2020版高考數(shù)學大一輪復習-第4節(jié)復數(shù)講義理含解析新人教A版

1、第 4 節(jié)復數(shù)考試要求 1.通過方程的解，認識復數(shù)；2.理解復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復數(shù)相等的含義；3.掌握復數(shù)代數(shù)表示式的四則運算，了解復數(shù)加、減運算的幾何意義.|間識例叱依臉I(yè)回頗敦對，夯實基礎知識梳理1.復數(shù)的有關概念內容意義備注復數(shù)的概念形如a+bi(aCR,beR)的數(shù)叫復數(shù)，其中實部為a,虛部為b若b=0,則a+bi 為實數(shù)；若a=0且bw0,則a+bi 為純虛數(shù)復數(shù)相等a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,deR)共軻復數(shù)a+bi 與c+di 共軻？a=c且b=一d(a,b,c,dR)復平面建立平囿直角坐標系來表不復數(shù)的平面叫做復平面，x軸叫實軸，y軸叫虛軸

2、實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)，各象限內的點都表示虛數(shù)復數(shù)的模設OZ寸應的復數(shù)為 z=a+bi,則向量OZ勺長度叫做復數(shù)z=a+bi 的模|z|=|a+bi|=7a2+b22 .復數(shù)的幾何意義復數(shù)集 C 和復平面內所有的點組成的集合是一一對應的，復數(shù)集 C 與復平面內所有以原點O為起點的向量組成的集合也是一一對應的，即(1)復數(shù) z=a+bi-復平面內的點Z(a,b)(a,beR).(2)復數(shù)z=a+bi(a,beR)- -川川: :平面向量OZ3 .復數(shù)的運算設zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,deR),則(1)加法:zi+Z2=(a+bi)+(c+di)

3、=(a+c)+(b+d)i；(2)減法：ziZ2=(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i；乘法：ziz2=(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i;(a+bi)(cdi)(c+di)(cdi)微點提醒i.i 的乘方具有周期性1, n=4k,i,n=4k+i,ni=(kCZ).-i,n=4k+2,-i,n=4k+32 .復數(shù)的模與共軻復數(shù)的關系Z-Z=|Z|2=|z|2.3 .兩個注意點(1)兩個虛數(shù)不能比較大?。?2)利用復數(shù)相等a+bi=c+di 列方程時，注意a,b,c,dCR 的前提條件.基礎自測疑誤辨析二1 .判斷下列結論正誤(在括號內打或“x”)(1)復數(shù)z=

4、a+bi(a,bCR)中，虛部為bi.()(2)復數(shù)中有相等復數(shù)的概念，因此復數(shù)可以比較大小.()(3)原點是實軸與虛軸的交點.()(4)復數(shù)的模實質上就是復平面內復數(shù)對應的點到原點的距離，也就是復數(shù)對應的向量的模.()解析(i)虛部為 b;(2)虛數(shù)不可以比較大小.答案(i)x(2)x(3)V(4)V教材近化a2 .(選彳 2-2Pi06A2 改編)若復數(shù)(a23a+2)+(ai)i 是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為(A.iB.2C.i 或 2D.-i(4)除法:zia+biZ2c+diac+bd+(bcad)i(c+diwo).2a3a+2=0,解析依題意，有解得 a=2,故選 B.a1W0,答案

5、 B253 .(選彳 2-2P116A1 改編)復數(shù) 2的共軻復數(shù)是()A.2iB.2+iC.3-4iD.3+41525(2+i)22-“一一解析丁一=”. .、=(2+i)2=3+4i,所以其共軻復數(shù)是 3-4i.2 i(2i2+i答案 C去縻然聆上、，3+i4 .(2017全國 n 卷)4P=()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i3+i(3+i)(1i)1+i(1+i)(1i)答案 D15 .（2018北京卷）在復平面內，復數(shù)匚 y 的共軻復數(shù)對應的點位于（）A.第一象限C.第三象限 D.第四象限解析=；+!，其共軻復數(shù)為 25，二復數(shù);的共軻復數(shù)對應的點的坐標為 1-i2222

6、21-i11,、一，2,2,位于第四象限，故選D.答案 D一，一、,，1I、，,，、，、z+26.（2019青島一模）已知復數(shù) z=-1+i（i 是虛數(shù)單位），則齊=.解析 z=-1+i,則 z2=2i,.z+21+i（1+i）（1+i）2z+z1i（1i）11+i）2答案1|濤點聚焦突破外知井委悅求立考點一復數(shù)的相關概念解析B.第二象限【例 1】（1）（2019 上海崇明區(qū)質檢）已知 z=?,則復數(shù)z的虛部為（）A.-iB.2C.-2iD.-2（2）已知在復平面內，復數(shù)z對應的點是Z（1,2）,則復數(shù)z的共軻復數(shù) z=（）A.2-iB.2+iC.1-2iD.1+2i,.,1+i，i,、,，一

7、，（3）（2019大連一模）若復數(shù) z=彳0為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為（）A.1B.0C.-D.-12-,2-i（2i）（i），一一，解析（1）z=一二二=12i,則復數(shù)z的虛部為一 2.故選 D.ii（一 i）（2）復數(shù)z對應的點是Z（1,-2）,z=1-2i,:復數(shù)z的共軻復數(shù) z=1+2i,故選 D.設z=bi,bCR 且bw0,1+i則d=bi,得至 ij1+i=ab+bi,i 十ai1=ab,且 1=b,解得 a=-1,故選 D.答案(1)D(2)D(3)D規(guī)律方法 1.復數(shù)的分類及對應點的位置都可以轉化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的

8、方程（不等式）組即可.2.解題時一定要先看復數(shù)是否為a+bi（a,be用的形式，以確定實部和虛部.【訓練 1】（1）已知復數(shù)z滿足：（2+i）z=1i,其中 i 是虛數(shù)單位，則z的共軻復數(shù)為（）A3i551D.+i3（2）（2019株洲二模）設 1 為虛數(shù)單位，1i=jF 則實數(shù) a=（）A.2B.1C.0D.-1解析(1)由(2+i)z=1i,得 z=2yi=Lil2iI，-z=5+|i.故選 B.2IiI2Ii/y2i/55552+ai(2).1i=iq,2+ai=(1i)(1+i)=2,解得 a=0.故選 C.13B.-+-i55C.3-i答案(1)B(2)C考點二復數(shù)的幾何意義zi.【

9、例 2】(1)已知 i 是虛數(shù)單位，設復數(shù)zi=1+i,Z2=1+2i,則一在復平面內對應的點在Z2()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2(2)(2019 北東新局考倜研考試)在復平面內，復數(shù)z對應的點與對應的點關于實軸對1i稱，則 z=()A.1+iB.-1-iC.1+iD.1-iz11+i(1+i)(12i)31,斛析(1)由題可(于，1=1+2i=(1+2i)(1_2i)=5-5i，對應在呈平面上的點的坐,一，31，標為口一,在第四象限.55(2)復數(shù) z 對應的點與 72=02I1；、=1+i 對應的點關于實軸對稱，z=11-i(1-i)(1+i)1 .故選 D.答

10、案(1)D(2)D規(guī)律方法 1.復數(shù)z=a+bi(a,beR).一型工Z(a,b).一川應.&=(a,b).2 .由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結合的方法，使問題的解決更加直觀1,一一【訓練 2】(1)設 i 是虛數(shù)單位，則復數(shù) 4r 在復平面內對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)如圖，若向量OZ寸應的復數(shù)為 z,則 z+4 表示的復數(shù)為()8. 一 3 一 iC.3-iA.1+3iD.3+i-11-i11，11解析(1)=(1+i)(1)=2引，則復數(shù) z 對應的點為 2-2，

11、在第四象限,故選 D.(2) 由題圖可得Z(1,-1),即 Z=1-i,所以 zH=1-i+-r=1-idrr-z1-i(1i)(1+i)=1-i+424_=1i+2+2i=3+i.故選 D.答案(1)D(2)D考點三復數(shù)的運算【例 3】(1)(2018全國出卷)(1+i)(2-i)=()A.3iB.3+iC.3-i1i(2)(2018全國 I 卷)設 2=百丁+21,則|2|=()A.0B.1C.12一,一z2+3(3)設復數(shù) z=1+2i,則Z=()A.2iB.-2iC.2D.3+iD.2D.-2解析(1)(1+i)(2i)=2i+2ii2=3+i.故選 D.2(2)-.=7L+2i=(+

12、2i=-1+2i=i,Iz|=|i|1+i(1+i)(1i)2=1.故選 c.Z2+3z-1(1+2i)2+312+4i+4i2+31+2i-12i4i-2r=2.故選 c.(4)原式=6_(1+i)2(中+血)(V3+V2i)2+(水)2+(盛)2.6x/6+2i+3i-J6.=i+_=1+i.5答案(1)D(2)C(3)C(4)1+i規(guī)律方法復數(shù)代數(shù)形式運算問題的常見類型及解題策略(1)復數(shù)的乘法.復數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位 i 的看作一類同類項，不含 i 的看作另一類同類項，分別合并即可.(2)復數(shù)的除法.除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軻復數(shù)，解題時要注意把

13、i 的哥寫成最簡形式.(3)復數(shù)的運算與復數(shù)概念的綜合題.先利用復數(shù)的運算法則化簡，一般化為 a+bi(a,be的形式，再結合相關定義解答(4)復數(shù)的運算與復數(shù)幾何意義的綜合題.先利用復數(shù)的運算法則化簡,bCR)的形式，再結合復數(shù)的幾何意義解答A.3-2iC.-3-2i,1+i(2)已知 i 為虛數(shù)單位，則二=(3i般化為a+bi(a,【訓練 3】(1)(2018全國 H 卷)i(2+3i)=()B.3+2iD.-3+2i2-iAF2+iB.F1-2ic.-1+2iD.-設 z=1+i(i是虛數(shù)單位)，則A.1+3iB.1-3iC.1+3iD.-1-3i解析(1)i(2+3i)=2i+3i2=

14、-3+2i,故選 D.1+i(1+i)(3+i)1+2i(2)3-i=(3-i)(3+i)=52222(3)因為 z=1+i,所以z=(1+i)=1+2i+i=2i,2(1i)1+i(1+i)(1i)2(1i)2(1i)=1-i,貝Uz2-|=2i-(1-i)=-1+3i.故選 C.答案(1)D(2)D(3)C思維升華1.復數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根.除法實際上是分母實數(shù)化的過程.2.復數(shù)z=a+bi(a,bCR)是由它的實部和虛部唯一確定的，兩個復數(shù)相等的充要條件是把復數(shù)問題轉化為實數(shù)問題的主要方法.對于一個復數(shù)z=a+bi(a,beR),既要從整體的角度去認識它，把

15、復數(shù)看成一個整體；又要從實部、虛部的角度分解成兩部分去認識易錯防范1.判定復數(shù)是實數(shù)，僅注重虛部等于 0 是不夠的，還需考慮它的實部是否有意義2.注意復數(shù)的虛部是指在a+bi(a,beR)中的實數(shù)b,即虛部是一個實數(shù).I分層限時調煉基礎鞏固題組（建議用時：30 分鐘）一、選擇題1 .已知復數(shù)（1+2i）i=a+bi,aCR,bCR,則 a+b=（）A.-3B.-1C.1D.3解析因為（1+2i）i=2+i,所以 a=2,b=1,則 a+b=1,選 B.答案 B2 .（2018浙江卷）復數(shù)T12（i 為虛數(shù)單位）的共軻復數(shù)是（）IiA.1+iB.1-iC.一 1+iD.一 1 一 i22（1+i

16、）2（1+i）-2-解析因為+i）=；7ii2=1+i,所以復數(shù)彳、的共軻復數(shù)為 1i.故選 B.答案 B3 .設復數(shù)z滿足 z=|1-i|+i(i 為虛數(shù)單位)，則復數(shù) z=()A.啦-iB.2+iC.1D.-1-2i解析復數(shù)z滿足 z=|1-i|+i=2+i,則復數(shù) z=/2-i,故選 A.答案 A4 .下列各式的運算結果為純虛數(shù)的是()A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)解析 i(1+i)2=i-2i=-2,不是純虛數(shù)，排除 Ai2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是純虛數(shù)，排除 B;(1+i)2=2i,2i 是純虛數(shù).故選 C.答案 C1A.2訓窿提

17、升能力5.設1.z=1j+i(i為虛數(shù)單位）,則|z|=（D.21+2i6.若a為實數(shù),且1-i1-i+i=(1+i)(1i)+i所以|z|=A.1解析因為1+2ia+i為實數(shù)，則 a=（）1B.-210.-3D.-2(1+2i)(ai)a+2+(2a1)i 曰a+i(a+i)(ai)個實數(shù)，所以2a1=0,1,-a=2 故選 B.答案 B7.（2019豫南九校質量考評）已知復數(shù)a+i2=x+yi(a,x,yCR,i 是虛數(shù)單位)，貝Ux+2y=(A.13B.5-3C.-5D.-1解析由題意得a+i=(x+yi)(2+i)=2xy+(x+2y)i,，x+2y=1,故選A.答案8.（2019福建

18、省普通高中質量檢查）若復數(shù)z滿足（1+i）z=|、/3+i|,則在復平面內，z對應的點位于（A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由題意,面內對應的點為答案 A二、填空題(1+i)(1i)=1i,所以 z=1+i,其在復平（1,1）,位于第一象限，故選 A.9.（2018天津卷）i 是虛數(shù)單位，復數(shù)6+7i1+2i業(yè)=(6+7i)02i)1+2i(1+2i)(12i)5=4-i.5答案 4-i10.復數(shù) z=(1+2i)(3i),其中 i 為虛數(shù)單位，則z的實部是2解析(1+2i)(3-i)=3+5i-2i=5+5i,所以z的實部為 5.答案 5一、一、_a+bi,2一一，西安八校聯(lián)考)若i(a,bCR)與(2i)互為共軻復數(shù)，則 a-b=a+bi(a+bi)(i)2a+bi解析：=T2=bai,(2i)=44i1=34i,；(a,bF)iii與(2i)2互為共軻復數(shù)，b=3,a=-4,則 a-b=-7,故答案為一 7.答案712.在復平面內，O為原點，向量OA寸應的復數(shù)為一 1+2i,若點A關于直線 y=x的對稱點為B,則向量OB寸應的復數(shù)為.解析因為 A：1,2)關于直線y=x的對稱點B(-2,1),所以向量OB寸應的復數(shù)為一 2+i.答案2+i能力提升題組解析由復數(shù) z