線性代數(shù)排列及其逆序數(shù)學習教案

1、線性代數(shù)線性代數(shù)(xin xn di sh) 排列及其逆排列及其逆序數(shù)序數(shù)第一頁，共13頁。第1頁/共13頁第二頁，共13頁。定定義義(dngy)排列排列(pili)的逆序數(shù)的逆序數(shù) 在一個排列在一個排列 中，若中，若數(shù)數(shù) 則稱這兩個數(shù)組成一個逆序則稱這兩個數(shù)組成一個逆序. nstiiiii21stii 例如例如(lr) 排列排列32514 中，中， 我們規(guī)定各元素之間有一個標準次序我們規(guī)定各元素之間有一個標準次序, n 個不同個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標準次序標準次序.3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序二、排列的逆序數(shù)第2頁/共13頁第三頁，共13頁。定義

2、定義 一個排列中所有逆序的總數(shù)一個排列中所有逆序的總數(shù)(zngsh)稱稱為此排列為此排列 的逆序數(shù)的逆序數(shù).例如例如(lr) 排列排列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序數(shù)逆序數(shù)(xsh)為為31010故此排列的故此排列的逆序數(shù)為逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.第3頁/共13頁第四頁，共13頁。1 1、用多種方法、用多種方法(fngf)(fngf)求排列求排列1635248716352487的逆序的逆序數(shù)數(shù). .2 2、的取值范圍？、的取值范圍？3 3、求、求n(n-1) 21n(n-1) 21的逆序數(shù)。的逆序數(shù)。4 4、若求、若求)(21nii it1 2()ni iit 2 1()

3、nii i 第4頁/共13頁第五頁，共13頁。逆序數(shù)為奇數(shù)逆序數(shù)為奇數(shù)(j sh)的排列稱為奇排列的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)逆序數(shù)為偶數(shù)(u sh)的排列稱為偶排列的排列稱為偶排列.排列排列(pili)的奇偶性的奇偶性第5頁/共13頁第六頁，共13頁。定義定義(dngy)在排列中，將任意兩個元素在排列中，將任意兩個元素(yun s)對調，對調，其余元素其余元素(yun s)不動，這種作出新排列不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換的手續(xù)叫做對換將相鄰兩個元素對調，叫做將相鄰兩個元素對調，叫做相鄰對換相鄰對換mlbbbaaa11例如例如bamlbbabaa11abnmlccbbbaaa111nm

4、lccabbbaa111baab第6頁/共13頁第七頁，共13頁。定理定理1 1一個排列一個排列(pili)(pili)中的任意兩個元素對中的任意兩個元素對換，排列換，排列(pili)(pili)改變奇偶性改變奇偶性證明證明(zhngmng)設排列為設排列為mlbbabaa11對換對換 與與abmlbbbaaa11除除 外，其它元素的逆序數(shù)不改變外，其它元素的逆序數(shù)不改變.b,aabba第7頁/共13頁第八頁，共13頁。當當 時，時，ba ab的逆序數(shù)不變的逆序數(shù)不變;經對換后經對換后 的逆序數(shù)增加的逆序數(shù)增加1 ,經對換后經對換后 的逆序數(shù)不變的逆序數(shù)不變 ， 的逆序數(shù)減少的逆序數(shù)減少1.a

5、b因此對換因此對換(du hun)相鄰兩個元素，排列改變奇偶性相鄰兩個元素，排列改變奇偶性.設排列設排列(pili)為為nmlcbcbabaa111當當 時，時，ba 現(xiàn)來對換現(xiàn)來對換 與與a.b第8頁/共13頁第九頁，共13頁。次相鄰對換次相鄰對換mnmlccbbabaa111次相鄰對換次相鄰對換1 mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次相鄰對換次相鄰對換12 m,111nmlcacbbbaa所以一個排列中的任意兩個元素對換所以一個排列中的任意兩個元素對換(du hun)，排列改變，排列改變奇偶性奇偶性.abnmlccbbbaaa111abab第9頁/共13頁第十頁，共13頁。推論推論(tuln)奇排列調成標準排列的對換次數(shù)奇排列調成標準排列的對換次數(shù)(csh)(csh)為奇數(shù)，為奇數(shù)，偶排列調成標準排列的對換次數(shù)偶排列調成標準排列的對換次數(shù)(csh)(csh)為偶數(shù)為偶數(shù). .定理定理2 2 在全部在全部 階排列階排列(pili)(pili)中中 , ,奇偶排奇偶排列列(pili)(pili)各各 占一半占一半. . n 2 n第10頁/共13頁第十一頁，共13頁。2 2 排列排列(pili)(pili)具有奇偶性具有奇偶性. .3 計算排列計算排列(pili)逆序數(shù)常用的方法有多種逆序數(shù)常用的方法有多種.1 1