無(wú)窮級(jí)數(shù)總結(jié)

1、無(wú)窮級(jí)數(shù)總結(jié)、概念與性質(zhì)1 1 . .定義：對(duì)數(shù)列U1,U2,，Un，Un稱為無(wú)窮級(jí)數(shù)，上稱為一般項(xiàng);若部分和n1數(shù)列Sn有極限S,即 limSlimSnS,稱級(jí)數(shù)收斂，否則稱為發(fā)散. .n2 2 .性質(zhì)設(shè)常數(shù)C0,則Un與CUn有相同的斂散性；n1n1設(shè)有兩個(gè)級(jí)數(shù)Un與Vn,若UnS,Vn，則（UnVn）S；n1n1n1n1n1若Un收斂，Vn發(fā)散，則（4%）發(fā)散；n1n1n1若Un,Vn均發(fā)散，則（UnVn）斂散性不確定；n1n1n1添加或去掉有限項(xiàng)不影響一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性；設(shè)級(jí)數(shù)Un收斂，則對(duì)其各項(xiàng)任意加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.n1注：一個(gè)級(jí)數(shù)加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)發(fā)

2、散；一個(gè)級(jí)數(shù)加括號(hào)后收斂，原級(jí)數(shù)斂散性不確定.級(jí)數(shù)Un收斂的必要條件：limUn0；n1n注：級(jí)數(shù)收斂的必要條件，常用判別級(jí)數(shù)發(fā)散；若1而Un0,則Un未必收斂;nn1若Un發(fā)散，則limUn0未必成立.n1n二、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法1.1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法定義：若Un0,則Un稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).n1審斂法：（D充要條件：正項(xiàng)級(jí)數(shù)Un收斂的充分必要條件是其部分和數(shù)列有界n1(ii)比較審斂法：設(shè)Un與Vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且UnVn(A1,2,),n1n1則若收斂則收斂；若發(fā)散則發(fā)散.A.A.若收斂，且存在自然數(shù) N N, ,使得當(dāng) nNnN 時(shí)有Unkvn(k0)成立，則收斂；若發(fā)散，且存在自然數(shù) N

3、 N, ,使得當(dāng) nNnN 時(shí)有Unkvn(k0)成立，則發(fā)散；B.B.設(shè)Un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若有p1使彳#un；(n1,2,)，則Un收斂；若n1nn11Un一(n1,2,),則Un發(fā)目攵.nn1C.C.極限形式：設(shè)Un與Vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若lim叢l(0l),則n1n1nVn注：常用的比較級(jí)數(shù):調(diào)和級(jí)數(shù)：1111發(fā)散.n1n2n(iii)(iii)比值判別法(達(dá)郎貝爾判別法)設(shè)an是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若n1limanr1,則an收斂；lim亙r(jià)1,則an發(fā)散.nnann1ann1注：若lima，1,或 limJO_1,limJO_1,推不出級(jí)數(shù)的斂散.例工與4,雖然nann,n1nn1nlima口1,

4、lim向1,但二發(fā)散，而三收斂.nann,n1nn1nn,(iV)(iV)根值判別法(柯西判別法)設(shè)an是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，limlim后后Unn1Vnn1有相同的斂散性.幾何級(jí)數(shù)：arn1n11r 發(fā)散p p 級(jí)數(shù):1 收斂n1np發(fā)散n1n級(jí)數(shù)收斂，若1則級(jí)數(shù)發(fā)散.(v)極限審斂法：設(shè)Un0且 limnlimnpU Unl l, ,則limnpunl0且p1,則級(jí)nn數(shù)Un發(fā)散；如果p1,而limnpunl(0l),則其收n1n斂.(書上 P317-2-(1)P317-2-(1)注：凡涉及證明的命題，一般不用比值法與根值法，一般會(huì)使用比較判別法.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比(根)值判別法不能當(dāng)作收斂與發(fā)散的充要條

5、件，是充分非必要條件.2 2 .交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義:設(shè)Un0(n1,2,)，則(1)n1Un稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).n1則(1)n1Un收斂.n1注：比較Un與Un1的大小的方法有三種：比值法，即考察員是否小于 1 1；Un差值法，即考察UnUn1是否大于0；由Un找出一個(gè)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)f(x),使Unf(n),(n1,2,)考察f(x)是否小于0.3 3 . .一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法：若Un絕對(duì)收斂，則Un收斂.n1n1若用比值法或根值法判定|Un|發(fā)散，則Un必發(fā)散.n1n1三、幕級(jí)數(shù)1 1 . .定義：anXn稱為幕級(jí)數(shù).n02 2 . .收斂性阿貝爾定理：設(shè)幕級(jí)數(shù)anXn在X。0處收斂，則其在滿足

6、Ix|Ix0|的所審斂法：萊布尼茲定理：對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)nU,若UnUnn1NlimUNlimUn0,0,nx且可逐項(xiàng)積分，即Sdt0X(antn)dt0n0antndt(xn00(R,R),收斂半徑不有X處絕對(duì)收斂.反之，若幕級(jí)數(shù)anxn在X1處發(fā)散，則其在滿足|x|X1n0的所有X處發(fā)散.收斂半徑(i)定義：若幕級(jí)數(shù)在xX0點(diǎn)收斂，但不是在整個(gè)實(shí)軸上收斂，則必存在一個(gè)正數(shù)R,使得當(dāng)|XX0R時(shí)，幕級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)XX0R時(shí)，幕級(jí)數(shù)發(fā)散；R R 稱為幕級(jí)數(shù)的收斂半徑(ii)(ii)求法：設(shè)幕級(jí)數(shù)anXn的收斂半徑為 R R, ,其系數(shù)滿足條件limn0n或嚴(yán)：；兩l,則當(dāng)0l時(shí)，R1;當(dāng)l0時(shí)，

7、R,當(dāng)l時(shí)，R0.注：求收斂半徑的方法卻有很大的差異.前一個(gè)可直接用公式，后一個(gè)則須分奇、偶項(xiàng)(有時(shí)會(huì)出現(xiàn)更復(fù)雜的情況)分別來(lái)求.在分成奇偶項(xiàng)之后，由于通項(xiàng)中出現(xiàn)缺項(xiàng)，由此仍不能用求半徑的公式直接求，須用求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的方法.(iii)(iii)收斂半徑的類型A.A.R0,此時(shí)收斂域僅為一點(diǎn)；B.B.R,此時(shí)收斂域?yàn)?，)；C.C.R= =某定常數(shù)，此時(shí)收斂域?yàn)橐粋€(gè)有限區(qū)間.3 3 .幕級(jí)數(shù)的運(yùn)算(略)4 4 .幕級(jí)數(shù)的性質(zhì)若幕級(jí)數(shù)的收斂半徑R0,則和函數(shù)S(x)anxn在收斂區(qū)間(R,R)內(nèi)連續(xù).n0若幕級(jí)數(shù)的收斂半徑R0,則和函數(shù)S(x)anXn在收斂區(qū)間(R,R)內(nèi)可導(dǎo),n0且可逐項(xiàng)

8、求導(dǎo)，即S(x)(anXn)(anXn)nanXn1,收斂半徑不變.n0n0n1若幕級(jí)數(shù)的收斂半徑R0,則和函數(shù)S(x)anxn在收斂區(qū)間(R,R)內(nèi)可積,n0an1ann/no%(，In2n(iii)(iii)cosx(J：,x(no(2n)!/、(1)(n1)n(v)(1X)17-Xn,x(1,1),(R);n1n!11(vi)4Xn,X1;4(1)nxn,X1.1Xno1Xno6.級(jí)數(shù)求和幕級(jí)數(shù)求和函數(shù)解題程序(i)(i)求出給定級(jí)數(shù)的收斂域;(ii)通過(guò)逐項(xiàng)積分或微分將給定的幕級(jí)數(shù)化為常見函數(shù)展開式的形式(或易看出其假設(shè)和函數(shù)s(x)與其導(dǎo)數(shù)s(x)的關(guān)系),從而得到新級(jí)數(shù)的和函數(shù)；注

9、：系數(shù)為立壬項(xiàng)代數(shù)和犯！級(jí)數(shù)2一求和函數(shù)時(shí)應(yīng)先將級(jí)數(shù)寫成各個(gè)幕級(jí)數(shù)的代數(shù)和，然后分別求出它們的和函數(shù)，最后對(duì)和函數(shù)求代數(shù)和，即得所求級(jí)數(shù)的和函數(shù).數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和利用級(jí)數(shù)和的定義求和，即limSns,則Uns,其中nn1nsnU1U2UnUk.根據(jù)$n的求法又可分為：直接法、拆項(xiàng)法、遞/nn、(ancosxbnsinx).變.5 5.函數(shù)展開成幕級(jí)數(shù)若f(x)在含有點(diǎn)X。的某個(gè)區(qū)間I內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù),f(x)在Xo點(diǎn)的n階泰勒公式為f(X)f(Xo)f(Xo)(XXo)f(n1)()-一號(hào)(XXo)(n1),記Rn(x)(n1)!f(Xo)-2f(n1)2(XXo)f(n)(Xo)n!(xXo)(n

10、1)!(n1)(XXo)介于X,Xo之間，則f(x)在I內(nèi)能展開成為泰勒級(jí)數(shù)的充要條件為limRn(x)n0,初等函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)(xo0)(ii)sinxn12n1(1)Xn1(2n1)!(iv)ln(1x)nn(1)X(1,1;推法.A.A.直接法：適用于uk為等差或等比數(shù)列或通過(guò)簡(jiǎn)單變換易化為這兩種數(shù)列；k1B.B.拆項(xiàng)法：把通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)差的形式，在求n項(xiàng)和時(shí)，除首尾兩項(xiàng)外其余各項(xiàng)對(duì)消掉.(ii)(ii)阿貝爾法(構(gòu)造幕級(jí)數(shù)法)anlimanxn,其中幕級(jí)數(shù)anXn,可通_X1_n0n0n0過(guò)逐項(xiàng)微分或積分求得和函數(shù)S(x).因此anlims(x).X1n0四、傅里葉級(jí)數(shù)1.1.定義定義

11、1 1：設(shè)f(x)是以2為周期的函數(shù)，且在,或0,2上可積，則1一、，1*2、，C、an一f(x)cosnxdx一0f(x)cosnxdx,(n0,1,2),112bn-f(x)sinnxdx。f(x)sinnxdx,(n1,2,),稱為函數(shù)f(x)的傅立葉系數(shù).定義 2:2:以f(x)的傅立葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù)-a0(ancosnxbnsinnx).2n1稱為函數(shù)f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)，表示為(ancosnxbnsinnx).n1定義3:設(shè)f(x)是以2l為周期的函數(shù)，且在l,l上可積，則以1l一、nan一f(x)cosxdx,(n0,1,2),lllbn1f(x)sinnxdx,(n1,2

12、)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù)1ao(ancosxbnsinx)稱為f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)，表示為2n1lln1ll2 2.收斂定理(狄里赫萊的充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間,上滿足條件除有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)外都是連續(xù)的；只有有限個(gè)極值點(diǎn),1f(x)a021f(x)a。2則f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)在,上收斂，且有3.3.函數(shù)展開成傅氏級(jí)數(shù)周期函數(shù)注：若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)bnsinnx(正弦級(jí)數(shù)),n1l,2lnbn-0f(x)sin丁xdx(n1,2,)；若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)包ancosx,(余弦級(jí)數(shù))2n1l2lnan-0f(x)cosxdx(n0,1,2,),bn0(n1,2,). .非周

13、期函數(shù)(i)奇延拓：f(x),0 xA.A.f(x)為0,上的非周期函數(shù)，令F(x)I，,則F(x)除x0外在f(x),x0a0(ancosnxbnsinnx)2n1f(x),x 是 f(x)的連續(xù)點(diǎn);1f(xo0)f(xo0),2x0是 f(x)的第一類間斷點(diǎn)；1_2f(0)f(0),x(i)以2為周期的函數(shù)f(x):f(x)a1anf(x)cosnxdx(n0,1,2,ancosnxn1、,1),bnbnsinnxf(x)sinnxdx(n1,2,);注：若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)bnsinnx(正弦級(jí)數(shù)),n12bn0f(x)sinnxdx(n1,2,);0(n0,1,2,)若f(x

14、)為偶函數(shù)，則f(x)與2an0f(x)cosnxdx(n0,1,2,ancosnx(余弦級(jí)數(shù)),n1),bn0(n1,2,). .(ii)以2l為周期的函數(shù)f(x)?11anl1n、，f(x)cosxdx(n0,1,2,n.n、ancosx+ +bnsinx)n1ll1ln),bn-f(x)sinxdx(n1,2,)；lllan0(n0,1,2,)在,上為奇函數(shù)，f(x)bnsinn1(n1,2,). .(ii)(ii)偶延拓：A.A.f(x)為0,上的非周期函數(shù)，令F(x)則F(x)除x0外在,上為偶函數(shù)，f(x尸a_ancosnx(余2n12弦級(jí)數(shù)),anof(x)cosnxdx(n0,1,2,). .B.B.f(x)為0,l上的非周期函數(shù)，令F(x)f：)：則f(x)曳ancosnx(余弦級(jí)數(shù))，an2f(x)cosxdx(n0