAt0t AA 用用R(j)和和C(j)分別表示輸入信號分別表示輸入信號A sint和輸出信號和輸出信號cs(t)=A sin(t+)， 則輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入正弦信號的復(fù)數(shù)比則輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入正弦信號的復(fù)數(shù)比稱為該系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)，稱為該系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)， 簡稱簡稱頻率特性頻率特性， 記作記作()()()( )()jC jG jAeR j ()()( )( )G jG jPjQ幅頻特性幅頻特性相頻特性相頻特性實(shí)頻特性實(shí)頻特性虛頻特性虛頻特性22( ) |()|( )( )AG jPQ1( )(

6、)()( )QG jtgP ( )( )cos ( )PA ( )( )sin ( )QA 0Lm Q G j A Re P 頻率特性、傳遞函數(shù)、微分方程的關(guān)系頻率特性、傳遞函數(shù)、微分方程的關(guān)系系統(tǒng)系統(tǒng)頻率特性頻率特性傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)微分方程微分方程sj dsdt djdt 頻率特性是傳遞函數(shù)的特例頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復(fù)平面虛軸上的傳，是定義在復(fù)平面虛軸上的傳遞函數(shù)，因此頻率特性與系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)一樣反映遞函數(shù)，因此頻率特性與系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)一樣反映了系統(tǒng)的固有特性。了系統(tǒng)的固有特性。 例：例：()( )sjG jG s 10( )(3)G ss s 10()(3

7、)G jjj sj .1.2 .1.2 頻率特性的圖示方法頻率特性的圖示方法 頻率特性頻率特性的圖形表示是描述系統(tǒng)的輸入頻率的圖形表示是描述系統(tǒng)的輸入頻率從從0到變化時頻率響應(yīng)的幅值、變化時頻率響應(yīng)的幅值、 相位與頻率之間關(guān)系的一組曲線。相位與頻率之間關(guān)系的一組曲線。常用頻率特性曲線及其坐標(biāo)系常用頻率特性曲線及其坐標(biāo)系對數(shù)幅相坐標(biāo)對數(shù)幅相坐標(biāo)尼柯爾斯圖尼柯爾斯圖對數(shù)幅相頻率特性曲線對數(shù)幅相頻率特性曲線3半對數(shù)坐標(biāo)半對數(shù)坐標(biāo)伯德圖伯德圖對數(shù)頻率特性曲線對數(shù)頻率特性曲線2極坐標(biāo)極坐標(biāo)極坐標(biāo)圖極坐標(biāo)圖奈奎斯特圖奈奎斯特圖幅相頻率特性曲線幅相頻率特性曲線1坐標(biāo)系坐標(biāo)系圖形常用名圖形常用名名稱名稱序號序

8、號 對于一個確定的頻率，必有一個幅頻特性的幅值和一個幅對于一個確定的頻率，必有一個幅頻特性的幅值和一個幅頻特性的相角與之對應(yīng)，幅值與相角在復(fù)平面上代表一個向量。頻特性的相角與之對應(yīng)，幅值與相角在復(fù)平面上代表一個向量。當(dāng)頻率當(dāng)頻率從零變化到無窮時，相應(yīng)向量的矢端就描繪出一條曲線。從零變化到無窮時，相應(yīng)向量的矢端就描繪出一條曲線。這條曲線就是這條曲線就是幅相頻率特性曲線幅相頻率特性曲線，簡稱，簡稱幅相曲線幅相曲線，又稱，又稱Nyquist圖圖。1. 幅相頻率特性曲線幅相頻率特性曲線例：例：RCRC電路的幅相頻率特性。電路的幅相頻率特性。CRuiuoTjRCjjGjUjUio1111)()()(G(

9、j)=R()+jI() 代數(shù)式代數(shù)式 =|G(j)|G(j) 極坐標(biāo)式極坐標(biāo)式 =A()ej() 指數(shù)式指數(shù)式j(luò)1000112350221( )1ATG(j)=arctanT 又稱為又稱為伯德曲線伯德曲線（伯德圖伯德圖），由），由對數(shù)幅頻曲線對數(shù)幅頻曲線和和對數(shù)相對數(shù)相頻曲線頻曲線組成，是工程中廣泛應(yīng)用的一組曲線。組成，是工程中廣泛應(yīng)用的一組曲線。 對數(shù)幅頻曲線的橫坐標(biāo)采用對數(shù)分度（對數(shù)幅頻曲線的橫坐標(biāo)采用對數(shù)分度（=lg），單位為），單位為弧度弧度/秒（秒（rad/s），縱坐標(biāo)按），縱坐標(biāo)按線性分度，單位是分貝（線性分度，單位是分貝（dB）；對數(shù)相頻曲線的縱坐標(biāo)按）；對數(shù)相頻曲線的縱坐標(biāo)按(

10、 () ) 線性分度，單位是度（線性分度，單位是度（）。由此構(gòu)成的坐標(biāo)系稱為）。由此構(gòu)成的坐標(biāo)系稱為半對數(shù)坐標(biāo)系半對數(shù)坐標(biāo)系。 ( )20lg()20lg( )LG jA2. 對數(shù)頻率特性曲線（對數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）圖）和和lg的關(guān)系表的關(guān)系表 =0在對數(shù)分度的坐標(biāo)系中的負(fù)無窮遠(yuǎn)處，在對數(shù)分度的坐標(biāo)系中的負(fù)無窮遠(yuǎn)處， =0不可能不可能在橫坐標(biāo)上表示出來，橫坐標(biāo)上表示的最低頻率由所感興在橫坐標(biāo)上表示出來，橫坐標(biāo)上表示的最低頻率由所感興趣的頻率范圍確定。趣的頻率范圍確定。 從表中可以看出，從表中可以看出，的數(shù)值每變化的數(shù)值每變化10倍，倍， 在對數(shù)坐標(biāo)在對數(shù)坐標(biāo)上上lg相應(yīng)變化一個單位。相

11、應(yīng)變化一個單位。 頻率變化頻率變化10倍的一段對數(shù)刻度倍的一段對數(shù)刻度稱為稱為“十倍頻程十倍頻程”， 用用“dec”表示。表示。 軸為對數(shù)分度，軸為對數(shù)分度， 即采即采用相等的距離代表相等的用相等的距離代表相等的頻率倍增，在伯德圖中橫頻率倍增，在伯德圖中橫坐標(biāo)按坐標(biāo)按=lg均勻分度。均勻分度。00.11101002040-20 jGLlg20單位：dB00.1110100 9018090180十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程1461020401002十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程4P2P5P3P1P半對數(shù)坐標(biāo)紙半對數(shù)坐標(biāo)紙對數(shù)坐標(biāo)圖的特點(diǎn)對數(shù)坐標(biāo)圖的特點(diǎn)(1)

12、 由于橫坐標(biāo)采用對數(shù)刻度，將低頻段相對展寬了由于橫坐標(biāo)采用對數(shù)刻度，將低頻段相對展寬了(低頻段低頻段 頻率特性的形狀對于控制系統(tǒng)性能的研究具有較重要的意頻率特性的形狀對于控制系統(tǒng)性能的研究具有較重要的意義義)，而將高頻段相對壓縮了。因此采用對數(shù)坐標(biāo)既可以，而將高頻段相對壓縮了。因此采用對數(shù)坐標(biāo)既可以拓寬視野，又便于研究低頻段的特性。拓寬視野，又便于研究低頻段的特性。(2) 當(dāng)系統(tǒng)由多個環(huán)節(jié)串聯(lián)而成時，系統(tǒng)的頻率特性為各環(huán)當(dāng)系統(tǒng)由多個環(huán)節(jié)串聯(lián)而成時，系統(tǒng)的頻率特性為各環(huán)節(jié)頻率特性的乘積，由于對數(shù)可將乘除運(yùn)算變成加減運(yùn)算。節(jié)頻率特性的乘積，由于對數(shù)可將乘除運(yùn)算變成加減運(yùn)算。以上兩式表明，當(dāng)繪制由多

13、個環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的系統(tǒng)的對數(shù)以上兩式表明，當(dāng)繪制由多個環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的系統(tǒng)的對數(shù)坐標(biāo)圖時，只要將各環(huán)節(jié)對數(shù)坐標(biāo)圖的縱坐標(biāo)相加減即可，坐標(biāo)圖時，只要將各環(huán)節(jié)對數(shù)坐標(biāo)圖的縱坐標(biāo)相加減即可，從而簡化了畫圖的過程。從而簡化了畫圖的過程。(3) 在對數(shù)坐標(biāo)圖上，所有典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性乃至系統(tǒng)在對數(shù)坐標(biāo)圖上，所有典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性乃至系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性均可用分段直線近似表示。這種近似具有一的對數(shù)幅頻特性均可用分段直線近似表示。這種近似具有一定的精確度。若對分段直線進(jìn)行修正，即可得到精確的特性定的精確度。若對分段直線進(jìn)行修正，即可得到精確的特性曲線。曲線。(4) 若將實(shí)驗(yàn)所得的頻率特性數(shù)據(jù)整理并用分段直

14、線畫出對數(shù)若將實(shí)驗(yàn)所得的頻率特性數(shù)據(jù)整理并用分段直線畫出對數(shù)頻率特性，則很容易寫出實(shí)驗(yàn)對象的頻率特性表達(dá)式或傳遞頻率特性，則很容易寫出實(shí)驗(yàn)對象的頻率特性表達(dá)式或傳遞函數(shù)。函數(shù)。精確曲線精確曲線漸近線漸近線轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率 對數(shù)幅相圖的橫坐標(biāo)表示對數(shù)相頻特性的相角，縱坐標(biāo)表對數(shù)幅相圖的橫坐標(biāo)表示對數(shù)相頻特性的相角，縱坐標(biāo)表示對數(shù)幅頻特性的幅值的分貝數(shù)，又稱示對數(shù)幅頻特性的幅值的分貝數(shù)，又稱尼柯爾斯曲線尼柯爾斯曲線。3. 對數(shù)幅相曲線（對數(shù)幅相曲線（Nichols） 典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié) 比例環(huán)節(jié)：比例環(huán)節(jié)：K 慣性環(huán)節(jié)：慣性環(huán)節(jié)：1/(Ts+1)，式中，式中T0 一階微分環(huán)節(jié)：一階微分環(huán)節(jié)：(Ts+

15、1)，式中，式中T0積分環(huán)節(jié)：積分環(huán)節(jié)：1/s 微分環(huán)節(jié)：微分環(huán)節(jié)：s sssKsssKsG1 . 0111)21()1 . 01()21()(: 例例nnnnmmmmasasasabsbsbsbsHSG 11101110)()( 振蕩環(huán)節(jié)：振蕩環(huán)節(jié)：1/(s/n)2+2s/n+1；式中式中n0，0 0，0 1K1 比例環(huán)節(jié)的比例環(huán)節(jié)的 對數(shù)頻率特性曲線對數(shù)頻率特性曲線 .2.2 .2.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)的頻率特性 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)211)(,1)( jjGssG00jL()=-20lg()=-90o 00 L 0.110120-90-180decdB20-20decdB40 21

16、 20lg40lg 180LG j 兩重積分兩重積分21()()G jjL()=20lg()=90o 微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)( ),()2G ss G jj00j00 L 0.11012090decdB201/T, L()-20lgT =-20(lg-lg1/T) G(s)=1/(Ts+1)2211()11jarctg TG jej TT221lg20)(TL 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié) 20jG01jG0 0j01 45dB32lg20LTTTT 1459000 L T1T10T10020decdB20T-arctg)( 221()1G jT ! ! 低通低通 濾波特性濾波特性一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié) G(

17、s)=Ts+1221lg20)(TL Tarctg)( 1/T, L()20lgT =20(lg-lg1/T) G(s)=Ts+11 20lg23 45TTTLdBT 4500 L 1T10T100T20decdB2090 =0 j 0 1！高頻放大！高頻放大！抑制噪聲能力下降！抑制噪聲能力下降 22121G sT sTs22121G jTjTj22221221221 122tan1 2tan1G jTTTTG jTT T1T1 0jG01jG0 nnn010 振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)1nT 90T1 n1()2G j 222212212220lg122tan12tan1LTTTTG jTT 2212

18、1G jTjTj00 L T1T10-40decdB4090180 180Tlg40Tlg20L2 90T1 n 0dB0L0 10-1100101-50-40-30-20-100102030(a)10-1100101-180-160-140-120-100-80-60-40-200(b) 延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)00 1 j TGjeGjGjT 10 1 0 1GjGj j TsG se 20lg10 LGj 00 L 0.1110100v系統(tǒng)系統(tǒng)開環(huán)開環(huán)幅相曲線主要用于判斷幅相曲線主要用于判斷閉環(huán)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 v通常將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)寫成各環(huán)節(jié)串聯(lián)的形式，利用通常將系統(tǒng)開環(huán)傳遞

19、函數(shù)寫成各環(huán)節(jié)串聯(lián)的形式，利用“幅值相乘、幅值相乘、 幅角相加幅角相加”的原則確定幾個關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確的原則確定幾個關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，位置， 然后繪出圖形的大致形狀即可。然后繪出圖形的大致形狀即可。 v繪制步驟如下：繪制步驟如下： (1) 將系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性函數(shù)將系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性函數(shù)G(j)H(j)寫成指數(shù)式寫成指數(shù)式A(j)ej()或代數(shù)式或代數(shù)式P()+jQ()； (2) 確定極坐標(biāo)圖的起點(diǎn)確定極坐標(biāo)圖的起點(diǎn)=0+和終點(diǎn)和終點(diǎn)； (3) 確定極坐標(biāo)圖與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（若奈氏圖與負(fù)實(shí)軸有確定極坐標(biāo)圖與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（若奈氏圖與負(fù)實(shí)軸有 交點(diǎn)，則必須求出）交點(diǎn)，則必須求出）; (4) 勾畫出大致曲

20、線。勾畫出大致曲線。.2.3 .2.3 開環(huán)幅相曲線的繪制開環(huán)幅相曲線的繪制( (奈奎斯特奈奎斯特NyquistNyquist圖圖) ) 12121111Kjjjj Tj T10111011 mmmmnnnnbjbjbjbG jmnajajaja對于一般線性定常系統(tǒng)，其頻率特性為對于一般線性定常系統(tǒng)，其頻率特性為0 01 I2 II型系統(tǒng)型系統(tǒng)型系統(tǒng)n階系統(tǒng)22122212121211112 KG jTTG jarctgarctgarctg Tarctg T奈氏圖的大致規(guī)律奈氏圖的大致規(guī)律22122212121211112 KG jTTG jarctgarctgarctg Tarctg T 的

21、的線線段段，漸漸進(jìn)進(jìn)于于平平行行于于負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸，00 jGjGK00020 2KG j時：1. 極坐標(biāo)圖的起點(diǎn)極坐標(biāo)圖的起點(diǎn) 00G jK，1 2KG j ，22, KG j 的線段的線段，漸進(jìn)于平行于負(fù)虛軸，漸進(jìn)于平行于負(fù)虛軸，00 2jG001 222121 nmTTKjGnm0jG1mn2mn3mn2. 極坐標(biāo)圖的終點(diǎn)極坐標(biāo)圖的終點(diǎn) 12121111KjjG jjj Tj T 2121212102TTKjGmnjGmnmnTTKmn jG 0 0型系統(tǒng)（型系統(tǒng)（v = 0 = 0）只包含慣性環(huán)節(jié)的只包含慣性環(huán)節(jié)的0 0型系統(tǒng)型系統(tǒng)NyquistNyquist圖圖)1).(1)(1 ()

22、1).(1)(1 ()(2121nmTjTjTjjjjKjGmn 0K)0(A0)0(0)(A90)mn()(設(shè)設(shè)m=0 I I型系統(tǒng)（型系統(tǒng)（v = 1= 1）只包含慣性環(huán)節(jié)的只包含慣性環(huán)節(jié)的I I型系統(tǒng)型系統(tǒng)NyquistNyquist圖圖)1).(1)(1)()1).(1)(1 ()(2121nmTjTjTjjjjjKjGmn 0)0(A(0)90 0)(A90)mn()(設(shè)設(shè)m=0 IIII型系統(tǒng)（型系統(tǒng)（v = 2 = 2）只包含慣性環(huán)節(jié)的只包含慣性環(huán)節(jié)的II II型系統(tǒng)型系統(tǒng)NyquistNyquist圖圖)1).(1)(1 ()()1).(1)(1 ()(21221nmTjTjT

23、jjjjjKjGmn 0)0(A180)0(0)(A90)mn()(設(shè)設(shè)m=0開環(huán)幅相曲線與負(fù)實(shí)軸相交時的交點(diǎn)開環(huán)幅相曲線與負(fù)實(shí)軸相交時的交點(diǎn)計(jì)算方法有兩種計(jì)算方法有兩種10( )(0.51)(0.21)G ssss例：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)例：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) ，試?yán)L制試?yán)L制 概略開環(huán)幅相曲線。概略開環(huán)幅相曲線。解：解：=0Nyquist圖與實(shí)軸相交時=0u系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)通常可以寫成系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)通?？梢詫懗傻湫铜h(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)串聯(lián)的形式，串聯(lián)的形式， 即：即： G(s)H(s)=G1(s)G2(s).Gn(s) u系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為)()(121)()()()(

24、)()()(1jjinineAeAjGjGjGHjGini12( )( )( ).( )n 12( )20lg( )20lg( )20lg( ).20lg( )nLAAAA幅頻特性幅頻特性 = = 組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性之代數(shù)和。對數(shù)幅頻特性之代數(shù)和。相頻特性相頻特性 = = 組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的相頻特性之代數(shù)和。相頻特性之代數(shù)和。.2.4 .2.4 開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線( (伯德伯德BodeBode圖圖) )系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為)()()()()(lg20)(

25、lg20)(lg20)()()(lg20)(lg20)(1212121ininnnLLLLjGjGjGjGjGjGAL)()()()()(121ninjGjGjG開環(huán)系統(tǒng)開環(huán)系統(tǒng)Bode圖的繪制方法圖的繪制方法(1) 將開環(huán)傳遞函數(shù)表示為將開環(huán)傳遞函數(shù)表示為典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)；的串聯(lián)；(2) 確定各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率并由小到大標(biāo)示在對數(shù)頻率軸上。確定各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率并由小到大標(biāo)示在對數(shù)頻率軸上。 轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率1/Ti， 若若T1T2T3., 則有則有123.。(3) 計(jì)算計(jì)算20lgK，在，在1 rad/s處找到縱坐標(biāo)等于處找到縱坐標(biāo)等于20lgK 的點(diǎn)，的點(diǎn)，過該點(diǎn)作斜率等于過該點(diǎn)作斜率

26、等于 -20v dB/dec的直線，向左延長此線，的直線，向左延長此線，得到最低頻段的漸近線。得到最低頻段的漸近線。(4) 向右延長最低頻段漸近線，每遇到一個轉(zhuǎn)折頻率改變一向右延長最低頻段漸近線，每遇到一個轉(zhuǎn)折頻率改變一次漸近線斜率次漸近線斜率:慣性環(huán)節(jié)，慣性環(huán)節(jié)，- 20dB/dec振蕩環(huán)節(jié)，振蕩環(huán)節(jié)， - 40dB/dec一階微分環(huán)節(jié)，一階微分環(huán)節(jié)，+20dB/dec二階微分環(huán)節(jié)，二階微分環(huán)節(jié)，+40dB/dec最低頻段的對數(shù)幅頻特性可近似為最低頻段的對數(shù)幅頻特性可近似為L( )=20lgK-20vlg 當(dāng)當(dāng)1 rad/s時，時，L()=20lgK；(5) 漸近線的最后一段漸近線的最后一段

27、(高頻段高頻段)的斜率為的斜率為20(n-m) dB/dec； 其中其中n為極點(diǎn)數(shù)，為極點(diǎn)數(shù)，m為零點(diǎn)數(shù)。為零點(diǎn)數(shù)。(6) 作出用分段直線表示的漸近線后，如果需要，可按作出用分段直線表示的漸近線后，如果需要，可按 照照各典型環(huán)節(jié)的誤差曲線對相應(yīng)段的漸近線進(jìn)行修正，各典型環(huán)節(jié)的誤差曲線對相應(yīng)段的漸近線進(jìn)行修正，即可得到精確的對數(shù)幅頻特性曲線。即可得到精確的對數(shù)幅頻特性曲線。(7) 繪制相頻特性曲線，逐個作出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻繪制相頻特性曲線，逐個作出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線并進(jìn)行疊加就可以得到系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)相頻特特性曲線并進(jìn)行疊加就可以得到系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線。性曲線。 當(dāng)然，當(dāng)然， 也

28、可以直接計(jì)算也可以直接計(jì)算()。 通常采取求通常采取求出幾個特定值的辦法，出幾個特定值的辦法， 如如(0), (1), (10), ()等，等， 從而得到相頻特性曲線的概圖。從而得到相頻特性曲線的概圖。 例：繪制開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性曲線，設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為例：繪制開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性曲線，設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為轉(zhuǎn)折頻率：轉(zhuǎn)折頻率：0.5 2 30低頻段：低頻段：V=1，在，在1 處處 20lgK=20lg40=32 , 20 dB/dec，解：解：典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)表示的標(biāo)準(zhǔn)形式典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)表示的標(biāo)準(zhǔn)形式40(0.51)( )( )1(21)(1)30sG s H ssss40(0.51)()()1

29、(21)(1)30jG jH jjjj 其對應(yīng)的頻率特性表達(dá)式為其對應(yīng)的頻率特性表達(dá)式為0.10.51210301000db20db40db-20db-40dbL()-20-40-20-40) 1s301)(1s2( s) 1s5 . 0(40) s (H) s (G 轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率：0.5 2 30-20例：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)例：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)100(2)( )(1)(20)sG ss ss 試?yán)L制開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。試?yán)L制開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。10(0.51)( )(1)(0.051)sG ss ss 解：解：典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)表示的標(biāo)準(zhǔn)形式典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)表

30、示的標(biāo)準(zhǔn)形式 其對應(yīng)的頻率特性表達(dá)式為其對應(yīng)的頻率特性表達(dá)式為10(0.51)()(1)(0.051)jG jjjj 10,1kv(1) 轉(zhuǎn)折頻率為：轉(zhuǎn)折頻率為： 1231,1/0.52,201( )20lg20lg1020()LKdB(2) 在在 時：時：(3) 過過 的點(diǎn)，畫一條斜率為的點(diǎn)，畫一條斜率為-20dB/dec的斜的斜線，以此作為低頻漸近線。線，以此作為低頻漸近線。1( )20LdB 、(4) 因第一個轉(zhuǎn)折頻率因第一個轉(zhuǎn)折頻率11，故低頻漸近線畫至，故低頻漸近線畫至1 1為止，為止，經(jīng)過經(jīng)過11后曲線的斜率應(yīng)為后曲線的斜率應(yīng)為-40dB/dec；當(dāng)曲線延伸至第二個轉(zhuǎn)折頻率當(dāng)曲線延

31、伸至第二個轉(zhuǎn)折頻率2 2時，斜率又恢復(fù)時，斜率又恢復(fù) 為為-20dB/dec ；直至直至3 20時，曲線斜率再增加時，曲線斜率再增加-20dB/dec，變?yōu)?，變?yōu)?-40dB/dec的斜線。至此已繪出系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性的斜線。至此已繪出系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性 漸近線。漸近線。10(0.51)()(1)(0.051)jG jjjj 直接繪制系統(tǒng)開環(huán)直接繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性的步驟對數(shù)幅頻特性的步驟(5) 系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)相頻特性表達(dá)式為系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)相頻特性表達(dá)式為0( )arctan0.590arctanarctan0.05 逐點(diǎn)計(jì)算結(jié)果逐點(diǎn)計(jì)算結(jié)果系統(tǒng)開環(huán)相頻特性數(shù)據(jù)系統(tǒng)開環(huán)相頻特性數(shù)據(jù)20

32、dB/dec40dB/dec20dB/dec2040dB/dec例：例：(1)20lg7.517.5L相頻特性曲線相頻特性曲線例：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為例：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為2212322213(1)1( ),1(1)(1) (2)nnnnK T sG sTTTs TsT sss試?yán)L出開環(huán)對數(shù)漸近幅頻曲線。試?yán)L出開環(huán)對數(shù)漸近幅頻曲線。解：解：.2.5 .2.5 最小相位系統(tǒng)、非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)、非最小相位系統(tǒng) 根據(jù)零、極點(diǎn)在根據(jù)零、極點(diǎn)在s s平面上分布情況的不同，函數(shù)平面上分布情況的不同，函數(shù)G(s)G(s)可分為最小相位系統(tǒng)、非最小相位系統(tǒng)?？煞譃樽钚∠辔幌到y(tǒng)、非最小相位系統(tǒng)。

33、u最小相位（相角）系統(tǒng)最小相位（相角）系統(tǒng)：指系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中：指系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中沒有沒有右右極點(diǎn)、右零點(diǎn)的系統(tǒng)。極點(diǎn)、右零點(diǎn)的系統(tǒng)。u非最小相位（相角）系統(tǒng)非最小相位（相角）系統(tǒng)：指系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中：指系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中有有右右極點(diǎn)或右零點(diǎn)的系統(tǒng)或者系統(tǒng)極點(diǎn)或右零點(diǎn)的系統(tǒng)或者系統(tǒng)帶有延遲環(huán)節(jié)帶有延遲環(huán)節(jié)。最小相位系統(tǒng)特點(diǎn)最小相位系統(tǒng)特點(diǎn) 在具有相同幅值特性的系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相角范在具有相同幅值特性的系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相角范圍在所有這類系統(tǒng)中是最小的。任何非最小相位傳遞函圍在所有這類系統(tǒng)中是最小的。任何非最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍都大于最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍數(shù)的相角

34、范圍都大于最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍。 對于最小相位系統(tǒng)，其對于最小相位系統(tǒng)，其幅頻特性幅頻特性和和相頻特性相頻特性一一對應(yīng)，一一對應(yīng)，某頻率段的相角主要由該頻率段的幅頻特性斜率所決定，某頻率段的相角主要由該頻率段的幅頻特性斜率所決定，也受相鄰頻段的影響。也受相鄰頻段的影響。20dB/dec 90040dB/dec 180060dB/dec 2700 設(shè)系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式階次位設(shè)系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式階次位n，分子多，分子多項(xiàng)式的階次為項(xiàng)式的階次為m（nm），系統(tǒng)串有），系統(tǒng)串有 v 個積分環(huán)節(jié)，則對于最小個積分環(huán)節(jié)，則對于最小相位系統(tǒng)，當(dāng)相位系統(tǒng)，當(dāng)時，對數(shù)幅頻特

35、性漸近線的斜率為時，對數(shù)幅頻特性漸近線的斜率為20(n-m)dB/dec，相頻特性的相位趨于，相頻特性的相位趨于90(n-m) ；而當(dāng)而當(dāng)0時相角等時相角等于于v*90，根據(jù)上述特征可以判斷系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng)。，根據(jù)上述特征可以判斷系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng)。 對于最小相位系統(tǒng)，對數(shù)幅頻特性與相頻特性之間存在唯一對于最小相位系統(tǒng)，對數(shù)幅頻特性與相頻特性之間存在唯一確定的關(guān)系，即根據(jù)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性就可以唯一地確定相應(yīng)確定的關(guān)系，即根據(jù)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性就可以唯一地確定相應(yīng)的相頻特性和傳遞函數(shù)，反之亦然。因此，從系統(tǒng)建模與分析設(shè)的相頻特性和傳遞函數(shù)，反之亦然。因此，從系統(tǒng)建模與分析設(shè)計(jì)角度看，

36、只要詳細(xì)繪出幅頻與相頻兩者中的一種就足夠了，由計(jì)角度看，只要詳細(xì)繪出幅頻與相頻兩者中的一種就足夠了，由于對數(shù)幅頻特性很容易繪出，故對于最小相位系統(tǒng)通常只畫出它于對數(shù)幅頻特性很容易繪出，故對于最小相位系統(tǒng)通常只畫出它的對數(shù)幅頻特性，而對相頻特性可以只畫簡圖，或者不畫。的對數(shù)幅頻特性，而對相頻特性可以只畫簡圖，或者不畫。注意注意最小相位系統(tǒng)的判別方法最小相位系統(tǒng)的判別方法.2.6 .2.6 根據(jù)頻率特性曲線確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)根據(jù)頻率特性曲線確定系統(tǒng)傳遞函數(shù) 由于系統(tǒng)頻率特性是線性系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）在正弦輸入信號由于系統(tǒng)頻率特性是線性系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）在正弦輸入信號下的響應(yīng)特性，下的響應(yīng)特性， 因此由傳遞函數(shù)可以

37、得到系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）的因此由傳遞函數(shù)可以得到系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）的頻率特性。頻率特性。 反之，反之， 由頻率特性也可以求得相應(yīng)的傳遞函數(shù)。由頻率特性也可以求得相應(yīng)的傳遞函數(shù)。有許多系統(tǒng)的物理模型很難抽象得很準(zhǔn)確，其傳遞函數(shù)很難有許多系統(tǒng)的物理模型很難抽象得很準(zhǔn)確，其傳遞函數(shù)很難用純數(shù)學(xué)分析的方法求出。對于這類系統(tǒng)，可以通過實(shí)驗(yàn)測用純數(shù)學(xué)分析的方法求出。對于這類系統(tǒng)，可以通過實(shí)驗(yàn)測出系統(tǒng)的頻率特性曲線，進(jìn)而求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。出系統(tǒng)的頻率特性曲線，進(jìn)而求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 對于最小相位系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）而言，一條對數(shù)幅頻特性對于最小相位系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）而言，一條對數(shù)幅頻特性曲線只能有一條對數(shù)相頻特性曲線與之對應(yīng)，曲線

38、只能有一條對數(shù)相頻特性曲線與之對應(yīng)， 因此只需用因此只需用對數(shù)幅頻特性曲線就可以求出系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）的傳遞函數(shù)。對數(shù)幅頻特性曲線就可以求出系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）的傳遞函數(shù)。 nm1Tj1Tj1j1jKjG212100 0lg20K dBL 11 T21 T11decdB20decdB20decdB40 nmTTKjG 11112221222100 00000KjGKjG 很小低頻時， vvKjKdB 得：令：線交點(diǎn)：低頻延長線與10 vvKjGKjG 111 很小低頻時， dBL 11 T21 T11decdB20decdB4040vKvKlg201 dBL 11 T21 T112040vK4060vKlg

39、20 nm1Tj1Tjj1jKjG211v1 -601 aaKjKdB 得：令：線交點(diǎn)：低頻延長線與102 aaKjGKjG 1122 很小低頻時， dBL 204060 dBL 204040aK1aKlg20604011 T211121 T4040aK11 T21 T11211aKlg20 nm1Tj1Tjj1jKjG2121a2 例：已知某最小相位系統(tǒng)的漸近開環(huán)幅頻特性如下圖所示，例：已知某最小相位系統(tǒng)的漸近開環(huán)幅頻特性如下圖所示，試確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，并寫出系統(tǒng)的相頻特性表達(dá)式。試確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，并寫出系統(tǒng)的相頻特性表達(dá)式。(1) 由于低頻段有兩個積分環(huán)節(jié)，故確定直線斜率為由

40、于低頻段有兩個積分環(huán)節(jié)，故確定直線斜率為 。(2) 在在 處處 ， ，可得，可得 (3) 在在 處，斜率由處，斜率由 變?yōu)樽優(yōu)?，故確，故確 定有一階微分環(huán)節(jié)定有一階微分環(huán)節(jié) 。(3) 在在 處，斜率由處，斜率由 變?yōu)樽優(yōu)?，故確，故確 定有慣性環(huán)節(jié)定有慣性環(huán)節(jié) 。40/dB dec1( )20LdB20lg()20,10KK12decdB/2040/dB dec11110s21040/dB decdecdB/2012s解：解：綜上所述，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)確定為綜上所述，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)確定為故系統(tǒng)的相頻特性表達(dá)式為故系統(tǒng)的相頻特性表達(dá)式為( )180210arctgarctg 2210(0

41、.51)50(2)( )(0.11)(10)ssG sssss 如果兩個系統(tǒng)具有相同的幅頻特性，那么對于大于如果兩個系統(tǒng)具有相同的幅頻特性，那么對于大于 0 的任的任何頻率，最小相位系統(tǒng)的相角總何頻率，最小相位系統(tǒng)的相角總小于小于非最小相角系統(tǒng)的相角。非最小相角系統(tǒng)的相角。11( ),( )11G sG sTsTs20-20 L(dB)10 L(dB)50-20-40100L(dB)-40-40-201c2)1 . 01(10)(ssG )01. 01()(ssKsG 50 K)1()1()(221 sssKsG ccKK 1121, 幅頻特性相同，但對數(shù)相頻曲線卻不相同幅頻特性相同，但對數(shù)相

42、頻曲線卻不相同 。 最小相角系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性一一對應(yīng)，只要根據(jù)最小相角系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性一一對應(yīng)，只要根據(jù)其對數(shù)幅頻曲線就能寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)其對數(shù)幅頻曲線就能寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 。例：有兩個傳遞函數(shù)例：有兩個傳遞函數(shù)例：有兩個系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)分別為例：有兩個系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)分別為1( ),1KG ss12( )1sKG ses試比較它們對數(shù)頻率特性。試比較它們對數(shù)頻率特性。解：解：由于開環(huán)傳遞函數(shù)由于開環(huán)傳遞函數(shù) 中含有滯后環(huán)節(jié)，表明其為非中含有滯后環(huán)節(jié)，表明其為非 最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)。)(2sG12( )( )G sG s、221)(KAarctg)(13 .

43、57)(12arctg兩者的幅頻特性表達(dá)式相同，兩者的幅頻特性表達(dá)式相同，相頻特性表達(dá)式分別為相頻特性表達(dá)式分別為均為均為開環(huán)系統(tǒng)伯德圖開環(huán)系統(tǒng)伯德圖系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 全部閉環(huán)極點(diǎn)均具有負(fù)的實(shí)部全部閉環(huán)極點(diǎn)均具有負(fù)的實(shí)部u 由閉環(huán)特征多項(xiàng)式系數(shù)（不解根）判定系統(tǒng)穩(wěn)定性；由閉環(huán)特征多項(xiàng)式系數(shù)（不解根）判定系統(tǒng)穩(wěn)定性；u 不能用于研究如何調(diào)整系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)來改善系統(tǒng)穩(wěn)定性不能用于研究如何調(diào)整系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)來改善系統(tǒng)穩(wěn)定性 及性能的問題。及性能的問題。代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)代數(shù)穩(wěn)定判據(jù) Ruoth判據(jù)判據(jù) u 由由開環(huán)頻率特性開環(huán)頻率特性直接判定直接判定閉環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，開環(huán)頻率的穩(wěn)定

44、性，開環(huán)頻率 特性可部分實(shí)驗(yàn)求取特性可部分實(shí)驗(yàn)求取，無需求出閉環(huán)極點(diǎn)；無需求出閉環(huán)極點(diǎn)；u 便于研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)的改變對穩(wěn)定性的影響；便于研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)的改變對穩(wěn)定性的影響；u 可以研究包含延時環(huán)節(jié)的穩(wěn)定性；可以研究包含延時環(huán)節(jié)的穩(wěn)定性；u 可以推廣到非線性研究?？梢酝茝V到非線性研究。頻域穩(wěn)定判據(jù)頻域穩(wěn)定判據(jù) Nyquist 判據(jù)判據(jù) 對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)對數(shù)穩(wěn)定判據(jù) 特點(diǎn)特點(diǎn)u在在 s 平面上除有限個孤立奇點(diǎn)外函數(shù)處處解析，則在平面上除有限個孤立奇點(diǎn)外函數(shù)處處解析，則在 s 平平面上任選一復(fù)數(shù)面上任選一復(fù)數(shù) s，通過復(fù)變函數(shù)，通過復(fù)變函數(shù) F(s) 的映射關(guān)系在的映射關(guān)系在 F(s) 平面上可

45、以找到平面上可以找到 s 相應(yīng)的象（在相應(yīng)的象（在s平面中，平面中，F(xiàn)(s)及其導(dǎo)數(shù)存及其導(dǎo)數(shù)存在在解析的；解析的； F(s)及其導(dǎo)數(shù)不存在及其導(dǎo)數(shù)不存在奇點(diǎn)，顯然對奇點(diǎn)，顯然對F(s)，p1、p2 pn是其有限個奇點(diǎn)）。是其有限個奇點(diǎn)）。u若在若在 F(s) 的零極點(diǎn)分布圖上，選擇的零極點(diǎn)分布圖上，選擇A點(diǎn)，使點(diǎn)，使 s 從從A點(diǎn)開始點(diǎn)開始移動，繞移動，繞 F(s) 的零點(diǎn)的零點(diǎn) zi 順時針順時針依曲線依曲線 s（ s不通過任何零不通過任何零極點(diǎn)）轉(zhuǎn)一周回到極點(diǎn)）轉(zhuǎn)一周回到A，相應(yīng)地，相應(yīng)地，F(xiàn)(s)也可從也可從 B 點(diǎn)出發(fā)回到點(diǎn)出發(fā)回到 B，也也畫畫出一條封閉曲線出一條封閉曲線 F。.3

46、.1 .3.1 奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1212( )()()()( )()()()( )nnj F sszszszF sspspspF s e若若 s 依依 s變化時，變化時，F(xiàn)(s) 相角的變化為相角的變化為( )F s)()()()()()()(2121nnpspspszszszssF 則有則有0jAs s0jB FF( )()2iF ssz ()isz從圖中可以看出，除從圖中可以看出，除之外，其它各項(xiàng)均為零。之外，其它各項(xiàng)均為零。F(s)= -2 表示表示 s 的象的象 F 從從 B 點(diǎn)開始再回到點(diǎn)開始再回到 B點(diǎn)繞著原點(diǎn)點(diǎn)繞著原點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)了一圈順時針轉(zhuǎn)了一圈。1212()

47、()()( )()()()nnszszszF sspspsp幅角定理：幅角定理： 若若s平面閉合曲線平面閉合曲線 s 包圍包圍F(s) 的的Z 個零點(diǎn)和個零點(diǎn)和P 個極點(diǎn)，則個極點(diǎn)，則 s 依依 s 順時針順時針旋轉(zhuǎn)一圈時，在旋轉(zhuǎn)一圈時，在 F(s) 平面上，平面上，F(xiàn)(s) 閉合曲線閉合曲線 F包包圍原點(diǎn)的圈數(shù)圍原點(diǎn)的圈數(shù) R 為為 P 與與 Z之差，即之差，即 R= P-Z。同理，若同理，若 s 繞繞F(s)的極點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)一圈時，在的極點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)一圈時，在F(s)上上 s的象的象 F繞原點(diǎn)反時針轉(zhuǎn)一圈繞原點(diǎn)反時針轉(zhuǎn)一圈。0jAs s0jB FF其中：其中：R0，表示，表示 F逆時針逆時針包

48、圍包圍F(s) 平面的原點(diǎn)；平面的原點(diǎn)； R=0，表示不包圍，表示不包圍F(s) 平面的原點(diǎn)。平面的原點(diǎn)。uF(s)零點(diǎn)為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，零點(diǎn)為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)， F(s)極點(diǎn)為開環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；的極點(diǎn)；u開環(huán)傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的階次一般大于或等于分子多項(xiàng)開環(huán)傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的階次一般大于或等于分子多項(xiàng)式的階次，式的階次，F(xiàn)(s)零極點(diǎn)個數(shù)相同；零極點(diǎn)個數(shù)相同；uF(s) 和和 G(s)H(s) 只差常數(shù)。只差常數(shù)。( )G s( )H s( )R s( )E s( )C s)()()()()()()(212121sMsMsNsNsNsMs設(shè)設(shè))()()()()()

49、(2211sNsMsHsNsMsG，則則)()()()()()(2121sNsNsMsMsHsG定義一個輔助函數(shù)定義一個輔助函數(shù)11212121()( )( )( )( )( )1( )( )( )( )()niinjjszN s NsMs MsF sG s H sN s NSsp 輔助函數(shù)輔助函數(shù) F(s) 有如下特點(diǎn)有如下特點(diǎn)F(s) 函數(shù)的特點(diǎn)函數(shù)的特點(diǎn)0 ()G j)(sF01順時針方向包圍整個順時針方向包圍整個s右半面。由于不能通過右半面。由于不能通過F(s)的任何零、極點(diǎn)，的任何零、極點(diǎn)，所以當(dāng)所以當(dāng)F(s)有若干個極有若干個極點(diǎn)處于點(diǎn)處于s平面虛軸（包平面虛軸（包括原點(diǎn)）上時，則

50、以括原點(diǎn)）上時，則以這些點(diǎn)為圓心，作半這些點(diǎn)為圓心，作半徑為無窮小的半圓，徑為無窮小的半圓，按按逆時針逆時針方向方向從右側(cè)從右側(cè)繞過繞過這些點(diǎn)。這些點(diǎn)。jj1j1j( )F s的極點(diǎn)Rj 0j0js平面jjjjjs00設(shè)：設(shè)： 閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式 顯然：顯然：F(s) 的零點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)的零點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn) sHsGSF1.3.2 .3.2 奈奎斯特（奈奎斯特（NyquistNyquist）穩(wěn)定判據(jù)）穩(wěn)定判據(jù) 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：s沿著奈氏路徑繞一圈沿著奈氏路徑繞一圈（當(dāng)（當(dāng)從從-+變化時），變化時），G(j)H(j)曲線曲線逆時針逆

51、時針包圍包圍（-1，j0）點(diǎn)）點(diǎn)P圈。圈。 P 為為G(s)H(s)位于位于s右半平面的極點(diǎn)數(shù)；右半平面的極點(diǎn)數(shù)； R G(j)H(j)曲線曲線逆時針逆時針繞（繞（-1，j0）點(diǎn)圈數(shù)；）點(diǎn)圈數(shù)； Z 閉環(huán)系統(tǒng)位于閉環(huán)系統(tǒng)位于s右半平面的極點(diǎn)數(shù)。右半平面的極點(diǎn)數(shù)。 Z=0，說明系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)無極點(diǎn)在，說明系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)無極點(diǎn)在s右半開平面，系統(tǒng)是右半開平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之，系統(tǒng)則是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定的；反之，系統(tǒng)則是不穩(wěn)定的。 若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是開環(huán)幅相曲線不若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是開環(huán)幅相曲線不包圍（包圍（-1，j0）點(diǎn)。）點(diǎn)。奈氏判據(jù)奈氏判據(jù)ZPR例：已

52、知例：已知某系統(tǒng)某系統(tǒng)G(j)H(j)軌跡如下，軌跡如下，系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定 P=1，試試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。 由由=0+變化時變化時G(j)H(j)的曲線，根據(jù)鏡的曲線，根據(jù)鏡像對稱得像對稱得=-0-變化時變化時G(j)H(j)的曲線，得到一的曲線，得到一封閉曲線。封閉曲線。 解：解： G(j)H(j) (從從- -+)曲線逆時曲線逆時針包圍（針包圍（-1-1，j0 0）點(diǎn)一次，即）點(diǎn)一次，即R=1。Z= P-R=0，故，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 例：已知單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)極點(diǎn)均在例：已知單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)極點(diǎn)均在 s 平面的左半平面，平面的左半平面，開環(huán)頻率特性

53、極坐標(biāo)圖如圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖如圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，即系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，即P=0，從圖中看到，從圖中看到由由-+變化時，變化時，G(j) H(j)曲線不包圍曲線不包圍(-1，j0)點(diǎn)，即點(diǎn)，即N=0，Z=P-N=0，所以，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。解：解：說明說明: 如果開環(huán)傳遞函數(shù)如果開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)含有含有個積分環(huán)節(jié)，奈氏曲線為個積分環(huán)節(jié)，奈氏曲線為一不封閉曲線，此時為了說明包圍一不封閉曲線，此時為了說明包圍（-1，j0）點(diǎn)的情況，可作）點(diǎn)的情況，可作輔助處理，即輔助處理，即由由=0+變化時變化時G(j)H(

54、j)的曲線，根據(jù)鏡像的曲線，根據(jù)鏡像對稱得對稱得=-0-變化時變化時G(j)H(j)的曲線，然后的曲線，然后 從從 =0-開始，開始，對應(yīng)的對應(yīng)的G(j)H(j)以以無窮大無窮大為半徑，按為半徑，按順時針順時針方向繞過方向繞過 角角度，與度，與 =0+ 曲線相接，成為封閉曲線，按照奈氏判據(jù)判定穩(wěn)曲線相接，成為封閉曲線，按照奈氏判據(jù)判定穩(wěn)定性。定性。 由由=0+變化時變化時G(j)H(j)的曲線，根據(jù)鏡像對稱得的曲線，根據(jù)鏡像對稱得=-0-變化時變化時G(j)H(j)的曲線，從的曲線，從=0-到到=0+以無限大為半徑順時針轉(zhuǎn)過以無限大為半徑順時針轉(zhuǎn)過，得封閉曲線。，得封閉曲線。 例：系統(tǒng)開環(huán)傳遞

55、函數(shù)為例：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為) 1)(1()()(21sTsTsKsHsG試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：解：當(dāng)當(dāng) 時，時，G(j)H(j) (從從- -+)曲線不包圍（曲線不包圍（-1-1，j0 0）點(diǎn)，）點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)當(dāng) 時，時，G(j)H(j) (從從- -+)曲線穿越曲線穿越( -1，j0 )點(diǎn)，系點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)統(tǒng)處于臨界狀態(tài) 。12121TTTKT12121TTTKT1 2121KTTTT可見：當(dāng)可見：當(dāng)由由- -+變化時，變化時，當(dāng)當(dāng) 時，時，G(j)H(j) (從從- -+)曲線順時針包圍（曲線順時針包圍（-1-1，j0 0）點(diǎn)兩圈，

56、即）點(diǎn)兩圈，即N=-2=-2，而開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即，而開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即P=0 0，所以閉，所以閉環(huán)系統(tǒng)右極點(diǎn)個數(shù)環(huán)系統(tǒng)右極點(diǎn)個數(shù) Z=P- -N=2 2，閉環(huán)系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個閉環(huán)右極點(diǎn)。不穩(wěn)定，有兩個閉環(huán)右極點(diǎn)。 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)穿越法穩(wěn)定判據(jù)穿越法穿越穿越：指開環(huán)：指開環(huán)Nyquist曲線穿過曲線穿過 (-1, j0 ) 點(diǎn)左邊實(shí)軸點(diǎn)左邊實(shí)軸時的情況。時的情況。正穿越正穿越：增大時，增大時，Nyquist曲線曲線由上而下由上而下( (相角增加相角增加) ) 穿過穿過-1 -段實(shí)軸，用段實(shí)軸，用 表示。表示。G(j)H(j)曲線對稱實(shí)軸。應(yīng)用中只畫曲線對稱實(shí)軸。應(yīng)用中只畫 部分

57、。部分。0 N負(fù)穿越負(fù)穿越：增大時，增大時，Nyquist曲線曲線由下而上（相角減少）由下而上（相角減少）穿過穿過 -1 -段實(shí)軸，用段實(shí)軸，用 表示。表示。 N正穿越正穿越負(fù)穿越負(fù)穿越2N1N例：例：半次穿越半次穿越：若若G(j)H(j)軌跡起始或終止于軌跡起始或終止于 (-1, j0)以左的負(fù)以左的負(fù)軸上，則穿越次數(shù)為半次，且同樣有軸上，則穿越次數(shù)為半次，且同樣有+ 1/2 次穿越和次穿越和-1/2次穿次穿越。越。+1/2次穿越次穿越-1/2次穿越次穿越Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：穩(wěn)定判據(jù)：當(dāng)當(dāng)由由0變化到變化到+時，時，Nyquist曲線在曲線在(-1, j0 )點(diǎn)左邊實(shí)軸上的正負(fù)穿越次數(shù)之

58、差等于點(diǎn)左邊實(shí)軸上的正負(fù)穿越次數(shù)之差等于P/2時時( P為系統(tǒng)開環(huán)傳函為系統(tǒng)開環(huán)傳函右極點(diǎn)數(shù)右極點(diǎn)數(shù))，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。NNN 若開環(huán)傳遞函數(shù)無極點(diǎn)分布在若開環(huán)傳遞函數(shù)無極點(diǎn)分布在S右半平面，即右半平面，即 ，則，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件應(yīng)該是閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件應(yīng)該是N=0。 注意：注意：這里對應(yīng)的這里對應(yīng)的變化范圍是變化范圍是 。00P2ZPNP=0P=2開環(huán)穩(wěn)定開環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)穩(wěn)定開環(huán)不穩(wěn)定開環(huán)不穩(wěn)定閉環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)穩(wěn)定0NNN20ZPN2 1 1NNN 2220ZPN注意：注意：分析分析G(j)H(j)軌跡穿越軌跡穿越 (-1

59、, j0)點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸。點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸。例：兩系統(tǒng)例：兩系統(tǒng)G(j)H(j)軌跡如下，已知其開環(huán)極點(diǎn)在軌跡如下，已知其開環(huán)極點(diǎn)在s右半平右半平面的分布情況，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。面的分布情況，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：解：例：已知例：已知某系統(tǒng)某系統(tǒng)G(j)H(j)軌跡如下，軌跡如下，系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定 P=1，試試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。N= N+ - N - =1/2Z= P-2N=1-1=0閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 解：解：P=1 如果開環(huán)傳遞函數(shù)如果開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)含有含有個積分環(huán)節(jié)，奈氏曲線為個積分環(huán)節(jié)，奈氏曲線為一不封閉曲線，此時為了說明包圍一不封閉

60、曲線，此時為了說明包圍（-1，j0）點(diǎn)的情況，可作）點(diǎn)的情況，可作輔助處理，即從輔助處理，即從 G(j 0+)H(j 0+)點(diǎn)起按點(diǎn)起按逆時針逆時針方向方向以以無窮大無窮大為半為半徑徑作圓心角為作圓心角為 的圓弧，按照奈氏判據(jù)判定穩(wěn)定性。的圓弧，按照奈氏判據(jù)判定穩(wěn)定性。90說明說明: 例：兩系統(tǒng)奈氏曲線如圖，試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。例：兩系統(tǒng)奈氏曲線如圖，試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。 (a)(b) 解：解： (a) N= N+ - N =（0-1）= -1，P =0，故，故 Z=P-2N=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 (b) K1時，時，N= N+ - N - =1-1/2= 1/2，P=1，故，故