高數123 冪級數

1、1冪級數12.3 一、函數項級數的概念二、冪級數及其收斂性三、冪級數的運算2121( )(1,2,)( )( )( )( )nnnnuxnIuxu xuuIxx稱設為定義在區(qū)間 上的函數為定義在區(qū)間 上的函數項級，數.列 函函數數項項級級數數00101()( ).nnnnxIuxxux對于，若常數項級數收斂， 稱 為函數項級數的收斂點 收收斂斂點點.一個函數項級數收斂點的全體稱為該級數的收斂域 收收斂斂域域一、函數項級數的概念3)()(1xuxsnn1( )( )nnns xuxn記為函數項級數的前 項的和，lim( )( ).nnIsxs x在收斂域 上， 和函數和函數 Ix在收斂域 上，任

2、取一點 ，都有一個收斂的常數項級數).(有關與點因而有一確定的和xs( )Ixs x這樣，在收斂域 上，函數項級數的和是 的函數，與之對應，( )s x我們稱為函數項和函級數的數，記作).()(1xuxsnkkn即，( )( )( )nnr xs xIsx在收斂域余上，記項，lim( )0.nnr x則4發(fā)散，若常數項級數對于100)(Innxux 發(fā)散點發(fā)散點 發(fā)散域發(fā)散域 .)(10的發(fā)散點為函數項級數稱nnxux.散域的全體稱為該級數的發(fā)一個函數項級數發(fā)散點5001000()()()(0,1,).nnnnnnaxxaaxxaxxan的函數形如 其中，常數稱為冪級數的系項級數稱為冪級數數，

3、 冪冪級級數數00 x 下面著重討論的情形，即，20120nnnnna xaa xa xa x001.!nnnnxxn如、等二、冪級數及其收斂性6( 1,1)收：斂域0(1( 1,1)1nns xxxx 當數時，有和函(, 11) 及域,：發(fā)散201nnnxxxx 例如，冪級數0nnna x給定冪級數，它的收斂域、發(fā)散域及和函數是怎樣的？問問題題：7定理定理 1 1 ( Abel定理 )000nnna xxxxxx則對滿足不等式的若冪一切 ，冪級數級數在處收斂，都絕對收斂；00.xxxxx則對滿足反之，若不等式的一切 ，該在處冪級該冪級數發(fā)，數也發(fā)散散8證證:收斂，若00nnnxa. 0lim

4、0nnnxa則nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0當時,0 xx 收斂00nnxxM也收斂故，0nnnxa因此，原冪級數絕對收斂.).,2, 1(00nMxaMnn，使得常數于是，9.011，且使冪級數收斂滿足假設有一點xxx.0處收斂該冪級數在點x這與所設矛盾,滿足不等式0 xx (反證法)所以若當時冪級數發(fā)散,則對一切0 xx 由前面的證明可知：故假設不真.的x,原冪級數也發(fā)散.處該冪級數發(fā)散，若在0 xx 10ox0 x收斂發(fā)散發(fā)散由Abel 定理可以看出 :0nnnxa收斂發(fā)散的收斂域是以原點為中心的區(qū)間 .用用R R 表示冪級數收斂與發(fā)散的分界點。表示冪級數收斂與

5、發(fā)散的分界點。110nnnxa冪級數在 收斂;),(RR在外發(fā)散;,RR在可能收斂也可能發(fā)散.Rx加上收斂的端點),(RR稱為收斂半徑收斂半徑 R由由Abel定理可知：稱為收斂域收斂域 R=0時，0nnnxa冪級數僅在x=0收斂;R=時，0nnnxa冪級數在 收斂;),(特殊情形特殊情形 ),(RR稱為收斂區(qū)間收斂區(qū)間 12定理 2 ，則的系數滿足若nnnnnnaaxa10lim;10) 1 (R時，當;0)2(R時，當.0)3(R時，當13證證:對級數,0nnnxaxaaxaxannnnnnnn111limlim1)若,0則根據比值審斂法可知當,1x即時,1x原級數收斂;當,1x即時,1x原

6、級數發(fā)散.因此級數的收斂半徑.1Rx142)若, 0則根據比值審斂法可知,;R數絕對收斂,3)若,則對除x=0以外的一切x 原級數都.0R發(fā)散,對任意 x原級因此因此0nnnxa1limnnnaaR的收斂半徑為說明說明: : 根據定理2可知1511001(1)( 1)(2)(3)1!nnnnnnnxxn xnn例求下列冪級數的收斂半徑及收斂域1111( 1)nnnx對，級數為，收斂111()nxn 對級數為，發(fā)散( 1,1故，收斂域為： 11(1)limlim1.11nnnnanRan解: 16nnxn0!1)2()!1(1n!1limlim1naaRnnnnlim(1)nn (,). 故，收

7、斂域為： !) 1(!limlim1nnaaRnnnn11limnn0故，級數僅在x =0處收斂.nnxn0!)3(1721111(1)( 1)1(1)(2)(3)()2221nnnnnnnnnxxnnx例求下列冪級數的收斂域111.2nnntxtn令，級數變?yōu)榻猓?1)11112(1)2limlimlim2122(1)nnnnnnnnnannRann112nnt級數，為當時，發(fā)散11( 1)2nnnt級數為當時，收斂22.t 故，收斂域為21213.xx ，即于是，原級數的收斂域為：，18缺少偶次冪的項缺少偶次冪的項1( )lim( )nnnuxux解：nnnnnxx22lim1211221

8、2x21122xx當，即，時，收斂1122)2(nnnx（應用比值判別法應用比值判別法）21122xx當，即，時，發(fā)散1122nx當時，級數為，發(fā)散1122nx 當時，級數為，發(fā)散(2,2).原級數的收斂域為：191( )11()( )1 11nnuxnnuxnxx 解：1(1)1021xxx 當，即，或時，級數絕對收斂nnnxn)11() 1()3(1（應用比值判別法應用比值判別法）1(2)1201xx當，即，時，級數發(fā)散1( 1)0nnxn當時，級數收斂112nxn 當時，級數發(fā)散(, 2)0,). 故，級數的收斂域為(3)|1| 102xxx 當，即，或20的收斂半徑求冪級數例nnxnn

9、202) !(! )2(32(1)21222(1)!( )(1)!limlim2 !( ) !nnnnnnnxuxnnuxxn解:222(21)(22)lim4(1)nnnxxn21412xx當，即，時，收斂1.2R 故，收斂半徑為21412xx當，即，時，發(fā)散( (應用比值判別法應用比值判別法) )21三、冪級數的運算三、冪級數的運算定理定理 3 3，和的收斂半徑為及若冪級數2100RRxbxannnnnnnnnnnnxaxa00) 1 (為常數）（1Rx ，則有令21,minRRR nnnnnnnnnnxbaxbxa000)()2(Rx nnnnnnnnnxcxbxa000)3(Rx .0

10、knnkknbac其中，22 冪級數和函數的重要性質冪級數和函數的重要性質0(2)nnna xs xI冪級數的和函數在其收斂域 上可積，且有逐項性質積分公式0.1nnna xI冪級數的和函數在其收斂域性上連續(xù)質Ixxnadxxadxxaxdxsnnnnxnnxnnnx ，10000001)(.收斂半徑級數和原級數有相同的逐項積分后所得到的冪230( )(,)3nnna xs xR R冪級數的和函數在其收斂區(qū)間內可導，且有逐性質項求導公式),()()(1100RRxxanxaxaxsnnnnnnnnn，.收斂半徑級數和原級數有相同的逐項求導后所得到的冪說明：說明：利用已知冪級數的和函數求未知冪級

11、數的和函數利用已知冪級數的和函數求未知冪級數的和函數24( 1,1)在收斂域內xxnn110 xxnnn1110)(xxxnn11xxxnnn111)(20211xxnn 常見常見冪級數的和函數冪級數的和函數 25).(41xsxnnn的和函數求冪級數例時，當)1,1(x1)(nnxnxs1()nnxxxxx12)1 (xx11nnxnx1nnxx( 1,1)x 111x 解：易求出此冪級數的收斂半易驗證當或 時，該冪徑為 ，級數發(fā)散，( 1,1).故，該冪級數的收斂域為2611( )( 1)nnnxs xn令，(0)0s顯然，0( )ln(1)xs t dtx兩邊積分得xxxsnnn11)

12、1()(0( 11)x ( 1,1.易知該冪級數收斂域為解：時，當) 1 , 1(x( )ln(1),s xx)1ln()0()(xsxs即，115.( 1)nnnxn例求冪級數的和函數( 11)x 271111( 1).nnxn又時，收斂11( 1)ln(1).nnnxxn( 11)x 1( )( 1,1s x由性質 知：在收斂域上連續(xù)，2806(,).!nnxn 例證明冪級數在收斂，并求其和0( )()!nnxs xxn 設，11( )(1)!nnxs xn則0!kkxk)(xs()x ( ).xs xCe故，(0)1( )xss xe由可得：，0.!nxnxen即，( )( )0s xs

13、 x(,+ ).易知該冪級數收斂域為解：292217.(1)2nnn例求級數的和22( )( 11)1nnxs xxn 解設，,：，則2112nnnxx112211122nnnnxxnnxx)0(x2111()()2222nnxxxxxnx12nnnxxnnxnnxs111121)(2321nnnxx301)(nnnxxh令11)(nnxxh則( )ln(1)h xx 212( )ln(1)(0)24xxs xxxx2211(1)22nnsn故，2111( )()()(0)2222nnxxxs xxxxnx2ln4385) 11(11xx31內容小結內容小結1. 求冪級數收斂區(qū)間的方法求冪級數收斂區(qū)間的方法1)對標準型冪級數先求收斂半徑,再